2020-2021學(xué)年河南省名校聯(lián)盟高二下學(xué)期六月聯(lián)考數(shù)學(xué)文試題解析版

2020-2021學(xué)年河南省名校聯(lián)盟高二下學(xué)期六月聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知A＝{，0，1}，B＝{，，1}，則A∪B的真子集的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．7 C．15 D．31【答案】C【分析】根據(jù)并集的運(yùn)算法則可求得，代入子集計(jì)算公式，即可求得答案.【詳解】由題意得：，所以的真子集個(gè)數(shù)為個(gè)，故選：C2．若在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則的共軛復(fù)數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，進(jìn)而可得的共軛復(fù)數(shù)．【詳解】依題意，，則，則，故選：C．3．“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】舉特值并結(jié)合充分、必要條件的定義可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，滿足，但是，不滿足；當(dāng)時(shí)，，滿足，但不滿足，所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查充分不必要條件的判斷，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：（1）若是的必要不充分條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（2）是的充分不必要條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（3）是的充分必要條件，則對(duì)應(yīng)集合與對(duì)應(yīng)集合相等；（4）是的既不充分又不必要條件，對(duì)的集合與對(duì)應(yīng)集合互不包含．.4．已知雙曲線的方程為，則該雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．和 B．和C．和 D．和【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線方程的性質(zhì)，先求得的取值范圍，即可判斷出雙曲線焦點(diǎn)位置，將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可由雙曲線中的關(guān)系求得焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】因?yàn)楸硎倦p曲線，所以，解得，所以，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，且，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為和．故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，焦點(diǎn)位置及焦點(diǎn)坐標(biāo)的求法，屬于基礎(chǔ)題．5．下列函數(shù)中既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義以及單調(diào)性的定義并結(jié)合導(dǎo)數(shù)逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】對(duì)于A，為偶函數(shù)，不符合題意；對(duì)于B，為奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，符合題意；對(duì)于C，為奇函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，不符合題意；對(duì)于D，為奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，不符合題意．故選：B．6．已知－1，a，b，－4成等差數(shù)列，－1，c，d,e，－4成等比數(shù)列，則＝（）A． B．－ C． D．或－【答案】C【詳解】試題分析：因?yàn)椋?，a，b，－4成等差數(shù)列，所以公差為，所以；因?yàn)椋?，c，d,e，－4成等比數(shù)列，所以，，所以．所以=．【解析】等差數(shù)列的性質(zhì)；等比數(shù)列的性質(zhì)．點(diǎn)評(píng)：在等比數(shù)列中，所有的奇數(shù)項(xiàng)一定同號(hào)，所有的偶數(shù)項(xiàng)也一定同號(hào)．7．長(zhǎng)為丈的圓柱形木材部分鑲嵌在墻體中，截面如圖所示(陰影部分為鑲嵌在墻體內(nèi)的部分).已知弦尺寸，弓形高寸，估算該木材鑲嵌在墻內(nèi)的側(cè)面積為（）（注：丈尺寸，，）A．平方寸 B．平方寸 C．平方寸 D．平方寸【答案】A【分析】計(jì)算出扇形的弧長(zhǎng)，進(jìn)而可計(jì)算得出該木材鑲嵌在墻內(nèi)的側(cè)面積.【詳解】連接、、，則，由已知寸，寸，設(shè)圓柱的底面圓的半徑為寸，由勾股定理可得，解得寸，設(shè)，則，為銳角，則，故.所以，該木材鑲嵌在墻內(nèi)的側(cè)面積為平方寸.故選：A.8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出T的值等于（）A． B．512 C． D．64【答案】D【分析】按照程序框圖的執(zhí)行步驟及判斷條件運(yùn)行程序，即可求解.【詳解】第一次執(zhí)行，不滿足；第二次執(zhí)行，不滿足；第三次執(zhí)行，滿足，跳出循環(huán)，故輸出故選：D9．若，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由于，根據(jù)誘導(dǎo)公式可得，再根據(jù)余弦的二倍角公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所?故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：通過(guò)過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，然后再根據(jù)誘導(dǎo)公式和余弦的二倍角公式化簡(jiǎn)，這是本題解答的關(guān)鍵和突破點(diǎn).10．已知圓的圓心到直線的距離為，若，且，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題目考察圓的一般方程的圓心坐標(biāo)，以及點(diǎn)到直線的距離公式，通過(guò)點(diǎn)到直線的距離公式可以求出參數(shù)的值，最后是基本不等式中“1”的代入的應(yīng)用，已知分式為定值，可以求得整式的最小值【詳解】由題意，知圓心坐標(biāo)為(1，4)，圓心到直線的距離為，則，解得或因?yàn)?，所以所以，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“="，即的最小值為．故選：D11．已知函數(shù)，則下列四個(gè)結(jié)論中：①的最小正周期為；②是圖象的一條對(duì)稱軸；③是的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間；④是的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間.所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①② B．①③ C．②④ D．③④【答案】B【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，利用正弦型函數(shù)的周期公式可判斷①的正誤，利用代入檢驗(yàn)法可判斷②③④的正誤.【詳解】.對(duì)于①，函數(shù)的最小正周期為，①正確；對(duì)于②，因?yàn)?，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，，故是的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，③正確；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，④錯(cuò)誤.故選：B.12．已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】分別求出，，的大致范圍，即可比較，，的大小.【詳解】由題意得，，故；，因，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)得，因此；由勾股數(shù)可知，又因且，故；因此.故選：C.【點(diǎn)睛】指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的大小比較，常利用函數(shù)的單調(diào)性或中間值進(jìn)行比較，要根據(jù)具體式子的特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，有時(shí)還需要借助冪函數(shù)比較.對(duì)于比較的式子，要先化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化，再比較大小.二、填空題13．已知向量，且，則___________.【答案】20【分析】根據(jù)的坐標(biāo)運(yùn)算可得，再根據(jù)向量數(shù)量積公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，所?故答案為：.14．設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為_______________________．【答案】【分析】作出可行域，由可得，作將其沿可行域的方向平移即可求解.【詳解】作出可行域如圖所示：由可得，作將其沿可行域的方向平移可知過(guò)點(diǎn)時(shí)最小，也即最小，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：線性規(guī)劃求最值的常見類型：（1）線性目標(biāo)函數(shù)求最值：轉(zhuǎn)化為直線的截距問(wèn)題，結(jié)合圖形求解；（2）分式型目標(biāo)函數(shù)最值：轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率問(wèn)題，結(jié)合圖形求解；（3）平方型目標(biāo)函數(shù)求最值；轉(zhuǎn)為兩點(diǎn)間的距離問(wèn)題，結(jié)合圖形求解.15．為測(cè)量山高.選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn).從A點(diǎn)測(cè)得N點(diǎn)的仰角，C點(diǎn)的仰角以及，從C點(diǎn)測(cè)得.已知山高米.則所求山高為___________米.【答案】【分析】在中可求得，再在利用正弦定理可求出，即可求得山高.【詳解】由題，在中，，，在中，，，則，由正弦定理可得，即，解得，又在中，，，所以所求山高為米.故答案為：.16．已知三棱錐中，，，，，為的外接圓的圓心，，則三棱錐的外接球的表面積為___________.【答案】【分析】由題意是中點(diǎn)，證明平面平面，作平面，垂足為，證得，取中點(diǎn)，則得就是三棱錐也是四棱錐的外接球的球心．由此易得外接球表面積．【詳解】由題意是中點(diǎn)，則，因?yàn)?，，所以，，又，平面，所以平面，而平面，所以平面平面，作平面，垂足為，平面，則平面，又平面平面，則，，因?yàn)椋允蔷匦?，取中點(diǎn)，連接，則，從而平面．就是三棱錐也是四棱錐的外接球的球心．球半徑為，表面積為．故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求球的表面積，解題關(guān)鍵是確定外接球球心位置．三棱錐的外接球球心在過(guò)各面外心且與此面垂直的直線上．由此結(jié)論易尋找到外接球球心．三、解答題17．某市共有所高中，各校高一學(xué)生占全市高一學(xué)生總數(shù)的比例如下面柱狀圖教研部門采用分層抽樣的方法從一中、四中、十七中這三所學(xué)校抽取人調(diào)研，又從這人中隨機(jī)抽取名同學(xué)調(diào)查選課情況，其中選擇物理學(xué)科的是、，地理學(xué)科是、、，化學(xué)學(xué)科是.（1）應(yīng)從三所學(xué)校分別抽取多少人？（2）從這名同學(xué)中選出人進(jìn)行測(cè)試，要求所選三人不能選擇同一個(gè)學(xué)科，用所給字母列出所有可能的結(jié)果；在此條件下，設(shè)為事件“選出人中沒有選擇化學(xué)學(xué)科的同學(xué)”，求事件發(fā)生的概率.【答案】（1）應(yīng)從一中、四中、十七中三所學(xué)校學(xué)生中分別抽取人、人、人；（2）所有可能結(jié)果見解析，.【分析】（1）利用分層抽樣的方法可計(jì)算得出從一中、四中、十七中三所學(xué)校所抽取的學(xué)生人數(shù)；（2）列舉出所有的基本事件，并確定事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】（1）由已知，一中、四中、十七中三所學(xué)校學(xué)生人數(shù)之比為，由于采取分層抽樣的方法從中抽取人，因此應(yīng)從一中、四中、十七中三所學(xué)校學(xué)生中分別抽取人、人、人；（2）依題意，從名同學(xué)選出名的所有可能的結(jié)果為：、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共種.選出人中沒有選擇化學(xué)學(xué)科的同學(xué)的所有可能結(jié)果為：、、、、、、、、，共種，所以，事件發(fā)生的概率.18．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足（1）求的通項(xiàng)公式：（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）令可求得的值，令，由可得，兩式作差推導(dǎo)出數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公差，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，利用裂項(xiàng)相消法可求得.【詳解】（1）由已知條件可知，對(duì)任意的，.當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，由可得，上述兩式作差得，即，即，由已知條件可知，，所以，數(shù)列是等差數(shù)列，且首項(xiàng)為，公差也為，因此，；（2）由（1）可知，則，因此，.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：常見的裂項(xiàng)公式：（1）；（2）；（3）；（4）.19．如圖，在三棱錐中，，，，，D為線段的中點(diǎn)，E為線段上一點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）當(dāng)平面時(shí)，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）要證明面面垂直，需證明線面垂直，根據(jù)垂直關(guān)系，轉(zhuǎn)化為證明平面；（2）利用等體積，，轉(zhuǎn)化求三棱錐的體積.【詳解】證明：（1）∵，，，∴平面，又∵平面，∴，∵，D為線段的中點(diǎn)∴又∵∴平面∵平面，∴平面平面（2）∵平面，平面平面，∴∵D為中點(diǎn)，∴E為中點(diǎn)，∴.∴三棱錐的體積為.20．已知函數(shù)，(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，.（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)m的值.【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）.【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)，令，得，分別討論和時(shí)，的正負(fù)，即可得的單調(diào)區(qū)間；（2）恒成立等價(jià)于恒成立，設(shè)，當(dāng)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)是上的增函數(shù)，且，不符合題意，當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性和極小值，只需求即可，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，求得極值，綜合分析，即可得答案.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，則.令，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）恒成立恒成立恒成立，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以是上的增函數(shù)，注意到，所以時(shí)，，不合題意；當(dāng)時(shí)，令，解得，若，則，若，則，所以是上的減函數(shù)，是上的增函數(shù)，故只需即可，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以是上的減函數(shù)，是上的增函數(shù)，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以，即恒成立，所以恒成立，所以時(shí)，滿足題意.【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，極（最）值的方法，并靈活應(yīng)用，難點(diǎn)在于，需合理構(gòu)造新函數(shù)，并根據(jù)新函數(shù)的極值，進(jìn)行推理和求解，屬中檔題.21．已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為D，且三角形的面積為6，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓與A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)（1）證明：直線和直線關(guān)于y軸對(duì)稱；（2）求三角形面積的最大值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，根據(jù)橢圓的離心率，和三角形的面積，以及，由此可求出橢圓的方程，設(shè)直線的方程為顯然，不存在時(shí)直線和與軸重合，滿足題意).聯(lián)立直線與橢圓的方程得到韋達(dá)定理，求出直線的斜率，和直線的斜率為的和根據(jù)韋達(dá)定理可得，進(jìn)而證明出結(jié)論；（2）由已知可得，三角形的面積等于，利用韋達(dá)定理和和基本不等式的性質(zhì)，可求出三角形的面積的最大值.【詳解】解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為，則由已知有，.又由，a，b，解得，，所以橢圓的方程為.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為（顯然，不存在時(shí)直線和與軸重合，滿足題意）.聯(lián)立直線與橢圓的方程，消法y，整理得，由此可得，①直線的斜率為，，直線的斜率為，因此有.又因?yàn)?，同理，故，將①帶入可?所以，，故直線和直線關(guān)于軸對(duì)稱.（2）由已知可得，三角形的面積等于.而.將（1）帶入，整理得，記，，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立.因此的最大值為，故三角形的面積的最大值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：要證明直線和直線關(guān)于y軸對(duì)稱，轉(zhuǎn)化為求證直線的斜率，和直線的斜率為的和為0，是解決第一問(wèn)的關(guān)鍵和突破點(diǎn).22．在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.在以原點(diǎn)為極軸，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，圓的方程為.（1）寫出直線的普通方程和圓的直角坐標(biāo)方程；（2）若點(diǎn)坐標(biāo)為，圓與直線交于兩點(diǎn),求的值.【答案】(1)直線的普通方程為：，圓的直角坐標(biāo)方程為：(2)4.【詳解】試題分析：(1)結(jié)合所給的方程可得：直線的普通方程為：，圓的直角坐標(biāo)方程為：；(2)聯(lián)立直線的參數(shù)方程與圓的直角坐標(biāo)方程，結(jié)合直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義可得：的值是4.試題解析：（1）消去參數(shù)t可得