蘇科版2024-2025學年九年級數(shù)學上冊2.9圓周角(知識梳理與考點分類講解)(學生版+解析)（含答案解析）

專題2.9圓周角（知識梳理與考點分類講解）第一部分【知識點歸納】【知識點一】圓周角的概念頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.【要點提示】圓心角和圓周角的區(qū)別與聯(lián)系不同點；頂點不同，圓周角的頂點在圓心，圓心角頂點是圓心；（2）弧所對的角不同：弧所對的圓心角只有一個，而所對的圓周角有無數(shù)個；相同點：角的兩邊都和圓相交.【知識點二】圓周角定理文字語言：圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半，同弧或等弧所對的圓周角相等；符號語言：如下圖，所對的圓周角有，所對的圓心角為，【要點提示】（1）因為圓心角的度數(shù)等于它的對弧的度數(shù)，所以圓周角的度數(shù)等于它所對弧的度的一半；（2）在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，那么它們所對的弧相等，所對的弦也相等.【知識點三】圓周角定理的推論1、文字語言：直徑所對的圓周角是直角，90度圓周角所對的弦是直徑；2、符號語言：如下圖，（1)為的直徑，;(2）在中，AB為的直徑.【要點提示】（1）說明一條弦是直徑，可以轉(zhuǎn)化去證明這條弦所對的圓周角是直角；（2）在已知弦是直徑時，考慮所對圓周角是直角，已知圓周角是90度時，考慮它所對的弦是直徑.【知識點四】圓內(nèi)接四邊形及其性質(zhì)圓內(nèi)接四邊形的定義：一個四邊形四個頂點都在同一個圓上，這個四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理：圓內(nèi)接四邊形對角互補.如下圖：；【要點提示】（1）任何一個圓都有無數(shù)個內(nèi)接四邊形；（2）不是所有的四邊形都有外接圓，只有這個四邊形滿足對角互補時才有外接四邊形.第二部分【題型展示與方法點撥】【題型1】圓周角概念的辨析【例1】（23-24九年級下·全國·課后作業(yè)）下列各圖中，為圓周角的是（）A．B． C． D．【變式1】（23-24九年級上·河北廊坊·期中）如圖，在圖中標出的這5個角中，所對的圓周角是（

）A． B．和 C．和 D．和【變式2】（2021·河北滄州·一模）如圖，是上一個定點，將直角三角板的角頂點與點重合，兩邊與相交，設(shè)交點為，，繞點順時針旋轉(zhuǎn)三角板，直至其中一個交點與點重合時停止旋轉(zhuǎn)，設(shè)，旋轉(zhuǎn)角為，如圖所示能反映與關(guān)系的為（）A．B．C． D．【題型2】利用圓周角定理進行求值或證明【例2】（23-24九年級下·江西九江·期中）課本再現(xiàn)如圖1，的直徑為，弦為，的平分線交于點．（1）分別求和的長．拓展延伸（2）如圖2，若于點，連接．①求證：直線垂直平分．②求的長．【變式1】（2024·湖南·中考真題）如圖，，為的兩條弦，連接，，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【變式2】（2024·江蘇揚州·一模）如圖，是的直徑，是的弦，若，則．【題型3】利用同弧或等弧所對的圓周角相等求值【例3】（21-22九年級上·河北石家莊·期中）如圖，是的直徑，弦于點E，點P在上，．（1）求證：；（2）若，求的半徑．【變式1】（2024·陜西西安·一模）如圖，是的直徑，弦交于點,且，．則的長為（）

A． B． C．2 D．【變式2】（23-24九年級上·江蘇宿遷·期中）如圖，點A、B、C、D在上，，，則°．【題型4】利用圓周角定理的推論求值或證明【例4】（24-25九年級上·全國·假期作業(yè)）如圖，是的直徑，是的中點，于點，交于點．（1）求證：；（2）若，，求的半徑及的長．【變式1】（2024·陜西西安·三模）如圖，為的的兩條直徑，點E為弧的中點，連接，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式2】（2024·江蘇無錫·三模）如圖所示，為的直徑，點在上，且，過點的弦與線段相交于點，滿足，連接，則等于．【例5】（2024·安徽合肥·一模）如圖，四邊形內(nèi)接于，，，過點C作，使得，交的延長線于點E．（1）求證：．（2）若，求的長．【變式1】（23-24九年級上·山東濱州·期中）如圖，過原點，且與兩坐標軸分別交于點，點的坐標為，點是第三象限內(nèi)上一點，，則的半徑為（

）A．4 B．5 C．6 D．【變式2】（2024·浙江溫州·三模）如圖，已知中，，，，點是邊上的動點，以為直徑作，連接交于點，則的最小值為．【題型6】利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)求值或證明【例6】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，圓內(nèi)接四邊形的對角線，交于點，平分，．

（1）求的度數(shù)；（2）過點作交的延長線于點，若，，求此圓半徑的長．【變式1】（2021九年級·安徽·專題練習）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，∠C=120°．若AD=2，則AB的長為（）A． B．2 C．2 D．4【變式2】（2024·江蘇鎮(zhèn)江·二模）如圖，是內(nèi)接四邊形的一個外角，連接，若，則的度數(shù)為°．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·安徽·中考真題）如圖，是的外接圓，D是直徑上一點，的平分線交于點E，交于另一點F，．（1）求證：；（2）設(shè)，垂足為M，若，求的長．【例2】（2023·青海西寧·中考真題）如圖，是⊙O的弦，半徑，垂足為D，弦與交于點F，連接，，．

求證：；若，，，求的長．2、拓展延伸【例1】（23-24八年級下·陜西·階段練習）如圖，四邊形為矩形，，．點是線段上一動點，點為線段上一點，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【例2】（2024·浙江溫州·三模）如圖，是矩形的外接圓，的角平分線交的延長線于點E，交于點F．連結(jié)，，，已知．（1）證明：為等腰直角三角形．（2）若點C平分弧，求的面積．（3）當?shù)哪骋贿叺拈L度是的2倍時，求的長．專題2.9圓周角（知識梳理與考點分類講解）第一部分【知識點歸納】【知識點一】圓周角的概念頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.【要點提示】圓心角和圓周角的區(qū)別與聯(lián)系不同點；頂點不同，圓周角的頂點在圓心，圓心角頂點是圓心；（2）弧所對的角不同：弧所對的圓心角只有一個，而所對的圓周角有無數(shù)個；相同點：角的兩邊都和圓相交.【知識點二】圓周角定理文字語言：圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半，同弧或等弧所對的圓周角相等；符號語言：如下圖，所對的圓周角有，所對的圓心角為，【要點提示】（1）因為圓心角的度數(shù)等于它的對弧的度數(shù)，所以圓周角的度數(shù)等于它所對弧的度的一半；（2）在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，那么它們所對的弧相等，所對的弦也相等.【知識點三】圓周角定理的推論1、文字語言：直徑所對的圓周角是直角，90度圓周角所對的弦是直徑；2、符號語言：如下圖，（1)為的直徑，;(2）在中，AB為的直徑.【要點提示】（1）說明一條弦是直徑時，可以轉(zhuǎn)化到去證明這條弦所對的圓周角是直角；（2）在已知弦是直徑時，考慮所對圓周角是直角，已知圓周角是90度時，考慮它所對的弦是直徑.【知識點四】圓內(nèi)接四邊形及其性質(zhì)圓內(nèi)接四邊形的定義：一個四邊形四個頂點都在同一個圓上，這個四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理：圓內(nèi)接四邊形對角互補.如下圖：，【要點提示】（1）任何一個圓都有無數(shù)個內(nèi)接四邊形；（2）不是所有的四邊形都有外接圓，只有這個四邊形滿足對角互補時才有外接四邊形.第二部分【題型展示與方法點撥】【題型1】圓周角概念的辨析【例1】（23-24九年級下·全國·課后作業(yè)）下列各圖中，為圓周角的是（）A．B． C． D．【答案】D【分析】此題考查了圓周角定義．頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角，此題比較簡單，解題的關(guān)鍵是理解圓周角的定義．根據(jù)由圓周角的定義逐項判定即可．解：A、的邊不是與圓相交所得，所以不是圓周角，故此選項不符合題意；B、的邊、都不是與圓相交所得，所以不是圓周角，故此選項不符合題意；C、的頂點沒在圓上，所以不是圓周角，故此選項不符合題意；D、符合圓周角定義，是圓周角，故此選項符合題意；故選：D．【變式1】（23-24九年級上·河北廊坊·期中）如圖，在圖中標出的這5個角中，所對的圓周角是（

）A． B．和 C．和 D．和【答案】C【分析】根據(jù)圓周角的定義逐個選項判斷即可解答．本題考查了圓周角的定義，熟記定義“頂點在圓上，兩邊和圓相交的角叫圓周角”是解題的關(guān)鍵．解：是所對的圓周角，是所對的圓周角，是所對的圓周角，是所對的圓周角，不是圓周角，故選：C．【變式2】（2021·河北滄州·一模）如圖，是上一個定點，將直角三角板的角頂點與點重合，兩邊與相交，設(shè)交點為，，繞點順時針旋轉(zhuǎn)三角板，直至其中一個交點與點重合時停止旋轉(zhuǎn)，設(shè)，旋轉(zhuǎn)角為，如圖所示能反映與關(guān)系的為（）A．B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓周角的定義及特點即可求解．解：依題意可知∠BMA是圓周角，弦AB為∠BMA所對的弦，當繞點順時針旋轉(zhuǎn)三角板時，∠BMA的大小不變，故弦AB長度不變，即y不隨的變化而變化，故選A．【點撥】此題主要考查圓周角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知圓周角的定義．【題型2】利用圓周角定理進行求值或證明【例2】（23-24九年級下·江西九江·期中）課本再現(xiàn)如圖1，的直徑為，弦為，的平分線交于點．（1）分別求和的長．拓展延伸（2）如圖2，若于點，連接．①求證：直線垂直平分．②求的長．【答案】（1）；；（2）①見解析；②【分析】本題考查了勾股定理、全等三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的判定及性質(zhì)、圓周角定理：（1）根據(jù)圓周角定理得，在和中，利用勾股定理即可求解；（2）①連接，延長交與點，根據(jù)等角對等邊可證得，再根據(jù)可證得，進而可證得，根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)即可求證結(jié)論；②由（1）得：，由①得：，點是的中點，進而可得，根據(jù)即可求解；添加適當?shù)妮o助線解決問題是解題的關(guān)鍵．解：（1）為的直徑，，在中，，，，是的角平分線，，，在中，，；（2）①連接，延長交與點，如圖：為的直徑，，是的角平分線，且，，，，（公共邊），，，，,直線垂直平分;②由（1）得：，由①得：，點是的中點，是的中位線，，．【變式1】（2024·湖南·中考真題）如圖，，為的兩條弦，連接，，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圓周角定理可知，即可得到答案．解：根據(jù)題意，圓周角和圓心角同對著，，，．故選：C．【變式2】（2024·江蘇揚州·一模）如圖，是的直徑，是的弦，若，則．【答案】58【分析】本題考查了圓周角定理，直角三角形兩銳角互余．連接，由是的直徑可得，又由可得，進而即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．解：連接，∵是的直徑，∴，又∵，∴，故答案為：．【題型3】利用同弧或等弧所對的圓周角相等求值【例3】（21-22九年級上·河北石家莊·期中）如圖，是的直徑，弦于點E，點P在上，．（1）求證：；（2）若，求的半徑．【答案】(1)證明見解析(2)9【分析】本題主要考查了勾股定理，同弧所對的圓周角相等，平行線的判定：（1）根據(jù)同圓中，同弧所對的圓周角相等可得，再由條件可得，然后可得；（2）設(shè)，則，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．（1）證明：∵，，∴，∴；（2）解：如圖所示，連接，設(shè)，則，在中：由勾股定理得，在中：由勾股定理得，∴，解得∴的半徑為9．【變式1】（2024·陜西西安·一模）如圖，是的直徑，弦交于點,且，．則的長為（）

A． B． C．2 D．【答案】C【分析】本題考查圓中同一條弧所對的各個角的關(guān)系以及垂徑定理的逆運用，還涉及勾股定理的運用，需能夠準確推理論證出所需用的條件．關(guān)鍵在于找到要求線段與已知條件之間隱含的邏輯論證關(guān)系，進而順利求出的長度．解：如圖，連接，

則，又∵，∴，∴，∴，∴，設(shè)的半徑為，則，，在中，，即，解得：，∴．故答案為：C．【變式2】（23-24九年級上·江蘇宿遷·期中）如圖，點A、B、C、D在上，，，則°．【答案】【分析】本題考查了圓周角定理，三角形內(nèi)角和，平行線性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，連接，根據(jù)圓周角定理得到，利用平行線性質(zhì)求出的度數(shù)，根據(jù)等邊對等角，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和求出結(jié)果即可．解：如圖，連接，，，，在中，，故答案為：．【題型4】利用圓周角定理的推論求值或證明【例4】（24-25九年級上·全國·假期作業(yè)）如圖，是的直徑，是的中點，于點，交于點．（1）求證：；（2）若，，求的半徑及的長．【答案】(1)證明見解析(2)半徑為，BF為【分析】（1）根據(jù)同弧或等弧所對的圓周角相等得，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得，再結(jié)合，可得出，即可得證；（2）根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系得，在中，得，得出的半徑，再根據(jù)，得，繼而得到，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理得出，解得：，即可得解．解：（1）證明：∵是的中點，∴，∴，∵是的直徑，∴，即，∵，∴，即，∴，∴，∴；（2）解：∵，，，∴，在中，，∴的半徑為，∵，∴，在中，，設(shè)，則，∵在中，，∴，解得：，∴，∴的半徑為，的長為．【點撥】本題考查同弧或等弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，直角三角形兩銳角互余，等角對等邊，勾股定理，等積法等知識點．掌握圓的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2024·陜西西安·三模）如圖，為的的兩條直徑，點E為弧的中點，連接，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查圓周角定理，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．連接，根據(jù)圓周角定理得到，在根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形外角的性質(zhì)求出，由三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)點E為弧的中點，求出，由圓周角定理即可求解．解：連接，，，，，，，點E為弧的中點，，，故選：C．【變式2】（2024·江蘇無錫·三模）如圖所示，為的直徑，點在上，且，過點的弦與線段相交于點，滿足，連接，則等于．【答案】/20度【分析】本題主要考查了垂徑定理、圓周角、三角形外角的定義和性質(zhì)等知識，熟練掌握圓周角的相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．首先根據(jù)題意可得，，易知，進而可得，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求解即可．解：∵為的直徑，，∴，，∴，∴，∴，∵，∴．故答案為：．【例5】（2024·安徽合肥·一模）如圖，四邊形內(nèi)接于，，，過點C作，使得，交的延長線于點E．（1）求證：．（2）若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）如圖，連接，根據(jù)推出，再證明，，進而證明，即可證明．（2）先證明是的直徑，得到．由（1）可得．在中求出；在中，．（1）證明：如圖，連接．，，．，，．，，，．在與中，，．（2）解：如圖，連接．，是的直徑，．由（1）可得．，．在中，；在中，．【點撥】本題主要考查了弧，弦，圓周角之間的關(guān)系，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊對等角，勾股定理，90度圓周角所對的弦是直徑，直徑所對的圓周角是直角，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式1】（23-24九年級上·山東濱州·期中）如圖，過原點，且與兩坐標軸分別交于點，點的坐標為，點是第三象限內(nèi)上一點，，則的半徑為（

）A．4 B．5 C．6 D．【答案】B【分析】由題意知，由，可得為的直徑，由四點共圓，可求，則，然后求直徑，求半徑即可．解：∵點的坐標為，∴，∵，∴為的直徑，∵四點共圓，∴，∴，∴，∴半徑為5，故選：B．【點撥】本題考查了的圓周角所對的弦為直徑，圓內(nèi)接四邊形對角互補，含的直角三角形，三角形內(nèi)角和定理等知識．熟練掌握的圓周角所對的弦為直徑，圓內(nèi)接四邊形對角互補，含的直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2024·浙江溫州·三模）如圖，已知中，，，，點是邊上的動點，以為直徑作，連接交于點，則的最小值為．【答案】【分析】連接，由以為直徑作，得，，即可得動點在以為直徑的圓上運動，當，，在一直線上時，根據(jù)，即可求解．解：中，，，，連接，由以為直徑作，，，，，動點在以為直徑的圓上運動，為圓心，當，，在一直線上時，即的最小值為故答案為：．【題型6】利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)求值或證明【例6】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，圓內(nèi)接四邊形的對角線，交于點，平分，．

（1）求的度數(shù)；（2）過點作交的延長線于點，若，，求此圓半徑的長．【答案】(1)(2)圓的半徑長是4．【分析】（1）證明，則，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到；（2）證明是等邊三角形，則，得到，則，則，再利用直角三角形的性質(zhì)即可到答案．（1）解：∵，∴，∵平分，

∴，∵

，∴

，∴，，∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形．∴．∴；（2）∵，

∴是圓的直徑，∵，

∴

，∴是等邊三角形，∴，∴

，

∴，∵，

∴，∴，∴，∵，∴，∴圓的半徑是4．【點撥】此題考查了圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、含角直角三角形的性質(zhì)等知識，得到是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2021九年級·安徽·專題練習）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，∠C=120°．若AD=2，則AB的長為（）A． B．2 C．2 D．4【答案】D【分析】連接OD，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠A=60°，得出△AOD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出OD=OA=AD=2，求出直徑AB即可．解：連接OD，∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠C=180°，∵∠C=120°，∴∠A=60°，∵OD=OA，∴△AOD是等邊三角形，∴AD=OD=OA，∵AD=2，∴OA=OD=OB=2，∴AB=2+2=4，故選：D．【點撥】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)和判定，能根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠A+∠C=180°是解此題的關(guān)鍵．【變式2】（2024·江蘇鎮(zhèn)江·二模）如圖，是內(nèi)接四邊形的一個外角，連接，若，則的度數(shù)為°．【答案】【分析】此題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理，根據(jù)題意得到，，根據(jù)同角的補角相等和圓周角定理即可得到．解：∵是內(nèi)接四邊形的一個外角，∴，∴故答案為：第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·安徽·中考真題）如圖，是的外接圓，D是直徑上一點，的平分線交于點E，交于另一點F，．（1）求證：；（2）設(shè)，垂足為M，若，求的長．【答案】(1)見詳解(2)．【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理等知識，掌握這些性質(zhì)以及定理是解題的關(guān)鍵．（1）由等邊對等角得出，由同弧所對的圓周角相等得出，由對頂角相等得出，等量代換得出，由角平分線的定義可得出，由直徑所對的圓周角等于可得出，即可得出，即．（2）由（1）知，，根據(jù)等邊對等角得出，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得出，的值，進一步求出，，再利用勾股定理即可求出．解：（1）證明：∵，∴，又與都是所對的圓周角，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵是直徑，∴，∴，故，即．（2）由（1）知，，∴，又，，∴，，∴圓的半徑，∴，在中．，∴即的長為．【例2】（2023·青海西寧·中考真題）如圖，是⊙O的弦，半徑，垂足為D，弦與交于點F，連接，，．

求證：；若，，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由垂徑定理，得

，由圓周角定理，得；（2）可證得；中，勾股定理求得，于是.（1）證明：∵

是的半徑∴，

（垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條?。啵ㄍ』虻然∷鶎Φ膱A周角相等）（2）解：∵

又∵∴（兩角分別相等的兩個三角形相