2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.1.1任意角6教學(xué)教案新人教A版必修4

PAGE任意角的三角函數(shù)教學(xué)目標(biāo)：1

理解并掌握任意角的三角函數(shù)的定義2

理解并掌握各三角函數(shù)在各象限的符號(hào)教學(xué)重點(diǎn)：任意角三角函數(shù)的定義教學(xué)難點(diǎn)：利用定義計(jì)算任意角的三角函數(shù)值授課類型：新授課

根據(jù)新課程改革的基本理念，我準(zhǔn)備在教學(xué)過程中從問題情境出發(fā)，讓學(xué)生進(jìn)行觀察、操作、探究從而感受數(shù)學(xué)，然后引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、建構(gòu)數(shù)學(xué)，使他們?cè)谶@種過程中感悟并獲得數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法，最終能運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)去解決實(shí)際問題。

一

問題情境

問題1

求的值。

師：等于多少？

生：等于。

我們知道，是一個(gè)銳角，在初中，我們是如何定義銳角三角函數(shù)的？

復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)的定義：

在中，。前面我們把角的概念推廣到了任意角。那么如何求任意角的三角函數(shù)值呢？

問題2

求的值。師：怎么辦？在直角三角形中能表現(xiàn)這個(gè)角嗎？還能不能在直角三角形來求這個(gè)值？生：不能在直角三角形中求出來。師：對(duì)，顯然，不能再用初中的定義，因?yàn)?，這里沒有直角三角形，也就沒有什么對(duì)邊、鄰邊和斜邊。那么，我們應(yīng)該如何對(duì)初中的三角函數(shù)的定義進(jìn)行推廣。這就是我們本節(jié)課要研究和解決的問題。

二

建構(gòu)數(shù)學(xué)【學(xué)生操作】

課件1打開課件1，觀察任意角α的終邊分別位于不同位置時(shí)，三個(gè)比值的變化情況。（請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察這個(gè)課件的演示情況，對(duì)我們以后的學(xué)習(xí)將有很大的幫助。）【教師總結(jié)】隨著α的終邊在軸上及各象限內(nèi)變化，三個(gè)比值也隨著變化；且對(duì)于任何一個(gè)確定的角，每一個(gè)比值都是唯一確定的（終邊在y軸上時(shí)，y/x除外），根據(jù)函數(shù)的定義，它們實(shí)際上構(gòu)成了以角為自變量、以比值為函數(shù)值的函數(shù)。我們把它們分別叫做任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)。對(duì)課件1的說明：隨著α的終邊在軸上及各象限內(nèi)的變化，利用幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示和度量功能，展示三個(gè)比值的變化情況。學(xué)生通過對(duì)課件1的操作，將新授的抽象內(nèi)容形象化，有利于學(xué)生準(zhǔn)確理解和掌握新知識(shí)；它也能為以后學(xué)習(xí)（三角函數(shù)的定義域、值域、三角函數(shù)值的符號(hào)、單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性）作鋪墊。

（一）任意角的三角函數(shù)的定義

根據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中研究角的做法，以角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以它的始邊為軸的非負(fù)半軸，建立直角坐標(biāo)系。設(shè)任意角的終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，它與原點(diǎn)的距離是（）。

當(dāng)為銳角時(shí)，過點(diǎn)作軸的垂線，為垂足，則，，，所以，在中，，，。，，的值與點(diǎn)的選擇無關(guān)。想一想，為什么？事實(shí)上，我們?cè)诮堑慕K邊上另取一點(diǎn)，，過點(diǎn)作軸的垂線，為垂足，則，，，可以證明∽，從而，，。一般地，對(duì)任意角，我們規(guī)定：（1）

比值叫做的正弦，記作，即；（2）

比值叫做的余弦，記作，即；（3）

比值（）叫做的正切，記作，即；對(duì)于確定的角，比值和都惟一確定，故正弦和余弦都是角的函數(shù)，當(dāng)（），角的終邊在軸上，故有，這時(shí)無意義。除此之外，對(duì)于確定的角（）（），比值也是惟一確定的，故正切也是角的函數(shù)。以上三種函數(shù)，都稱為三角函數(shù)。說明：這樣定義以后，（1）當(dāng)是銳角時(shí)，此定義與初中定義相同。（指出對(duì)邊，鄰邊，斜邊所在）（2）當(dāng)（）時(shí)，與的同名三角函數(shù)值應(yīng)該是相等的，即凡是終邊相同的角的三角函數(shù)值相等。

（二）正弦、余弦、正切函數(shù)的值在各象限的符號(hào)規(guī)律。首先，在第一象限內(nèi)討論，由定義知，正弦函數(shù)值的符號(hào)與的符號(hào)相同，而在第一象限內(nèi)，，因此，在第一象限內(nèi)，；同理，余弦函數(shù)值的符號(hào)與的符號(hào)相同，，；對(duì)于正切函數(shù)，由于，，由定義，。同理，我們可以得到，，的值在各象限的符號(hào)。如下圖：

＋

＋

—

＋

—

＋

－

－

－

＋

＋

—

三

數(shù)學(xué)應(yīng)用師：我們已經(jīng)知道了三角函數(shù)的定義，下面我們就根據(jù)定義來解決實(shí)際的問題。請(qǐng)看

例1

已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，求的正弦、余弦、正切值。師：要求三個(gè)三角函數(shù)值，我們需要知道哪些量？生：。師：我們是必須知道這三個(gè)量，還是知道其中兩個(gè)量就行了？生：只需知道其中的兩個(gè)量。師：例1中是否有咱們所需要的兩個(gè)量？生：有。。師：好的。下面就由大家動(dòng)手計(jì)算出這三個(gè)三角函數(shù)的值。師：由三角函數(shù)的定義，我們知道，已知角α終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)就可以求三個(gè)三角函數(shù)值，如果所給終邊上一點(diǎn)含有參數(shù)呢？請(qǐng)看變式1：變式1

已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，求的正弦、余弦、正切值。師：這里的，分別是什么？生：。師：很好。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因此要分情況討論。

以下留給大家完成。師：若已知函數(shù)值，如何確定終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)呢？請(qǐng)看變式2：變式2

已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)且，求的值。師：審題以后，大家有什么想法？生：由三角函數(shù)的定義，把的值用表示出來，然后解得。師：很好。這樣就可以把解出來。大家還有什么想法？生：先由的值確定角的終邊所在象限，從而確定的范圍。這樣在解方程的時(shí)候就避免了增根或失根。師：這位同學(xué)講得很好。在解三角函數(shù)問題時(shí)，要十分“關(guān)注”角的終邊所處位置，從而確定函數(shù)值的符號(hào)。如果告訴你角的終邊在某一直線上，又如何求三角函數(shù)值呢？請(qǐng)看變式3：變式3

已知角的終邊在直線上，求的正弦、余弦、正切值。生：由定義出發(fā)，在直線上任意取一點(diǎn)，就可以求出的正弦、余弦、正切值。師：想法不錯(cuò)。由于直線經(jīng)過一三象限，因此需分情況討論，在兩個(gè)不同的象限的終邊上各取一點(diǎn)，求出的正弦、余弦、正切值。

例2

確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)：

（1）

（2）

（3）

（4）師：如何來確定上述三角函數(shù)值的符號(hào)？生：看角的終邊在第幾象限，由三角函數(shù)定義來確定它的符號(hào)。師：這就需要我們正確的判斷出角的終邊所在位置。再用我們今天學(xué)的知識(shí)解決?？芍^是溫故知新，新舊結(jié)合。下面就請(qǐng)大家練習(xí)一下。（由學(xué)生先練習(xí)，再請(qǐng)學(xué)生回答，然后引入變式1。）變式1

設(shè)是三角形的一個(gè)內(nèi)角，在，，，中，哪些可能取負(fù)值？

師：三角形的內(nèi)角取值有什么范圍？

生：。

師：在這個(gè)范圍內(nèi)，上述三角函數(shù)值，哪些可能取負(fù)值？

生：，。

師：此時(shí)，是什么角？的終邊在第幾象限？

生：是鈍角，的終邊在第二象限。

變式2

若且，則為第幾象限角？

師：這個(gè)問題是說，如果，的值都為負(fù)值，則的終邊在第幾象限？

生：的終邊在第二象限。

變式3

若，則為第幾象限角？

師：這個(gè)問題的實(shí)質(zhì)是什么？請(qǐng)同學(xué)們換句話，把它的意思表達(dá)出來。生：這個(gè)問題是說，如果，的值同號(hào)，則的終邊在第幾象限？師：非常好。此時(shí)的終邊一定在第二象限嗎？生：不一定。還有可能在第一象限。

四

回顧反思：[教師引導(dǎo)，由學(xué)生總結(jié)]

1

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了任意角的三角函數(shù)的定義，它是銳角三角函數(shù)定義的擴(kuò)展，體現(xiàn)了