彈性力學數(shù)值方法：有限元法(FEM)：數(shù)值積分與插值函數(shù)

彈性力學數(shù)值方法：有限元法(FEM)：數(shù)值積分與插值函數(shù)1彈性力學數(shù)值方法：有限元法(FEM)：緒論1.1有限元法的基本概念有限元法（FiniteElementMethod,FEM）是一種廣泛應用于工程分析和科學計算的數(shù)值方法，主要用于求解偏微分方程。在彈性力學中，F(xiàn)EM被用來分析結構的應力、應變和位移，通過將連續(xù)的結構離散成有限數(shù)量的單元，每個單元用簡單的函數(shù)（插值函數(shù)）來近似表示，從而將復雜的連續(xù)問題轉化為一系列較簡單的離散問題。1.1.1插值函數(shù)插值函數(shù)是有限元分析中的關鍵概念，用于在單元內部和單元之間近似連續(xù)的物理量。例如，在一維桿件中，我們可能使用線性插值函數(shù)來表示位移，即：u其中，ux是位移，x是位置坐標，a0和1.1.2數(shù)值積分在有限元法中，求解結構的響應通常涉及到對單元的貢獻進行積分。由于單元的形狀和邊界條件的復雜性，直接積分往往難以實現(xiàn)，因此需要使用數(shù)值積分方法，如高斯積分。高斯積分是一種高效的數(shù)值積分技術，它通過在單元內部選取幾個積分點（高斯點）來近似計算積分值。例如，對于一個一維單元，其貢獻可以表示為：x其中，fx是被積函數(shù)，xi是高斯點的位置，1.2彈性力學中的數(shù)值方法簡介彈性力學研究的是物體在外力作用下的變形和應力分布。在實際工程中，結構的形狀和載荷條件往往非常復雜，解析解難以獲得。數(shù)值方法，尤其是有限元法，為解決這類問題提供了強大的工具。1.2.1有限元法在彈性力學中的應用在彈性力學中，有限元法可以用來求解各種類型的結構，包括梁、板、殼和三維實體。通過將結構離散成多個單元，每個單元的物理行為可以用簡單的數(shù)學模型來描述，然后將所有單元的貢獻組合起來，形成整個結構的數(shù)學模型。這種方法可以處理復雜的幾何形狀、材料性質和載荷條件，為工程師提供準確的結構響應預測。1.2.2有限元法的步驟有限元法的分析過程通常包括以下幾個步驟：結構離散化：將結構劃分為多個單元。選擇插值函數(shù)：為每個單元選擇適當?shù)牟逯岛瘮?shù)。建立單元方程：基于彈性力學的基本原理，如胡克定律和平衡方程，建立每個單元的方程。組裝整體方程：將所有單元的方程組合成一個整體的方程系統(tǒng)。施加邊界條件：根據(jù)問題的物理邊界，施加邊界條件。求解方程系統(tǒng)：使用數(shù)值方法求解整體方程系統(tǒng)，得到結構的響應。后處理：分析和可視化求解結果，如應力、應變和位移分布。1.2.3示例：一維桿件的有限元分析假設我們有一根長度為L，截面積為A，彈性模量為E的一維桿件，兩端分別受到力F1和F2的作用。我們可以將桿件離散成n個單元，每個單元長度為1.2.3.1插值函數(shù)對于每個單元，我們可以使用線性插值函數(shù)來表示位移：#Python示例代碼：定義線性插值函數(shù)

deflinear_interpolation(x,x1,u1,x2,u2):

"""

線性插值函數(shù)

:paramx:當前位置坐標

:paramx1:單元起點坐標

:paramu1:單元起點位移

:paramx2:單元終點坐標

:paramu2:單元終點位移

:return:單元內部的位移

"""

returnu1+(u2-u1)*(x-x1)/(x2-x1)1.2.3.2數(shù)值積分對于每個單元的貢獻，我們可以通過數(shù)值積分來計算。例如，使用高斯積分：#Python示例代碼：高斯積分

defgauss_integration(f,a,b,n=2):

"""

高斯積分

:paramf:被積函數(shù)

:parama:積分下限

:paramb:積分上限

:paramn:高斯點數(shù)量

:return:積分結果

"""

#高斯點和權重

xi,w=np.polynomial.legendre.leggauss(n)

#將高斯點映射到積分區(qū)間

x=0.5*(b-a)*xi+0.5*(b+a)

#計算積分

return0.5*(b-a)*np.sum(w*f(x))通過上述步驟，我們可以對一維桿件進行有限元分析，得到其在不同載荷下的應力、應變和位移分布。1.2.4結論有限元法在彈性力學中的應用為解決復雜結構問題提供了有效途徑。通過合理選擇插值函數(shù)和數(shù)值積分方法，可以準確預測結構的響應，為工程設計和優(yōu)化提供重要信息。2有限元法的數(shù)學基礎2.1插值函數(shù)的定義與性質2.1.1插值函數(shù)定義在有限元分析中，插值函數(shù)用于近似表示結構中的位移場。假設我們有一個簡單的線性元素，兩端節(jié)點分別為1和2，位移分別為u1和u2。我們可以定義插值函數(shù)Ni對于線性插值，我們有：-N1x=x這些函數(shù)滿足以下性質：-在節(jié)點1處，N1x1=1，N2x1=2.1.2插值函數(shù)性質插值函數(shù)的性質對于有限元法的準確性和穩(wěn)定性至關重要。它們必須滿足以下條件：1.線性完整性：在每個元素內，插值函數(shù)必須能夠精確表示線性函數(shù)。2.連續(xù)性：相鄰元素之間的插值函數(shù)必須連續(xù)，以確保位移場的連續(xù)性。3.完備性：插值函數(shù)集合必須能夠近似表示所有可能的位移場。4.協(xié)調性：位移場在元素邊界上必須協(xié)調，即相鄰元素在公共邊界上的位移必須相等。2.1.3示例代碼假設我們有節(jié)點1和2的坐標分別為x1=0和x2=1，位移分別為u1importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

#定義節(jié)點坐標和位移

x1,u1=0,0

x2,u2=1,1

#定義插值函數(shù)

defN1(x):

return(x2-x)/(x2-x1)

defN2(x):

return(x-x1)/(x2-x1)

#計算插值函數(shù)值

x=np.linspace(x1,x2,100)

N1_values=N1(x)

N2_values=N2(x)

#繪制插值函數(shù)圖形

plt.figure(figsize=(10,5))

plt.plot(x,N1_values,label='N1(x)')

plt.plot(x,N2_values,label='N2(x)')

plt.scatter([x1,x2],[1,1],color='red')#節(jié)點處的值

plt.legend()

plt.xlabel('x')

plt.ylabel('N(x)')

plt.title('線性插值函數(shù)')

plt.grid(True)

plt.show()2.2數(shù)值積分原理與Gauss積分2.2.1數(shù)值積分原理數(shù)值積分是有限元法中求解積分問題的一種方法，特別是在處理復雜的幾何形狀或材料屬性時。它通過將積分區(qū)間分割成多個小的子區(qū)間，并在每個子區(qū)間上用簡單的函數(shù)（如多項式）來近似被積函數(shù)，從而簡化積分計算。2.2.2Gauss積分Gauss積分是一種高效的數(shù)值積分方法，它使用Gauss點上的函數(shù)值來近似積分。對于一個一維積分，Gauss積分公式可以表示為：?其中，wi是Gauss點的權重，xGauss積分的關鍵在于選擇適當?shù)腉auss點和權重，以確保積分的精度。對于線性元素，通常使用兩個Gauss點，而對于二次元素，可能需要使用三個或更多的Gauss點。2.2.3Gauss積分示例下面的Python代碼展示了如何使用Gauss積分來近似計算一個一維積分。我們使用兩個Gauss點來近似計算函數(shù)fx=ximportnumpyasnp

#Gauss點和權重

gauss_points=np.array([-1/np.sqrt(3),1/np.sqrt(3)])

gauss_weights=np.array([1,1])

#被積函數(shù)

deff(x):

returnx**2

#使用Gauss積分近似計算積分

integral=np.sum(gauss_weights*f(gauss_points))*2#乘以2是因為積分區(qū)間長度為2

#輸出結果

print("使用Gauss積分近似計算的積分值為:",integral)2.2.4Gauss積分的精度Gauss積分的精度取決于Gauss點的數(shù)量。對于n個Gauss點，Gauss積分可以精確計算所有次數(shù)不超過2n2.2.5Gauss積分在有限元法中的應用在有限元法中，Gauss積分通常用于計算元素剛度矩陣和載荷向量中的積分。由于這些積分通常涉及復雜的函數(shù)和高維空間，使用Gauss積分可以顯著提高計算效率和精度。例如，對于一個線性元素，其剛度矩陣中的每個項可以通過以下公式計算：k其中，E是彈性模量，A是截面積，Ni和N2.2.6總結插值函數(shù)和Gauss積分是有限元法中兩個重要的數(shù)學工具。插值函數(shù)用于近似表示位移場，而Gauss積分則用于高效準確地計算積分。通過理解和應用這些原理，我們可以更有效地進行有限元分析，解決復雜的工程問題。3彈性力學中的有限元法3.1彈性問題的變分原理在彈性力學中，有限元法（FEM）的理論基礎之一是變分原理。變分原理允許我們將連續(xù)的彈性問題轉化為離散的數(shù)學問題，從而通過數(shù)值方法求解。最著名的變分原理是哈密頓原理，它表明一個系統(tǒng)的實際運動路徑是使作用在系統(tǒng)上的總變分達到極小值的路徑。3.1.1哈密頓原理考慮一個彈性體在給定的外力作用下，其位移場為ux。哈密頓原理可以表述為：在所有可能的位移場中，實際的位移場是使總勢能泛函Π達到極小值的位移場?？倓菽芊汉坝蓮椥泽w的內能U和外力做的功WΠ對于一個一維彈性桿，其內能U可以表示為：U其中，σ是應力，ε是應變，Ω是彈性體的體積。外力做的功W可以表示為：W其中，f是體力，t是表面力，Γ是彈性體的表面。3.1.2變分極小化為了找到使Π極小化的位移場ux，我們對Π進行變分計算。變分計算是尋找泛函極值的一種方法，類似于微積分中尋找函數(shù)極值的方法。變分計算的結果是一個微分方程，稱為歐拉-拉格朗日方程，它是位移場u對于彈性問題，歐拉-拉格朗日方程通常是一個偏微分方程，其形式取決于具體的彈性體模型和外力分布。例如，對于一維彈性桿，歐拉-拉格朗日方程可以簡化為：d其中，E是彈性模量，A是橫截面積，fx3.2有限元離散化過程有限元法將連續(xù)的彈性問題轉化為一系列離散的代數(shù)方程，從而可以使用數(shù)值方法求解。這個過程包括將彈性體劃分為有限個單元，定義每個單元上的插值函數(shù)，以及計算每個單元的剛度矩陣和載荷向量。3.2.1單元劃分首先，將彈性體劃分為有限個單元。每個單元可以是線性的、三角形的、四邊形的、六面體的等，具體取決于問題的幾何形狀。單元劃分的目的是將連續(xù)的彈性體轉化為一系列離散的、易于處理的子區(qū)域。3.2.2插值函數(shù)在每個單元上，定義一組插值函數(shù)Ni，用于近似單元內的位移場uu其中，u1和u2是單元兩端的位移，N13.2.3剛度矩陣和載荷向量使用插值函數(shù)，可以將歐拉-拉格朗日方程轉化為每個單元的剛度矩陣K和載荷向量F。剛度矩陣描述了單元內部的力與位移之間的關系，載荷向量描述了外力對單元的影響。對于一維線性單元，剛度矩陣和載荷向量可以表示為：KF其中，Ωe是單元的體積，Γ3.2.4組裝和求解將所有單元的剛度矩陣和載荷向量組裝成全局剛度矩陣K和全局載荷向量F，得到一個代數(shù)方程組：K其中，u是所有節(jié)點的位移向量，F(xiàn)是所有節(jié)點的外力向量。這個方程組可以通過數(shù)值方法求解，例如高斯消元法、共軛梯度法等。3.2.5示例代碼以下是一個使用Python和NumPy庫求解一維彈性桿問題的示例代碼：importnumpyasnp

#定義單元的剛度矩陣和載荷向量

defstiffness_matrix(E,A,L):

"""

計算一維線性單元的剛度矩陣

:paramE:彈性模量

:paramA:橫截面積

:paramL:單元長度

:return:單元剛度矩陣

"""

k=E*A/L

returnnp.array([[k,-k],[-k,k]])

defload_vector(f,L):

"""

計算一維線性單元的載荷向量

:paramf:體力

:paramL:單元長度

:return:單元載荷向量

"""

returnnp.array([f*L/2,f*L/2])

#定義全局剛度矩陣和載荷向量

defglobal_stiffness_matrix(elements,E,A):

"""

組裝所有單元的剛度矩陣為全局剛度矩陣

:paramelements:單元列表

:paramE:彈性模量

:paramA:橫截面積

:return:全局剛度矩陣

"""

n=len(elements)+1

K=np.zeros((n,n))

fori,(x1,x2)inenumerate(elements):

L=x2-x1

Ke=stiffness_matrix(E,A,L)

K[i:i+2,i:i+2]+=Ke

returnK

defglobal_load_vector(elements,f):

"""

組裝所有單元的載荷向量為全局載荷向量

:paramelements:單元列表

:paramf:體力

:return:全局載荷向量

"""

n=len(elements)+1

F=np.zeros(n)

fori,(x1,x2)inenumerate(elements):

L=x2-x1

Fe=load_vector(f,L)

F[i:i+2]+=Fe

returnF

#定義彈性桿的參數(shù)

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

A=0.01#橫截面積，單位：m^2

f=1000#體力，單位：N/m

L=1.0#彈性桿的總長度，單位：m

n=10#單元數(shù)量

#劃分彈性桿為n個單元

elements=[(i*L/n,(i+1)*L/n)foriinrange(n)]

#計算全局剛度矩陣和載荷向量

K=global_stiffness_matrix(elements,E,A)

F=global_load_vector(elements,f)

#應用邊界條件

K[0,:]=0

K[0,0]=1

F[0]=0

#求解位移向量

u=np.linalg.solve(K,F)

#輸出位移向量

print(u)在這個示例中，我們定義了一個一維彈性桿，其總長度為1.0米，彈性模量為200GPa，橫截面積為0.01平方米，體力為1000N/m。我們將彈性桿劃分為10個線性單元，然后計算每個單元的剛度矩陣和載荷向量，組裝成全局剛度矩陣和載荷向量。最后，我們應用邊界條件，求解位移向量，并輸出結果。這個示例代碼展示了有限元法的基本思想和實現(xiàn)步驟，包括單元劃分、插值函數(shù)、剛度矩陣和載荷向量的計算、組裝和求解。在實際應用中，有限元法可以處理更復雜的彈性問題，例如二維和三維彈性體、非線性材料、接觸問題等。4插值函數(shù)在FEM中的應用4.1節(jié)點位移插值在有限元方法(FEM)中，插值函數(shù)用于在單元內部從節(jié)點位移推導出任意點的位移。這通過定義一組形函數(shù)來實現(xiàn)，形函數(shù)描述了節(jié)點位移如何影響單元內部的位移分布。形函數(shù)必須滿足以下條件：在每個節(jié)點上，對應的形函數(shù)值為1，而其他節(jié)點上的形函數(shù)值為0。形函數(shù)在整個單元內連續(xù)，且在單元邊界上滿足邊界條件。形函數(shù)的線性組合能夠精確表示單元內部的位移。4.1.1示例：線性桿單元的節(jié)點位移插值假設我們有一個線性桿單元，兩端有節(jié)點1和節(jié)點2，節(jié)點位移分別為u1和u2。我們可以定義形函數(shù)N1N1x=1?N2單元內部任意點x的位移uxu4.1.2Python代碼示例#定義線性桿單元的形函數(shù)

defN1(x,L):

"""節(jié)點1的形函數(shù)"""

return1-x/L

defN2(x,L):

"""節(jié)點2的形函數(shù)"""

returnx/L

#桿的長度和節(jié)點位移

L=1.0

u1=0.01

u2=0.02

#計算單元內部任意點的位移

x=0.5*L#選擇單元中間點

u_x=N1(x,L)*u1+N2(x,L)*u2

print(f"在x={x}處的位移為:{u_x}")4.2形函數(shù)與位移模式形函數(shù)不僅用于節(jié)點位移插值，還用于定義單元的位移模式。位移模式描述了單元內部位移與節(jié)點位移之間的關系，它由形函數(shù)的線性組合構成。形函數(shù)的選擇取決于單元的幾何形狀和位移的假設。4.2.1示例：四邊形單元的位移模式對于一個四邊形單元，我們通常使用雙線性形函數(shù)來描述位移模式。假設單元有四個節(jié)點，節(jié)點位移分別為u1NNNN其中ξ和η是局部坐標。單元內部任意點ξ,η的位移u4.2.2Python代碼示例#定義四邊形單元的形函數(shù)

defN1(xi,eta):

"""節(jié)點1的形函數(shù)"""

return0.25*(1-xi)*(1-eta)

defN2(xi,eta):

"""節(jié)點2的形函數(shù)"""

return0.25*(1+xi)*(1-eta)

defN3(xi,eta):

"""節(jié)點3的形函數(shù)"""

return0.25*(1+xi)*(1+eta)

defN4(xi,eta):

"""節(jié)點4的形函數(shù)"""

return0.25*(1-xi)*(1+eta)

#節(jié)點位移

u1=0.01

u2=0.02

u3=0.03

u4=0.04

#選擇單元內部的點

xi=0.5

eta=0.5

#計算位移

u_xi_eta=N1(xi,eta)*u1+N2(xi,eta)*u2+N3(xi,eta)*u3+N4(xi,eta)*u4

print(f"在(xi,eta)=({xi},{eta})處的位移為:{u_xi_eta}")通過上述示例，我們可以看到形函數(shù)如何幫助我們從已知的節(jié)點位移推導出單元內部任意點的位移，這是有限元分析中一個關鍵的步驟。5數(shù)值積分在FEM中的角色5.1Gauss積分點的選擇在有限元方法(FEM)中，數(shù)值積分主要用于計算單元的剛度矩陣和質量矩陣。Gauss積分是一種高效的數(shù)值積分技術，它通過在積分區(qū)間內選擇特定的積分點和權重來近似積分值。Gauss積分點的選擇對于保證計算的精度和效率至關重要。5.1.1原理Gauss積分基于正交多項式理論，對于一個在[-1,1]區(qū)間上的積分，Gauss積分公式可以表示為：?其中，xi是Gauss積分點，w5.1.2內容在FEM中，通常使用Gauss積分來計算單元貢獻的剛度矩陣。例如，對于一個線性單元，可能只需要一個積分點；而對于一個二次單元，可能需要兩個或更多的積分點。選擇的積分點數(shù)量取決于單元的形狀函數(shù)和積分的精度要求。5.1.2.1例子假設我們有一個1D線性單元，其形狀函數(shù)為N1x=1?x2和N2x對于1D線性單元，我們通常選擇一個Gauss積分點x1=0K5.2數(shù)值積分在求解剛度矩陣中的應用數(shù)值積分在FEM中求解剛度矩陣時扮演著核心角色。剛度矩陣的計算通常涉及對單元貢獻的積分，這些積分可能在復雜的幾何形狀和材料屬性下變得難以解析求解。數(shù)值積分提供了一種有效的方法來近似這些積分，從而簡化了計算過程。5.2.1原理剛度矩陣K的計算通常涉及對單元貢獻的積分，即：K其中，B是應變矩陣，D是彈性矩陣，Ω是單元的體積。在實際計算中，這個積分通常被轉換為在[-1,1]區(qū)間上的積分，然后使用Gauss積分點和權重來近似。5.2.2內容對于不同的單元類型，Gauss積分點的選擇和計算過程會有所不同。例如，對于一個2D四邊形單元，我們可能需要在每個單元內選擇多個Gauss積分點來近似積分。積分點的選擇和權重的計算通常基于單元的幾何形狀和材料屬性。5.2.2.1例子考慮一個2D四邊形單元，其形狀函數(shù)為雙線性函數(shù)。我們需要計算該單元的剛度矩陣K，其中Ki對于2D四邊形單元，我們通常選擇4個Gauss積分點，分別位于單元的四個象限中心。每個積分點的坐標和權重如下：x1=?13,x2=13,x3=?13,x4=13,因此，剛度矩陣的計算可以表示為：K這個公式表明，我們可以通過在每個Gauss積分點上計算應變矩陣B和彈性矩陣D的乘積，然后將結果加權求和，來近似整個單元的剛度矩陣。5.2.3結論數(shù)值積分，特別是Gauss積分，在有限元方法中是不可或缺的。它不僅簡化了復雜積分的計算，還提高了計算的效率和精度。通過合理選擇Gauss積分點和權重，我們可以有效地計算出單元的剛度矩陣，從而為整個結構的分析提供基礎。6有限元法的實現(xiàn)與優(yōu)化6.1編程實現(xiàn)FEM在實現(xiàn)有限元法(FEM)時，編程是將理論轉化為實際應用的關鍵步驟。以下是一個使用Python實現(xiàn)的簡單FEM程序，用于解決一維彈性問題。我們將使用線性插值函數(shù)和高斯積分點進行數(shù)值積分。6.1.1維彈性問題的FEM實現(xiàn)假設我們有一個長度為L的彈性桿，兩端固定，受到均勻分布的載荷q。桿的彈性模量為E，截面積為A。我們使用FEM來求解桿的位移。6.1.1.1步驟1:導入必要的庫importnumpyasnp

importscipy.linalg6.1.1.2步驟2:定義問題參數(shù)#材料參數(shù)

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

A=0.001#截面積，單位：m^2

#幾何參數(shù)

L=1.0#桿的長度，單位：m

n_elements=10#元素數(shù)量

element_length=L/n_elements#單個元素的長度

#載荷參數(shù)

q=10000#均勻分布載荷，單位：N/m6.1.1.3步驟3:定義單元剛度矩陣defelement_stiffness_matrix(E,A,L):

"""計算單個元素的剛度矩陣"""

k=E*A/L

returnnp.array([[k,-k],[-k,k]])6.1.1.4步驟4:組裝全局剛度矩陣defassemble_global_stiffness_matrix(n_elements,element_length,E,A):

"""組裝全局剛度矩陣"""

global_stiffness=np.zeros((n_elements+1,n_elements+1))

foriinrange(n_elements):

local_stiffness=element_stiffness_matrix(E,A,element_length)

global_stiffness[i:i+2,i:i+2]+=local_stiffness

returnglobal_stiffness6.1.1.5步驟5:定義載荷向量defload_vector(n_elements,q,element_length):

"""計算載荷向量"""

load=np.zeros(n_elements+1)

load[1:-1]=q*element_length/2

returnload*2#因為載荷在兩個節(jié)點上6.1.1.6步驟6:解決邊界條件并求解defsolve_displacements(global_stiffness,load,n_elements):

"""解決邊界條件并求解位移"""

#應用邊界條件

global_stiffness[0,:]=0

global_stiffness[:,0]=0

global_stiffness[0,0]=1

load[0]=0

global_stiffness[-1,:]=0

global_stiffness[:,-1]=0

global_stiffness[-1,-1]=1

load[-1]=0

#求解位移

displacements=scipy.linalg.solve(global_stiffness,load)

returndisplacements6.1.1.7步驟7:主程序#組裝全局剛度矩陣

global_stiffness=assemble_global_stiffness_matrix(n_elements,element_length,E,A)

#計算載荷向量

load=load_vector(n_elements,q,element_length)

#求解位移

displacements=solve_displacements(global_stiffness,load,n_elements)

#輸出結果

print("Displacements:",displacements)6.1.2數(shù)值積分與插值函數(shù)的優(yōu)化技巧在FEM中，數(shù)值積分用于計算剛度矩陣和載荷向量中的積分項。高斯積分是一種常用的數(shù)值積分方法，它通過在積分區(qū)間內選取高斯點和相應的權重來近似積分。6.1.2.1高斯積分點對于一維問題，高斯積分點通常位于元素的中心。例如，對于二次插值函數(shù)，我們可能需要兩個高斯點。6.1.2.2插值函數(shù)優(yōu)化插值函數(shù)用于在元素內插值位移和應力。線性插值函數(shù)是最簡單的形式，但在某些情況下，使用更高階的插值函數(shù)可以提高精度。例如，對于二次插值函數(shù)，我們有：defquadratic_interpolation(xi,x1,x2,x3,u1,u2,u3):

"""二次插值函數(shù)"""

N1=(1-xi)*(1-xi*2)/2

N2=(1+xi)*(1-xi*2)/2

N3=xi*xi*4

returnN1*u1+N2*u2+N3*u36.1.2.3高斯積分優(yōu)化使用高斯積分點和權重可以顯著減少計算量，同時保持較高的精度。例如，對于二次插值函數(shù)，我們可以使用兩個高斯點：gauss_points=np.array([-1/np.sqrt(3),1/np.sqrt(3)])

gauss_weights=np.array([1,1])在計算剛度矩陣時，我們可以使用這些高斯點和權重：defstiffness_matrix_quadratic(E,A,x1,x2,x3):

"""使用高斯積分計算二次插值函數(shù)的剛度矩陣"""

L=x3-x1

xi=gauss_points

w=gauss_weights

B=np.zeros((1,3))

K=np.zeros((3,3))

foriinrange(len(xi)):

N1=(1-xi[i])*(1-xi[i]*2)/2

N2=(1+xi[i])*(1-xi[i]*2)/2

N3=xi[i]*xi[i]*4

dN1=-2+4*xi[i]

dN2=-2-4*xi[i]

dN3=8*xi[i]

B[0,:]=[dN1,dN2,dN3]/L

K+=B.T@B*E*A*w[i]*L/2

returnK通過上述步驟，我們可以有效地實現(xiàn)和優(yōu)化FEM程序，以解決復雜的彈性力學問題。使用高階插值函數(shù)和高斯積分可以提高計算精度，同時減少計算時間。7案例分析與實踐7.1平面應力問題的FEM分析7.1.1原理與內容平面應力問題通常出現(xiàn)在薄板結構中，其中厚度方向的應力可以忽略不計。在有限元法(FEM)中，這類問題的分析涉及將結構離散化為多個單元，然后在每個單元上應用插值函數(shù)來近似位移場，最終通過數(shù)值積分求解整個結構的平衡方程。7.1.1.1插值函數(shù)在平面應力問題中，位移場通常由線性或二次插值函數(shù)表示。以四邊形單元為例，位移場可以表示為：uv其中，Nix,y是形狀函數(shù)，7.1.1.2數(shù)值積分在求解單元剛度矩陣時，需要計算應力應變矩陣與形狀函數(shù)導數(shù)的乘積在單元上的積分。這通常通過高斯積分點進行數(shù)值積分來實現(xiàn)，以提高計算效率和精度。7.1.2示例：平面應力問題的FEM分析假設我們有一個矩形薄板，其尺寸為10mx5m，厚度為0.1m，材料為鋼，彈性模量E=200GPa7.1.2.1數(shù)據(jù)樣例材料屬性:彈性模量E泊松比ν幾何尺寸:長度L寬度W厚度t面力:p7.1.2.2代碼示例importnumpyasnp

#材料屬性

E=200e9#彈性模量

nu=0.3#泊松比

t=0.1#厚度

#幾何尺寸

L=10#長度

W=5#寬度

#面力

p=100e3#面力大小

#單元剛度矩陣計算

defstiffness_matrix(E,nu,t,x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4):

#計算雅可比矩陣

J=np.zeros((2,2))

J[0,0]=(x2-x1)/2

J[0,1]=(x3-x1)/2

J[1,0]=(y2-y1)/2

J[1,1]=(y3-y1)/2

#計算雅可比矩陣的逆

J_inv=np.linalg.inv(J)

#計算應力應變矩陣

D=E/(1-nu**2)*np.array([[1,nu,0],[nu,1,0],[0,0,(1-nu)/2]])

#計算形狀函數(shù)導數(shù)

B=np.zeros((3,8))

B[0,0]=J_inv[0,0]

B[0,2]=J_inv[0,0]

B[0,4]=J_inv[0,1]

B[0,6]=J_inv[0,1]

B[1,1]=J_inv[1,1]

B[1,3]=J_inv[1,1]

B[1,5]=J_inv[1,0]

B[1,7]=J_inv[1,0]

B[2,0]=J_inv[1,1]

B[2,1]=J_inv[0,1]

B[2,2]=J_inv[1,0]

B[2,3]=J_inv[0,0]

B[2,4]=J_inv[1,1]

B[2,5]=J_inv[0,1]

B[2,6]=J_inv[1,0]

B[2,7]=J_inv[0,0]

#計算單元剛度矩陣

K=t*np.dot(np.dot(B.T,D),B)

returnK

#節(jié)點坐標

nodes=np.array([[0,0],[L,0],[L,W],[0,W]])

#單元節(jié)點

elements=np.array([[0,1,2,3]])

#計算單元剛度矩陣

K=stiffness_matrix(E,nu,t,*nodes[elements[0]].flatten())

#輸出單元剛度矩陣

print(K)7.1.2.3描述上述代碼示例展示了如何計算一個四邊形單元的剛度矩陣。首先，定義了材料屬性、幾何尺寸和面力。然后，通過stiffness_matrix函數(shù)計算單元剛度矩陣，該函數(shù)接收材料屬性、厚度、節(jié)點坐標作為輸入，并返回單元剛度矩陣。在計算過程中，使用了雅可比矩陣來轉換局部坐標到全局坐標，以及計算形狀函數(shù)導數(shù)。最后，輸出了計算得到的單元剛度矩陣。7.2維彈性問題的數(shù)值求解7.2.1原理與內容三維彈性問題的FEM分析涉及更復雜的插值函數(shù)和數(shù)值積分。位移場通常由三維單元的形狀函數(shù)表示，而應力應變關系則由三維的胡克定律給出。數(shù)值積分在三維空間中進行，通常使用更密集的高斯積分點。7.2.1.1插值函數(shù)在三維問題中，位移場可以表示為：uvw其中，Nix,y,z是三維形狀函數(shù)，ui7.2.1.2數(shù)值積分三維問題的數(shù)值積分通常在每個單元的體積上進行，使用高斯積分點來近似積分。7.2.2示例：三維彈性問題的FEM分析假設我們有一個立方體結構，其尺寸為1mx1mx1m，材料為鋁，彈性模量E=70GPa7.2.2.1數(shù)據(jù)樣例材料屬性:彈性模量E泊松比ν幾何尺寸:長度L寬度W高度H體力:f7.2.2.2代碼示例importnumpyasnp

#材料屬性

E=70e9#彈性模量

nu=0.33#泊松比

f=10e3#體力大小

#幾何尺寸

L=1#長度

W=1#寬度

H=1#高度

#單元剛度矩陣計算

defstiffness_matrix_3D(E,nu,x1,y1,z1,x2,y2,z2,x3,y3,z3,x4,y4,z4,x5,y5,z5,x6,y6,z6,x7,y7,z7,x8,y8,z8):

#計算雅可比矩陣

J=np.zeros((3,3))

J[0,0]=(x2-x1)/2

J[0,1]=(x3-x1)/2

J[0,2]=(x4-x1)/2

J[1,0]=(y2-y1)/2

J[1,1]=(y3-y1)/2

J[1,2]=(y4-y1)/2

J[2,0]=(z2-z1)/2

J[2,1]=(z3-z1)/2

J[2,2]=(z4-z1)/2

#計算雅可比矩陣的逆

J_inv=np.linalg.inv(J)

#計算應力應變矩陣

D=E/((1+nu)*(1-2*nu))*np.array([[1-nu,nu,nu,0,0,0],[nu,1-nu,nu,0,0,0],[nu,nu,1-nu,0,0,0],[0,0,0,(1-2*nu)/2,0,0],[0,0,0,0,(1-2*nu)/2,0],[0,0,0,0,0,(1-2*nu)/2]])

#計算形狀函數(shù)導數(shù)

B=np.zeros((6,24))

B[0,0]=J_inv[0,0]

B[0,3]=J_inv[0,0]

B[0,6]=J_inv[0,0]

B[0,9]=J_inv[0,0]

B[0,