蘇科版2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)1.19全等三角形(全章知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解)(學(xué)生版+解析)

專題1.19全等三角形（全章知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】一般三角形直角三角形判定邊角邊（SAS）角邊角（ASA）角角邊（AAS）邊邊邊（SSS）兩直角邊對(duì)應(yīng)相等一邊一銳角對(duì)應(yīng)相等斜邊、直角邊定理（HL）性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等（其他對(duì)應(yīng)元素也相等，如對(duì)應(yīng)邊上的高相等）備注判定三角形全等必須有一組對(duì)應(yīng)邊相等【知識(shí)點(diǎn)一】全等三角形的判定與性質(zhì)

【知識(shí)點(diǎn)二】全等三角形的證明思路【知識(shí)點(diǎn)三】角平分線的性質(zhì)1.角的平分線的性質(zhì)定理

角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.

2.角的平分線的判定定理

角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.

3.三角形的角平分線三角形角平分線交于一點(diǎn)，且到三邊的距離相等.4.與角平分線有關(guān)的輔助線在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形；在角的平分線上取一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段.【知識(shí)點(diǎn)四】全等三角形證明方法全等三角形是平面幾何內(nèi)容的基礎(chǔ)，這是因?yàn)槿热切问茄芯刻厥馊切?、四邊形、相似圖形、圓等圖形性質(zhì)的有力工具，是解決與線段、角相關(guān)問(wèn)題的一個(gè)出發(fā)點(diǎn).運(yùn)用全等三角形，可以證明線段相等、線段的和差倍分關(guān)系、角相等、兩直線位置關(guān)系等常見(jiàn)的幾何問(wèn)題.可以適當(dāng)總結(jié)證明方法.1．證明線段相等的方法：(1)證明兩條線段所在的兩個(gè)三角形全等.(2)利用角平分線的性質(zhì)證明角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.(3)等式性質(zhì).2．證明角相等的方法：(1)利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明.(2)證明兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形全等.(3)利用角平分線的判定進(jìn)行證明.(4)同角（等角）的余角（補(bǔ)角）相等.(5)對(duì)頂角相等.3．證明兩條線段的位置關(guān)系（平行、垂直）的方法；可通過(guò)證明兩個(gè)三角形全等，得到對(duì)應(yīng)角相等，再利用平行線的判定或垂直定義證明.4．輔助線的添加:(1)作公共邊可構(gòu)造全等三角形；(2)倍長(zhǎng)中線法；(3)作以角平分線為對(duì)稱軸的翻折變換全等三角形；(4)利用截長(zhǎng)(或補(bǔ)短)法作旋轉(zhuǎn)變換的全等三角形.5.證明三角形全等的思維方法:（1）直接利用全等三角形判定和證明兩條線段或兩個(gè)角相等，需要我們敏捷、快速地發(fā)現(xiàn)兩條線段和兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形及它們?nèi)鹊臈l件.（2）如果要證明相等的兩條線段或兩個(gè)角所在的三角形全等的條件不充分時(shí)，則應(yīng)根據(jù)圖形的其它性質(zhì)或先證明其他的兩個(gè)三角形全等以補(bǔ)足條件.（3）如果現(xiàn)有圖形中的任何兩個(gè)三角形之間不存在全等關(guān)系，此時(shí)應(yīng)添置輔助線，使之出現(xiàn)全等三角形，通過(guò)構(gòu)造出全等三角形來(lái)研究平面圖形的性質(zhì).第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】利用全等三角形的性質(zhì)與判定求值或證明【例1】（23-24七年級(jí)下·河南平頂山·期末）如圖，在中，高，交于點(diǎn)F，且，（1）判斷，的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若平分，，求的長(zhǎng)．【變式1】（23-24七年級(jí)下·重慶·期中）如圖，在與中，三點(diǎn)在一條直線上，，，，若，，則的值為（

）

A． B． C． D．【變式2】（23-24七年級(jí)下·山東棗莊·階段練習(xí)）如圖所示，，則．【題型2】添加輔助線證明三角形全等并求值【例2】

（23-24七年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）閱讀與思考：在圖形與幾何的學(xué)習(xí)中，常常會(huì)遇到一些問(wèn)題無(wú)法直接解答，需要添加輔助線才能解決，比如下面的題目中出現(xiàn)了角平分線和垂線段，我們可以通過(guò)延長(zhǎng)垂線段與三角形的一邊相交構(gòu)造全等三角形，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題．例：如圖1，D是內(nèi)一點(diǎn)，且平分，連接，若的面積為10，求的面積．該問(wèn)題的解答過(guò)程如下：解：如圖2，過(guò)點(diǎn)B作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)交于點(diǎn)E，平分，，在和中，，（依據(jù)1）（依據(jù)2），，，，……（1）任務(wù)一：上述解答過(guò)程中的依據(jù)1，依據(jù)2分別是___________，____________；（2）任務(wù)二：請(qǐng)將上述解答過(guò)程的剩余部分補(bǔ)充完整；（3）應(yīng)用：如圖3，在中，，平分交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若，求的面積．【變式1】（23-24八年級(jí)上·重慶渝北·階段練習(xí)）如圖，在中，，，的平分線交于點(diǎn)D，，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若，則長(zhǎng)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【變式2】（20-21七年級(jí)下·廣東深圳·期末）如圖，在中，，，，且AE=AB，連接交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，則．【題型3】全等三角形的動(dòng)態(tài)問(wèn)題【例3】（23-24七年級(jí)下·河南鄭州·期末）已知在中，，，．點(diǎn)D為邊上一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)B作射線，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度沿射線的方向運(yùn)動(dòng)，連接．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，線段與相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）當(dāng)線段與的其中一邊垂直時(shí)，求出點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t的值．【變式1】（16-17八年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）已知：如圖，在長(zhǎng)方形中，．延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使，連接，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t的值為（）秒時(shí)，和全等．

A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7【變式2】（23-24七年級(jí)下·河北張家口·期中）如圖，在中，，，，E為AB上一動(dòng)點(diǎn)，的最小值為2.4，過(guò)點(diǎn)B作，且，連接、，則的面積為．【題型4】全等三角形的綜合問(wèn)題【例4】（23-24七年級(jí)下·遼寧沈陽(yáng)·期中）通過(guò)對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問(wèn)題：【模型呈現(xiàn)】某興趣小組在從漢代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖（如圖1，由外到內(nèi)含三個(gè)正方形）中提煉出兩個(gè)三角形全等模型圖（如圖2、圖3），即“一線三等角”模型和“K字”模型．【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖2，已知，中，，，一直線過(guò)頂點(diǎn)C，過(guò)A，B分別作其垂線，垂足分別為E，F(xiàn)．求證：；（2）如圖3，若改變直線的位置，其余條件與（1）相同，請(qǐng)直接寫(xiě)出，，之間的數(shù)量關(guān)系；【問(wèn)題提出】（3）在（2）的條件下，若，，則的面積為．（4）如圖4，四邊形中，，面積為18且的長(zhǎng)為9，則的面積為．【變式1】（23-24八年級(jí)下·四川眉山·期末）如圖，在中，，平分，于E，則下列結(jié)論：①平分；②；③平分；④；⑤A、D兩點(diǎn)一定在線段的垂直平分線上，其中正確的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【變式2】（2024八年級(jí)·全國(guó)·競(jìng)賽）如圖，，，，與交于點(diǎn)，連接，則的度數(shù)為．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·北京·中考真題）下面是“作一個(gè)角使其等于”的尺規(guī)作圖方法.（1）如圖，以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交，于點(diǎn)，；（2）作射線，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)；以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)；（3）過(guò)點(diǎn)作射線，則.

上述方法通過(guò)判定得到，其中判定的依據(jù)是（

）A．三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等B．兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等C．兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等D．兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等【例2】（2024·四川成都·中考真題）如圖，，若，，則的度數(shù)為．2、拓展延伸【例1】（23-24七年級(jí)下·陜西榆林·階段練習(xí)）在兩個(gè)不全等的三角形中，有兩組邊對(duì)應(yīng)相等，其中一組是公共邊，另一組等邊所對(duì)的角對(duì)應(yīng)相等，就稱這兩個(gè)三角形為“共邊黃金三角形”，相等的邊（非公共邊）所對(duì)的相等的角稱為“黃金角”．

（1）如圖，，則與______“共邊黃金三角形”．（填“是”或“不是”）（2）如圖，與是“共邊黃金三角形”，，則與的“黃金角”的度數(shù)為_(kāi)_____．（3）如圖，已知平分，，與是“共邊黃金三角形”，試說(shuō)明．【例2】（2024·北京門(mén)頭溝·一模）如圖，，，點(diǎn)在射線上，且，點(diǎn)在上且，連接，取的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)至，使，連接．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)．①用等式表示與的數(shù)量關(guān)系；②連接，，直接寫(xiě)出，的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，依題意補(bǔ)全圖形2，猜想②中的結(jié)論是否還成立，并證明．專題1.19全等三角形（全章知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】一般三角形直角三角形判定邊角邊（SAS）角邊角（ASA）角角邊（AAS）邊邊邊（SSS）兩直角邊對(duì)應(yīng)相等一邊一銳角對(duì)應(yīng)相等斜邊、直角邊定理（HL）性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等（其他對(duì)應(yīng)元素也相等，如對(duì)應(yīng)邊上的高相等）備注判定三角形全等必須有一組對(duì)應(yīng)邊相等【知識(shí)點(diǎn)一】全等三角形的判定與性質(zhì)

【知識(shí)點(diǎn)二】全等三角形的證明思路【知識(shí)點(diǎn)三】角平分線的性質(zhì)1.角的平分線的性質(zhì)定理

角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.

2.角的平分線的判定定理

角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.

3.三角形的角平分線三角形角平分線交于一點(diǎn)，且到三邊的距離相等.4.與角平分線有關(guān)的輔助線在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形；在角的平分線上取一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段.【知識(shí)點(diǎn)四】全等三角形證明方法全等三角形是平面幾何內(nèi)容的基礎(chǔ)，這是因?yàn)槿热切问茄芯刻厥馊切?、四邊形、相似圖形、圓等圖形性質(zhì)的有力工具，是解決與線段、角相關(guān)問(wèn)題的一個(gè)出發(fā)點(diǎn).運(yùn)用全等三角形，可以證明線段相等、線段的和差倍分關(guān)系、角相等、兩直線位置關(guān)系等常見(jiàn)的幾何問(wèn)題.可以適當(dāng)總結(jié)證明方法.1．證明線段相等的方法：(1)證明兩條線段所在的兩個(gè)三角形全等.(2)利用角平分線的性質(zhì)證明角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.(3)等式性質(zhì).2．證明角相等的方法：(1)利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明.(2)證明兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形全等.(3)利用角平分線的判定進(jìn)行證明.(4)同角（等角）的余角（補(bǔ)角）相等.(5)對(duì)頂角相等.3．證明兩條線段的位置關(guān)系（平行、垂直）的方法；可通過(guò)證明兩個(gè)三角形全等，得到對(duì)應(yīng)角相等，再利用平行線的判定或垂直定義證明.4．輔助線的添加:(1)作公共邊可構(gòu)造全等三角形；(2)倍長(zhǎng)中線法；(3)作以角平分線為對(duì)稱軸的翻折變換全等三角形；(4)利用截長(zhǎng)(或補(bǔ)短)法作旋轉(zhuǎn)變換的全等三角形.5.證明三角形全等的思維方法:（1）直接利用全等三角形判定和證明兩條線段或兩個(gè)角相等，需要我們敏捷、快速地發(fā)現(xiàn)兩條線段和兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形及它們?nèi)鹊臈l件.（2）如果要證明相等的兩條線段或兩個(gè)角所在的三角形全等的條件不充分時(shí)，則應(yīng)根據(jù)圖形的其它性質(zhì)或先證明其他的兩個(gè)三角形全等以補(bǔ)足條件.（3）如果現(xiàn)有圖形中的任何兩個(gè)三角形之間不存在全等關(guān)系，此時(shí)應(yīng)添置輔助線，使之出現(xiàn)全等三角形，通過(guò)構(gòu)造出全等三角形來(lái)研究平面圖形的性質(zhì).第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】利用全等三角形的性質(zhì)與判定求值或證明【例1】（23-24七年級(jí)下·河南平頂山·期末）如圖，在中，高，交于點(diǎn)F，且，（1）判斷，的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若平分，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)，理由見(jiàn)解析(2)3【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）運(yùn)用同角的余角相等證明，從而運(yùn)用證明，從而得解；（2）先證明得出，繼而求出，再由得出，從而得解．解：（1），理由如下：，，∴，∴，，∴，在和中，，∴，∴；（2）平分，∴，在和中，，∴，∴，∴，由（1）知，∴．【變式1】（23-24七年級(jí)下·重慶·期中）如圖，在與中，三點(diǎn)在一條直線上，，，，若，，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)三角形外角性質(zhì)、鄰補(bǔ)角定義及角的和差求出，，利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，，則，據(jù)此求解即可，熟練運(yùn)用全等三角形的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．解:∵，，，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，故選：．【變式2】（23-24七年級(jí)下·山東棗莊·階段練習(xí)）如圖所示，，則．【答案】/度【分析】本題考查了三角形全等的判定及性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)；用可判定，由三角形全等的性質(zhì)得，由三角形外角的性質(zhì)得，結(jié)合鄰補(bǔ)角即可求解；掌握全等三角形的判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．解：在和中，（），，∵，；∴，故答案：．【題型2】添加輔助線證明三角形全等并求值【例2】

（23-24七年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）閱讀與思考：在圖形與幾何的學(xué)習(xí)中，常常會(huì)遇到一些問(wèn)題無(wú)法直接解答，需要添加輔助線才能解決，比如下面的題目中出現(xiàn)了角平分線和垂線段，我們可以通過(guò)延長(zhǎng)垂線段與三角形的一邊相交構(gòu)造全等三角形，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題．例：如圖1，D是內(nèi)一點(diǎn)，且平分，連接，若的面積為10，求的面積．該問(wèn)題的解答過(guò)程如下：解：如圖2，過(guò)點(diǎn)B作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)交于點(diǎn)E，平分，，在和中，，（依據(jù)1）（依據(jù)2），，，，……（1）任務(wù)一：上述解答過(guò)程中的依據(jù)1，依據(jù)2分別是___________，____________；（2）任務(wù)二：請(qǐng)將上述解答過(guò)程的剩余部分補(bǔ)充完整；（3）應(yīng)用：如圖3，在中，，平分交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若，求的面積．【答案】(1)，全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；(2)見(jiàn)解析；(3)9．【分析】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)全等三角形判定和性質(zhì)即可得到答案；（2）先推出，得出，，進(jìn)而可得，即可得到答案；（3）延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，先推出，得到，再推出，得到，進(jìn)而求解即可．（1）上述解答過(guò)程中的依據(jù)1是：兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（或角邊角或），依據(jù)2是：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；（2）∵．即；（3）延長(zhǎng)交于點(diǎn)F．平分在和中，在中，在中，在和中【變式1】（23-24八年級(jí)上·重慶渝北·階段練習(xí)）如圖，在中，，，的平分線交于點(diǎn)D，，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若，則長(zhǎng)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，先證明，得到，再證明，得到，即可求出長(zhǎng)．解：如圖，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，，，，，，，在和中，，，，平分，，在和中，，，，，故選：C．【變式2】（20-21七年級(jí)下·廣東深圳·期末）如圖，在中，，，，且AE=AB，連接交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，則．【答案】【分析】在CD上截取CG=CF，連接AG，可得，設(shè)AC=CD=3x，則CF=CG=2x，GD=x，再證明，進(jìn)而即可求解．解：在CD上截取CG=CF，連接AG，∵AC=CD，∠ACG=∠DCF=90°，∴，∴∠AGC=∠CFD，設(shè)AC=CD=3x，則CF=CG=2x，GD=x，∵∠EAB=∠EAF+∠CAB=∠CAB+∠B=90°，∴∠EAF=∠B，∴∠E=∠CFD-∠EAF=∠AGC-∠B=∠GAB，又∵AE=AB，∴，∴AF=BG=5x，∴BD=BG-GD=4x，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，是解題的關(guān)鍵．【題型3】全等三角形的動(dòng)態(tài)問(wèn)題【例3】（23-24七年級(jí)下·河南鄭州·期末）已知在中，，，．點(diǎn)D為邊上一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)B作射線，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度沿射線的方向運(yùn)動(dòng)，連接．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，線段與相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）當(dāng)線段與的其中一邊垂直時(shí)，求出點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t的值．【答案】(1)相等，理由見(jiàn)解析(2)3或8【分析】本題考查三角形全等的判定和性質(zhì)，同角的余角相等．熟練掌握三角形全等的判定定理和性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．（1）證明，即得出；（2）分類討論：當(dāng)時(shí)和時(shí)，分別證明，即可求解．（1）解：相等，理由如下：∵，，，∴，∴；（2）解：分類討論：當(dāng)時(shí)，如圖，∵，∴．∵，∴，∴．又∵，，∴，∴，∴；當(dāng)時(shí)，如圖，∵，∴．∵，∴，∴．又∵，，∴，∴，∴．綜上可知t的值為3或8．【變式1】（16-17八年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）已知：如圖，在長(zhǎng)方形中，．延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使，連接，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t的值為（）秒時(shí)，和全等．

A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7【答案】C【分析】分兩種情況，若，，可得；若，，可得，求解即可．本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)并運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．解：在長(zhǎng)方形中，，若，在和中，∵，∴，∴，解得；若，在和中，∵，∴，∴，解得；綜上，t的值為1或7，故選：C．【變式2】（23-24七年級(jí)下·河北張家口·期中）如圖，在中，，，，E為AB上一動(dòng)點(diǎn)，的最小值為2.4，過(guò)點(diǎn)B作，且，連接、，則的面積為．【答案】14【分析】本題考查的是等面積法的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，如圖，過(guò)作，交的延長(zhǎng)線于，證明，可得，再利用面積的和差進(jìn)一步求解可得答案．解：如圖，過(guò)作，交的延長(zhǎng)線于，而，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∵的最小值為2.4，∴此時(shí)為上的高，∴，∴，∴；故答案為：【題型4】全等三角形的綜合問(wèn)題【例4】（23-24七年級(jí)下·遼寧沈陽(yáng)·期中）通過(guò)對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問(wèn)題：【模型呈現(xiàn)】某興趣小組在從漢代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖（如圖1，由外到內(nèi)含三個(gè)正方形）中提煉出兩個(gè)三角形全等模型圖（如圖2、圖3），即“一線三等角”模型和“K字”模型．【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖2，已知，中，，，一直線過(guò)頂點(diǎn)C，過(guò)A，B分別作其垂線，垂足分別為E，F(xiàn)．求證：；（2）如圖3，若改變直線的位置，其余條件與（1）相同，請(qǐng)直接寫(xiě)出，，之間的數(shù)量關(guān)系；【問(wèn)題提出】（3）在（2）的條件下，若，，則的面積為．（4）如圖4，四邊形中，，面積為18且的長(zhǎng)為9，則的面積為．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）；（4）【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，借助前面的結(jié)論和思路是解決（4）的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意可得，由等量代換證明，證明可得，，等量代換即可證明；（2）證明過(guò)程同（1）；（3）設(shè)，則，先求出x的值，根據(jù)三角形面積公式即可求解；（4）過(guò)點(diǎn)B作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)F，由（1）可得，，，證明是等腰直角三角形，，求出，根據(jù)三角形面積公式即可求解．（1）證明：由題意可得，，∴，，∵，∴，∴，在和中，∴∴，，∴；（2），證明：由題意可得，，∴，，∵，∴，∴，在和中，∴∴，，∴；（3）設(shè)，則，∴∵，∴∴；（4）如圖，過(guò)點(diǎn)B作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)F，由（1）可得∴，，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵面積為18∴∴，∵的長(zhǎng)為9，∴，∴【變式1】（23-24八年級(jí)下·四川眉山·期末）如圖，在中，，平分，于E，則下列結(jié)論：①平分；②；③平分；④；⑤A、D兩點(diǎn)一定在線段的垂直平分線上，其中正確的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，由條件可證明，從而可判斷①、④正確；利用直角三角形的兩銳角互余可判斷②；利用角平分線的定義可判斷③；利用線段垂直平分線的判定可判斷⑤；從而可得出答案．解：∵，∴，∵平分，∴，在和中，∴，∴，∴平分故①正確；∵，且，∴；故④正確；∵，∴A、D都在線段的垂直平分線上，∴是線段的垂直平分線，故⑤正確；∵，∴，故②正確；若平分，則E應(yīng)為中點(diǎn)，由條件無(wú)法得出，故③不正確；綜上可知正確的結(jié)論有：①②④⑤，共四個(gè)，故選：C．【變式2】（2024八年級(jí)·全國(guó)·競(jìng)賽）如圖，，，，與交于點(diǎn)，連接，則的度數(shù)為．【答案】/70度【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，根據(jù)手拉手模型證明，得到，然后證明，得到，，進(jìn)一步推得，再證明，可得，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即得答案．解：過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，，，，，，，，，，，，，即，，，，，，．故答案為：．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·北京·中考真題）下面是“作一個(gè)角使其等于”的尺規(guī)作圖方法.（1）如圖，以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交，于點(diǎn)，；（2）作射線，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)；以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)；（3）過(guò)點(diǎn)作射線，則.

上述方法通過(guò)判定得到，其中判定的依據(jù)是（

）A．三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等B．兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等C．兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等D．兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等【答案】A【分析】根據(jù)基本作圖中，判定三角形全等的依據(jù)是邊邊邊，解答即可.本題考查了作一個(gè)角等于已知角的基本作圖，熟練掌握作圖的依據(jù)是解題的關(guān)鍵.解：根據(jù)上述基本作圖，可得，故可得判定三角形全等的依據(jù)是邊邊邊，故選A.【例2】（2024·四川成都·中考真題）如圖，，若，，則的度數(shù)為．【答案】/100度【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和全等三角形的性質(zhì)，先利用全等三角形的性質(zhì)，求出，再利用三角形內(nèi)角和求出的度數(shù)即可．解：由，，∴，∵