2021-2022學(xué)年新教材人教A版必修第二冊-8.3.1-棱柱棱錐棱臺的表面積和體積-學(xué)案

8．3簡單幾何體的外表積與體積8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的外表積和體積胡夫金字塔底邊原長230米，高，經(jīng)風(fēng)化腐蝕，現(xiàn)降至，塔的底角為51°51′.【問題1】如何計算金字塔的體積？【問題2】為了防止風(fēng)化腐蝕，需要在金字塔的外表涂上一層保護(hù)液，怎樣計算金字塔的側(cè)面積？【問題3】棱柱、棱錐、棱臺的外表積和體積公式分別是什么？1．棱柱、棱錐、棱臺的外表積多面體的外表積就是圍成多面體各個面的面積的__和__．2．棱柱、棱錐、棱臺的體積(1)棱柱：①棱柱的高：兩底面之間的距離，即從一底面向另一底面作垂線，這點與垂足(垂線與底面的交點)之間的距離；②體積公式：V＝Sh，其中S為底面面積，h為高．(2)棱錐：①棱錐的高：從頂點向底面作垂線，頂點與垂足之間的距離；②體積公式：V＝eq\f(1,3)Sh，其中S為底面面積，h為高．(3)棱臺：①棱臺的高：兩底面之間的距離，即從上底上任意一點向下底作垂線，這點與垂足之間的距離；②棱臺體積：V＝eq\f(1,3)h(S′＋eq\r(S′S)＋S).其中，臺體的上、下底面面積分別為S′，S，高為h.柱體、錐體、臺體體積之間的關(guān)系：等底等高的棱柱和棱錐的體積什么關(guān)系？提示：棱柱的體積是棱錐體積的三倍．1．棱臺的側(cè)面展開圖是由什么圖形組成的？2．等底面面積且等高的兩個同類幾何體的體積什么關(guān)系？3．在三棱錐P-ABC中，VP-ABC，VA-PBC，VB-PAC，VC-PAB的關(guān)系是什么？提示：1.梯形；2.相等；3.相等．觀察教材圖8.3－2，這個漏斗的外表積是怎么組成的？提示：漏斗分為外外表、內(nèi)外表，因此漏斗的外表積是由四棱柱的側(cè)面積與四棱錐的側(cè)面積和的2倍．1．正方體的外表積為96，那么正方體的體積為()A．48eq\r(6)B．64C．16D．96【解析】選B.設(shè)正方體的棱長為a，那么6a2＝96，解得a＝4，所以正方體的體積為43＝64.2．棱長都是3的三棱錐的外表積S為________．【解析】因為三棱錐的四個面是全等的正三角形，所以S＝4×eq\f(\r(3),4)×32＝9eq\r(3).答案：9eq\r(3)根底類型一棱柱、棱錐、棱臺的外表積(數(shù)學(xué)運(yùn)算)1．(2021·湘潭高一檢測)正四棱錐P-ABCD的高為eq\r(7)，且AB＝2，那么正四棱錐P-ABCD的側(cè)面積為()A．2eq\r(2)B．4C．6eq\r(2)D．8eq\r(2)【解析】選D.設(shè)P在底面ABCD上的射影為O，那么O為底面正方形ABCD的中心，取CD的中點E，連接OE，那么OE＝eq\f(1,2)AB＝1，所以PE＝eq\r(PO2＋OE2)＝2eq\r(2)，因為PC＝PD，所以PE⊥CD，所以正四棱錐P-ABCD的側(cè)面積為4S△PCD＝4×eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)＝8eq\r(2).2．側(cè)面都是等腰直角三角形的正三棱錐，底面邊長為a時，該三棱錐的外表積是()A．eq\f(3＋\r(3),4)a2B．eq\f(3,4)a2C．eq\f(3＋\r(3),2)a2D．eq\f(6＋\r(3),4)a2【解析】選A.因為側(cè)面都是等腰直角三角形，故側(cè)棱長等于eq\f(\r(2),2)a，所以S表＝eq\f(\r(3),4)a2＋3×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))eq\s\up12(2)＝eq\f(3＋\r(3),4)a2.3．一個正四棱臺，其上、下底面均為正方形，邊長分別為8cm和18cm，側(cè)棱長為13cm，那么這個正四棱臺的側(cè)面積為________cm2，外表積為________cm2.【解析】由可得正四棱臺側(cè)面梯形的高為h＝eq\r(132－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18－8,2)))\s\up12(2))＝12(cm)，所以S側(cè)＝4×eq\f(1,2)×(8＋18)×12＝624(cm2)，S上底＝8×8＝64(cm2)，S下底＝18×18＝324(cm2)，于是外表積為S＝624＋64＋324＝1012(cm2).答案：6241012關(guān)于棱錐、棱臺的外表積能直接求各個面的面積的可直接求出面積相加，計算時要注意構(gòu)造直角三角形，直角梯形，如圖四棱錐，四棱臺中的直角三角形，直角梯形．微提醒：求錐體、臺體的側(cè)面積的關(guān)鍵是求出側(cè)面三角形、梯形的高．根底類型二棱柱、棱錐、棱臺的體積(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】1.長方體的過一個頂點的三條棱長的比是1∶2∶3，體對角線的長是2eq\r(14)，那么這個長方體的體積是()A．6B．12C．24D．48【解析】選D.設(shè)長方體的過一個頂點的三條棱長分別為x，2x，3x，又體對角線長為2eq\r(14)，那么x2＋(2x)2＋(3x)2＝(2eq\r(14))2，解得x＝2.所以三條棱長分別為2，4，6.所以V長方體＝2×4×6＝48.2．如下圖，三棱錐的頂點為P，PA，PB，PC為三條側(cè)棱，且PA，PB，PC兩兩互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，那么三棱錐P-ABC的體積V＝________．【解析】三棱錐的體積V＝eq\f(1,3)Sh，其中S為底面積，h為高，而三棱錐的任意一個面都可以作為底面，所以此題可把B作為頂點，△PAC作為底面求解．故V＝eq\f(1,3)S△PAC·PB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×4×3＝4.答案：4求幾何體體積的常用方法(1)公式法：直接代入公式求解．(2)等積法：如四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的形式即可．(3)分割法：將幾何體分割成易求解的幾局部，分別求體積．在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，三棱錐B-AB1CA．eq\f(1,6)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,2)【解析】選A.如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長AB＝1，那么三棱錐B-AB1C＝eq\f(1,3)××B1C1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6).綜合類型柱、錐、臺體外表積和體積公式的應(yīng)用(數(shù)學(xué)運(yùn)算)組合體的體積【典例】如圖，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，如此共可截去八個三棱錐，得到一個有十四個面的多面體，它們的棱長都相等，其中八個為正三角形，六個為正方形，稱這樣的多面體為二十四等邊體．假設(shè)該二十四等邊體棱長為1，那么該二十四等邊體的體積為________．【解析】由題知原來正方體棱長為eq\r(2)，那么正方體的體積為2eq\r(2)，又截去的8個三棱錐為全等三棱錐，都有三條互相垂直的棱長且棱長為eq\f(\r(2),2)，故截去體積為8×eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(\r(2),3)，那么此二十四等邊體的體積V＝2eq\r(2)－eq\f(\r(2),3)＝eq\f(5\r(2),3).答案：eq\f(5\r(2),3)關(guān)于組合體的體積首先分清組合體是由棱柱、棱錐、棱臺中那些組合而成，再分別求出這些體積，進(jìn)而求出整個幾何體的體積；其次是利用割、補(bǔ)等方法，將組合看成由柱、錐、臺通過分割、補(bǔ)形而成，利用原來的幾何體體積加上或減去割、補(bǔ)的幾何體的體積，進(jìn)而求出所求幾何體的體積．【加固訓(xùn)練】某幾何體是由兩個全等的長方體和一個三棱柱組合而成，如下圖，其中長方體的長、寬、高分別為4，3，3，三棱柱底面是直角邊分別為4，3的直角三角形，側(cè)棱長為3，那么此幾何體的體積是________，外表積是________．【解析】該幾何體的體積V＝4×6×3＋eq\f(1,2)×4×3×3＝90，外表積S＝3×eq\r(42＋32)＋4×3＋2×eq\f(1,2)×4×3＋3×3＋2×4×3＋2×4×6＋2×3×3＝138.答案：90138外表積、體積公式的綜合應(yīng)用【典例】假設(shè)正方體八個頂點中有四個恰好是正四面體的頂點，那么正方體的外表積與正四面體的外表積之比是()A．eq\r(3)B．eq\r(2)C．eq\f(2,\r(3))D．eq\f(\r(3),2)【解析】選A.如下圖，正方體的A′，C′，D，B的四個頂點可構(gòu)成一個正四面體，設(shè)正方體棱長為a，那么正四面體棱長為eq\r(2)a.所以正方體外表積S1＝6a2，正四面體外表積為S2＝4×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2)a)2＝2eq\r(3)a2，所以eq\f(S1,S2)＝eq\f(6a2,2\r(3)a2)＝eq\r(3).本例的條件不變，試求正方體的體積與正四面體的體積之比．【解析】正方體的體積S1＝a3，正四面的體積相當(dāng)于正方體的體積減去四個三棱錐的體積，所以S2＝a3－4×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×a·a·a＝eq\f(1,3)a3，所以eq\f(S1,S2)＝eq\f(a3,\f(1,3)a3)＝3.關(guān)于外表積、體積公式的綜合應(yīng)用綜合應(yīng)用棱柱、棱錐、棱臺的外表積和體積公式解決綜合問題時，首先確定根本的空間幾何體的根本量，如棱長，高等，其次是熟練利用相應(yīng)的公式進(jìn)行計算．1．棱錐的一個平行于底面的截面把棱錐的高分成1∶2(從頂點到截面與從截面到底面)兩局部，那么這個截面把棱錐的側(cè)面分成兩局部的面積之比等于()A．1∶9B．1∶8C．1∶4D．1∶3【解析】選B.兩個錐體的側(cè)面積之比為1∶9，小錐體與臺體的側(cè)面積之比為1∶8.2．正六棱柱的高為6，底面邊長為4，那么它的外表積為()A．48(3＋eq\r(3))B．48(3＋2eq\r(3))C．24(eq\r(6)＋eq\r(2))D．144【解析】選A.由題意，知側(cè)面積為6×6×4＝144，兩底面積之和為2×eq\f(\r(3),4)×42×6＝48eq\r(3)，所以外表積S＝48(3＋eq\r(3)).3．正三棱臺(上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心)的上、下底面邊長分別為2cm和4cm，側(cè)棱長是eq\r(6)cm，那么該三棱臺的外表積為________cm2.【解析】正三棱臺的外表積即上下兩個正三角形的面積與三個側(cè)面的面積和，其中三個側(cè)面均為等腰梯形，易求出斜高為eq\r(5)cm，故三棱臺的外表積為3×eq\f(1,2)×(2＋4)×eq\r(5)＋eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＋eq\f(1,2)×4×2eq\r(3)＝5