2020-2021學(xué)年北師大版必修四-1.4.3-單位圓與誘導(dǎo)公式-教案2-

1.4.3單位圓與誘導(dǎo)公式教材分析教材的地位和作用本節(jié)教學(xué)內(nèi)容是三組三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程及其簡單應(yīng)用.承上，有任意角三角函數(shù)正弦、余弦和正切的定義、三角函數(shù)線、同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式（一）等；啟下，學(xué)生將學(xué)習(xí)利用誘導(dǎo)公式進行任意角三角函數(shù)的求值化簡以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（包括三角函數(shù)的周期性）等內(nèi)容.同時，學(xué)生在初中就接觸過對稱等知識，對幾何圖形的對稱等知識相當(dāng)熟悉，這些構(gòu)成了學(xué)生的知識基礎(chǔ).誘導(dǎo)公式的作用主要在于把任意角的三角函數(shù)化歸成銳角的三角函數(shù)，體現(xiàn)了把一般化特殊、復(fù)雜化簡單、未知化已知的數(shù)學(xué)思想.目標(biāo)定位誘導(dǎo)公式可以幫助我們把任意角的三角函數(shù)化為銳角三角函數(shù)，但是隨著計算器的普及，上述意義不是很大.我們認為，誘導(dǎo)公式的教學(xué)價值主要體現(xiàn)在以下幾個方面：第一，感受探索發(fā)現(xiàn)，通過幾何對稱這個研究工具，去探索發(fā)現(xiàn)任意角三角函數(shù)間的數(shù)量關(guān)系式，即三角函數(shù)的基本性質(zhì)乃是圓的幾何性質(zhì)（主要是其對稱性質(zhì)）的代數(shù)解析表示.第二，學(xué)會初步應(yīng)用，能夠選用恰當(dāng)?shù)恼T導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)問題并求解.第三，領(lǐng)悟思想方法，在誘導(dǎo)公式的學(xué)習(xí)過程中領(lǐng)悟化歸、數(shù)形結(jié)合等思想方法.第四，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗，為學(xué)生認識任意角的三角函數(shù)既是一個起源于圓周運動的周期函數(shù)又是研究現(xiàn)實世界中周期變化現(xiàn)象的“最有表現(xiàn)力的函數(shù)”做好準備.課型:新授課教學(xué)設(shè)計分析在進行本課教學(xué)設(shè)計時，有以下兩條典型教學(xué)路線可供選擇：（1）兩個角的終邊有哪些特殊的對稱關(guān)系？（2）怎樣把非第一象限的角轉(zhuǎn)化為第一象限的角？筆者最終選擇了第一條路線，主要基于以下兩點考慮：尊重教材的編寫方式：從對教材的分析來看，教材將三角函數(shù)作為一種數(shù)學(xué)模型來定位，力圖在單位圓中借助對稱性來考察對應(yīng)點的坐標(biāo)關(guān)系，從而統(tǒng)整各組誘導(dǎo)公式.教材的編寫處理體現(xiàn)了教材專家的集體智慧和版本教材的一貫特色，教師應(yīng)該努力體會和把握，不宜輕率拋開教材另搞一套.切合學(xué)生的認知水平：利用學(xué)生熟悉的圓及其對稱性研究三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，符合學(xué)生的認知心理.同時，單位圓及其對稱性的表象對學(xué)生推導(dǎo)誘導(dǎo)公式、理解公式之間的內(nèi)在聯(lián)系、形象記憶三角函數(shù)誘導(dǎo)公式都將起到事半功倍的效果.教學(xué)目標(biāo)分析（一）教學(xué)目標(biāo).知識與技能1.能夠借助三角函數(shù)的定義及單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式；2.能夠運用誘導(dǎo)公式，把任意角的三角函數(shù)的化簡、求值問題轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的化簡、求值問題.過程與方法1.經(jīng)歷由幾何直觀探討數(shù)量關(guān)系式的過程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)能力和概括能力；2.通過對誘導(dǎo)公式的探求和運用，培養(yǎng)化歸能力，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.情感態(tài)度與價值觀1.通過對誘導(dǎo)公式的探求，培養(yǎng)學(xué)生的探索能力、鉆研精神和科學(xué)態(tài)度.2.在誘導(dǎo)公式的探求過程中，運用合作學(xué)習(xí)的方式進行，培養(yǎng)學(xué)生團結(jié)協(xié)作的精神.（二）教學(xué)重點、難點教學(xué)重點：探求π－a的誘導(dǎo)公式.π＋a與－a的誘導(dǎo)公式在小結(jié)π－a的誘導(dǎo)公式發(fā)現(xiàn)過程的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生推出.教學(xué)難點：π＋a，－a與角a終邊位置的幾何關(guān)系，發(fā)現(xiàn)由終邊位置關(guān)系導(dǎo)致（與單位圓交點）的坐標(biāo)關(guān)系，運用任意角三角函數(shù)的定義導(dǎo)出誘導(dǎo)公式的“研究路線圖”.教學(xué)方法問題教學(xué)法、合作學(xué)習(xí)法教學(xué)準備教具：三角尺、多媒體課件（幾何畫板）學(xué)具：圓規(guī)、三角尺教學(xué)程序基于以上分析，我們確定了如下的本節(jié)課教學(xué)路線圖：三角函數(shù)值三角函數(shù)值的關(guān)系角的數(shù)量關(guān)系終邊及圓的對稱關(guān)系交點的坐標(biāo)關(guān)系圍繞這個教學(xué)路線（當(dāng)然也是學(xué)生的研究路線），我將教學(xué)分成6個環(huán)節(jié)并設(shè)計成問題串的形式，通過這些問題解構(gòu)教材，讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力，體會數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗。環(huán)節(jié)1問題提出如何利用三角函數(shù)定義求任意角三角函數(shù).教師活動：同學(xué)們，我們已經(jīng)將角的概念已經(jīng)由銳角擴充到了任意角，前面已經(jīng)學(xué)習(xí)過任意角的三角函數(shù)，那么任意角的三角函數(shù)值怎么求呢？先看一個具體的問題：求的正弦值.學(xué)生活動：學(xué)生利用結(jié)合任意角三角函數(shù)定義自主探究并回答問題.【設(shè)計意圖】前面的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)將角的概念從銳角擴充到了任意角，學(xué)習(xí)了任意角三角函數(shù)的定義，接下來自然地會提出任意角的三角函數(shù)值怎么去求.于是，先安排求特殊值再過渡到一般情形比較符合學(xué)生的身心特點和認知規(guī)律，意在培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般歸納問題和抽象問題的能力，引導(dǎo)學(xué)生在求三角函數(shù)值時抓坐標(biāo)、抓角終邊之間的關(guān)系.環(huán)節(jié)2嘗試推導(dǎo)如何利用對稱推導(dǎo)出角πα與角α的三角函數(shù)之間的關(guān)系.教師活動：利用三角函數(shù)定義，我們得到，請大家回憶一下哪一個銳角的正弦值也等于？得到，猜想sin(πα)=sinα成立，并引導(dǎo)學(xué)生利用定義驗證.通過交點的橫縱坐標(biāo)關(guān)系，進而得到：sin(πα)=sinαcos(πα)=cosα，（公式三）tan(πα)=tanα.教師活動：〖思考〗請大家回顧一下，剛才我們是如何獲得這組公式(公式三)的?學(xué)生活動：學(xué)生小組討論并回答問題教師活動：師生共同總結(jié)因為與角α和角π-α終邊關(guān)于y軸對稱且單位圓也關(guān)于y軸對稱，利用這種對稱關(guān)系，得到它們的終邊與單位圓的交點的縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù).于是，我們就得到了角πα與角α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:正弦值相等，余弦值互為相反數(shù)，進而，就得到我們研究三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的路線圖：角的數(shù)量關(guān)系→終邊及圓的對稱關(guān)系→交點的坐標(biāo)關(guān)系→三角函數(shù)值間關(guān)系.【設(shè)計意圖】階段小結(jié)，讓學(xué)生將對稱作為研究三角函數(shù)問題的一種方法使用.將上述研究過程進行梳理，得出“角的數(shù)量關(guān)系→終邊及圓的對稱關(guān)系→交點的坐標(biāo)關(guān)系→三角函數(shù)值間關(guān)系”的研究路線圖.環(huán)節(jié)3自主探究如何利用對稱推導(dǎo)出π+α與α，α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系.教師活動：剛才我們利用單位圓，得到了終邊關(guān)于y軸對稱的角π-α與角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，我們常見的對稱關(guān)系中還有什么情況？學(xué)生活動：學(xué)生回憶相關(guān)知識并回答問題教師活動：兩個角的終邊關(guān)于x軸對稱,這兩個角有怎樣的數(shù)量關(guān)系?三角函數(shù)值之間呢？兩個角的終邊關(guān)于原點對稱呢？學(xué)生活動：學(xué)生以小組為單位討論后，分組匯報并給出論證思路角α與角α的終邊關(guān)于x軸對稱，有：sin(α)=sinα，cos(α)=cosα，（公式四）tan(α)=tanα.角π+α與角α終邊關(guān)于原點O對稱，有：sin(π+α)=sinα，cos(π+α)=cosα，（公式二）tan(π+α)=tanα.教師活動：上面的公式一到四都稱為三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，他們有什么特征呢？結(jié)論：的三角函數(shù)值，等于的同名函數(shù)值，前面加上一個把看成銳角時原函數(shù)值的符號．總結(jié)為一句話：函數(shù)名不變，符號看象限【設(shè)計意圖】從兩個角的終邊關(guān)于y軸對稱的情況進行自然過渡，給學(xué)生留下了自主探究的空間，讓他們再次經(jīng)歷公式的研究過程，從而得出公式二和四，并將問題2研究方法一般化.環(huán)節(jié)4應(yīng)用提升，小試牛刀例：求下列各三角函數(shù)值：(1)；(2)；（3）學(xué)生活動：學(xué)生獨立動腦思考，完成說理，其中后兩小題由學(xué)生板演教師活動：師生共同分析，再作評價教師活動：通過練習(xí)，你能體會出這四組公式的作用嗎？教師活動：師生共同分析用公式一—四把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù),一般可按下列步驟進行:例2化簡：【設(shè)計意圖】初步熟悉誘導(dǎo)公式的使用，讓學(xué)生感悟在解決問題的過程中，如何合理地使用這幾組公式.此外，引導(dǎo)學(xué)生注意同一個三角函數(shù)的求值問題可以采用不同的誘導(dǎo)公式，啟發(fā)學(xué)生這些公式的內(nèi)在關(guān)系和聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)方法的多樣性.環(huán)節(jié)5回顧反思教師活動：請你選擇下面一個或幾個關(guān)鍵詞談一談研究的過程中的體會：知識、方法、思想、收獲、喜悅……學(xué)生活動：知識上，學(xué)會了四組誘導(dǎo)公式；思想方法層面：誘導(dǎo)公式體現(xiàn)了由未知轉(zhuǎn)化為已知的化歸思想；誘導(dǎo)公式所揭示的是終邊具有某種對稱關(guān)系的兩個角三角函數(shù)之間的關(guān)系.主要體現(xiàn)了化歸和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.【設(shè)計意圖】開放式小結(jié)，使得不同的學(xué)生有不同的學(xué)習(xí)體驗和收獲.這些問題的提出，側(cè)重于誘導(dǎo)公式推導(dǎo)方法的回顧和反思，側(cè)重于個體情感體驗的分享和表達，從而區(qū)別于側(cè)重公式規(guī)律的總結(jié)和記憶.環(huán)節(jié)6分層作業(yè)1.閱讀課本23-24頁，體會三角函數(shù)誘導(dǎo)公式推導(dǎo)過程中的思想方法；2.必做題：必做題課本27頁第1、2、3題；3.選做題：角α和角β的終邊還有哪些特殊的位置關(guān)系（比如關(guān)于y=x、y=-x對稱）你能探究出它們的三角函數(shù)值之間的關(guān)系嗎？【設(shè)計意圖】分層作業(yè)有利于不同層次的學(xué)生鞏固知識，提升思維能力.閱讀課本旨在引導(dǎo)學(xué)生教科書是學(xué)習(xí)的根本，閱讀課本有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的回歸課本的學(xué)習(xí)習(xí)慣.而出現(xiàn)選做題目，目的是提供多元化和挑戰(zhàn)性選擇，促使學(xué)有余力的學(xué)生課后思考和自主探究幾組公式之間的內(nèi)在聯(lián)系. .板書設(shè)計教后思考分析1．關(guān)于設(shè)計定位的反思就三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式來說，教學(xué)設(shè)計定位時一般會出現(xiàn)以下幾種傾向：其一，定位于知識的學(xué)習(xí)，學(xué)生知道存在一些公式，可以將任意角的三角函數(shù)進行一些轉(zhuǎn)化。其二，定位于公式的學(xué)習(xí)，學(xué)生努力分析和總結(jié)各組公式的形式規(guī)律，背誦“函數(shù)名不變，符號看象限”等口訣，追求靈活運用等解題能力的提高。公式理解強過公式記憶。關(guān)于公式規(guī)律的總結(jié)和口訣的記憶，當(dāng)然很重要，但這不是第一節(jié)課的重點內(nèi)容。此外，采用本課的利用對稱性的方法來學(xué)習(xí)誘導(dǎo)公式，可以通過圖形的對稱性來形象記憶，可以減輕學(xué)生記憶負擔(dān)，規(guī)避死記硬背現(xiàn)象的發(fā)生。其三，聚焦誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程，強調(diào)對公式產(chǎn)生的過程的深入理解。其四，在關(guān)注知識學(xué)習(xí)的同時，滲透數(shù)學(xué)思想方法的理解和領(lǐng)悟。本課主要涉及數(shù)形結(jié)合、從一般到特殊或從特殊到一般、模型思想、化歸思想、追求簡易等數(shù)學(xué)思想方法。我們認為新授知識是很重要的，而數(shù)學(xué)思想方法是蘊含其中的，應(yīng)該潛移默化地滲透，不能貼標(biāo)簽，更不能因為數(shù)學(xué)思想方法的重要而喧賓奪主地過渡渲染。2．關(guān)于教學(xué)難點的突破1）本節(jié)課的難點在于從問題2出發(fā)，發(fā)現(xiàn)關(guān)于y軸對稱的三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，從而總結(jié)出研究線路圖。從對教材的分析來看，教材將三角函數(shù)作為一種數(shù)學(xué)模型來定位，力圖在單位圓中借助對稱性來考察對應(yīng)點的坐標(biāo)關(guān)系，這樣處理的好處是簡化了任意角的象限分類和化歸，起到了利用直觀的對稱這個工具和研究手法去研究誘導(dǎo)公式的變化規(guī)律的目的，揭示了代數(shù)和幾何的有機結(jié)合和統(tǒng)一。2）任意性循環(huán)上升。在這節(jié)課中，角的任意性是一個教學(xué)難點，為此我們設(shè)置了三個點：（1）問題2中非30°不可嗎？任意角α行不行？（2）幾何畫板拖動演示感受角α的任意性。（3）習(xí)題中進一步深化學(xué)生認識。隨著學(xué)生學(xué)習(xí)的深入，對這個問題還會有進一步的認識。事實上，有許多同學(xué)在一開始是將角α當(dāng)成銳角去處理的，但我在教學(xué)中不過分強調(diào)角α的任意性，因為對待數(shù)學(xué)知識的教學(xué)不能一步到位，不應(yīng)畢其功于一役，而應(yīng)循環(huán)上升，力求順其自然，水到渠成。3．關(guān)于問題串的設(shè)置調(diào)控在本節(jié)課中，我們將教學(xué)設(shè)計成以一以貫之