2024-2025學(xué)年湖南省長沙市長郡斑馬湖中學(xué)高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年湖南省長沙市長郡斑馬湖中學(xué)高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x)，當(dāng)x∈[1,2]時，f(x)=2?x.給出下列四個結(jié)論：①f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱；②f(x)在(1,3)上為減函數(shù)；③f(x)的值域為[?1,1]；④y=f(x)?log3|x|有4個零點，其中正確的結(jié)論是A.①④ B.②③ C.①③④ D.①②2.在一個盒子中有紅球和黃球共5個球，從中不放回的依次摸出兩個球，事件A=“第二次摸出的球是紅球”，事件B=“兩次摸出的球顏色相同”，事件C=“第二次摸出的球是黃球”，若P(A)=25，則下列結(jié)論中錯誤的是(

)A.P(B)=25B.P(C)=1?P(A)C.P(A∪B)=43.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的外接球的表面積等于(????)．

A.73π B.16π C.8π 4.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠A=60°，且△ABC的面積為3，若b+c=6，則a=(

)A.26 B.5 C.305.在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E、F分別為棱AA1、BB1的中點，GA.3

B.22

C.6.i是虛數(shù)單位，則2i1+i?1=A.1 B.?1 C.i D.?i7.某商場做促銷抽獎活動，規(guī)則如下：商家在箱中裝入大小相同的20個球，其中6個紅球，14個黑球，參加活動的人，每人都有放回地取球2次，每次從中任取一球，每個紅球兌換20元，每個黑球兌換5元，則每位參與者獲獎的期望是(

)A.15.5元 B.31元 C.9.5元 D.19元8.△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足為D.若BC=m，∠B=α，則AD長為(

)A.msin2α B.mcos2α二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖所示，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到八個面為正三角形、六個面為正方形的一種半正多面體.已知AB=2，則關(guān)于如圖半正多面體的下列說法中，正確的有(

)A.AD與BC所成的角為60°

B.該半正多面體過A，B，C三點的截面面積為33

C.該半正多面體的體積為163

D.該半正多面體的頂點數(shù)V、面數(shù)F、棱數(shù)10.i是虛數(shù)單位，下列四個說法中，正確的選項有(

)A.若復(fù)數(shù)z滿足z?z?=0

則z=0

B.若復(fù)數(shù)z1，z2滿足|z1+z2|=|z1?z2|，則11.如圖，已知△ABC是邊長為4的等邊三角形，D，E分別是AB，AC的中點，將△ADE沿著DE翻折，使點A運動到點P處，得到四棱錐P?BCED，則(

)A.對任意的點P，始終有BC/?/平面PDE

B.對任意的點P，始終有BC⊥AP

C.翻折過程中，四棱錐P?BCED的體積有最大值9

D.存在某個點P的位置，滿足平面PDE⊥平面PBC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知|a|=5，|a+b|=5213.已知a=(1,1)，b=(2,?1)，c=(x,3)；若(a+2b14.已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓x2100+y2b2=1(0<b<10)的左、右焦點，P是橢圓上一點．

(1)PF1+PF2的值為

；四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知平面向量a=(2,3)，b=(?1,k)．

(1)若a+b與a?b垂直.求k；

(2)若向量c=(5,1)，若16.(本小題15分)

某射擊隊舉行一次娛樂活動，該活動分為兩階段，第一階段是選拔階段，甲、乙兩位運動員各射擊100次，所得成績中位數(shù)大的運動員參加下一階段，第二階段是游戲階段，游戲規(guī)則如下：

①有4次游戲機會．

②依次參加A，B，C游戲．

③前一個游戲勝利后才可以參加下一個游戲，若輪到C游戲后，無論勝利還是失敗，一直都參加C游戲，直到4次機會全部用完．

④參加A游戲，則每次勝利可以獲得獎金50元；參加B游戲，則每次勝利可以獲得獎金100元；參加C游戲，則每次勝利可以獲得獎金200元．

已知甲參加每一個游戲獲勝的概率都是12，乙參加每一個游戲獲勝的概率都是13，甲、乙參加每次游戲相互獨立，第一階段甲、乙兩位運動員射擊所得成績的頻率分布直方圖如下：

(1)甲、乙兩位運動員誰參加第二階段游戲？并說明理由．

(2)在(1)的基礎(chǔ)上，解答下列兩問．

(ⅰ)求該運動員能參加C游戲的概率．

(ⅱ)記x為該運動員最終獲得的獎金額，P為獲得每個獎金額對應(yīng)的概率，請用適當(dāng)?shù)谋硎痉ū硎綪關(guān)于x的函數(shù)．17.(本小題15分)

如圖，在四邊形ABCD中，∠B=120°，AB=2，AD=3，且BC=kAD,AB?BC=1，若P，Q為線段AD上的兩個動點，且|PQ|=1．

(1)當(dāng)P為AD的中點時，求CP18.(本小題17分)

如圖，已知?ABCD，直線BC⊥平面ABE，F(xiàn)為CE的中點．

(1)求證：直線AE//平面BDF；

(2)若∠AEB=90°，求證：平面BDF⊥平面BCE．19.(本小題17分)

已知向量a=(x,1)，b=(m,log2(4x+1))，定義函數(shù)f(x)=a?b．

(1)若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，求實數(shù)m的值；

(2)當(dāng)m>0參考答案1.A

2.C

3.D

4.A

5.D

6.C

7.D

8.C

9.ABD

10.AD

11.AB

12.5

13.?15

14.208

15.解：(1)因為a=(2,3)，b=(?1,k)，

所以a+b=(1,3+k)，a?b=(3,3?k)

因為a+b與a?b垂直，

所以(a+b)?(a?b)=1?3+(3+k)(3?k)=0，

整理得：?k2+12=0，解得k=±23；

(2)因為a=(2,3)，b=(?1,k)，c=(5,1)，

所以a+2b=(0,3+2k)，16.解：(1)甲運動員成績位于[50,80)的頻率為0.3，則其中位數(shù)大于80，

而乙運動員成績位于[50,80)的頻率為0.6，則其中位數(shù)小于80，

所以甲運動員參加第二階段游戲．

(2)(i)若甲能參加C游戲，則A，B游戲至多共使用3次機會，

①A，B游功共使用3次機會，則概率P1=12×12=14，

②A，B游功共使用3次機會，則概率P2=12×12×12+12×12×12=14，

所以甲能參加C游戲的概率為14+14=12．

(ii)由甲參加每個游戲獲勝的概率都是12，得參加完4次游戲后的每個結(jié)果發(fā)生的概率都為116，

①A游戲使用了4次，則x=0或50；

②A游戲使用了3次，則x=50或150；

③A游戲使用了2次，B游戲使用2次，則x=50或150；

④A游戲使用了2次，B游戲使用1次，則x=150或350；

⑤A游戲使用了1次，B游戲使用3次，則x=50或150；

⑥A游戲使用了1次，B游戲使用2次，則x=150或350；

⑦A游戲使用了1次，B游戲使用1x050150350550P11311

17.解：(1)由BC=kAD，可得BC/?/AD，

因為AB?BC=1,∠B=120°,AB=2，

所以AB?BC=|AB||BC|cos(180°?B)=2|BC|×12=1，解得|BC|=1，所以BC=1，

又因為P為AD的中點，

所以CP=CB+BA+AP=CB+BA+12AD=BA+12BC，

18.證明：(1)設(shè)AC∩BD=G，連接FG．

由四邊形ABCD為平行四邊形，得G是AC的中點．

又∵F是EC中點，

∴在△ACE中，F(xiàn)G/?/AE，

∵AE?平面BDF，F(xiàn)G?平面BDF，

∴AE/?/平面BDF；

(2)∵∠AEB=90°，

∴AE⊥BE．

又∵直線BC⊥平面ABE，AE?平面ABE，

∴AE⊥BC．

又BC∩BE=B，BC?平面BCE，BE?平面BCE，

∴直線AE⊥平面BCE．

由(1)知，F(xiàn)G/?/AE，

∴直線FG⊥平面BCE，

又直線FG?平面BDF，

∴平面BDF⊥平面BCE．

19.解：(1)f(x)=a?b=log2(4x+1)+mx，定義域為R，

若f(x)是偶函數(shù)，則有f(?x)=f(x)恒成立，即：log2(4?x+1)?mx=log