正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用習(xí)題課課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版

第九章解三角形習(xí)題課正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用人教B版

數(shù)學(xué)

必修第四冊(cè)重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一三角形解的個(gè)數(shù)的判斷【例1】

根據(jù)下列條件,判斷解三角形時(shí)是否有解,若有解,有幾個(gè)解?(2)a=60,b=48,B=60°;(3)a=7,b=5,A=80°;(4)a=14,b=16,A=45°.∵b>a,∴B>A,∴B可能為銳角,也可能為鈍角,即有兩解.方法二(從幾何角度)(1)∵A>90°,且a>b,∴有一解,即這樣的三角形是唯一的.(3)∵a=7,b=5,A=80°,a>b,∴有一解,即這樣的三角形是唯一的.規(guī)律方法

已知兩邊和一邊的對(duì)角判斷三角形解的個(gè)數(shù)的兩種基本方法(1)代數(shù)法:已知a,b,A求B,則

,求出角B的正弦值,再結(jié)合大邊對(duì)大角等判斷解的個(gè)數(shù).(2)幾何法:如下表.變式訓(xùn)練1(1)[2023浙江海曙校級(jí)期中]在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,A=45°,a=2,c=x,若△ABC有兩個(gè)解,則x的取值范圍為(

)C解析

若△ABC有兩個(gè)解,則x>a,且a>xsin

A.因?yàn)閍=2,A=45°,所以2<x<.故選C.(2)已知下列各三角形中的兩邊及其一邊的對(duì)角,判斷三角形是否有解,有解的作出解答.①a=10,b=20,A=80°;②a=,b=6,A=30°.解①因?yàn)閎sin

A=20sin

80°>20sin

60°=,所以a<bsin

A,所以此三角形無解.②因?yàn)閎sin

A=6sin

30°=3,所以bsin

A<a<b,所以此三角形有兩解.探究點(diǎn)二邊角互化【例2】

(1)[2023重慶模擬]在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為A(2)在△ABC中,(a-c·cosB)sinB=(b-c·cosA)sinA,判斷△ABC的形狀.解(方法一)因?yàn)?a-c·cos

B)sin

B=(b-c·cos

A)·sin

A,所以由正弦定理、余弦整理得(a2+b2-c2)b2=(a2+b2-c2)a2,即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,所以a2=b2或a2+b2-c2=0,所以a=b或a2+b2=c2.故△ABC為等腰三角形或直角三角形.(方法二)由題意及正弦定理,得(sin

A-sin

Ccos

B)·sin

B=(sin

B-sin

Ccos

A)sin

A,即sin

Ccos

Bsin

B=sin

Ccos

Asin

A.因?yàn)閟in

C≠0,所以sin

Bcos

B=sin

Acos

A,即sin

2B=sin

2A.因?yàn)锳,B為△ABC的內(nèi)角,所以2B=2A或2B+2A=π,即A=B或A+B=.故△ABC為等腰三角形或直角三角形.規(guī)律方法

邊角互化的策略(1)設(shè)△ABC的外接圓的半徑為R.正弦定理的變形:①a=2Rsin

A,b=2Rsin

B,c=2Rsin

C;ABD探究點(diǎn)三三角形中的取值范圍(最值)問題【例3】

(1)[北師大版教材例題]在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,已知A是銳角,且cos2A=.①若mbc=b2+c2-a2,求實(shí)數(shù)m的值;②若a=,求△ABC面積的最大值.變式訓(xùn)練3(1)在銳角三角形ABC中,(a-b)(sinA+sinB)=(c-b)sinC,若a=3,則b2+c2的取值范圍是(

)A.(9,18] B.(15,18) C.[9,18] D.(15,18]D(2)[2023江蘇新沂校級(jí)月考]在銳角三角形ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且2sin22A+cos2A=1.①求角A;②若a=,