蘇教版高中數(shù)學(xué)必修一知識點(diǎn)清單

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第一章集合

1.1集合的概念與表示

一、集合的相關(guān)概念

1.集合的概念

一般地，一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對象的全體組成一個集合.集合中的每一個對象稱為

該集合的元素，簡稱元.

集合常用大寫拉丁字母表示，如集合A,B,…，集合的元素常用小寫拉丁字母表示，如a,b,….

2.集合中元素的特性

（1）確定性：集合中的元素必須是確定的.

（2）無序性：集合中的元素并無先后順序，即任何兩個元素都可以交換順序.

（3）互異性：集合中的元素一定是不同的.

3.元素與集合的關(guān)系：屬于（用符號"W”表示）或不屬于（用符號“￥或“之”表示）.

4.集合相等

如果兩個集合所含的元素完全相同（即A中的元素都是B的元素,B中的元素也都是A的元素），

那么稱這兩個集合相等.

二、集合的表示與分類

1.常用數(shù)集及其記法

非負(fù)整數(shù)集

名稱正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

（或自然數(shù)集）

記法NN*或N+ZQR

2.集合的表示方法

(1)列舉法：將集合的元素一一列舉出來，并置于花括號“{}”內(nèi).集合中元素之間要用逗號分隔，

但列舉時與元素的次序無關(guān).

(2)描述法：將集合的所有元素都具有的性質(zhì)(滿足的條件)表示出來，寫成{X|p(X)}的形式，其中X

為集合的代表元素，p(x)為元素x具有的性質(zhì).

為了直觀地表示集合，我們常畫一條封閉的曲線，用它的內(nèi)部來表示一個集合，稱為Venn圖.

3.集合的分類

含有有限個元素的集合稱為有限集.

含有無限個元素的集合稱為無限集.

不含任何元素的集合稱為空集，記作。.

三、集合中元素特性的應(yīng)用

1.確定性的應(yīng)用

⑴集合中的元素是否屬于這個集合是確定的，即任何對象都能明確它是或不是某個集合的元素，

兩者必居其一.

(2)元素在集合中，元素就滿足集合的限制條件；元素不在集合中，元素就不滿足集合的限制條件.

由此可以列出關(guān)系式，進(jìn)而得到參數(shù)的值或取值范圍.

2.互異性的應(yīng)用

互異性主要體現(xiàn)在求出參數(shù)后要代入檢驗(yàn)，看看所求的集合中的元素是否互不相同.

3.無序性的應(yīng)用

無序性是分類討論思想的應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn).若給出元素屬于某集合，則它可能等于集合中的任一元素;

若給出兩集合相等，則其中的元素不一定按順序?qū)?yīng)相等.

四、集合的表示

1.方法的選擇

當(dāng)集合中元素個數(shù)較少或個數(shù)多但有規(guī)律時可考慮用列舉法；當(dāng)集合中元素個數(shù)多且有公共屬

性或無限時可考慮用描述法.

2.用列舉法表示集合時的省略

元素個數(shù)多或元素個數(shù)無限但有規(guī)律時，在不發(fā)生誤解的情況下，可按照規(guī)律列出幾個代表元

素，其他元素用省略號表示.如“從1至U1000的所有自然數(shù)”可以表示為{1,2,3,…，1000},

“自然數(shù)集N”可以表示為{0,1,2,3,

3.用描述法表示集合時的注意點(diǎn)

(1)寫清楚集合中的代表元素及其范圍，如數(shù)或點(diǎn)等；

(2)除代表元素外的字母，要說明其含義或指出其取值范圍；

(3)用于描述共同屬性內(nèi)容的語言要力求簡潔、準(zhǔn)確；

(4)所有描述的內(nèi)容都要寫在“{}”內(nèi)，且“{}”內(nèi)不能出現(xiàn)“所有”“全體”等詞語.

五、集合中的參數(shù)問題

1.求解含參數(shù)的集合問題的思路

⑴若參數(shù)的取值對解題有影響，則需對參數(shù)進(jìn)行分類討論，分類時要明確分類標(biāo)準(zhǔn)，如在方程

ax+b=0中，要討論一次項(xiàng)系數(shù)a是不是0,在方程ax2+bx+c=0中，要討論二次項(xiàng)系數(shù)a是不是0.

⑵利用條件列出含參數(shù)的關(guān)系式，求解可得到參數(shù)的值或取值范圍，要注意利用集合中元素的特

性對參數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn).

1.2子集、全集、補(bǔ)集

一、子集、真子集

子集真子集

如果集合A的任意一個元素都是集合B的元素(若如果AUB,并且AWB,那么集合A

定義

aEA,則aGB),那么集合A稱為集合B的子集稱為集合B的真子集

記法AUB或B2AA^B或B叁A

讀法“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”“A真包含于B”或“B真包含A”

e或G

圖示

(1)任何一個集合是它本身的子集，即AUA；(1)空集是任何非空集合的真子集；

(2)空集是任何集合的子集，即。UA；(2)對于集合A,B,C,若A呈B且

性質(zhì)

⑶對于集合A,B,C,若AUB且BUC,則AUCB冢,則A/

二、補(bǔ)集、全集

1.全集

如果一個集合包含我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，全集通常記

作U.

2.補(bǔ)集

文字語言設(shè)Acs,由S中不屬于A的所有元素組成的集合稱為S的子集A的補(bǔ)集

符號語言LsA={x|xeS,且x莊A}

定義s

圖形語言0

性質(zhì)CuU=0；Cu0=u；Cu(CiA)=A

三、集合間關(guān)系的判斷

1.判斷集合間關(guān)系的方法

(1)列舉法：對于能用列舉法表示的集合，先用列舉法將兩個(或多個)集合表示出來，再通過對比

兩個(或多個)集合中的元素來判斷其關(guān)系.

⑵元素特征法：確定集合的代表元素是什么，弄清楚集合中元素的特征，再利用集合中元素的特

征判斷.

(3)數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)軸或Venn圖.一般不等式的解集之間的關(guān)系適合用數(shù)軸判斷.

四、探究集合的子集個數(shù)

1.假設(shè)集合A中含有n(n￡N*)個元素，則

(1)A的子集個數(shù)是2”；

(2)A的非空子集個數(shù)是2"-1；

(3)A的真子集個數(shù)是2"-1；

(4)A的非空真子集個數(shù)是2n-2.

2.含有限制條件的子集問題，一般可根據(jù)條件列出所有適合題意的子集，采用列舉法解決.特別

地，設(shè)有限集合A,B中分別含有m個，n個元素(m,nGN*,mWn),且AGCGB,則符合條件的有限

集C的個數(shù)為2『

五、已知集合間的關(guān)系求參

1.若集合是有限集，則根據(jù)集合間的關(guān)系，列出方程(組)求解，解題時還要注意考慮集合中元素

的互異性.

2.若集合是用不等式描述的，則通常借助數(shù)軸進(jìn)行分析，將各個集合在數(shù)軸上表示出來，以形定

數(shù)，注意實(shí)心圓點(diǎn)與空心圓圈，還要注意驗(yàn)證端點(diǎn)值是否符合題意.

3.涉及“AUB”或“A&T的問題，若集合A中含有參數(shù)，通常要分A=。和AW。兩種情況

進(jìn)行討論，其中A=0的情況容易被忽略，應(yīng)引起足夠的重視.

1.3交集、并集

一、交集與并集

交集并集

由所有屬于集合A且屬于集合B的元素由所有屬于集合A或者屬于集合B的元素構(gòu)

文字語言構(gòu)成的集合，稱為A與B的交集，記作成的集合，稱為A與B的并集，記作AUB(讀

ACB(讀作“A交B”)作“A并B”)

符號語言AAB={x|xGA,且xWB}AUB={x|x￡A,或xWB}

C7

圖形語言3

AnB=BCA；AUB=BUA；

ADA=A；AUA=A；

AA0=0=0nA；AU0=A=0UA；

運(yùn)算性質(zhì)

(AAB)UA；Ac(AUB)；

(AnB)cB；BC(AUB)；

AUB=AAB=AAGBQAUB=B

2.德?摩根定律

(DCu(ACB)=(［iA)U(［出)；

⑵Cu(AUB)=(CiA)n(］出).

二、區(qū)間

1.設(shè)a,b￡R,旦a<b,規(guī)定［a,b］叫作閉區(qū)間；(a,b)叫作開區(qū)間；［a,b),(a,b］叫作半開半

閉區(qū)間；a,b叫作相應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn).

2.在數(shù)軸上表示時，閉區(qū)間用實(shí)心圓點(diǎn)表示，開區(qū)間用空心圓圈表示.

三、集合的混合運(yùn)算

1.在進(jìn)行集合的混合運(yùn)算時，一般先運(yùn)算括號內(nèi)的部分，再根據(jù)運(yùn)算順序依次進(jìn)行運(yùn)算.

2.集合的混合運(yùn)算的分類

⑴有限集（或可以列舉的無限集）的運(yùn)算，運(yùn)用列舉法，按照運(yùn)算的定義進(jìn)行運(yùn)算，注意集合中元

素的互異性；

⑵與不等式有關(guān)的無限集的運(yùn)算，借助數(shù)軸，按照運(yùn)算的定義進(jìn)行運(yùn)算，注意是否去掉端點(diǎn)值；

（3）抽象集的運(yùn)算，利用Venn圖，借助直觀圖形，按照運(yùn)算的定義進(jìn)行運(yùn)算.

四、已知集合間的運(yùn)算關(guān)系求參

1.由集合間的運(yùn)算關(guān)系求參的思路

⑴將集合間的運(yùn)算關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個（或多個）集合之間的關(guān)系.若集合中的元素能被一一列舉，則

可用觀察法；若集合與不等式有關(guān)，則可用數(shù)軸求解.

⑵將集合之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程（組）或不等式（組），求解即可.在求解時注意集合中元素的互異

性和空集的特殊性.

五、通過集合知識發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)

1.集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語言，本質(zhì)上，集合源于對數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象，集合的概念就是舍

去事物的一切物理屬性，得到抽象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，是數(shù)量與數(shù)量關(guān)系抽象的更高層次.

2.抽象的過程實(shí)際上是對數(shù)學(xué)概念與數(shù)量關(guān)系等理解與應(yīng)用的過程.集合中的新定義問題能很好

地體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)水平，此類問題不是簡單考查集合的概念或性質(zhì)（集合中元素的

特性、集合的運(yùn)算性質(zhì)等），而是以集合為載體，通過定義新概念、新法則、新運(yùn)算等，理解符號

所代表的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并能運(yùn)用集合的性質(zhì)進(jìn)行符號間的轉(zhuǎn)化.

第二章常用邏輯用語

2.1命題、定理、定義2.2充分條件、必要條件、充要條件

一、命題

在數(shù)學(xué)中，我們將可判斷真假的陳述句叫作命題.許多命題可表示為“如果P，那么q”或“若

P，則q”的形式，其中P叫作命題的條件，q叫作命題的結(jié)論.

二、充分條件、必要條件與充要條件

1.如果“p=q"，那么稱p是q的充分條件，也稱q是p的必要條件，可以理解為若p成立，則q

一定成立，反過來，若q不成立，則p一定不成立.

2.如果poq,且qop,那么稱p是q的充分且必要條件，簡稱為p是q的充要條件，也稱q的充

要條件是P，記作p=q.

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數(shù)學(xué)中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個必要條件，每一條判定定理都給出了相

應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個充分條件.

三、充分條件、必要條件、充要條件的判斷

1.判斷充分、必要、充要條件的方法

(1)定義法：直接利用定義進(jìn)行判斷，注意要會舉反例.

(2)利用集合間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷：滿足條件p和結(jié)論q的元素構(gòu)成的集合分別為A和B,若p是

q的充分條件，則AUB；若p是q的必要條件，則B=A；若p是q的充要條件，則A=B；若p是q

的充分不必要條件，則A呈B；若p是q的必要不充分條件，則B些A.

(3)利用傳遞性進(jìn)行判斷：充分條件和必要條件具有傳遞性，即由出今史今…Op“可得Dopn,充要條

件也具有傳遞性.

四、充分條件、必要條件的證明與探求

1.充要條件的證明

⑴證明P是q的充要條件時，既要證明命題“P=q”為真，又要證明“q=p”為真，前者證明的是

充分性，后者證明的是必要性.

⑵證明充要條件也可以利用等價轉(zhuǎn)化法，即把條件和結(jié)論進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，注意轉(zhuǎn)化過程中必須保

證前后是能互相推出的.

2.探求充分條件、必要條件的步驟

(1)分清“條件"和''結(jié)論”，明確探求的方向；

(2)找到使結(jié)論成立的充要條件(一般用集合的方法)；

⑶將充要條件對應(yīng)的范圍擴(kuò)大，即得結(jié)論成立的必要不充分條件；將充要條件對應(yīng)的范圍縮小，

即得結(jié)論成立的充分不必要條件.

五、利用充分條件、必要條件求參數(shù)

利用充分條件、必要條件求解參數(shù)問題時，一般結(jié)合充分條件、必要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)

系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的方程(組)或不等式(組)，進(jìn)而求解.要注意對解集的

端點(diǎn)值進(jìn)行檢驗(yàn).

六、通過充分、必要條件的使用發(fā)展邏輯推理的素養(yǎng)

邏輯用語是數(shù)學(xué)語言的重要組成部分，是數(shù)學(xué)表達(dá)與交流的工具.正確使用充分、必要條件等

邏輯用語表達(dá)數(shù)學(xué)對象、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理，可以提高交流的邏輯性和準(zhǔn)確性.

在解題中要做到能夠辨析哪些條件是充分不必要的，哪些條件是必要不充分的，哪些條件是充

分必要的，哪些條件是既不充分又不必要的，并能用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言將充分、必要條件轉(zhuǎn)化為集合

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間的關(guān)系，加深對邏輯用語的認(rèn)識，提升邏輯推理的素養(yǎng).

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2.3全稱量詞命題與存在量詞命題

一、全稱量詞與全稱量詞命題

“所有”“任意”“每一個”等表示全體的詞在邏輯學(xué)中稱為全稱量詞，通常用符

全稱量詞

號“Vx”表示“對任意X”

全稱量詞

含有全稱量詞的命題稱為全稱量詞命題.一般形式可表示為VxCM,p(x)

命題

二、存在量詞與存在量詞命題

“存在”“有的”“有一個”等表示部分或個體的詞在邏輯學(xué)中稱為存在量詞，通

存在量詞

常用符號“mx”表示“存在X”

存在量詞

含有存在量詞的命題稱為存在量詞命題.一般形式可表示為mxWM,p(x)

命題

三、全稱量詞命題與存在量詞命題的否定

1.全稱量詞命題與存在量詞命題的否定

類型符號表示否定的符號表示

全稱量詞命題VxEM,p(x)3xEM,p(x)

存在量詞命題3xEM,p(x)VxWM,p(x)

全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.

2.命題否定的真假

對一個命題進(jìn)行否定，就得到了一個新的命題，這兩個命題不能同時為真，也不能同時為假，

即它們的關(guān)系是“一真一假”或“此假彼真”.

四、全稱量詞命題、存在量詞命題及其否定的真假判斷

1.要判定全稱量詞命題“Vx￡M,p(x)成立"是真命題，需要對集合M中每個元素x驗(yàn)證p(x)成立.

但要判定該命題是假命題，只要能找出集合M中的一個x=x。，使p(x)不成立即可.要判定存在量詞

命題“mxGM,p(x)成立"是真命題，只需在集合M中找到一個x=x。，使p(x)成立即可；否則，這

一命題就是假命題.

2.命題與命題的否定的真假性相反.當(dāng)命題的否定的真假不易判斷時，可以通過判斷原命題的真

假來得出命題的否定的真假.

3.常用的正面敘述詞語和它的否定詞語:

原詞語等于(=)小于(<)都是

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否定詞語不等于（#）不小于（2）不都是

原詞語至少有一個至多有一個至多有n個

否定詞語一個也沒有至少有兩個至少有（n+1）個

五、含有量詞的命題中的參數(shù)問題

1.解決含有量詞的命題中的參數(shù)問題的思路

⑴對于全稱量詞命題“VxWM,a>y（或a〈y）”求參的問題，一般為“恒成立”問題，通常轉(zhuǎn)化為求

函數(shù)y的最大值（或最小值），即a>y噸*（或aVywn）；對于存在量詞命題'勺x￡M,a〉y（或a<最"求參

的問題，一般為“有解”問題，通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y的最小值（或最大值），即a>y.i”（或a〈y.Q.

（2）對于命題p的有些問題，正面解決很難或者很復(fù)雜，這時我們可以考慮它的反面，即把與命題p

有關(guān)的問題轉(zhuǎn)化成與命題F有關(guān)的問題，從而把問題簡化，即“正難則反”的方法，也就是“補(bǔ)集

思想”的應(yīng)用.

第三章不等式

3.1不等式的基本性質(zhì)

一、兩實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)

1.a〉boa-b>0；a=bQa-b=O；a<b<=>a-b<0.

二、不等式的基本性質(zhì)

性質(zhì)1：若a>b,則b〈a.

性質(zhì)2：若a>b,b>c,則a>c.

性質(zhì)3：若a>b,則a+c>b+c.

性質(zhì)4：若a>b,c>0,則ac>bc；若a>b,c<0,則ac<bc.

性質(zhì)5：若a>b,c>d,則a+c>b+d.

性質(zhì)6：若a>b>0,c>d>0,則ac>bd.

特別地，若a〉b>0,則a"〉b”（ndN*）.

三、比較實(shí)數(shù)（代數(shù)式）的大小

作差比較法作商比較法

a-b>O=a>b；a>0,b>0且2l=>a>b；

依據(jù)a-b<O?a<b；b

a>0,b>0K-<l=>a<b

a-b=O<=>a=bb

應(yīng)用范圍作差后可化為積或商的形式同號兩數(shù)（式）比較大小

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①作差；①作商；

②變形；②變形；

步驟

③判斷符號；③判斷商與1的大小關(guān)系；

④下結(jié)論④下結(jié)論

①分解因式；

變形②平方后作差；

按照同類的項(xiàng)進(jìn)行分組

技巧③配方法；

④分子（分母）有理化

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四、利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍

利用幾個代數(shù)式的取值范圍來確定某個代數(shù)式的取值范圍是一類常見的綜合問題，對于這類問

題要注意“同向不等式的兩邊可以相加”，但這種轉(zhuǎn)化不是等價變形，在一個解題過程中多次進(jìn)行

這種轉(zhuǎn)化后，就有可能擴(kuò)大真實(shí)的取值范圍.解決此類問題，可先建立待求范圍的整體與已知范圍

的整體的等量關(guān)系，再通過一次不等關(guān)系的運(yùn)算求得待求式的取值范圍.

五、利用不等式的性質(zhì)證明不等式

利用不等式的性質(zhì)證明不等式的實(shí)質(zhì)就是利用性質(zhì)對不等式進(jìn)行變形，變形時，一要考慮已知

不等式與未知不等式在運(yùn)算結(jié)構(gòu)上的聯(lián)系，二要考慮變形要等價，三要注意性質(zhì)使用的前提條件.

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3.2基本不等式

一、兩個重要不等式

不等式變形等號成立的條件注意

abW空，

a'+b。2ab2當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立a,b￡R

ab?手丫

基本不等式：

a+b^2Vab當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立a,b20

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二、基本不等式與最值

1.對于正數(shù)a,b

(1)和a+b為定值s時，積ab有最大值，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=：時取得最大值；

(2)積ab為定值p時，和a+b有最小值，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=J^時取得最小值.

2.在應(yīng)用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件

一正一一各項(xiàng)均為正數(shù).

二定——和或積為定值.

三相等一一等號成立的條件.

3.基本不等式鏈

已知a,b為正實(shí)數(shù)，則隹記2蜉2而2昌(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立)，

\22-F—

"ab

其中隹運(yùn)稱為平方平均數(shù)，蜉稱為算術(shù)平均數(shù)，相稱為幾何平均數(shù)，二稱為調(diào)和平均數(shù).

三、利用基本不等式求無附加條件的最值

1.利用基本不等式求最值的注意事項(xiàng)

(1)一正：各項(xiàng)必須都是正值.

若各項(xiàng)都是正數(shù)，則可以直接用基本不等式求最值；若各項(xiàng)都是負(fù)數(shù)，則可以整體提出負(fù)號，

化為正數(shù)，再用基本不等式求最值；若有些項(xiàng)為正數(shù)，有些項(xiàng)為負(fù)數(shù)，則不可以用基本不等式求最

值.

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（2）二定：各項(xiàng)之和或各項(xiàng)之積為定值.

解決利用基本不等式求最值問題的關(guān)鍵是湊出“和”或“積”為定值，常見的湊項(xiàng)技巧：

①拆（裂項(xiàng)、拆項(xiàng)）：對分子的次數(shù)不低于分母次數(shù)的分式進(jìn)行整式分離一一分離成整式與“真分式”

的和，再根據(jù)分式中分母的情況對整式進(jìn)行拆項(xiàng)，為應(yīng)用基本不等式湊定值創(chuàng)造條件.

②并（分組并項(xiàng)）：分組后，各組可以單獨(dú)應(yīng)用基本不等式或先對一組應(yīng)用基本不等式，再在組與組

之間應(yīng)用基本不等式得出最值.

③配（配式、配系數(shù)）：根據(jù)題設(shè)條件采取合理配式、配系數(shù)的方法，使配式與待求式相乘后可以應(yīng)

用基本不等式得出定值，或配以恰當(dāng)?shù)南禂?shù)后，積式中的各項(xiàng)之和為定值.

（3）三相等：必須驗(yàn)證取等號時條件是否成立，若等號不成立，則不能用基本不等式求最大（?。┲?

四、利用基本不等式求有限制條件的最值

利用基本不等式求有限制條件的最值常見的解法是換（常值代換、變量代換），首先對條件變形，

以進(jìn)行代換，再構(gòu)造利用基本不等式求最值的形式.常用于“已知ax+by初（a,b,x,y均為正數(shù)），

求七三的最小值”和“已知?+匹m（a,b,x,y均為正數(shù)），求x+y的最小值”兩種類型.

xyxy

五、利用基本不等式證明不等式

1.利用基本不等式證明不等式的關(guān)鍵是所證不等式中必須有“和”式或“積”式，通過將

“和”式轉(zhuǎn)化為“積”式或?qū)ⅰ胺e”式轉(zhuǎn)化為“和”式，達(dá)到放縮的效果.證明不等式常用的變形

技巧：

（1）拆分、配湊：將所要證明的不等式先拆分成幾部分，再利用基本不等式證明.

（2）常值代換：利用已知的條件或?qū)⒁阎獥l件變形得到含“常值”的式子，將“常值”代入

后再利用基本不等式證明.

2.多次運(yùn)用基本不等式時，需要注意兩點(diǎn)：一是不等號方向要一致，二是等號要能同時取到.

15

3.3從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程和一元二次不等式

一、二次函數(shù)的零點(diǎn)

1.一元二次方程ax'bx+cREWO)的根就是二次函數(shù)y=ax，bx+c(aWO)當(dāng)函數(shù)值取零時自變量x

的值，即二次函數(shù)y=ax?+bx+c(aWO)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也稱為二次函數(shù)y=ax?+bx+c(aW

0)的零點(diǎn).

二、一元二次不等式

1.一元二次不等式的概念

只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)最高次數(shù)是2的整式不等式.

2.一元二次不等式的一般形式

ax'+bx+c>0(20)或ax'+bx+c<0(WO)(a,b,c均為常數(shù)，且aWO).

三、三個“二次”(二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式)的關(guān)系

判別式A=b2-4acA>0A=0A<0

yy11

二次函數(shù)y=ax2+bx+c

(a>0)的圖象-vi0左

A

/y—/y/v,

0A/?—0X

有兩個相等的實(shí)

一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個相異的實(shí)數(shù)根

數(shù)根沒有實(shí)數(shù)根

(a>0)的根X),x2(x,<x2)b

X產(chǎn)X2=W

(-8，TU

一元二次ax2+bx+c>0(a>0)(-8,X|)U(X2，+8)R

不等式的良，+8)

解集

2

ax+bx+c<0(a>0)(X1,x2)00

注意：當(dāng)一元二次不等式的二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)時，可化為正數(shù)再求解.

16

四、一元二次不等式的解法

1.解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟

(1)化標(biāo)準(zhǔn)：通過對不等式的變形，使不等號右側(cè)為0,左側(cè)的二次項(xiàng)系數(shù)為正.

(2)判別式：對不等號左側(cè)因式分解，若不易分解，則計(jì)算其對應(yīng)方程的判別式.

(3)求實(shí)根：求出相應(yīng)的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說明方程有無實(shí)根.

(4)畫草圖：根據(jù)一元二次方程根的情況畫出其對應(yīng)的二次函數(shù)圖象的草圖.

(5)寫解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集.

2.解含參數(shù)的一元二次不等式

(1)不改變解題步驟.

(2)根據(jù)運(yùn)算的需要進(jìn)行分類討論：

①討論二次項(xiàng)系數(shù)：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)時，應(yīng)討論二次項(xiàng)系數(shù)與0的大小關(guān)系，然后將不等

式轉(zhuǎn)化為一次不等式或二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式；

②討論不等式對應(yīng)方程根的個數(shù)：當(dāng)不等式對應(yīng)的一元二次方程的根的個數(shù)不確定時，討論判別式

△與0的關(guān)系；

③討論兩根的大?。捍_定方程有兩根時，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集的形式.

五、三個“二次”之間的關(guān)系

1.三個“二次”之間的關(guān)系

⑴在三個“二次”中，二次函數(shù)是主體，研究二次函數(shù)問題主要是將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程和

一元二次不等式的形式來解決.

⑵研究一元二次方程和一元二次不等式時，要將其與相應(yīng)的二次函數(shù)相聯(lián)系，通過二次函數(shù)的圖

象及性質(zhì)來解決相關(guān)問題.

17

2.應(yīng)用三個“二次”之間的關(guān)系解題的思路

已知以a,b,c為參數(shù)的不等式(如ax2+bx+c>0(a#0))的解集求解其他不等式的解集時，一般

遵循：

①根據(jù)解集判斷二次項(xiàng)系數(shù)的符號和一元二次方程的根；

②根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系把b,c用a表示出來并代入所要解的不等式；

③約去a,將不等式化為具體的一元二次不等式求解.

六、一元二次不等式的恒(能)成立問題

1.解決與一元二次不等式恒(能)成立的有關(guān)問題的方法

(1)將與一元二次不等式有關(guān)的問題轉(zhuǎn)化為其所對應(yīng)的二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)問題，考慮二次

項(xiàng)系數(shù)和對應(yīng)方程的判別式的符號這兩方面.

⑵將與一元二次不等式有關(guān)的問題轉(zhuǎn)化為其對應(yīng)的二次函數(shù)的最值問題，分離參數(shù)后，求相應(yīng)二

次函數(shù)的最值，建立參數(shù)與這個最值的關(guān)系.

七、一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用問題

1.利用一元二次不等式解決實(shí)際問題的一般步驟

(1)選擇合適的字母表示題目中起關(guān)鍵作用的未知量；

(2)根據(jù)題中信息構(gòu)造不等關(guān)系或函數(shù)模型；

(3)解一元二次不等式；

(4)結(jié)合題目的實(shí)際意義確定答案.

八、通過三個“二次”問題發(fā)展直觀想象的素養(yǎng)

三個，，二次”中綜合問題解題思路的探究，是以二次函數(shù)的圖象為幾何直觀，通過其開口方向、

對稱軸、端點(diǎn)函數(shù)值、對應(yīng)方程的判別式等，對相關(guān)一元二次方程(不等式)進(jìn)行定量計(jì)算，進(jìn)而解

決相關(guān)問題.

第四章指數(shù)與對數(shù)

4.1指數(shù)

一、根式

1.n次方根

(1)定義：如果x"=a(n>l,nGN*),那么稱x為a的n次方根.

(2)表示:

n的奇偶性a的n次方根的表示a的取值范圍

18

n為奇數(shù)R

n為偶數(shù)土,[0,+8)

注意：負(fù)數(shù)沒有偶次方根；0的n次方根等于0.

2.根式

(1)定義：式子唬叫作根式，其中n叫作根指數(shù)，a叫作被開方數(shù).

⑵性質(zhì)(其中n>l且ndN*)：

①(,)n=a.

②當(dāng)n為奇數(shù)時，Va"=a；

a,a20,

當(dāng)n為偶數(shù)時，V葩=|a|=

—a,a<0.

分?jǐn)?shù)指數(shù)累

m___

1.正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕：a^=%而(a>0,m,nWN*,n>l).

_叫11

2.正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)事:(a>0,m,n《N*,n>l).

3n募F

3.0的分?jǐn)?shù)指數(shù)幕：0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕為0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕沒有意義.

19

三、實(shí)數(shù)指數(shù)募

1.有理數(shù)指數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì)

(1)asal=a,+l(a>0,s,tGQ).

(2)(a")'=a''(a>0,s,tGQ).

(3)(ab)=alb'(a>0,b>0,tEQ).

2.無理數(shù)指數(shù)易

當(dāng)a〉0且x是一個無理數(shù)時，a，也是一個確定的實(shí)數(shù).有理數(shù)指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)對無理數(shù)指數(shù)

事同樣適用.

四、根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)募的化簡、求值

1.利用根式的性質(zhì)化簡、求值時的注意點(diǎn)

(1)要分清根式是奇次根式還是偶次根式；

⑵注意V樂與(%)"的區(qū)別，其中n>l,nWN*；

⑶運(yùn)算時注意變式、整體代換以及平方差公式、立方差(和)公式、完全平方公式、完全立方公式

等的運(yùn)用，必要時要進(jìn)行分類討論.

2.根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕化簡、求值的技巧

(1)將根式化為毒的形式，小數(shù)指數(shù)基化為分?jǐn)?shù)指數(shù)易，負(fù)指數(shù)塞化為正指數(shù)塞的倒數(shù).

⑵底數(shù)是小數(shù)的，要先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，要先化成假分?jǐn)?shù)，然后要盡可能用幕的形式

表示，便于利用指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì).

化簡的結(jié)果不能同時含有根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)暴，也不能既含有分母又含有負(fù)指數(shù).

五、指數(shù)幕的條件求值問題

1.解決指數(shù)幕的條件求值問題時，一般將已知條件或所求代數(shù)式進(jìn)行恰當(dāng)變形，從而通過“整體

代換法”求出代數(shù)式的值.整體代換法是數(shù)學(xué)變形與計(jì)算常用的方法，分析觀察條件與所求代數(shù)式

的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，靈活運(yùn)用恒等式是關(guān)鍵.

20

2.常用的變形公式如下：

1111

(l)a±2a5b5+b=(a5±b—之；

(2)(az+b2)(a2-b2)=a-b；

331111

(3)a2+b2=(az+bz)(a-azbz+b)；

331111

(4)az-b2=(a5-b5)(a+a5b5+b).

4.2對數(shù)

一、對數(shù)

1.對數(shù)的概念

如果aJN(a>0,aWl),那么就稱b是以a為底N的對數(shù)，記作log.N=b,其中，a叫作對數(shù)的

底數(shù)，N叫作真數(shù).

2.對數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系

b

當(dāng)a〉0,aWl時，a=N<=>b=logaN.

3.常用對數(shù)與自然對數(shù)

以10為底的對數(shù)稱為常用對數(shù)，對數(shù)log/簡記為lgN；以e(e=2.71828…)為底的對數(shù)稱

為自然對數(shù)，對數(shù)log°N簡記為InN.

4.對數(shù)的性質(zhì)

(1)零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)；

(2)logj=0(a>0,a#l)；

(3)logaa=l(a>0,aWl)；

b

(4)logaa=b(a>0,aWl,bGR)；

(5)a1°gaN=N(a>0,aWl,N>0).

二、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

如果a〉0,且aWl,MX),N>0,那么:

(1)logi(MN)=logaM+logaN；

(2)loga^=logaM-logaN；

⑶logM=nlogaM(neR).

三、換底公式

1.換底公式：logaN=^,其中a>0,aWl,N>0,c>0,cWL

logca

21

2.相關(guān)結(jié)論(其中a,b均為不等于1的正數(shù))

(1)logab,logba=l；

(2)logamb"=^log?b(mGR,n?R,mWO).

四、利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡、求值

1.利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求值的關(guān)鍵是化異為同，先使各項(xiàng)底數(shù)相同，再找真數(shù)間的關(guān)系.

2.同底數(shù)的對數(shù)式化簡的常用方法

(1)“收”，將同底對數(shù)的和(差)“收”成積(商)的對數(shù)，即“收”為一個對數(shù)式；

⑵“拆”，將積(商)的對數(shù)“拆”成兩對數(shù)之和(差).

3.在應(yīng)用換底公式時，要選擇合適的底數(shù)，若所給的對數(shù)式的底數(shù)和真數(shù)互不相同，則可以選擇

以10為底數(shù)進(jìn)行換底.

五、對數(shù)與指數(shù)的綜合運(yùn)用

1.在對數(shù)式與指數(shù)式的互化運(yùn)算中，要注意靈活應(yīng)用定義、運(yùn)算性質(zhì)，尤其要注意條件和結(jié)論之

間的關(guān)系.

2.對于連等指數(shù)式，可令其等于k(k〉O),然后將指數(shù)式用對數(shù)式表示，再由換底公式將指數(shù)的倒

數(shù)化為同底的對數(shù)，從而解決問題.

六、通過指數(shù)、對數(shù)運(yùn)算發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)

數(shù)學(xué)運(yùn)算是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種必備品格和關(guān)鍵能力.數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)

上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).主要包括：理解運(yùn)算對象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，

選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等.

第五章函數(shù)概念與性質(zhì)

5.1函數(shù)的概念和圖象5.2函數(shù)的表示方法

一、函數(shù)的概念

1.函數(shù)的概念

一般地，給定兩個非空實(shí)數(shù)集合A和B,如果按照某種對應(yīng)關(guān)系f,對于集合A中的每一個實(shí)

數(shù)x,在集合B中都有唯一的實(shí)數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：AfB為從集合A到集合B的一個函數(shù)，

記作y=f(x),xGA.其中，x叫作自變量，集合A叫作函數(shù)的定義域，集合｛y|y=f(x),x^A｝稱為

函數(shù)的值域.

2.函數(shù)的三要素

(1)一個函數(shù)的構(gòu)成要素為定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域.

(2)如果兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系相同，定義域相同，那么這兩個函數(shù)就是同一個函數(shù).

22

二、函數(shù)的表示方法

1.列表法：用列表來表示兩個變量之間函數(shù)關(guān)系的方法.

2.解析法：用等式來表示兩個變量之間函數(shù)關(guān)系的方法.

3.圖象法：用圖象表示兩個變量之間函數(shù)關(guān)系的方法.

三、分段函數(shù)

1.在定義域內(nèi)不同部分上，有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)叫作分段函數(shù).

四、求函數(shù)的定義域

1.已知函數(shù)解析式求定義域

(1)如果函數(shù)解析式是整式，那么在沒有指明它的定義域的情況下，函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R.

(2)如果函數(shù)解析式含分式或0次幕，那么函數(shù)的定義域是使分母或指數(shù)基的底數(shù)不為零的實(shí)數(shù)的

集合.

23

(3)如果函數(shù)解析式僅含偶次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于零的實(shí)數(shù)的集

合.

⑷如果函數(shù)解析式是由幾部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，那么函數(shù)定義域是使各部分式子都有意義的實(shí)

數(shù)的集合(即求各部分自變量取值集合的交集).

⑸由實(shí)際背景確定的函數(shù)，其定義域不僅要考慮解析式有意義，還要考慮自變量的實(shí)際意義.

2.求抽象函數(shù)的定義域

(1)無論什么樣的函數(shù)，定義域指的永遠(yuǎn)是自變量的取值范圍.

⑵相同的對應(yīng)關(guān)系所作用對象的范圍是一致的，即函數(shù)f(t),f(6(x)),f(h(x))中的t,巾(x),

h(x)在對應(yīng)關(guān)系f下的取值集合相同.

(3)抽象函數(shù)定義域的求解類型及方法：

①已知f(x)的定義域?yàn)锳,求f(巾(x))的定義域，實(shí)質(zhì)是已知6(x)的取值集合為A,求x的取值

集合.

②已知f(6(x))的定義域?yàn)锽,求f(x)的定義域，實(shí)質(zhì)是已知6(x)中的x的取值集合為B,求出

6(x)的取值集合，此集合就是f(x)的定義域.

③已知f(6(x))的定義域?yàn)镃,求f(g(x))的定義域，實(shí)質(zhì)是已知＜l)(x)中的x的取值集合為C,求

出6(x)的取值集合D,再令g(x)的取值集合為D,求出x的取值集合，此集合就是f(g(x))的定義

域.

五、求函數(shù)的值或值域

1.求函數(shù)值的方法

(1)已知函數(shù)f(x)的解析式時，只需用常數(shù)a替換解析式中的x進(jìn)行計(jì)算即可.

⑵已知函數(shù)f(x)與g(x),求f(g(a))的值，應(yīng)遵循由內(nèi)到外的原則.

注意：用來替換解析式中x的常數(shù)a必須是函數(shù)定義域內(nèi)的值，否則求值無意義.

24

2.求函數(shù)值域的常用方法

(1)觀察法：對于一些比較簡單的函數(shù)，可根據(jù)其解析式的結(jié)構(gòu)特征通過直接觀察得到值域.

(2)圖象法：畫出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)圖象的“最高點(diǎn)”和“最低點(diǎn)”直觀得到函數(shù)的值

域.

⑶配方法：此方法是求二次函數(shù)值域的基本方法，通常把函數(shù)式通過配方轉(zhuǎn)化為完全平方式與常

量和差的形式.

(4)分離常數(shù)法:主要針對形如丫=二(acWO,adWbc)的函數(shù)，常把分子分離成不含自變量的形式，

cx+d

,ad

即y=^^=-+—S其值域是{yIy^-}.

cx+dccx+dc

(5)換元法：對于一些無理函數(shù)(如y=ax±b±V^Td)，通過換元把它們轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，間接

求出原函數(shù)的值域，注意換元后新元的取值范圍.

(6)判別式法：將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量的二次方程，利用判別式求因變量的范圍，常用于“分式

函數(shù)”等，注意自變量的取值范圍.

(7)反表示法：將函數(shù)中的自變量用因變量表示，結(jié)合原函數(shù)的定義域解不等式，從而求出函數(shù)的

值域.

六、求函數(shù)的解析式

1.當(dāng)函數(shù)類型已知時，可采用“先設(shè)后求，待定系數(shù)”法來求其解析式.解題步驟如下：

(1)設(shè)出含有待定系數(shù)的解析式.

⑵把已知條件代入解析式，列出含待定系數(shù)的方程(組).

(3)解方程(組)，得到待定系數(shù)的值.

(4)將所求待定系數(shù)的值代回原式并化簡整理.

2.當(dāng)函數(shù)類型未知時，可根據(jù)條件選擇以下方法求其解析式.

(1)代入法：已知f(x)的解析式，求f(g(x))的解析式，通常把g(x)作為一個整體替換f(x)中的X.

25

(2)換元法：已知f(g(x))是關(guān)于x的函數(shù)，求f(x)的解析式，通常令g(x)=t,由此能解出x=e(t),

將x=e(t)代入f(g(x))中，求得f(t)的解析式，再用x替換t,便可得到f(x)的解析式.

(3)配湊法：將所給函數(shù)的解析式f(g(x))通過配方、湊項(xiàng)等方法，使之變形為關(guān)于g(x)的函數(shù)解

析式，然后以x代替g(x),即得所求函數(shù)解析式，這里的g(x)可以是多項(xiàng)式、分式、根式等.

(4)消元法(方程組法)：已知f(x)與fg)或f(-x)的解析式，可根據(jù)已知條件用1或-x替換x,再構(gòu)

造出另外一個等式，組成方程組，通過解方程組求出f(x).

⑸賦值法：依題目的特征，可對變量賦特殊值，由特殊到一般尋找普遍規(guī)律，從而根據(jù)找出的一

般規(guī)律求出函數(shù)解析式，此法一般適用于求抽象函數(shù)的解析式.

七、分段函數(shù)

1.對分段函數(shù)的理解

(1)分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)，只是根據(jù)自變量的不同范圍分成了幾段而已.

(2)畫分段函數(shù)圖象時，應(yīng)分別畫出每一段函數(shù)的圖象.

(3)研究分段函數(shù)時，先分段考慮，再整體把握，注意各段的自變量在區(qū)間端點(diǎn)處的取值情況.

2.分段函數(shù)的求值策略

(1)已知自變量的值求函數(shù)值的步驟：

①確定自變量屬于哪一個區(qū)間；

②代入該區(qū)間所對應(yīng)的解析式求值，直到求出值為止.當(dāng)出現(xiàn)f(f(x。))的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次

求值.

⑵已知函數(shù)值求對應(yīng)的自變量的值：可分段利用函數(shù)解析式求得自變量的值，但應(yīng)注意檢驗(yàn)函數(shù)

解析式的適用范圍，也可先判斷每一段上的函數(shù)值的范圍，確定解析式再求解.

26

5.3函數(shù)的單調(diào)性

一、函數(shù)的單調(diào)性

1.一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳,區(qū)間IGA.

(1)如果對于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個值X,X2,當(dāng)x《X2時,都有f(xj干(X2),那么稱y=f(x)在區(qū)間I

上單調(diào)遞增(如圖1),I稱為y=f(x)的增區(qū)間.

特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時，稱f(x)是增函數(shù).

⑵如果對于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個值x”xz，當(dāng)xKxz時，都有f(xj干區(qū)那么稱y=f(x)在區(qū)間I

上單調(diào)遞減(如圖2),I稱為y=f(x)的減區(qū)間.

特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時，稱f(x)是減函數(shù).

(3)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上具有單調(diào)性.增

區(qū)間和減區(qū)間統(tǒng)稱為單調(diào)區(qū)間.

2.易錯

(1)某函數(shù)有兩個或兩個以上的單調(diào)遞增(減)區(qū)間時，單調(diào)遞增(減)區(qū)間之間用“，”或者“和”

連接，不用“U”“或”“且”連接.

(2)函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處無意義時要寫成開區(qū)間，有意義時開閉均可.

二、函數(shù)的最值

設(shè)y=f(x)的定義域?yàn)锳.

如果存在x°GA,使得對于任意的xGA,都有f(x)Wf(x。),那么稱f(x°)為y=f(x)的最大值,記為

y?ax=f(Xo)；

如果存在x0GA,使得對于任意的XGA,都有f(x)2f(x。)，那么稱f(x。)為y=f(x)的最小值，記

y?in=f(Xo).

三、函數(shù)單調(diào)性的判斷(證明)

1.判斷函數(shù)單調(diào)性的方法

(1)圖象法：根據(jù)函數(shù)圖象的升降情況進(jìn)行判斷.

(2)直接法：運(yùn)用已知結(jié)論，直接得到函數(shù)的單調(diào)性，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的單調(diào)

性均可直接得出.

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(3)性質(zhì)法：

①f(x),g(x)在公共區(qū)間上的單調(diào)性如下表:

y=f(x)y=g(x)y=f(x)+g(x)y=f(x)-g(x)

增增增

增減增

減減減

減增減

②復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷依據(jù)：

由函數(shù)u=g(x)與函數(shù)y=f(u)復(fù)合，得到函數(shù)y=f(g(x)),其單調(diào)性的判斷方法如表所示:

U=g(X)y=f(u)y=f(g(x))

增增增

增減減

減增減

減減增

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可簡記為“同增異減”，即內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性相同時單調(diào)遞增，相異時單調(diào)

遞減.注意函數(shù)的定義域.

2.利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟

(1)取值：設(shè)X”X2是所給區(qū)間內(nèi)的任意兩個值，且x《X2；

⑵作差、變形：計(jì)算f(x,)-f(x2),并通過因式分解、通分、配方、有理化等手段，轉(zhuǎn)化為易判斷

正負(fù)的關(guān)系式；

⑶判斷符號：確定f(xj-f(x”的符號；

(4)下結(jié)論：根據(jù)f(x)-f(xj的符號與增函數(shù)、減函數(shù)的定義確定單調(diào)性.

四、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

1.利用函數(shù)的單調(diào)性求解最大(小)值

若函數(shù)f(數(shù)在區(qū)間［a,b］上單調(diào)遞增(減),則函數(shù)f(數(shù)在x=a時取得最小(大)值f(a),在x=b

時取得最大(小)值f(b).

若函數(shù)f(x)有多個單調(diào)區(qū)間，則先求出各區(qū)間上的最值，再從各區(qū)間的最值中決定出最大(小)

值.

2.利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式

利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式主要依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，將符號“f”脫掉，列出關(guān)于未知量

的不等式(組)，然后求解，此時注意函數(shù)的定義域.

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3.利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍

⑴利用單調(diào)性的定義：在單調(diào)區(qū)間內(nèi)任取X”X2,且x《X2,由f（xMf（X2性0（或f（xJ-f（X2）＞0）恒

成立求參數(shù)的取值范圍.

⑵利用具體函數(shù)本身所具有的特征：如根據(jù)二次函數(shù)的圖象的對稱軸相對于所給單調(diào)區(qū)間的位置

建立關(guān)于參數(shù)的不等式（組），解不等式（組）求參數(shù)的取值范圍.

4.注意：

①若某個函數(shù)在區(qū)間［a,b］上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子區(qū)間上也是單調(diào)的.

②根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍時，一般從兩方面考慮：一方面，每個分段區(qū)間上的函

數(shù)具有相同的單調(diào)性，由此列出相關(guān)式子；另一方面，要考慮分界點(diǎn)處函數(shù)值之間的大小關(guān)系.若

是增函數(shù)，則分界點(diǎn)左側(cè)值小于或等于右側(cè)值；若是減函數(shù)，則分界點(diǎn)左側(cè)值大于或等于右側(cè)值，

由此列出另外的式子，從而解得參數(shù)的取值范圍.

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五、含參數(shù)的二次函數(shù)在某閉區(qū)間上的最大(小)值

1.解決含參數(shù)的二次函數(shù)的最值問題，首先將二次函數(shù)化為y=a(x-h)?+k(a#O)的形式，再由a的

符號確定其圖象的開口方向，根據(jù)對稱軸方程x=h得出頂點(diǎn)的位置，再根據(jù)函數(shù)的定義域結(jié)合大致

圖象確定最大(小)值.

2.含參數(shù)的二次函數(shù)的最值問題的類型

(1)區(qū)間固定，圖象的對稱軸變動，求最值；

(2)圖象的對稱軸固定，區(qū)間變動，求最值；

(3)最值固定，區(qū)間或圖象的對稱軸變動，求參數(shù).

求解時通常都是根據(jù)區(qū)間和圖象的對稱軸的相對位置進(jìn)行分類討論.

5.4函數(shù)的奇偶性

一