建筑力學(xué)課件14靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算

第十四章靜定結(jié)構(gòu)的位移(wèiyí)計(jì)算

共九十頁14．1概述一、結(jié)構(gòu)位移(wèiyí)的定義結(jié)構(gòu)(jiégòu)在荷載或其它因素作用下，會(huì)發(fā)生變形。由于變形，結(jié)構(gòu)(jiégòu)上各點(diǎn)的位置將會(huì)移動(dòng)，桿件的橫截面會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)，這些移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)稱為結(jié)構(gòu)(jiégòu)的位移。

二、位移的分類位移線位移：截面形心的直線移動(dòng)距離角位移：截面的轉(zhuǎn)角共九十頁位移(wèiyí)絕對(duì)(juéduì)位移相對(duì)位移廣義位移三、剛架的位移舉例A點(diǎn)的線位移水平線位移豎向線位移截面A的角位移共九十頁C、D兩點(diǎn)的水平(shuǐpíng)相對(duì)線位移

(D)H

=

C+D

A、B兩個(gè)截面的相對(duì)(xiāngduì)轉(zhuǎn)角AB=A+B

共九十頁四、引起位移(wèiyí)的原因一般有：荷載（如前兩剛架）、溫度改變(gǎibiàn)（如圖a）、支座移動(dòng)（如圖b）材料收縮、制造誤差等共九十頁五、計(jì)算位移(wèiyí)的目的

有以下(yǐxià)三個(gè)方面：1、驗(yàn)算結(jié)構(gòu)剛度。即驗(yàn)算結(jié)構(gòu)的位移是否超過允許的位移限制值2、為超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算打基礎(chǔ)。在計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力時(shí)，除利用靜力平衡條件外，還需要考慮變形協(xié)調(diào)條件，因此需計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移。3、在結(jié)構(gòu)的制作、架設(shè)、養(yǎng)護(hù)過程中，有時(shí)需要預(yù)先知道結(jié)構(gòu)的變形情況，以便采取一定的施工措施，因而也需要進(jìn)行位移計(jì)算。共九十頁14.2虛功原理和單位(dānwèi)荷載法

一、變形體的虛功原理功：

力對(duì)物體(wùtǐ)在一段路程上累積效應(yīng)的量度，也是傳遞和轉(zhuǎn)換能量的量度實(shí)功：力在自身引起的位移上所作的功當(dāng)靜力加載時(shí)，即：

FP1由0增加至FP1

14

由0增加至14力Fp1在位移14上作的實(shí)功W14=FP11414共九十頁虛功(xūɡōnɡ)：

力在其他因素引起(yǐnqǐ)的位移上作的功其特點(diǎn)是位移與作功的力無關(guān)，在作功的過程中，力的大小保持不變梁彎曲后，再在點(diǎn)2處加靜力荷載FP2，梁產(chǎn)生新的彎曲。位移12為力FP2引起的FP1的作用點(diǎn)沿FP1方向的位移。力FP1在位移12

上作了功，為虛功，大小為W12=FP112共九十頁在小變形條件下，12由圖示的原始(yuánshǐ)形狀、尺寸計(jì)算，并稱此狀態(tài)為虛功計(jì)算的位移狀態(tài)。與之相應(yīng)，F(xiàn)P1單獨(dú)作用的狀態(tài)為虛功計(jì)算的力狀態(tài)。當(dāng)力狀態(tài)的外力在位移狀態(tài)的位移上作外力虛功(xūɡōnɡ)時(shí)，力狀態(tài)的內(nèi)力也在位移狀態(tài)各微段的變形上作內(nèi)力虛功(xūɡōnɡ)。共九十頁

根據(jù)功和能的原理可得變形體的虛功原理：任何一個(gè)處于平衡狀態(tài)的變形體，當(dāng)發(fā)生任意一個(gè)虛位移時(shí)，變形體所受外力在虛位移上所作虛功的總和，等于(děngyú)變形體的內(nèi)力在虛位移的相應(yīng)變形上所作虛功的總和。

虛功原理也可以簡(jiǎn)述為：“外力的虛功等于內(nèi)力(nèilì)的虛變形功”。共九十頁二、單位荷載法

1、定義(dìngyì)：應(yīng)用虛功原理，通過加單位荷載求實(shí)際位移的方法。2、計(jì)算(jìsuàn)結(jié)構(gòu)位移的一般公式共九十頁

K=

K+RiCi=d+N+Q式中，

=1則d+N+Q—

RiCi

經(jīng)進(jìn)一步推導(dǎo)(tuīdǎo)，可得共九十頁式中：E

彈性模量；G

剪切模量；A

橫截面積；I

截面慣性矩；k截面形狀系數(shù)。如：對(duì)矩形截面k=6/5;圓形截面k=10/9。共九十頁14.3靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移(wèiyí)計(jì)算一、靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用(zuòyòng)下的位移公式如果結(jié)構(gòu)只有荷載作用，因支座移動(dòng)引起的剛體位移＝0，位移公式則為Ci

共九十頁對(duì)于曲桿（曲率半徑(bànjìng)r），荷載作用下的位移公式為＋彎矩的影響(yǐngxiǎng)

軸力的影響剪力的影響曲率的影響共九十頁圖a所示矩形截面圓弧形鋼桿，軸線的半徑與截面高度之比r/h=10,彈性模量(tánxìnɡm(xù)óliànɡ)之比E/G=2.5，曲桿B端形心在豎向荷載FP作用下的豎向線位移由對(duì)應(yīng)于彎矩、軸力、剪力、曲率的四部分組成：共九十頁Q

:

N:r=1200:1:3:2

設(shè)虛擬狀態(tài)（圖b）計(jì)算虛內(nèi)力(nèilì)，用截面法計(jì)算實(shí)際狀態(tài)的內(nèi)力(nèilì)，代人位移公式運(yùn)算，并注意矩形截面的不均勻系數(shù)=1.2，計(jì)算結(jié)果為中彎矩、軸力、剪力、曲率對(duì)應(yīng)(duìyìng)的四部分之比M

:

=共九十頁二、各類桿件結(jié)構(gòu)(jiégòu)在荷載作用下的位移公式（1）梁和剛架梁式桿的位移中彎矩的影響是主要的，位移計(jì)算公式中取第一項(xiàng)便具有足夠(zúgòu)的工程精度共九十頁（2）桁架(héngjià)

各桿為鏈桿，而且是同材料的等直桿。桿內(nèi)只有軸力，且處處相等。因而只取公式(gōngshì)中的第二項(xiàng)并簡(jiǎn)化為實(shí)用的形式共九十頁（3）組合(zǔhé)結(jié)構(gòu)既有梁式桿，又有鏈桿，取用公式(gōngshì)中的前兩項(xiàng)（4）拱一般計(jì)軸力、彎矩的影響，剪切變形的影響忽略不計(jì)共九十頁三、虛擬(xūnǐ)狀態(tài)的選取欲求結(jié)構(gòu)在荷載作用下的指定位移，須取相應(yīng)的虛擬(xūnǐ)狀態(tài)。即取同一結(jié)構(gòu)，在要求位移的地方，沿著要求位移的方位虛加單位荷載：1）欲求一點(diǎn)的線位移，加一個(gè)單位集中力2）欲求一處的角位移，加一個(gè)單位集中力偶共九十頁3）欲求兩點(diǎn)的相對(duì)線位移，在兩點(diǎn)的連線(liánxiàn)上加一對(duì)指向相反的單位集中力4）欲求兩處的相對(duì)角位移，加一對(duì)指向(zhǐxiànɡ)相反的單位集中力偶共九十頁5）欲求桁架(héngjià)某桿的角位移在桿的兩端加一對(duì)平行、反向的集中力，兩力形成單位力偶。力偶臂為d，每一力的大小為1/d共九十頁力和力偶(lìǒu)統(tǒng)稱為廣義力，單位(dānwèi)廣義力用=1表示線位移和角位移統(tǒng)稱廣義位移，用⊿表示單位廣義力有截然相反的兩種設(shè)向，計(jì)算出的廣義位移則有正負(fù)之分：正值表示廣義位移的方向與廣義力所設(shè)的指向相同負(fù)值表示廣義位移的方向與廣義力所設(shè)的指向相反共九十頁（2）計(jì)算(jìsuàn),FNP;

四、靜定(jìnɡdìnɡ)桁架的位移計(jì)算計(jì)算步驟為（1）設(shè)虛擬狀態(tài)；（3）用桁架的位移計(jì)算公式計(jì)算位移。例14-1

圖示桁架各桿的EA相等，求C結(jié)點(diǎn)的豎向位移vc

共九十頁解:

（1）設(shè)虛擬(xūnǐ)狀態(tài)（如上圖b所示）（2）計(jì)算(jìsuàn)N

和FNP（標(biāo)于上圖b.a

）共九十頁（3）代公式(gōngshì)求C點(diǎn)的豎向位移共九十頁例14-2

圖示鋼桁架，圖中括號(hào)內(nèi)數(shù)值為桿件橫截面面積(miànjī)（單位cm2

）。許可撓度與跨長(zhǎng)的比值，試校核桁架(héngjià)的剛度。共九十頁解

對(duì)稱簡(jiǎn)支桁架(héngjià)在對(duì)稱荷載作用下，最大撓度發(fā)生在桁架(héngjià)的對(duì)稱面處。須計(jì)算結(jié)點(diǎn)3的豎向位移，然后進(jìn)行剛度(ɡānɡdù)校核。1）建立虛擬狀態(tài)（如圖b所示）2）計(jì)算N

和FNP，并標(biāo)于圖b、a上

3）求3點(diǎn)的豎向位移，進(jìn)行剛度校核共九十頁N/(1/mm)

/mm

計(jì)算(jìsuàn)半個(gè)桁架的，列表(lièbiǎo)如下:1420000003-7

豎桿002-6豎桿312500+0.62525000025000100003-6斜桿500000-0.625-10000000.812500100001-6斜桿270000+0.375+6000001.210000120001-3下弦337500-0.75-7500000.61000060006-7上弦FNP/NA/mm2編號(hào)桿件共九十頁根據(jù)(gēnjù)上表，得<

所以，桁架(héngjià)滿足剛度條件共九十頁五、梁的位移及剛度(ɡānɡdù)校核1、梁的位移(wèiyí)

撓度：橫截面形心在垂直于軸線方向的線位移用w

表示，規(guī)定w

向下為正。轉(zhuǎn)角：橫截面的角位移

，規(guī)定順時(shí)針轉(zhuǎn)為正共九十頁在工程設(shè)計(jì)手冊(cè)中列有常見(chánɡjiàn)梁的位移的計(jì)算結(jié)果（如表14.1所示），可供計(jì)算時(shí)查用。表14.1梁的撓度(náodù)與轉(zhuǎn)角公式

2.懸臂梁彎曲力偶作用在自由端1.懸臂梁集中荷載作用在自由端最大撓度轉(zhuǎn)角荷載類型共九十頁續(xù)表時(shí)4.簡(jiǎn)支梁集中(jízhōng)荷載作用跨中位置上3.懸臂梁均勻分布荷載(hèzài)作用在梁上－時(shí)共九十頁6簡(jiǎn)支梁彎曲力偶(lìǒu)作用在梁的一端5簡(jiǎn)支梁均勻分布荷載(hèzài)作用在梁上-（在處）續(xù)表-共九十頁2．梁的剛度(ɡānɡdù)校核梁的位移過大，則不能正常(zhèngcháng)工作對(duì)于梁的撓度，其許可值以許可的撓度與梁跨長(zhǎng)之比為標(biāo)準(zhǔn)

在工程上，吊車梁的＝1/600鐵路鋼桁梁的＝1/900梁的剛度條件為:共九十頁

例14-3

圖示簡(jiǎn)支梁由工字鋼制成，跨度中點(diǎn)(zhōnɡdiǎn)處承受集中載荷Fp。已知Fp=40KN，跨度=3m，許用應(yīng)力(yìnglì)=160MPa，許用撓度[w]=/500，彈性模量E=2×105MPa，試選擇工字鋼的型號(hào)。共九十頁解

（1）按強(qiáng)度(qiángdù)條件選擇工字鋼型號(hào)梁的最大彎矩為：＝按彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件(tiáojiàn)選截面共九十頁查型鋼表選用20a工字鋼,其彎曲(wānqū)截面系數(shù)為237cm3，慣性矩I=2370cm4（2）校核(xiàohé)梁的剛度=4.75mm<[]=梁的剛度足夠所以，選用20a工字鋼共九十頁3、提高(tígāo)梁抗彎剛度的措施梁的撓度和轉(zhuǎn)角與梁的抗彎剛度EI、梁的跨度L、荷載(hèzài)作用情況有關(guān)，那么，要提高梁的抗彎剛度可以采取以下措施：

增大梁的抗彎剛度EI增大梁的EI值主要是設(shè)法增大梁截面的慣性矩I值，一般不采用增大E值的方法。在截面面積不變的情況下，采用合理的截面形狀，可提高慣性矩I。共九十頁（2）減小梁的跨度(kuàdù)L梁的變形與其(yǔqí)跨度的n次冪成正比。設(shè)法減小梁的跨度L，將有效地減小梁的變形，從而提高其剛度。在結(jié)構(gòu)構(gòu)造允許的情況下，可采用兩種辦法減小L值：①增加中間支座而共九十頁②兩端(liǎnɡduān)支座內(nèi)移

共九十頁如圖所示，將簡(jiǎn)支梁的支座向中間移動(dòng)而變成外伸梁，一方面減小了梁的跨度，從而減小梁跨中的最大撓度；另一方面在梁外伸部分的荷載(hèzài)作用下，使梁跨中產(chǎn)生向上的撓度（圖c），從而使梁中段在荷載作用下產(chǎn)生的向下的撓度被抵消一部分，減小了梁跨中的最大撓度值。共九十頁(3)改善荷載(hèzài)的作用情況在結(jié)構(gòu)允許的情況(qíngkuàng)下，合理地調(diào)整荷載的位置及分布情況(qíngkuàng)，以降低彎矩，從而減小梁的變形，提高其剛度。如圖所示，將集中力分散作用，甚至改為分布荷載，則彎矩降低，從而梁的變形減小，剛度提高。共九十頁14.4圖乘法(chéngfǎ)一、圖乘法(chéngfǎ)原理1、圖乘法的適用條件：（1）桿段的軸線為直線（2）桿段的彎曲剛度EI為常數(shù)直梁和剛架的位移公式則為（3）MP圖和圖中至少有一個(gè)直線圖形

共九十頁２．圖乘法(chéngfǎ)原理共九十頁圖乘法求位移(wèiyí)的一般表達(dá)式為注意(zhùyì)：[1].應(yīng)取自直線圖中[2].若與在桿件的同側(cè),取正值;反之,取負(fù)值[3].如圖形較復(fù)雜，可分解為簡(jiǎn)單圖形.共九十頁3.圖乘法(chéngfǎ)的步驟:(1).設(shè)虛擬(xūnǐ)狀態(tài)；(2).畫圖、圖；(3).圖乘求位移共九十頁下面介紹(jièshào)幾個(gè)規(guī)則圖形的面積和形心位置共九十頁共九十頁當(dāng)圖形的面積和形心不便確定時(shí)，可以將其分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單的圖形，分別(fēnbié)與另一圖形相應(yīng)的縱坐標(biāo)相乘。4.圖形(túxíng)的分解梯-梯同側(cè)組合：共九十頁同側(cè)組合(zǔhé)：共九十頁異側(cè)組合(zǔhé)共九十頁由區(qū)段(qūduàn)疊加法作的彎矩圖，其彎矩圖可以看成一個(gè)梯形和一個(gè)規(guī)則拋物線圖形的疊加。共九十頁曲-折組合(zǔhé)共九十頁階梯形截面(jiémiàn)桿共九十頁二、圖乘法(chéngfǎ)計(jì)算直梁和剛架的位移

下面舉例應(yīng)用圖乘法(chéngfǎ)求直梁和剛架的位移例14.4試求圖a所示外伸梁C點(diǎn)的豎向位移CV。梁的EI=常數(shù)共九十頁解

MP、

圖分別(fēnbié)如圖(b).(c)所示。

BC段的MP圖是標(biāo)準(zhǔn)(biāozhǔn)二次拋物線；AB段的MP圖較復(fù)雜，但可將其分解為一個(gè)三角形和一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線圖形。共九十頁由圖乘法(chéngfǎ)得共九十頁代入以上數(shù)據(jù)(shùjù),于是共九十頁例14.5

試求圖a所示伸臂梁C點(diǎn)的豎向位移(wèiyí)

cv。設(shè)EI=共九十頁解:

荷載(hèzài)彎矩圖和單位彎矩圖如圖bc所示。在AB段,MP和圖均是三角形；

在BC段，MP圖可看作是由B.C兩端的彎矩豎標(biāo)所連成的三角形與相應(yīng)簡(jiǎn)支梁在均布荷載作用(zuòyòng)下的標(biāo)準(zhǔn)拋物線圖[即圖b中虛線與曲線之間包含的面積]疊加而成。共九十頁將上述各部分(bùfen)分別圖乘再疊加，即得共九十頁例14.6試求圖(a)所示剛架結(jié)點(diǎn)(jiédiǎn)B的水平BH。

位移(wèiyí)

設(shè)各桿為矩形截面，截面尺寸為bxh，慣性矩l=,E為常數(shù)，只考慮彎矩變形的影響。共九十頁解:

先作出MP圖和圖,

分別(fēnbié)如圖(b)(c)所示。共九十頁應(yīng)用(yìngyòng)圖乘法求得結(jié)點(diǎn)B的水平位移為：共九十頁14.5靜定結(jié)構(gòu)由于支座(zhīzuò)位移所引起的位移靜定結(jié)構(gòu)由于支座移動(dòng)并不產(chǎn)生內(nèi)力也無變形，只發(fā)生剛體(gāngtǐ)位移。如圖a所示靜定結(jié)構(gòu),其支座發(fā)生水平位移C1

、豎向位移C2

和轉(zhuǎn)角C3，現(xiàn)要求由此引起的任一點(diǎn)沿任一方向的位移，例如求k點(diǎn)豎向位移K。

共九十頁因?yàn)閺膶?shí)際(shíjì)狀態(tài)中取出的微段ds的變形為d這種位移仍用虛功原理來計(jì)算(jìsuàn)。由位移計(jì)算(jìsuàn)的一般公式=du=

于是上式可簡(jiǎn)化為K=-Ci

－共九十頁這就是(jiùshì)靜定結(jié)構(gòu)在支座位移時(shí)的位移計(jì)算公式。式中

為虛擬(xūnǐ)狀態(tài)圖b的支座反力，

Ci為實(shí)際狀態(tài)的支座位移，Ci為反力虛功。

當(dāng)與實(shí)際支座位移Ci

的方向一致時(shí)其乘積取正，相反時(shí)取負(fù)。

此外，上式右邊前面還有一個(gè)負(fù)號(hào)，不可漏掉。共九十頁cH、豎向位移(wèiyí)例14.7

圖(a)所示靜定剛架，若支架A發(fā)生(fāshēng)圖示的位移:a=1.0cm,b=1.5cm.Cv。試求C點(diǎn)的水平位移共九十頁解

在C點(diǎn)處分別加一水平(shuǐpíng)和豎向的單位力，求出其支座反力如圖(b)(c)所示。共九十頁由公式(gōngshì)－K=-Ci

得：

cH=-(1×1.0-1×1.5)=0.5cmcv=-1.5×1=-1.5cm共九十頁14.6互等定理(dìnglǐ)一、功的互等定理(dìnglǐ)圖示結(jié)構(gòu)的兩種狀態(tài)，分別作用FP1和FP2，稱之為第一狀態(tài)和第二狀態(tài)。共九十頁虛功(xūɡōnɡ)

W12為虛功(xūɡōnɡ)

W21為共九十頁比較(bǐjiào)，得功的互等定理:W12=W21即:功的互等定理(dìnglǐ)一般形式為:共九十頁因此(yīncǐ)得到功的互等定理：第一狀態(tài)的外力在第二(dìèr)狀態(tài)的相應(yīng)位移上所作的外力虛功，等于第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)的相應(yīng)位移上所作的外力虛功。共九十頁二、位移(wèiyí)互等定理?xiàng)l件(tiáojiàn)：在結(jié)構(gòu)的兩種狀態(tài)中都只作用一個(gè)荷載，且為單位荷載。單位荷載所引起的位移稱為位移系數(shù)，用表示（圖a.b）

共九十頁根據(jù)(gēnjù)功的互等定理1??即這就是(jiùshì)位移互等定理：第二個(gè)單位力所引起的第一個(gè)單位力作用點(diǎn)沿其方向的位移，等于第一個(gè)單位力所引起的第二個(gè)單位力作用點(diǎn)沿其方向的位移。共九十頁

上述定理中，單位力可以(kěyǐ)是廣義單位力，相應(yīng)的位移系數(shù)亦為廣義位移。21與12可能(kěnéng)含即義不同，但二者數(shù)值相等。共九十頁三、反力互等定理(dìnglǐ)反力互等定理也是功的互等定理的一種應(yīng)用，它反映(fǎnyìng)在超靜定結(jié)構(gòu)中如果兩個(gè)支座分別發(fā)生單位位移時(shí)，兩個(gè)狀態(tài)中相應(yīng)支座反力的互等關(guān)系。單位位移引起的支座反力稱為反力系數(shù)，用rij表示共九十頁根據(jù)(gēnjù)功的互等定理，有即這就是(jiùshì)反力互等定理，它表明支座1發(fā)生單位位移所引起的支座2的反力，等于支座2發(fā)生與上述反力相應(yīng)的單位位移所引起的支座1的反力。r21×1=r12×1r21=r12共九十頁應(yīng)注意支座的位移與該支座的反力在作功關(guān)系上的對(duì)應(yīng)(duìyìng)關(guān)系，即線位移與集中力相對(duì)應(yīng)(duìyìng)，角位移與集中力偶相對(duì)應(yīng)(duìyìng)?？赡躵12與r21

一個(gè)是反力偶，一個(gè)是反力，但二者的數(shù)值(shùzí)相等。共九十頁小結(jié)

本章主要討論應(yīng)用虛功原理計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)的位移。位移計(jì)算的目的是為了驗(yàn)算結(jié)構(gòu)剛度，又是分析超靜定結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。因此(yīncǐ)，掌握好本章內(nèi)容，有著重要意義。1．虛功與虛功原理是結(jié)構(gòu)位移計(jì)算方法的理論依據(jù)。在虛功中，力與位移是兩個(gè)彼此獨(dú)立(dúlì)無關(guān)的因素。對(duì)于桿系結(jié)構(gòu)變形體系的虛功原理