黑龍江省大慶四中2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第二次檢測試題理含解析

PAGE18-黑龍江省大慶四中2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期其次次檢測試題理（含解析）一、選擇題1.復(fù)數(shù),則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為()A.第一象限 B.其次象限 C.第三象跟 D.第四象限【答案】D【解析】【詳解】由復(fù)數(shù)，得，又有復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算及幾何意義.2.已知兩組數(shù)據(jù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表所示，若依據(jù)表中的數(shù)據(jù)得出關(guān)于的線性回來方程為，則表中的值為（）2456830385072A.50 B.55 C.56.5 D.60【答案】D【解析】由表中數(shù)據(jù)，計(jì)算，回來直線方程過樣本中心，，解得，故選D.3.某班有50名學(xué)生,一次考試后數(shù)學(xué)成果ξ~N(110,102),若P(100≤ξ≤110)=0.34,則估計(jì)該班學(xué)生數(shù)學(xué)成果在120分以上的人數(shù)為()A.10 B.9 C.8 D.7【答案】C【解析】【分析】依據(jù)考試的成果ξ聽從正態(tài)分布N（110，102）．得到考試的成果ξ關(guān)于ξ=110對(duì)稱，依據(jù)P（100≤ξ≤110）=0.34，得到P（ξ≥120）=0.16，依據(jù)頻率乘以樣本容量得到這個(gè)分?jǐn)?shù)段上的人數(shù)．【詳解】∵考試的成果ξ聽從正態(tài)分布N（110，102）．∴考試的成果ξ關(guān)于ξ=110對(duì)稱，∵P（100≤ξ≤110）=0.34，∴P（ξ≥120）=P（ξ≤100）=（1﹣0.34×2）=0.16，∴該班數(shù)學(xué)成果在120分以上的人數(shù)為0.16×50=8．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，是一個(gè)基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是考試的成果ξ關(guān)于ξ=110對(duì)稱，利用對(duì)稱寫出要用的一段分?jǐn)?shù)的頻數(shù)，題目得解．4.對(duì)兩個(gè)變量進(jìn)行回來分析，得到一組樣本數(shù)據(jù)：，則下列說法中不正確的是（）A.由樣本數(shù)據(jù)得到的回來方程必過樣本中心B.殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好C.用相關(guān)指數(shù)來刻畫回來效果，越小，說明模型擬合效果越好D.若變量之間相關(guān)系數(shù)為，則變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系【答案】C【解析】解：樣本中心點(diǎn)在直線上，故A正確，殘差平方和越小的模型，擬合效果越好，故B正確，R2越大擬合效果越好，故C不正確，當(dāng)r的值大于0.75時(shí)，表示兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系，故選C5.已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和微小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.－1＜a＜2 B.－3＜a＜6 C.a＜－3或a＞6 D.a＜－1或a＞2【答案】C【解析】【分析】易得有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,再依據(jù)二次函數(shù)的判別式求解即可.【詳解】由題有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根,故,解得或.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了依據(jù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)求解參數(shù)的問題,屬于基礎(chǔ)題.6.等于()A. B.2 C.-2 D.+2【答案】D【解析】∵.故選D7.一名老師和兩名男生兩名女生站成一排照相，要求兩名女生必需站在一起且老師不站在兩端，則不同站法的種數(shù)為()．A.8 B.12 C.16 D.24【答案】D【解析】兩名女生站一起有種站法，她們與兩個(gè)男生站一起共有種站法，老師站在他們的中間有＝24種站法，故應(yīng)選D.8.若，則等于（）A.2 B.0 C.-2 D.-4【答案】D【解析】【分析】先求導(dǎo)，算出，然后即可求出【詳解】因?yàn)?，所以所以，得所以，所以故選：D【點(diǎn)睛】本題考查的是導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，較簡潔.9.現(xiàn)要制作一個(gè)圓錐形漏斗,其母線長為t，要使其體積最大,其高為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)圓錐形漏斗的高為,我們可以表示出底面半徑,進(jìn)而得到圓錐體積的表達(dá)式,利用導(dǎo)數(shù)法,易得到體積取最大值時(shí),高與母線之間的關(guān)系.【詳解】解:設(shè)圓錐形漏斗的高為,則圓錐的底面半徑為則圓錐的體積則,令則當(dāng)高時(shí),圓錐的體積取最大值,所以B選項(xiàng)是正確的.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓錐的體積公式，屬于中檔題.10.將9個(gè)相同的小球放入3個(gè)不同的盒子，要求每個(gè)盒子中至少有一個(gè)小球，且每個(gè)盒子里的小球個(gè)數(shù)都不相同，則不同的放法有A.15種 B.18種 C.19種 D.21種【答案】B【解析】【詳解】每個(gè)盒子先放一個(gè)球，用去3個(gè)球，則不同放法就是剩余6個(gè)球的放法；有兩類：第一，6個(gè)球分成1,5或2,4兩組，共有種方法；其次，6個(gè)球分成1,2,3三組，有種方法．所以不同放法共有12+6=18種．故選B11.設(shè)函數(shù)，函數(shù)，若對(duì)于，，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)對(duì)于，，使成立，用導(dǎo)數(shù)法求得的最小值，用二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最小值，再解不等式即可.【詳解】因?yàn)椋?，，，，?dāng)時(shí)，，所以在上是增函數(shù)，所以函數(shù)取得最小值.因?yàn)?，?dāng)時(shí)，取得最小值，因?yàn)閷?duì)于，，使成立，所以，不成立；當(dāng)時(shí)，取得最小值，因?yàn)閷?duì)于，，使成立，所以，解得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，取得最小值，因?yàn)閷?duì)于，，使成立，所以，解得，此時(shí)；綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查雙變量問題以及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)，還考查了分類探討的思想和運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.12.設(shè)函數(shù)的圖象與直線有且僅有四個(gè)公共點(diǎn)，這四個(gè)公共點(diǎn)橫坐標(biāo)的最大值為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】畫出的圖象，結(jié)合的圖象與直線有且僅有四個(gè)公共點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)，求得正確結(jié)論.【詳解】畫出的圖象如下圖所示，依題意的圖象與直線有且僅有四個(gè)公共點(diǎn)，由此可知，與在區(qū)間相切.當(dāng)時(shí)，，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，所以切線方程為，將原點(diǎn)坐標(biāo)代入上式得.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)切線，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.二、填空題13.在的綻開式中，常數(shù)項(xiàng)為．【答案】【解析】試題分析：常數(shù)項(xiàng)為，系數(shù)為．考點(diǎn)：二項(xiàng)式綻開式．14.______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)定積分的運(yùn)算，將函數(shù)分為兩個(gè)部分，分別用定積分的幾何意義和微積分基本定理求解，再合并起來即可．【詳解】由定積分的幾何意義可知表示圓的部分，即，由微積分基本定理可知，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了定積分的求法，定積分幾何意義與微積分基本定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．15.對(duì)大于或等于的自然數(shù)，的次方冪有如下分解方式：，，，，，，依據(jù)上述分解規(guī)律，若，的分解式中最小的數(shù)是，則______.【答案】【解析】【分析】通過已知條件,歸納總結(jié)一般的結(jié)論（猜想),通過前三個(gè)已知的等式的規(guī)律，得，通過后三個(gè)等式的規(guī)律，得，則.【詳解】由；視察得，，故，所以；由；視察得，，因?yàn)榈姆纸馐街凶钚〉臄?shù)是21，，所以，則.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題通過視察幾組等式，歸納出一般規(guī)律來考查歸納推理，屬于中檔題.16.設(shè)定義在上的函數(shù)滿意，，其中是的導(dǎo)函數(shù)；則不等式的解集為______.【答案】【解析】【分析】確定函數(shù)在上是增函數(shù)，不等式轉(zhuǎn)化為，即可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)椋?，設(shè)，所以在上是增函數(shù)，因?yàn)椴坏仁剑淼茫?，又因?yàn)椋?，所以?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，正確構(gòu)建函數(shù)是關(guān)鍵.屬于較難題.三、解答題17.已知函數(shù).（1）求在處的切線方程；（2）設(shè)，求函數(shù)的極值.【答案】（1）；（2）微小值，無極大值.【解析】【分析】（1）利用切點(diǎn)和斜率，求得切線方程.（2）首先求得的解析式和定義域，然后求得的導(dǎo)函數(shù)，依據(jù)導(dǎo)函數(shù)探討的單調(diào)性和極值.【詳解】（1），，，所以，故所求的切線方程為.（2），函數(shù)定義域?yàn)?，，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在遞增，故微小值，無極大值.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的極值，屬于中檔題.18.某市教化與環(huán)保部門聯(lián)合組織該市中學(xué)參與市中學(xué)生環(huán)保學(xué)問團(tuán)體競賽，依據(jù)競賽規(guī)則，某中學(xué)選拔出8名同學(xué)組成參賽隊(duì)，其中初中學(xué)部選出的3名同學(xué)有2名女生；中學(xué)學(xué)部選出的5名同學(xué)有3名女生，競賽組委會(huì)將從這8名同學(xué)中隨機(jī)選出4人參與競賽.（Ⅰ）設(shè)“選出的4人中恰有2名女生，而且這2名女生來自同一個(gè)學(xué)部”為事務(wù),求事務(wù)的概率；（Ⅱ）設(shè)為選出的4人中女生的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列略，期望為．【解析】試題分析：（Ⅰ）由排列組合學(xué)問求得基本領(lǐng)件數(shù)，利用古典概型的概率公式進(jìn)行求解；（Ⅱ）利用超幾何分布的概率公式求出每個(gè)變量對(duì)應(yīng)的概率，列表得到分布列，再利用期望公式進(jìn)行求解．試題解析：（Ⅰ）由已知，得，所以事務(wù)的概率為.（Ⅱ）隨機(jī)變量的全部可能取值為1,2,3,4.由已知得.所以隨機(jī)變量的分布列為：

1

2

3

4

隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.考點(diǎn)：1.古典概型；2.超幾何分布．19.已知函數(shù)，求證：.【答案】證明見解析.【解析】【分析】令，利用導(dǎo)數(shù)推斷其單調(diào)性，證明，從而得到，再利用導(dǎo)數(shù)探討的單調(diào)性，證明即可.【詳解】設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴，又，故，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，∴，綜上，有.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查學(xué)生的邏輯推理與運(yùn)算求解實(shí)力.20.為了探討家用轎車在高速馬路上的車速狀況，交通部門對(duì)100名家用轎車駕駛員進(jìn)行調(diào)查，得到其在高速馬路上行駛時(shí)的平均車速狀況為：在55名男性駕駛員中，平均車速超過100的有40人；在45名女性駕駛員中，平均車速不超過100的有25人.（1）完成下面的列聯(lián)表，并推斷是否有99.5%的把握認(rèn)為平均車速超過100的人與性別有關(guān).平均車速超過100人數(shù)平均車速不超過100人數(shù)合計(jì)男性駕駛員人數(shù)女性駕駛員人數(shù)合計(jì)（2）以上述數(shù)據(jù)樣原來估計(jì)總體，現(xiàn)從高速馬路上行駛的大量家用轎車中隨機(jī)抽取3輛，記這3輛車中駕駛員為男性且車速超過100的車輛數(shù)為，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式與數(shù)據(jù)：，其中0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）填表見解析；有；（2）分布列見解析；期望為.【解析】【分析】（1）依據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，完成列聯(lián)表，求出，從而有99.5%的把握認(rèn)為平均車速超過100km/h與性別有關(guān)；

（2）記這3輛車中駕駛員為男性且車速超過100km/h的車輛數(shù)為，推導(dǎo)出聽從二項(xiàng)分布，即，由此能求出的分布列與數(shù)學(xué)期望.【詳解】解：（1）平均車速超過100km/h人數(shù)平均車速不超過100km/h人數(shù)合計(jì)男性駕駛員人數(shù)401555女性駕駛員人數(shù)202545合計(jì)6040100因?yàn)?，所以?9.5%的把握認(rèn)為平均車速超過100km/h與性別有關(guān)；（2）依據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，從高速馬路上行駛的大量家用轎車中隨機(jī)抽取1輛，駕駛員為男性且車速超過100km/h的車輛的概率為，可取值是0，1，2，3，由題知，有：，，，，分布列為0123.【點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查二項(xiàng)分布，隨機(jī)變量的分布列與期望的計(jì)算，考查學(xué)生的數(shù)據(jù)分析和運(yùn)算求解實(shí)力.21.已知函數(shù).（1）當(dāng)且時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，關(guān)于的方程有三個(gè)不同的實(shí)根，求的取值范圍.【答案】（1）答案不唯一，詳細(xì)見解析；（2）.【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)數(shù)，依據(jù)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)狀況對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類探討，探討導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)區(qū)間，進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）將方程的根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與水平直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，利用（1）的結(jié)論，探討函數(shù)的最值和圖象，進(jìn)而得到參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域是，.①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，在上恒成立，的增區(qū)間為，的減區(qū)間為.②當(dāng)時(shí)，，在和上恒成立，在上恒成立.∴時(shí)，的增區(qū)間為和，的減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）若，，關(guān)于的方程有三個(gè)不同的實(shí)根，等價(jià)于的圖象與直線有三個(gè)交點(diǎn).，由解得或,由，解得.∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，，又∵當(dāng)趨近于時(shí)趨近于，當(dāng)在定義域內(nèi)趨近于0時(shí)，趨近于-，∴趨近于-，∴的圖象與直線有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題和方程的零點(diǎn)問題，考查分類探討思想和數(shù)形結(jié)合思想，考查運(yùn)算實(shí)力，邏輯思維實(shí)力，涉及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.屬中檔題.22.已知函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，其中.（1）求的值；（2）若對(duì)隨意的，有成立，求實(shí)數(shù)的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合題中條件得，列方程即可求出結(jié)果；（2）由（1）知，先分析，當(dāng)時(shí)，由