2021-2022學年新教材人教A版必修第二冊-10.3.1-頻率的穩(wěn)定性-學案

10．3.1頻率的穩(wěn)定性歷史上有很多學者做了擲硬幣試驗，有詳細記載的學者的試驗結(jié)果如下表：試驗者拋擲次數(shù)(n)正面朝上次數(shù)(m)德·摩根20481061蒲豐40402048費勒100004979皮爾遜120006019由上表可知，擲硬幣試驗中，正面朝上的頻率在哪個數(shù)值附近波動？【問題1】這些學者擲硬幣試驗中，正面朝上的頻率分別是多少？【問題2】你能推斷擲硬幣試驗中，正面朝上的概率嗎？【問題3】頻率與概率有何關(guān)系？頻率的穩(wěn)定性頻率概率性質(zhì)具有穩(wěn)定性是一個常數(shù)范圍[0，1]頻率的穩(wěn)定性一般地，隨著試驗次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A).稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性．因此可以用頻率fn(A)估計概率P(A).1．本質(zhì)：頻率本身是隨機的，在試驗前不能確定，做同樣次數(shù)的重復(fù)試驗得到事件的頻率會不同．而概率是一個確定的常數(shù)，是客觀存在的，與每次試驗無關(guān)．頻率是概率的近似值，隨著試驗次數(shù)的增加，頻率會越來越接近概率．2．混淆：一定不要混淆頻率與概率的關(guān)系．3．對頻率的理解：(1)隨機性：在任何確定次數(shù)的隨機試驗中，一個隨機事件A發(fā)生的頻率具有隨機性．(2)穩(wěn)定性：如果在n次重復(fù)進行的試驗中，事件A發(fā)生的頻率eq\f(m,n)，當n很大時，可以認為事件A發(fā)生的概率P(A)的估計值為eq\f(m,n).隨機事件在一次試驗中是否發(fā)生與概率的大小有什么關(guān)系？提示：隨機事件的概率說明了隨機事件發(fā)生的可能性的大小，但并不表示概率大的事件一定發(fā)生，概率小的事件一定不發(fā)生．1.頻率與概率可以相等嗎？2．小概率事件就是不可能發(fā)生的事件嗎？3．一個事件發(fā)生的概率是隨著試驗次數(shù)的變化而變化的嗎？4．頻率能反映隨機事件發(fā)生的可能性大小嗎？提示：1.可以；2.不是；3.不是；4.能．教材P251“擲硬幣試驗〞中，如果同學甲再重復(fù)做25次試驗，他記錄的A事件發(fā)生的次數(shù)一定與上次相同嗎？提示：不一定．1．某人將一枚硬幣連拋20次，正面朝上的情況出現(xiàn)了12次，假設(shè)用A表示事件“正面向上〞，那么A的()A．頻率為eq\f(3,5)B．概率為eq\f(3,5)C．頻率為12D．概率約為eq\f(3,5)【解析】選A.拋硬幣20次，正面朝上出現(xiàn)了12次，記事件A＝“正面向上〞，所以A的頻率為eq\f(12,20)＝eq\f(3,5).2．如果袋中裝有數(shù)量差異很大而大小相同的白球和黃球(只是顏色不同)假設(shè)干個，從中任取1球，取了10次有7個白球，估計袋中數(shù)量較多的是________球．【解析】取10次球有7次是白球，那么取出白球的頻率是0.7，故可估計袋中數(shù)量較多的是白球．答案：白根底類型一頻率與概率的關(guān)系(數(shù)學抽象)1．在n次重復(fù)進行的試驗中，事件A發(fā)生的頻率為eq\f(m,n)，當n很大時，那么P(A)與eq\f(m,n)的大小關(guān)系是()A．P(A)≈eq\f(m,n)B．P(A)<eq\f(m,n)C．P(A)>eq\f(m,n)D．P(A)＝eq\f(m,n)【解析】選A.在n次重復(fù)進行的試驗中，事件A發(fā)生的頻率為eq\f(m,n)，當n很大時，eq\f(m,n)越來越接近P(A)，因此我們可以用eq\f(m,n)近似地代替P(A).2．試題中共8道單項選擇題，每道題有4個選項，其中只有1個選項是正確的．某同學說：“每個選項正確的概率是eq\f(1,4)，假設(shè)每題都選擇第一個選項，那么一定有3道題的選擇結(jié)果正確〞．這句話()A．正確B．錯誤C．有一定道理D．無法解釋【解析】選B.從四個選項中正確選擇選項是一個隨機事件，eq\f(1,4)是指這個事件發(fā)生的概率，實際上，做8道選擇題相當于做8次試驗，每次試驗的結(jié)果是隨機的，因此每題都選擇第一個選項可能沒有一個正確，也可能有1個，2個，3個，…，8個正確．因此該同學的說法是錯誤的．3．某射擊教練評價一名運發(fā)動時說：“你射中的概率是90%.〞你認為下面兩個解釋中能代表教練的觀點的為________(填序號).①該射擊運發(fā)動射擊了100次，恰有90次擊中目標；②該射擊運發(fā)動射擊一次，中靶的時機是90%.【解析】能代表教練的觀點的為該射擊運發(fā)動射擊一次，中靶的時機是90%.答案：②對頻率與概率的理解(1)頻率是概率的近似值，隨著試驗次數(shù)的增加，頻率會越來越接近概率．(2)頻率本身是隨機的，在試驗前不能確定．(3)概率是一個確定的常數(shù)，是客觀存在的，在試驗前已經(jīng)確定，與試驗次數(shù)無關(guān)．根底類型二游戲的公平性(數(shù)學建模、數(shù)學運算)下面有兩個游戲規(guī)那么，袋子中分別裝有紅球和白球，從袋中無放回地取球，分別計算甲獲勝的概率，并說明哪個游戲是公平的？游戲1游戲22個紅球和2個白球3個紅球和1個白球取1個球，再取1個球取1個球，再取1個球取出的兩個球同色→甲勝取出的兩個球同色→甲勝取出的兩個球不同色→乙勝取出的兩個球不同色→乙勝【解析】在游戲1中，取兩球同色的概率為：eq\f(2,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(2,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)，取兩球異色的概率為：eq\f(2,4)×eq\f(2,3)＋eq\f(2,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)，所以甲獲勝的概率為eq\f(1,3)，因此游戲1中規(guī)那么不公平．游戲2中，取兩球同色的概率為：eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,2)，取兩球異色的概率為：eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)×eq\f(3,3)＝eq\f(1,2)，所以甲獲勝的概率為eq\f(1,2)，因此游戲2中規(guī)那么是公平的．游戲規(guī)那么公平的判斷標準在各類游戲中，如果每人獲勝的概率相等，那么游戲就是公平的，這就是說是否公平只要看獲勝的概率是否相等．甲、乙兩人做游戲，以下游戲中不公平的是()A．拋一枚骰子，向上的點數(shù)為奇數(shù)那么甲勝，向上的點數(shù)為偶數(shù)那么乙勝B．同時拋擲兩枚硬幣，恰有一枚正面向上那么甲勝，兩枚都是正面向上那么乙勝C．從一副不含大、小王的撲克牌中抽一張，撲克牌是紅色那么甲勝，是黑色那么乙勝D．甲、乙兩人各寫一個數(shù)字，假設(shè)是同奇或同偶那么甲勝，否那么乙勝【解析】選B.A項，P(點數(shù)為奇數(shù))＝P(點數(shù)為偶數(shù))＝eq\f(1,2)；B項，P(恰有一枚正面向上)＝eq\f(1,2)，P(兩枚都正面向上)＝eq\f(1,4)；C項，P(牌色為紅)＝P(牌色為黑)＝eq\f(1,2)；D項，P(同奇或同偶)＝P(奇偶不同)＝eq\f(1,2).綜合類型頻率穩(wěn)定性的應(yīng)用(數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析)用頻率估計概率下表是某品牌乒乓球的質(zhì)量檢查統(tǒng)計表：抽取球數(shù)408015040010002000優(yōu)等品數(shù)36761443829481904優(yōu)等品頻率(1)計算各組優(yōu)等品頻率，填入上表：(2)根據(jù)頻率的穩(wěn)定性估計事件“抽取的是優(yōu)等品〞的概率．【解析】(1)根據(jù)優(yōu)等品頻率＝eq\f(優(yōu)等品數(shù),抽取球數(shù))，可得優(yōu)等品的頻率從左到右依次為：0.9，0.95，0.96，0.955，0.948，0.952.(2)由(1)可知乒乓球抽取的優(yōu)等品頻率逐漸穩(wěn)定在0.95附近，故估計優(yōu)等品的概率是0.95.用頻率估計概率時的關(guān)注點(1)在實際問題中，常用事件發(fā)生的頻率作為概率的估計值．(2)通過公式fn(A)＝eq\f(nA,n)＝eq\f(m,n)計算出頻率，再由頻率估算概率．(3)在用頻率估計概率時，要注意試驗次數(shù)n不能太小，只有當n很大時，頻率才會呈現(xiàn)出規(guī)律性，即在某個常數(shù)附近波動，且這個常數(shù)就是概率．【加固訓練】表一和表二分別表示從甲、乙兩個廠家隨機抽取的某批籃球產(chǎn)品的質(zhì)量檢查情況：表一抽取球數(shù)n5010020050010002000優(yōu)等品數(shù)m45921944709541902優(yōu)等品頻率eq\f(m,n)表二抽取球數(shù)n7013031070015002000優(yōu)等品數(shù)m6011628263713391806優(yōu)等品頻率eq\f(m,n)(1)分別計算表一和表二中籃球是優(yōu)等品的各個頻率(結(jié)果保存到小數(shù)點后兩位)；(2)假設(shè)從兩個廠家生產(chǎn)的這批籃球產(chǎn)品中任取一個，質(zhì)量檢查為優(yōu)等品的概率分別是多少？(3)假設(shè)兩廠的籃球價格相同，你打算從哪一廠家購貨？【解析】；表二中“籃球是優(yōu)等品〞的各個頻率為0.86，0.89，0.91，0.91，0.89，0.90.(2)由(1)可知，抽取的籃球數(shù)不同，隨機事件“籃球是優(yōu)等品〞的頻率也不同．表一中的頻率都在常數(shù)0.95的附近擺動，那么在甲廠隨機抽取一個籃球檢測時，質(zhì)量檢查為優(yōu)等品的概率大約為0.95；表二中的頻率都在常數(shù)0.90的附近擺動，那么在乙廠隨機抽取一個籃球檢測時，質(zhì)量檢查為優(yōu)等品的概率大約為0.90.(3)根據(jù)概率的定義可知：概率是從數(shù)量上反映一個隨機事件發(fā)生可能性的大?。驗镻甲>P乙，表示甲廠生產(chǎn)出來的籃球是優(yōu)等品的概率更大．因此應(yīng)該選擇甲廠生產(chǎn)的籃球．概率的實際應(yīng)用【典例】如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現(xiàn)隨機抽取100位從A地到火車站的人進行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下：所用時間(分鐘)10～2020～3030～4040～5050～60選擇L1的人數(shù)612181212選擇L2的人數(shù)0416164(1)試估計40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率；(2)分別求通過路徑L1和L2所用時間落在上表中各時間段內(nèi)的頻率；(3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允許的時間內(nèi)趕到火車站，試通過計算說明，他們應(yīng)如何選擇各自的路徑．【解析】(1)共調(diào)查了100人，其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，用頻率估計概率，可得所求概率為eq\f(44,100)＝0.44.(2)選擇L1的有60人，選擇L2的有40人，故由調(diào)查結(jié)果得所求各頻率為所用時間(分鐘)10～2020～3030～4040～5050～60L1的頻率L2的頻率0(3)記事件A1，A2分別表示甲選擇L1和L2時，在40分鐘內(nèi)趕到火車站；記事件B1，B2分別表示乙選擇L1和L2時，在50分鐘內(nèi)趕到火車站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)>P(A2)，所以甲應(yīng)選擇L1；P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，P(B2)>P(B1)，所以乙應(yīng)選擇L2.概率的實際應(yīng)用由于概率表達了隨機事件發(fā)生的可能性，所以在現(xiàn)實生活中我們可以根據(jù)隨機事件概率的大小去預(yù)測事件能否發(fā)生．從而對某些事情作出決策．當某隨機事件的概率未知時，可用樣本出現(xiàn)的頻率去近似估計總體中該事件發(fā)生的概率．【加固訓練】某保險公司利用簡單隨機抽樣的方法對投保車輛進行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計如下：賠付金額(元)01000200030004000車輛數(shù)(輛)500130100150120①假設(shè)每輛車的投保金額均為2800元，估計賠付金額大于投保金額的概率；②在樣本車輛中，車主是新司機的占10%，在賠付金額為4000元的樣本車輛中，車主是新司機的占20%，估計在已投保車輛中，新司機獲賠金額為4000元的概率．【解析】①設(shè)A表示事件“賠付金額為3000元〞，B表示事件“賠付金額為4000元〞，以頻率估計概率得P(A)＝eq\f(150,1000)＝0.15，P(B)＝eq\f(120,1000)＝0.12.由于投保金額為2800元，賠付金額大于投保金額對應(yīng)的情形是賠付金額為3000元和4000元，所以其概率為P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.②設(shè)C表示事件“投保車輛中新司機獲賠4000元〞，由，可得樣本車輛中車主為新司機的有0.1×1000＝100(輛)，而賠付金額為4000元的車輛中，車主為新司機的有0.2×120＝24(輛)，所以樣本車輛中新司機車主獲賠金額為4000元的頻率為eq\f(24,100)＝0.24，由頻率估計概率得P(C)＝0.24.創(chuàng)新題型諺語(成語)中的概率問題(數(shù)學抽象)【典例】“不怕一萬，就怕萬一〞這句民間諺語說明()A.小概率事件雖很少發(fā)生，但也可能發(fā)生，需提防B.小概率事件很少發(fā)生，不用怕C.小概率事件就是不可能事件，不會發(fā)生D.大概率事件就是必然事件，一定發(fā)生【解析】選A.因為這句諺語是提醒人們需提防小概率事件．(1)理解概率的意義(2)結(jié)合概率理解諺語(成語)【加固訓練】成語“千載難逢〞意思是說某事()D.為不可能事件，根本不會發(fā)生【解析】選C.根據(jù)概率的意義可判斷A、B、D都不正確．1．以下說法一定正確的選項是()A.一名籃球運發(fā)動，號稱“百發(fā)百中〞，假設(shè)罰球三次，不會出現(xiàn)三投都不中的情況eq\f(1,6)，那么擲6次一定會出現(xiàn)一次2C.假設(shè)買彩票中獎的概率為萬分之一，那么買一萬元的彩票一定會中獎一元【解析】選D.A錯誤，概率小不代表一定不發(fā)生；B錯誤，概率不等同于頻率；C錯誤，概率是預(yù)測，不必然出現(xiàn)；D正確，隨機事件發(fā)生的概率是屢次試驗的穩(wěn)定值，與試驗次數(shù)無關(guān)．2．在給病人動手術(shù)之前，外科醫(yī)生會告知病人或家屬一些情況，其中有一項為哪一項說這種手術(shù)的成功率大約是99%.以下解釋正確的選項是()A.100個手術(shù)有99個手術(shù)成功，有1個手術(shù)失敗C.99%的醫(yī)生能做這個手術(shù)，另外1%的醫(yī)生不能做這個手