2021-2022學(xué)年新教材人教A版必修第二冊-10.1.4-概率的基本性質(zhì)-學(xué)案

10.1.4概率的根本性質(zhì)甲、乙兩人下棋，甲不輸?shù)母怕适莂，兩人下成平局的概率是b.【問題1】a，b的取值范圍是什么？【問題2】事件“甲不輸〞、“兩人下成平局〞、“甲贏〞是什么關(guān)系？【問題3】甲贏的概率是多少？概率的根本性質(zhì)性質(zhì)1：對任意的事件A，都有__P(A)≥0__；性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0．性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B).推廣如果事件A1，A2，…，Am兩兩互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am發(fā)生的概率等于這m個事件分別發(fā)生的概率之和，即P(A1∪A2∪…∪Am)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am)．性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B).性質(zhì)5：如果A?B，那么P(A)≤P(B)．性質(zhì)6：設(shè)A，B是一個隨機(jī)試驗中的兩個事件，那么有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．1.本質(zhì)：概率的根本性質(zhì)，描述了概率的取值范圍，特殊事件的概率公式．2．混淆：(1)只有當(dāng)事件A與事件B互斥時，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；假設(shè)事件A與事件B不互斥，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)；(2)如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(A)＋P(B)＝1.其逆命題不一定成立．1.任一事件的概率總在(0，1)內(nèi)嗎？2．事件A與B的和事件的概率一定大于事件A的概率嗎？3．假設(shè)P(A)＝1－P(B)，那么事件A與B是對立事件嗎？4．必然事件的概率一定是1嗎？提示：1.不是；2.不一定；3.不一定；4.是．教材P241性質(zhì)6公式下面一行“顯然，性質(zhì)3是性質(zhì)6的特殊情況〞，為什么？提示：性質(zhì)6：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，是求任意兩個事件的并事件的概率的公式，如果事件A與B互斥，那么A∩B＝?，所以P(AB)＝0，公式就變?yōu)镻(A∪B)＝P(A)＋P(B)，即性質(zhì)3.1．A與B是對立事件，且P(A)＝0.2，P(B)＝________．【解析】因為A與B對立，所以P(B)＝1－P(A)＝1－0.2＝0.8.2．一枚均勻的正六面體骰子，設(shè)A表示事件“出現(xiàn)3點〞，B表示事件“出現(xiàn)偶數(shù)點〞，那么P(A∪B)等于________．【解析】顯然事件A與事件B互斥，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,6)＋eq\f(3,6)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)根底類型一互斥事件的概率(邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)1.假設(shè)A，B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(A∪B)＝0.5，那么P(B)等于()A．0.3B．0.7C．0.1D．1【解析】選A.因為A，B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5，因為P(A)＝0.2，所以P(B)＝0.5－0.2＝0.3.2．圍棋盒子中有多粒黑子和白子，從中取出2粒都是黑子的概率為eq\f(1,7)，從中取出2粒都是白子的概率是eq\f(12,35)，那么從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是()A．eq\f(1,7)B．eq\f(12,35)C．eq\f(17,35)D．1【解析】選C.設(shè)“從中取出2粒都是黑子〞為事件A，“從中取出2粒都是白子〞為事件B，“任意取出2粒恰好是同一色〞為事件C，那么C＝A∪B，且事件A與事件B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,7)＋eq\f(12,35)＝eq\f(17,35).即任意取出2粒恰好是同一色的概率為eq\f(17,35).3．某城市的空氣質(zhì)量狀況如下表所示：污染指數(shù)T3060100110130140概率Peq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(7,30)eq\f(2,15)eq\f(1,30)其中污染指數(shù)T≤50時，空氣質(zhì)量為優(yōu)；50＜T≤100時，空氣質(zhì)量為良；100＜T≤150時，空氣質(zhì)量為輕微污染．該城市空氣質(zhì)量到達(dá)良或優(yōu)的概率為________．【解析】所求概率為eq\f(1,10)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)互斥事件的概率的加法公式的關(guān)注點(1)公式：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；(2)條件：A，B兩事件是互斥事件；(3)目的：求互斥的兩個事件的并事件的概率；(4)推廣：公式可推廣為求有限個互斥事件的并事件的概率．根底類型二對立事件的概率(邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)【典例】(1)某射手在一次射擊中，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)的概率分別為0.2，0.3，0.1，那么此射手在一次射擊中不超過8環(huán)的概率為()B．0.3C【解析】選A.此射手在一次射擊中不超過8環(huán)的概率為1－0.2－0.3＝0.5.(2)同時拋擲兩枚骰子，既不出現(xiàn)5點也不出現(xiàn)6點的概率為eq\f(4,9)，那么5點或6點至少出現(xiàn)一個的概率是________.【解析】記事件A＝“既不出現(xiàn)5點也不出現(xiàn)6點〞，那么P(A)＝eq\f(4,9)，事件B＝“5點或6點至少出現(xiàn)一個〞．因A∩B＝?，A∪B為必然事件，故A與B為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)＝1－eq\f(4,9)＝eq\f(5,9).答案：eq\f(5,9)公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))的應(yīng)用說明(1)當(dāng)直接求某一事件的概率較為復(fù)雜或根本無法求時，常常使用該公式轉(zhuǎn)化為求其對立事件的概率．(2)該公式的使用實際是運用逆向思維(正難那么反)，比擬適合含有“至多〞，“至少〞，“最少〞等關(guān)鍵詞語型題目．一商店有獎促銷活動中只有一等獎與二等獎兩個獎項，其中中一等獎的概率為0.1，中二等獎的概率為0.25，那么不中獎的概率為________．【解析】中獎的概率為0.1＋0.25＝0.35，中獎與不中獎互為對立事件，所以不中獎的概率為1－0.35＝0.65.【加固訓(xùn)練】在數(shù)學(xué)考試中，小明的成績在90分及90分以上的概率是0.18，在80～89分(包括80分與89分，下同)的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，60分以下的概率是0.07.計算以下事件的概率：(1)小明在數(shù)學(xué)考試中取得80分及80分以上的成績；(2)小明考試及格．【解析】分別記小明的成績在“90分及90分以上〞，在“80～89分〞，在“70～79分〞，在“60～69分〞為事件B，C，D，E，顯然這四個事件彼此互斥．(1)小明的成績在80分及80分以上的概率是P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69..法二：因為小明考試不及格的概率是0.07，所以小明考試及格的概率是1－0.07＝0.93.綜合類型概率性質(zhì)的綜合應(yīng)用(數(shù)學(xué)建模、邏輯推理)與古典概型的綜合應(yīng)用【典例】一個盒子里有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字1，2，3，這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同．隨機(jī)有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足|a－b|＝c〞的概率；(2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同〞的概率．【解析】(1)由題意知，(a，b，c)所有的可能結(jié)果為(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27種．設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿足|a－b|＝c〞為事件A，“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a－b＝c〞為事件B，“抽取的卡片上的數(shù)字滿足b－a＝c〞為事件C.那么事件B包括(2，1，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，共3種，所以P(B)＝eq\f(3,27)＝eq\f(1,9)；事件C包括(1，2，1)，(1，3，2)，(2，3，1)，共3種，所以P(C)＝eq\f(3,27)＝eq\f(1,9).由于事件B與事件C是互斥事件，且A＝B∪C，所以P(A)＝P(B)＋P(C)＝eq\f(2,9).即“抽取的卡片上的數(shù)字滿足|a－b|＝c〞的概率為eq\f(2,9).(2)設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同〞為事件B，那么事件B的對立事件eq\x\to(B)包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3種，所以P(B)＝1－P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(3,27)＝eq\f(8,9).即“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同〞的概率為eq\f(8,9).本例條件不變，求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c〞的概率．【解析】設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c〞為事件A，那么事件A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3種．所以P(A)＝eq\f(3,27)＝eq\f(1,9).即“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c〞的概率為eq\f(1,9).與古典概型的綜合問題的轉(zhuǎn)化策略(1)設(shè)法把一個復(fù)雜事件分拆為幾個互斥事件，然后求出各事件的概率，用加法公式得出結(jié)果．(2)當(dāng)直接計算復(fù)合條件的事件的概率比擬麻煩時，可間接地計算出其對立事件的概率，再用對立事件的概率公式求解．【加固訓(xùn)練】某學(xué)校的籃球隊、羽毛球隊、乒乓球隊各有10名隊員，某些隊員不止參加了一支球隊，具體情況如下圖，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一名隊員，求：(1)該隊員只屬于一支球隊的概率；(2)該隊員最多屬于兩支球隊的概率．【解析】分別令“抽取一名隊員只屬于籃球隊、羽毛球隊、乒乓球隊〞為事件A，B，C.由圖知3支球隊共有球員20名，那么P(A)＝eq\f(5,20)，P(B)＝eq\f(3,20)，P(C)＝eq\f(4,20).(1)令“抽取一名隊員，該隊員只屬于一支球隊〞為事件D.那么D＝A＋B＋C，因為事件A，B，C兩兩互斥，所以P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(5,20)＋eq\f(3,20)＋eq\f(4,20)＝eq\f(3,5).(2)令“抽取一名隊員，該隊員最多屬于兩支球隊〞為事件E，那么eq\x\to(E)為“抽取一名隊員，該隊員屬于3支球隊〞，所以P(E)＝1－P(eq\x\to(E))＝1－eq\f(2,20)＝eq\f(9,10).與統(tǒng)計圖表的綜合應(yīng)用2021年被稱為“新高考元年〞，隨著上海、浙江兩地順利實施“語數(shù)外＋3”新高考方案，新一輪的高考改革在全國推進(jìn)．某學(xué)校選出高一的200名學(xué)生進(jìn)行了“學(xué)生模擬選課數(shù)據(jù)〞調(diào)查，每個學(xué)生只能從表格中的4種課程組合選擇一種學(xué)習(xí)．模擬選課數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表：組合物化生A政歷地B物化地C生歷地D男生E4052520女生F15551030從這200名學(xué)生中隨機(jī)選一名學(xué)生，求以下概率：(1)P(A)，P(C)，P(E)；(2)P(AC)，P(AE)；(3)P(A∪C)，P(A∪E).【解析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)，男生E有90人，選A，C組合的人數(shù)分別為55人、35人，故：(1)P(A)＝eq\f(55,200)＝eq\f(11,40)，P(C)＝eq\f(35,200)＝eq\f(7,40)，P(E)＝eq\f(90,200)＝eq\f(9,20).(2)因為A∩C＝?，所以P(AC)＝0；因為事件A∩E有40人，所以P(AE)＝eq\f(40,200)＝eq\f(1,5).(3)事件A、C是互斥事件，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A∪C))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C))＝eq\f(11,40)＋eq\f(7,40)＝eq\f(9,20)；事件A、E不是互斥事件，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A∪E))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(E))－Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(AE))＝eq\f(11,40)＋eq\f(9,20)－eq\f(1,5)＝eq\f(21,40).概率與統(tǒng)計圖表的綜合問題的關(guān)注點(1)讀懂統(tǒng)計圖表；(2)把頻率看作概率．【加固訓(xùn)練】從某學(xué)校高三年級共800名男生中隨機(jī)抽取50名測量身高，被測學(xué)生身高全部介于155cm和195cm之間，將測量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組[155，160)，第二組[160，165)，…，第八組[190，195]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一局部，第六組比第七組多1人，第一組和第八組人數(shù)相同．(1)求第六組、第七組的頻率并補(bǔ)充完整頻率分布直方圖．(2)假設(shè)從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機(jī)抽取兩名，記他們的身高分別為x，y，求|x－y|≤5的概率．【解析】(1)由頻率分布直方圖知，前五組的頻率為(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，所以后三組的頻率為1－0.82＝0.18，人數(shù)為0.18×50＝9，由頻率分布直方圖得第八組的頻率為0.008×5＝0.04，人數(shù)為0.04×50＝2，設(shè)第六組人數(shù)為m，那么第七組人數(shù)為m－1，又m＋m－1＋2＝9，所以m＝4，即第六組人數(shù)為4，第七組人數(shù)為3，頻率分別為0.08，0.06，頻率除以組距分別等于0.016，0.012，那么完整的頻率分布直方圖如下圖：(2)由(1)知身高在[180，185)內(nèi)的男生有四名，設(shè)為a，b，c，d，身高在[190，195]內(nèi)的男生有兩名，設(shè)為A，B.假設(shè)x，y∈[180，185)，有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6種情況；假設(shè)x，y∈[190，195]，只有AB這1種情況；假設(shè)x，y分別在[180，185)，[190，195]內(nèi)，有aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB共8種情況，所以根本領(lǐng)件的總數(shù)為6＋8＋1＝15，事件|x－y|≤5包含的根本領(lǐng)件的個數(shù)為6＋1＝7，故所求概率為eq\f(7,15).創(chuàng)新思維概率的應(yīng)用(邏輯推理)【典例】在一次聯(lián)歡會上，參演的女演員比男演員多12人，從所有演員中隨機(jī)抽取一人，抽到男演員的概率是eq\f(9,20)，那么參加演出的演員共有________人．【解析】設(shè)參加演出的演員共有x人，由于從所有演員中抽取一人，“抽到男演員〞和“抽到女演員〞是對立事件，所以抽到女演員的概率為1－eq\f(9,20)＝eq\f(11,20)，由題意，eq\f(11,20)x－eq\f(9,20)x＝12，解得x＝120.答案：120概率，利用逆向思維求解．【加固訓(xùn)練】在5件產(chǎn)品中，有3件一級品和2件二級品，從中任取2件，以下事件中概率為eq\f(7,10)的是()A．都是一級品B．都是二級品C．一級品和二級品各1件D．至少有1件二級品【解析】選D.樣本點總數(shù)為10，2件都是一級品包含3個樣本點，其概率為eq\f(3,10)，其對立事件是至少有1件二級品，且概率為eq\f(7,10).1．假設(shè)A與B為互斥事件，那么()A．P(A)＋P(B)<1B．P(A)＋P(B)>1C．P(A)＋P(B)＝1D．P(A)＋P(B)≤1【解析】選D.假設(shè)A與B為互斥事件，那么P(A)＋P(B)≤1.2．從1，2，3，…，30這30個數(shù)中任意摸出一個數(shù)，那么事件“摸出的數(shù)是偶數(shù)或能被5整除的數(shù)〞的概率是()A．eq\f(7,10)B．eq\f(3,5)C．eq\f(4,5)D．eq\f(1,10)【解析】選B.法一：這30個數(shù)中“是偶數(shù)〞的有15個，“能被5整除的數(shù)〞有6個，這兩個事件不互斥，既是偶然又能被5整除的數(shù)有3個，所以事件“是偶數(shù)或能被5整除的數(shù)〞包含的樣本點是18個，而樣本點共有30