備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)易錯題（新高考專用）專題04 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（4大易錯點(diǎn)分析+解題模板+舉一反三+易錯題通關(guān)）（新高考專用）含答案

備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)易錯題（新高考專用）專題04導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（4大易錯點(diǎn)分析+解題模板+舉一反三+易錯題通關(guān)）（新高考專用）含答案專題04導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用易錯點(diǎn)一：忽略切點(diǎn)所在位置及求導(dǎo)簡化形式（導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用）一、導(dǎo)數(shù)的概念和幾何性質(zhì)1．概念函數(shù)在處瞬時變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作或．詮釋：①增量可以是正數(shù)，也可以是負(fù)，但是不可以等于0．的意義：與0之間距離要多近有多近，即可以小于給定的任意小的正數(shù)；②當(dāng)時，在變化中都趨于0，但它們的比值卻趨于一個確定的常數(shù)，即存在一個常數(shù)與無限接近；③導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點(diǎn)處的極限，即瞬時變化率．如瞬時速度即是位移在這一時刻的瞬間變化率，即．2．幾何意義函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義即為函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率．3．物理意義函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是物體在時刻的瞬時速度，即；在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是物體在時刻的瞬時加速度，即．二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1．求導(dǎo)的基本公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)（為常數(shù)）2．導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則（1）函數(shù)和差求導(dǎo)法則：；（2）函數(shù)積的求導(dǎo)法則：；（3）函數(shù)商的求導(dǎo)法則：，則．3．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為：應(yīng)用1．在點(diǎn)的切線方程切線方程的計算：函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，抓住關(guān)鍵．應(yīng)用2．過點(diǎn)的切線方程設(shè)切點(diǎn)為，則斜率，過切點(diǎn)的切線方程為：，又因?yàn)榍芯€方程過點(diǎn)，所以然后解出的值．（有幾個值，就有幾條切線）注意：在做此類題目時要分清題目提供的點(diǎn)在曲線上還是在曲線外．易錯提醒：1．求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的總原則：先化簡解析式，再求導(dǎo)．注意以下幾點(diǎn)：連乘形式則先展開化為多項式形式，再求導(dǎo)；三角形式，先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo)；分式形式，先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)；復(fù)合函數(shù)，先確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時可換元2．利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線問題，一定要熟練掌握以下三點(diǎn)：（1）函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是切線的斜率，即已知切點(diǎn)坐標(biāo)可求切線斜率，已知斜率可求切點(diǎn)坐標(biāo)．（2）切點(diǎn)既在曲線上，又在切線上，切線還有可能和曲線有其它的公共點(diǎn)．（3）曲線“在”點(diǎn)處的切線與“過”點(diǎn)的切線的區(qū)別：曲線在點(diǎn)處的切線是指點(diǎn)P為切點(diǎn)，若切線斜率存在，切線斜率為，是唯一的一條切線；曲線過點(diǎn)的切線，是指切線經(jīng)過點(diǎn)P，點(diǎn)P可以是切點(diǎn)，也可以不是切點(diǎn)，而且這樣的直線可能有多條．3．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法利用切點(diǎn)的坐標(biāo)、切線的斜率、切線的方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程（組）或者參數(shù)滿足的不等式（組），進(jìn)而求出參數(shù)的值或取值范圍．4．求解與導(dǎo)數(shù)的幾何意義有關(guān)問題時應(yīng)注意的兩點(diǎn)（1）注意曲線上橫坐標(biāo)的取值范圍；（2）謹(jǐn)記切點(diǎn)既在切線上又在曲線上．例．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；(2)若，都有，求的取值范圍．變式1．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；(2)若有兩個不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.變式2．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求過原點(diǎn)且與的圖象相切的直線方程；(2)若有兩個不同的零點(diǎn)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.變式3．．已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線方程；(2)若對，恒成立．求實(shí)數(shù)的取值范圍．1．已知函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，直線與的圖象均相切，則的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．若曲線存在與直線垂直的切線，則k的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．過點(diǎn)作曲線的切線有且只有兩條，切點(diǎn)分別為，，則（

）A． B．1 C． D．4．曲線在點(diǎn)處的切線在y軸上的截距的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)在處的切線方程為 B．函數(shù)有兩個零點(diǎn)C．函數(shù)的極大值點(diǎn)在區(qū)間內(nèi) D．函數(shù)在上單調(diào)遞減6．已知直線l與曲線相切，則下列直線中可能與l平行的是（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，則（

）A．的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱B．在區(qū)間上的最小值為C．過點(diǎn)有且僅有1條直線與曲線相切D．若過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍是8．已知函數(shù).(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線；(2)討論的單調(diào)性；(3)當(dāng)時，若對任意實(shí)數(shù)，恒成立，求的取值范圍.9．已知函數(shù)，且，．(1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)，，，討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)．10．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時，若關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.11．已知，函數(shù)，．(1)當(dāng)時，若斜率為0的直線l是的一條切線，求切點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若與有相同的最小值，求實(shí)數(shù)a．易錯點(diǎn)二：轉(zhuǎn)化為恒成立后參變分離變號的前提條件（利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性）1．求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟第一步：確定函數(shù)的定義域；第二步：求，令，解此方程，求出它在定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)；第三步：把函數(shù)的間斷點(diǎn)（即的無定義點(diǎn)）的橫坐標(biāo)和的各實(shí)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)的定義域分成若干個小區(qū)間；第四步：確定在各小區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù)的符號判斷函數(shù)在每個相應(yīng)小區(qū)間內(nèi)的增減性.注意①使的離散點(diǎn)不影響函數(shù)的單調(diào)性，即當(dāng)在某個區(qū)間內(nèi)離散點(diǎn)處為零，在其余點(diǎn)處均為正（或負(fù)）時，在這個區(qū)間上仍舊是單調(diào)遞增（或遞減）的.例如，在上，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，而顯然在上是單調(diào)遞增函數(shù).②若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（不恒為0），反之不成立.因?yàn)?，即或，?dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.當(dāng)時，在這個區(qū)間為常值函數(shù)；同理，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則（不恒為0），反之不成立.這說明在一個區(qū)間上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于零，是這個函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增的充分不必要條件.于是有如下結(jié)論：單調(diào)遞增；單調(diào)遞增；單調(diào)遞減；單調(diào)遞減.技巧：1.利用導(dǎo)數(shù)比較大小或解不等式的常用技巧利用題目條件，構(gòu)造輔助函數(shù)，把比較大小或求解不等式的問題轉(zhuǎn)化為先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題，再由單調(diào)性比較大小或解不等式．2.利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的解題思路第一步：由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增(減)可知()在區(qū)間上恒成立列出不等式；第二步：利用分離參數(shù)法或函數(shù)的性質(zhì)求解恒成立問題；第三步：對等號單獨(dú)檢驗(yàn)，檢驗(yàn)參數(shù)的取值能否使在整個區(qū)間恒等于0，若恒等于0，則參數(shù)的這個值應(yīng)舍去；若只有在個別點(diǎn)處有，則參數(shù)可取這個值．易錯提醒：一：研究單調(diào)性問題1．函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)．2．已知函數(shù)的單調(diào)性問題=1\*GB3①若在某個區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個區(qū)間上單調(diào)遞增；=2\*GB3②若在某個區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個區(qū)間上單調(diào)遞減．二：討論單調(diào)區(qū)間問題類型一：不含參數(shù)單調(diào)性討論（1）求導(dǎo)化簡定義域(化簡應(yīng)先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間)；（2）變號保留定號去(變號部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負(fù)，無需單獨(dú)討論的部分)；（3）求根做圖得結(jié)論(如能直接求出導(dǎo)函數(shù)等于0的根，并能做出導(dǎo)函數(shù)與x軸位置關(guān)系圖，則導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段已知，可直接得出結(jié)論)；（4）未得結(jié)論斷正負(fù)(若不能通過第三步直接得出結(jié)論，則先觀察導(dǎo)函數(shù)整體的正負(fù))；（5）正負(fù)未知看零點(diǎn)(若導(dǎo)函數(shù)正負(fù)難判斷，則觀察導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn))；（6）一階復(fù)雜求二階(找到零點(diǎn)后仍難確定正負(fù)區(qū)間段，或一階導(dǎo)函數(shù)無法觀察出零點(diǎn)，則求二階導(dǎo))；求二階導(dǎo)往往需要構(gòu)造新函數(shù)，令一階導(dǎo)函數(shù)或一階導(dǎo)函數(shù)中變號部分為新函數(shù)，對新函數(shù)再求導(dǎo)．（7）借助二階定區(qū)間(通過二階導(dǎo)正負(fù)判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段)；類型二：含參數(shù)單調(diào)性討論（1）求導(dǎo)化簡定義域(化簡應(yīng)先通分，然后能因式分解要進(jìn)行因式分解，定義域需要注意是否是一個連續(xù)的區(qū)間)；（2）變號保留定號去(變號部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負(fù)，無需單獨(dú)討論的部分)；（3）恒正恒負(fù)先討論(變號部分因?yàn)閰?shù)的取值恒正恒負(fù))；然后再求有效根；（4）根的分布來定參(此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)系)；（5）導(dǎo)數(shù)圖像定區(qū)間。例．已知函數(shù)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．(1)若，討論在上的單調(diào)性；(2)若函數(shù)，且在內(nèi)有唯一的極大值，求實(shí)數(shù)的取值范圍．變式1．已知函數(shù)．(1)若，判斷函數(shù)的單調(diào)性．(2)若有兩個不同的極值點(diǎn)（），求證：．變式2．已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，求的取值范圍．變式3．設(shè)函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若正數(shù)，滿足，證明：.1．若方程在上有實(shí)根，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，則不等式成立的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．4．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且為偶函數(shù)，，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．5．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且恒成立，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B． C． D．6．已知是定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)，，，，，則下列說法正確的是（

）A．B．（為自然對數(shù)的底數(shù)，）C．存在，D．若，則7．設(shè)，若，，，下列說法正確的是（

）A． B．無極值點(diǎn) C．的對稱中心是 D．8．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，B．當(dāng)時，C．若是增函數(shù)，則D．若和的零點(diǎn)總數(shù)大于2，則這些零點(diǎn)之和大于59．已知函數(shù)且．(1)討論的單調(diào)性；(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．10．已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性．(2)若關(guān)于的方程有兩個實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．11．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若存在極小值點(diǎn)，且，求的取值范圍．易錯點(diǎn)三：誤判最值與極值所在位置（利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值）1．函數(shù)的極值函數(shù)在點(diǎn)附近有定義，如果對附近的所有點(diǎn)都有，則稱是函數(shù)的一個極大值，記作．如果對附近的所有點(diǎn)都有，則稱是函數(shù)的一個極小值，記作．極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱為極值點(diǎn)．求可導(dǎo)函數(shù)極值的一般步驟第一步：先確定函數(shù)的定義域；第二步：求導(dǎo)數(shù)；第三步：求方程的根；第四步：檢驗(yàn)在方程的根的左右兩側(cè)的符號，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)在這個根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)在這個根處取得極小值．2．函數(shù)的最值函數(shù)最大值為極大值與靠近極小值的端點(diǎn)之間的最大者；函數(shù)最小值為極小值與靠近極大值的端點(diǎn)之間的最小者．導(dǎo)函數(shù)為（1）當(dāng)時，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．（2）當(dāng)時，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．一般地，設(shè)是定義在上的函數(shù)，在內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值可分為兩步進(jìn)行：第一步：求在內(nèi)的極值（極大值或極小值）；第二步：將的各極值與和比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．技巧：1．由圖象判斷函數(shù)的極值，要抓住兩點(diǎn)：（1）由的圖象與x軸的交點(diǎn)，可得函數(shù)的可能極值點(diǎn)；（2）由導(dǎo)函數(shù)的圖象可以看出的值的正負(fù)，從而可得函數(shù)的單調(diào)性．兩者結(jié)合可得極值點(diǎn)．2．已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時，要注意：（1）根據(jù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解；（2）因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于0不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以用待定系數(shù)法求解后必須檢驗(yàn)．3．求函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)的最值的思路（1）若所給的閉區(qū)間不含有參數(shù)，則只需對函數(shù)求導(dǎo)，并求在區(qū)間內(nèi)的根，再計算使導(dǎo)數(shù)等于零的根的函數(shù)值，把該函數(shù)值與，比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．（2）若所給的閉區(qū)間含有參數(shù)，則需對函數(shù)求導(dǎo)，通過對參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的最值．結(jié)論：1、若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值，則不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；2、若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲担抑涤?yàn)?，則不等式在區(qū)間D上恒成立．不等式在區(qū)間D上恒成立．3、若函數(shù)在區(qū)間Ｄ上存在最小值和最大值，即，則對不等式有解問題有以下結(jié)論：不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；4、若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（小）值，如值域?yàn)?，則對不等式有解問題有以下結(jié)論：不等式在區(qū)間D上有解不等式在區(qū)間D上有解5、對于任意的，總存在，使得；6、對于任意的，總存在，使得；7、若存在，對于任意的，使得；8、若存在，對于任意的，使得；9、對于任意的，使得；10、對于任意的，使得；11、若存在，總存在，使得12、若存在，總存在，使得易錯提醒：（1）①可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處取得極值的充要條件是：是導(dǎo)函數(shù)的變號零點(diǎn)，即，且在左側(cè)與右側(cè)，的符號導(dǎo)號．②是為極值點(diǎn)的既不充分也不必要條件，如，，但不是極值點(diǎn)．另外，極值點(diǎn)也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)，在極小值點(diǎn)是不可導(dǎo)的，于是有如下結(jié)論：為可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)；但為的極值點(diǎn)．（2）①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點(diǎn)附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最值是對函數(shù)在整個區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值；②函數(shù)的極值點(diǎn)必是開區(qū)間的點(diǎn)，不能是區(qū)間的端點(diǎn)；③函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.例．已知函數(shù)存在兩個極值點(diǎn)，且.(1)求的取值范圍；(2)若，求的最小值.變式1．已知函數(shù)，其中．(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求a的值；(2)若，討論函數(shù)的單調(diào)性．變式2．若函數(shù)，為函數(shù)的極值點(diǎn).(1)求的值；(2)求函數(shù)的極值.變式3．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極值；(2)若有兩個極值點(diǎn)，求證：.1．已知函數(shù)，在有且只有一個極值點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．已知是函數(shù)的一個極值點(diǎn)，則的取值集合為（

）A． B． C． D．3．若函數(shù)在處取得極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，無極值點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．0是的極值點(diǎn)C．在上有且僅有1個零點(diǎn) D．的值域是6．若函數(shù)在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍（

）A． B．C． D．7．已知函數(shù)的極值點(diǎn)為，函數(shù)的最大值為，則（

）A． B． C． D．8．當(dāng)時，函數(shù)取得極值，則在區(qū)間上的最大值為（

）A．8 B．12 C．16 D．329．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的極值；(2)當(dāng)時，求在上的最小值；(3)若在上存在零點(diǎn)，求的取值范圍.10．已知函數(shù).(1)若為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求的極值；(2)若有兩個不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.11．已知函數(shù)在處取得極值.(1)求的值；(2)求在上的值域.易錯點(diǎn)四：零點(diǎn)不易求時忽略設(shè)零點(diǎn)建等式（利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題）1．判斷函數(shù)y=f（x）在某個區(qū)間上是否存在零點(diǎn)，主要利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理進(jìn)行判斷．首先看函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，然后看是否有．若有，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有零點(diǎn)．2．判斷函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)個數(shù)時，常用以下方法：（1）解方程：當(dāng)對應(yīng)方程易解時，可通過解方程，判斷函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)；（2）根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知條件進(jìn)行判斷；（3）通過數(shù)形結(jié)合進(jìn)行判斷，畫函數(shù)圖象，觀察圖象與軸交點(diǎn)的個數(shù)來判斷．3．已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根），求參數(shù)的取值范圍常用的方法：方法1：直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍．方法2：分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，再轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決．方法3：數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，再數(shù)形結(jié)合求解．4．解決函數(shù)應(yīng)用問題的步驟第一步：審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；第二步：建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；第三步：解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；第四步：還原：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問題的意義．技巧：判斷函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的方法：方法1：利用零點(diǎn)存在性定理判斷法；方法2：代數(shù)法：求方程的實(shí)數(shù)根；方法3：幾何法：對于不易求根的方程，將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)或利用兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)求解．在利用函數(shù)性質(zhì)時，可用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性．方法技巧：已知函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問題的三種常用方法1、直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決2、數(shù)形結(jié)合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解結(jié)論拓展：與和相關(guān)的常見同構(gòu)模型①，構(gòu)造函數(shù)或②，構(gòu)造函數(shù)或③，構(gòu)造函數(shù)或易錯提醒：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得也就是方程的根例．已知函數(shù)．(1)若在區(qū)間上有極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時，求證：有兩個零點(diǎn)，，且．變式1．已知函數(shù).(1)試討論的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍.變式2．若函數(shù)在處有極小值．(1)求c的值．(2)函數(shù)恰有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．變式3．已知函數(shù).(1)求的極值：(2)若有兩個零點(diǎn)，求a的取值范圍.1．已知函數(shù)（）.(1)求在上的最大值；(2)若函數(shù)恰有三個零點(diǎn)，求a的取值范圍.2．已知函數(shù)有兩個零點(diǎn).(1)求的取值范圍；(2)設(shè)，為的兩個零點(diǎn)，證明：.3．已知是函數(shù)的一個極值點(diǎn)．(1)求的值；(2)若有3個零點(diǎn)，求的取值范圍．4．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若在上存2個零點(diǎn)，求的取值范圍.5．已知函數(shù).(1)若存在實(shí)數(shù)，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若有兩個不同零點(diǎn)，求證：.6．已知．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，求整數(shù)的最大值．7．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值(2)若在區(qū)間內(nèi)恰好有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍.8．已知函數(shù)．(1)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)有兩個零點(diǎn)且，求證：．9．已知．(1)若當(dāng)時函數(shù)取到極值，求的值；(2)討論函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個數(shù)．10．設(shè)函數(shù)，其中．(1)討論的單調(diào)性；(2)若存在兩個極值點(diǎn)，設(shè)極大值點(diǎn)為，為的零點(diǎn)，求證：．11．已知函數(shù)(1)求的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)討論的零點(diǎn)個數(shù)．

專題04導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用易錯點(diǎn)一：忽略切點(diǎn)所在位置及求導(dǎo)簡化形式（導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用）一、導(dǎo)數(shù)的概念和幾何性質(zhì)1．概念函數(shù)在處瞬時變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作或．詮釋：①增量可以是正數(shù)，也可以是負(fù)，但是不可以等于0．的意義：與0之間距離要多近有多近，即可以小于給定的任意小的正數(shù)；②當(dāng)時，在變化中都趨于0，但它們的比值卻趨于一個確定的常數(shù)，即存在一個常數(shù)與無限接近；③導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點(diǎn)處的極限，即瞬時變化率．如瞬時速度即是位移在這一時刻的瞬間變化率，即．2．幾何意義函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義即為函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率．3．物理意義函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是物體在時刻的瞬時速度，即；在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是物體在時刻的瞬時加速度，即．二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1．求導(dǎo)的基本公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)（為常數(shù)）2．導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則（1）函數(shù)和差求導(dǎo)法則：；（2）函數(shù)積的求導(dǎo)法則：；（3）函數(shù)商的求導(dǎo)法則：，則．3．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為：應(yīng)用1．在點(diǎn)的切線方程切線方程的計算：函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，抓住關(guān)鍵．應(yīng)用2．過點(diǎn)的切線方程設(shè)切點(diǎn)為，則斜率，過切點(diǎn)的切線方程為：，又因?yàn)榍芯€方程過點(diǎn)，所以然后解出的值．（有幾個值，就有幾條切線）注意：在做此類題目時要分清題目提供的點(diǎn)在曲線上還是在曲線外．易錯提醒：1．求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的總原則：先化簡解析式，再求導(dǎo)．注意以下幾點(diǎn)：連乘形式則先展開化為多項式形式，再求導(dǎo)；三角形式，先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo)；分式形式，先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)；復(fù)合函數(shù)，先確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時可換元2．利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線問題，一定要熟練掌握以下三點(diǎn)：（1）函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是切線的斜率，即已知切點(diǎn)坐標(biāo)可求切線斜率，已知斜率可求切點(diǎn)坐標(biāo)．（2）切點(diǎn)既在曲線上，又在切線上，切線還有可能和曲線有其它的公共點(diǎn)．（3）曲線“在”點(diǎn)處的切線與“過”點(diǎn)的切線的區(qū)別：曲線在點(diǎn)處的切線是指點(diǎn)P為切點(diǎn)，若切線斜率存在，切線斜率為，是唯一的一條切線；曲線過點(diǎn)的切線，是指切線經(jīng)過點(diǎn)P，點(diǎn)P可以是切點(diǎn)，也可以不是切點(diǎn)，而且這樣的直線可能有多條．3．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法利用切點(diǎn)的坐標(biāo)、切線的斜率、切線的方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程（組）或者參數(shù)滿足的不等式（組），進(jìn)而求出參數(shù)的值或取值范圍．4．求解與導(dǎo)數(shù)的幾何意義有關(guān)問題時應(yīng)注意的兩點(diǎn)（1）注意曲線上橫坐標(biāo)的取值范圍；（2）謹(jǐn)記切點(diǎn)既在切線上又在曲線上．例．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；(2)若，都有，求的取值范圍．【詳解】（1）解：當(dāng)時，，因?yàn)椋?，曲線在處的切線方程是，即．（2）因?yàn)?，都有，所以．設(shè)，則．記，設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減．因?yàn)椋?dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，．變式1．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；(2)若有兩個不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，所以曲線在處的切線方程為，即.（2）顯然，要使方程有兩個不等的實(shí)根，只需當(dāng)時，有且僅有一個實(shí)根，當(dāng)時，由方程，得.令，則直線與的圖象有且僅有一個交點(diǎn)..又當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得極小值，又當(dāng)時，，所以，即，當(dāng)時，，即，所以作出的大致圖象如圖所示.

由圖象，知要使直線與的圖象有且僅有一個交點(diǎn)，只需或.綜上，若有兩個不等的實(shí)根，則的取值范圍為.變式2．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求過原點(diǎn)且與的圖象相切的直線方程；(2)若有兩個不同的零點(diǎn)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）易知的定義域?yàn)?，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，則切線方程為：，把點(diǎn)帶入切線得：，所以，的切線方程為：；（2），又有兩個不同零點(diǎn)，則有兩個不同零點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，

則為增函數(shù)，且，即方程有兩個不等實(shí)根，令，則，

則，

設(shè)，方法一、原不等式恒成立等價于恒成立，令，由單調(diào)遞增，即，若單調(diào)遞增，即恒成立，此時符合題意；若有解，此時有時，單調(diào)遞減，則，不符合題意；綜上所述：的取值范圍為.方法二、，設(shè)，在恒成立，在單調(diào)遞增，，則在單調(diào)遞增，所以，，所以的取值范圍為.變式3．已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線方程；(2)若對，恒成立．求實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）解：，所求切線斜率為，切點(diǎn)為，故所求切線方程為，即.（2）方法一：分離變量由得在恒成立，令，則，，當(dāng)時，，即：，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，取最大值為，故，即的取值范圍是.方法二：分類討論由得在恒成立，令，則，①當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞減，又，故當(dāng)時，，不合題意；②當(dāng)時，令得，令得，令得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取最小值，故，即的取值范圍是，綜上所述，的取值范圍是.方法三：數(shù)形結(jié)合由得在恒成立，令，，則當(dāng)時，恒成立，，,若，當(dāng)時，，，，不合題意；若，，曲線與曲線有且只有一個公共點(diǎn)，且在該公共點(diǎn)處的切線相同．設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，

則，解得，故當(dāng)時，，即的取值范圍是.1．已知函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，直線與的圖象均相切，則的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)與的圖象關(guān)于直線對稱，得到，設(shè)直線與函數(shù)的圖象的切點(diǎn)坐標(biāo)為，與函數(shù)的圖象的切點(diǎn)坐標(biāo)為，由斜率相等得到，然后再利用斜率和傾斜角的關(guān)系求解.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，所以與互為反函數(shù)，所以，則．由，得，設(shè)直線與函數(shù)的圖象的切點(diǎn)坐標(biāo)為，與函數(shù)的圖象的切點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的斜率，故，顯然，故，所以直線的傾斜角為，故選：B．2．若曲線存在與直線垂直的切線，則k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】對求導(dǎo)后根據(jù)題意可得在上有解.令，求導(dǎo)判斷單調(diào)性求得值域，從而可得不等式，求解即可.【詳解】對求導(dǎo)得，當(dāng)時，曲線不存在與直線垂直的切線，當(dāng)時，若曲線存在與直線垂直的切線，只需在上有解.令，求導(dǎo)得，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，且當(dāng)時，，所以，解得，所以k的取值范圍是.故選：D.3．過點(diǎn)作曲線的切線有且只有兩條，切點(diǎn)分別為，，則（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列式可得，再根據(jù)韋達(dá)定理即可得答案.【詳解】由題意得，過點(diǎn)作曲線的切線，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，即，由于，故，因?yàn)檫^點(diǎn)作曲線的切線有且只有兩條，所以為的兩個解，且，所以，所以.故選：A.4．曲線在點(diǎn)處的切線在y軸上的截距的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到切線方程，即可得到縱截距，然后構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，根據(jù)單調(diào)性求值域即可.【詳解】因?yàn)?，所以所求切線方程為，令，則，令，則.所以當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，所以.因?yàn)?，，所以該切線在y軸上的截距的取值范圍為.故選：B.5．已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)在處的切線方程為 B．函數(shù)有兩個零點(diǎn)C．函數(shù)的極大值點(diǎn)在區(qū)間內(nèi) D．函數(shù)在上單調(diào)遞減【答案】ACD【分析】利用導(dǎo)函數(shù)求出在處的切線斜率，從而求切線方程，即可判斷選項A；令，由單調(diào)性和極值可判斷選項C、D；由零點(diǎn)存在定理可判斷選項B.【詳解】由得，所以，又,所以函數(shù)在處的切線方程為，即，所以A正確；令，顯然在上單調(diào)遞減，且，，所以存在使得，即，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處有極大值，極大值點(diǎn)，所以C正確；因?yàn)?，所以函?shù)在上單調(diào)遞減，所以D正確因?yàn)?，函?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上，函數(shù)有一個零點(diǎn)，因?yàn)?，所以?dāng)時，，所以函數(shù)在上無零點(diǎn)，所以函數(shù)只有一個零點(diǎn)，所以B錯誤.故選：ACD6．已知直線l與曲線相切，則下列直線中可能與l平行的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和平行關(guān)系的斜率關(guān)系對選項一一分析即可.【詳解】，，則，當(dāng)且僅當(dāng)即等號成立，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，切線的斜率，因?yàn)榍芯€與直線l平行，所以l的斜率，選項A中直線的斜率為，符合題意；選項B中直線的斜率為，不符合題意；選項C中直線的斜率為，符合題意；選項D中直線的斜率為，符合題意；故選：ACD.7．已知函數(shù)，則（

）A．的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱B．在區(qū)間上的最小值為C．過點(diǎn)有且僅有1條直線與曲線相切D．若過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】AD【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可判斷A，求導(dǎo)得函數(shù)的單調(diào)性，即可求解函數(shù)的最值，進(jìn)而判斷B，求解切點(diǎn)處的切線方程，將經(jīng)過的點(diǎn)代入，利用方程的根即可判斷DC.【詳解】的定義域?yàn)?，且，所以為奇函?shù)，故圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故A正確，，令得或，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故在區(qū)間單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，最小值為，故B錯誤，設(shè)切點(diǎn)為，則切點(diǎn)處切線方程為，若切線經(jīng)過，則將代入可得，所以或，故經(jīng)過會有兩條切線，C錯誤，若切線經(jīng)過，則將代入得，令，則當(dāng)因此在單調(diào)遞增，在和單調(diào)遞減，作出的圖象如下：，要使過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切，則直線過點(diǎn)與的圖象有三個不同的交點(diǎn)，故，D正確，故選：AD

8．已知函數(shù).(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線；(2)討論的單調(diào)性；(3)當(dāng)時，若對任意實(shí)數(shù)，恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)答案見解析(3)【分析】（1）代入函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在點(diǎn)處的切線；（2）利用導(dǎo)數(shù)，對分類討論，求的單調(diào)區(qū)間；（3）由恒成立，結(jié)合函數(shù)的極值，求的取值范圍.【詳解】（1）時，函數(shù)，則，切點(diǎn)坐標(biāo)為，，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，所求切線方程為，即.（2），函數(shù)定義域?yàn)镽，①，解得或，解得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，②，解得或，解得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，③，恒成立，在上單調(diào)遞增.（3）當(dāng)時，由（2）可知為在上的極小值，也是最小值.于是，所以當(dāng)且時，由于函數(shù)的圖像拋物線開口向上，對稱軸大于0，因此，此時，符合題意.所以的取值范圍為.9．已知函數(shù)，且，．(1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)，，，討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)題意，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線方程的求法，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由條件可得，然后化簡，換元，求導(dǎo)，由函數(shù)的值域，即可判斷零點(diǎn)個數(shù).【詳解】（1）當(dāng)時，定義域?yàn)镽，，所以，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（2）由，得，得，所以，，于是，，由，得．當(dāng)時，，與題意不符，所以．對兩端同時取自然對數(shù)，得，得．設(shè)，則，設(shè)，則，令，得，所以當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時，，，當(dāng)時，，所以當(dāng)或，即當(dāng)或時，函數(shù)有一個零點(diǎn)；當(dāng)，即或時，函數(shù)有兩個零點(diǎn)．綜上，當(dāng)或時，函數(shù)有一個零點(diǎn)；當(dāng)或時，函數(shù)有兩個零點(diǎn)．10．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時，若關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）求得，求得，，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解；（2）根據(jù)題意，把不等式轉(zhuǎn)化為，設(shè)，求得，轉(zhuǎn)化為存在唯一的，使，求得，得到，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，再設(shè)，求得在上單調(diào)遞增，進(jìn)而求得的取值范圍.【詳解】（1）解：當(dāng)時，，可得，則，，即切線的斜率為，所以切線方程為，即.（2）解：由題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，即，設(shè)，則，因?yàn)?，所以在上為增函?shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以存在唯一的，使，且當(dāng)時，，當(dāng)時，.由，得，則，所以因?yàn)?，所?設(shè)，可得，所以在區(qū)間上為減函數(shù)，又由，所以，又因?yàn)?，設(shè)，則，可知在上單調(diào)遞增，則，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.11．已知，函數(shù)，．(1)當(dāng)時，若斜率為0的直線l是的一條切線，求切點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若與有相同的最小值，求實(shí)數(shù)a．【答案】(1)(2)1【分析】（1）由得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再代入計算出縱坐標(biāo)即得切點(diǎn)坐標(biāo)；（2）首先由導(dǎo)數(shù)求得與的最小值，由兩最小值相等求，為此方程變形后引入新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性得出零點(diǎn)．【詳解】（1）由題意，，由得，此時，所以切點(diǎn)為；（2），時，，在上是增函數(shù)，無最小值，所以，，時，，遞減，時，，遞增，所以有唯一的極小值也是最小值，，，，，遞減，時，，遞增，所以有唯一的極小值也是最小值為，由題意，，設(shè)，則，設(shè)，則，時，，遞增，時，，遞減，所以，所以，即，是減函數(shù)，又，因此是的唯一零點(diǎn)，所以由得．易錯點(diǎn)二：轉(zhuǎn)化為恒成立后參變分離變號的前提條件（利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性）1．求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟第一步：確定函數(shù)的定義域；第二步：求，令，解此方程，求出它在定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)；第三步：把函數(shù)的間斷點(diǎn)（即的無定義點(diǎn)）的橫坐標(biāo)和的各實(shí)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)的定義域分成若干個小區(qū)間；第四步：確定在各小區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù)的符號判斷函數(shù)在每個相應(yīng)小區(qū)間內(nèi)的增減性.注意①使的離散點(diǎn)不影響函數(shù)的單調(diào)性，即當(dāng)在某個區(qū)間內(nèi)離散點(diǎn)處為零，在其余點(diǎn)處均為正（或負(fù)）時，在這個區(qū)間上仍舊是單調(diào)遞增（或遞減）的.例如，在上，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，而顯然在上是單調(diào)遞增函數(shù).②若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（不恒為0），反之不成立.因?yàn)椋椿?，?dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.當(dāng)時，在這個區(qū)間為常值函數(shù)；同理，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則（不恒為0），反之不成立.這說明在一個區(qū)間上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于零，是這個函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增的充分不必要條件.于是有如下結(jié)論：單調(diào)遞增；單調(diào)遞增；單調(diào)遞減；單調(diào)遞減.技巧：1.利用導(dǎo)數(shù)比較大小或解不等式的常用技巧利用題目條件，構(gòu)造輔助函數(shù)，把比較大小或求解不等式的問題轉(zhuǎn)化為先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題，再由單調(diào)性比較大小或解不等式．2.利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的解題思路第一步：由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增(減)可知()在區(qū)間上恒成立列出不等式；第二步：利用分離參數(shù)法或函數(shù)的性質(zhì)求解恒成立問題；第三步：對等號單獨(dú)檢驗(yàn)，檢驗(yàn)參數(shù)的取值能否使在整個區(qū)間恒等于0，若恒等于0，則參數(shù)的這個值應(yīng)舍去；若只有在個別點(diǎn)處有，則參數(shù)可取這個值．易錯提醒：一：研究單調(diào)性問題1．函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)．2．已知函數(shù)的單調(diào)性問題=1\*GB3①若在某個區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個區(qū)間上單調(diào)遞增；=2\*GB3②若在某個區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個區(qū)間上單調(diào)遞減．二：討論單調(diào)區(qū)間問題類型一：不含參數(shù)單調(diào)性討論（1）求導(dǎo)化簡定義域(化簡應(yīng)先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間)；（2）變號保留定號去(變號部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負(fù)，無需單獨(dú)討論的部分)；（3）求根做圖得結(jié)論(如能直接求出導(dǎo)函數(shù)等于0的根，并能做出導(dǎo)函數(shù)與x軸位置關(guān)系圖，則導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段已知，可直接得出結(jié)論)；（4）未得結(jié)論斷正負(fù)(若不能通過第三步直接得出結(jié)論，則先觀察導(dǎo)函數(shù)整體的正負(fù))；（5）正負(fù)未知看零點(diǎn)(若導(dǎo)函數(shù)正負(fù)難判斷，則觀察導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn))；（6）一階復(fù)雜求二階(找到零點(diǎn)后仍難確定正負(fù)區(qū)間段，或一階導(dǎo)函數(shù)無法觀察出零點(diǎn)，則求二階導(dǎo))；求二階導(dǎo)往往需要構(gòu)造新函數(shù)，令一階導(dǎo)函數(shù)或一階導(dǎo)函數(shù)中變號部分為新函數(shù)，對新函數(shù)再求導(dǎo)．（7）借助二階定區(qū)間(通過二階導(dǎo)正負(fù)判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段)；類型二：含參數(shù)單調(diào)性討論（1）求導(dǎo)化簡定義域(化簡應(yīng)先通分，然后能因式分解要進(jìn)行因式分解，定義域需要注意是否是一個連續(xù)的區(qū)間)；（2）變號保留定號去(變號部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負(fù)，無需單獨(dú)討論的部分)；（3）恒正恒負(fù)先討論(變號部分因?yàn)閰?shù)的取值恒正恒負(fù))；然后再求有效根；（4）根的分布來定參(此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)系)；（5）導(dǎo)數(shù)圖像定區(qū)間。例．已知函數(shù)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．(1)若，討論在上的單調(diào)性；(2)若函數(shù)，且在內(nèi)有唯一的極大值，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）因?yàn)?，所以，設(shè)，則．當(dāng)時，，當(dāng)時，．當(dāng)時，令，則．當(dāng)時，，則即單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則即單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則即單調(diào)遞增．綜上，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）由（1）知，，．（ｉ）當(dāng)時，在內(nèi)，恒成立，當(dāng)時，令，得，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，在內(nèi)有唯一的極小值點(diǎn)，不存在極大值，不符合題意．（ⅱ）當(dāng)時，令，得，當(dāng)時，；當(dāng)時，．①當(dāng)，即時，若，即，則當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，故在處取得內(nèi)的唯一極大值，符合題意．若，即，則當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，故在處取得內(nèi)的唯一極大值，符合題意．②當(dāng)，即時，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞減，故在內(nèi)無極值，不符合題意．③當(dāng)，即時，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，故在處取得內(nèi)的唯一極大值，符合題意．④當(dāng)，即時，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，故在處取得內(nèi)的唯一極小值，不存在極大值，不符合題意．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．變式1．已知函數(shù)．(1)若，判斷函數(shù)的單調(diào)性．(2)若有兩個不同的極值點(diǎn)（），求證：．【詳解】（1）解：當(dāng)時，，所以，設(shè)，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，所以恒成立，即，所以在上單調(diào)遞減．（2）解：因?yàn)?，所以，因?yàn)橛袃蓚€不同的極值點(diǎn)，所以有兩個不同的實(shí)根，設(shè)，則，設(shè)，可得，所以在上是減函數(shù)，且，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，由，設(shè)，則，所以在上是增函數(shù)，所以，所以，即，因?yàn)椋?，因?yàn)?，，在上是增函?shù)，所以，所以，可得，所以．變式2．已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，求的取值范圍．【詳解】（1）．由題可知：，當(dāng)時，令，解得，當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增；.當(dāng)時，令，解得，所以當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增；綜上，當(dāng)時，單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）原不等式為，即．因?yàn)?，所以．令，則其在區(qū)間上單調(diào)遞增，取，則；取，則，所以存在唯一使得，令，則．當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；所以，即，．故．故，所以．當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，故，解得或，即的取值范圍為.變式3．設(shè)函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若正數(shù)，滿足，證明：.【詳解】（1）的定義域是，.令，解得；令，解得或.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)增.（2）證明：因?yàn)?，所?設(shè)，定義域?yàn)?，則，當(dāng)時，.單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.因此，所以對任意的恒成立.令，有，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.因此，即，解得，即.1．若方程在上有實(shí)根，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，化簡得到，設(shè)，得到，求得，得到為增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程在上有實(shí)根，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，進(jìn)而求得的范圍.【詳解】由，可得，即，因?yàn)椋傻?，所以，其中，設(shè)，則，又因?yàn)?，所以在上為增函?shù)，所以，即，所以問題轉(zhuǎn)化為方程在上有實(shí)根，設(shè)（），則，所以在上是減函數(shù)，所以，解得．故選：C．2．已知函數(shù)，則不等式成立的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先判斷的對稱性，然后利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性，結(jié)合對稱性即可求解，注意最后的范圍要考慮定義域..【詳解】由得的定義域?yàn)?，因?yàn)椋?，所以，所以的圖象關(guān)于對稱.記，當(dāng)時，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性易知單調(diào)遞增，記，則，記，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，綜上，在上單調(diào)遞增，圖象關(guān)于對稱，由此可知，要使，必有，兩邊平方整理得，解得，又，得或，所以的解集為.故選：D.3．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】觀察，可考慮構(gòu)造函數(shù)，求得的奇偶性，再由時，的單調(diào)性確定整個增減性，由與的正負(fù)反推正負(fù)即可求解.【詳解】設(shè)，則，∵當(dāng)時，，∴當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減.由于是奇函數(shù)，所以，是偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增.又，當(dāng)或時，；當(dāng)或時，，所以當(dāng)或時，.即不等式的解集為.故選：B.4．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且為偶函數(shù)，，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)建，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性解不等式.【詳解】令，則，因?yàn)?，則，且，可知，且僅當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增，又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，，可得令，可得，注意到，不等式，等價于，可得，解得，所以不等式的解集為.故選：D.5．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且恒成立，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出其單調(diào)性，然后由單調(diào)性比較大小，從而判斷各選項．【詳解】令，則．∵在上恒成立，∴，故在單調(diào)遞增．由，得，即，故A正確；由，得，即，故B錯誤；由，得，即，故C正確；由得，即，故D錯誤．故選：AC．6．已知是定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)，，，，，則下列說法正確的是（

）A．B．（為自然對數(shù)的底數(shù)，）C．存在，D．若，則【答案】ABD【分析】由原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的對稱性判斷A；令，結(jié)合題設(shè)條件判斷其單調(diào)性后可判斷B，C，D.【詳解】因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈暮瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)，所以是定義域?yàn)榈目蓪?dǎo)函數(shù)，因?yàn)?，所以的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，而，故，所以的圖像關(guān)于對稱，因?yàn)?，故時，，所以，設(shè)，故時，，故在上為增函數(shù)，同理在上為減函數(shù)，對于A，因?yàn)?，故，故A正確；對于B，，故，故B正確；對于C，當(dāng)時，；當(dāng)時，，而時，，故恒成立，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，單調(diào)遞減，，，所以，故時，，而，故，故D正確；故選：ABD7．設(shè)，若，，，下列說法正確的是（

）A． B．無極值點(diǎn) C．的對稱中心是 D．【答案】BCD【分析】根據(jù)題意，建立三元方程組，結(jié)合函數(shù)解析式，利用代入法，求導(dǎo)研究單調(diào)性、函數(shù)對稱性判斷、倒序相加法，可得答案.【詳解】由題意可得，解得，則，對于A，，故A錯誤；對于B，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B正確；對于C，由，故C正確；對于D，由，則與關(guān)于對稱，所以，設(shè)，，兩式相加可得：，解得，故D正確.故選：BCD.8．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，B．當(dāng)時，C．若是增函數(shù)，則D．若和的零點(diǎn)總數(shù)大于2，則這些零點(diǎn)之和大于5【答案】ABD【分析】直接代入即可判斷A，令，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷B，由在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出，即可求出的取值方程，即可判斷C，首先說明，得到在和上各有一個零點(diǎn)，，利用對數(shù)均值不等式得到，即可得到，再說明在和上各有一個零點(diǎn)、且，最后利用基本不等式證明即可.【詳解】對于A：當(dāng)時，則，，所以，故A正確；對于B：，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以當(dāng)時，，故B正確；對于C：在上恒成立，令，則，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得，故C錯誤；對于D：因?yàn)椋礊榈囊粋€零點(diǎn)，當(dāng)時，有且僅有一個根，此時在上單調(diào)遞增，所以和都只有個零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時，則無零點(diǎn)，只有一個零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時在和上各有一個零點(diǎn)，，所以，所以，所以，所以，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以，，所以在和上各有一個零點(diǎn)、，又，所以，所以，故D正確.其中：不等式的證明如下：要證，只需證，令，只需證，，設(shè)，，則，可得在上單調(diào)遞減，∴，得證.故選：ABD9．已知函數(shù)且．(1)討論的單調(diào)性；(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）先確定函數(shù)的定義域，求得，再構(gòu)造函數(shù)并求導(dǎo)，對分類討論，即可得函數(shù)的單調(diào)性；（2）不等式恒成立，即恒成立，接下來研究的值域，從而分離參數(shù)，利用構(gòu)造函數(shù)法，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得的最大值．【詳解】（1）函數(shù)且的定義域?yàn)?，．記，則，若，則當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，則，所以在上單調(diào)遞減；若，則當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，則，所以在上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減．優(yōu)解：由題意設(shè)，則，令，則，令，則；令，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，而且，所以當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減．（2）恒成立，即恒成立．記，則，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，所以在上恒成立．所以恒成立．設(shè)，則．，因?yàn)楹愠闪ⅲ院愠闪ⅲ?dāng)時取等號，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以．所以，故實(shí)數(shù)的最大值為．優(yōu)解:不等式恒成立，即恒成立，即恒成立，即恒成立．令，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．即，即，令，則單調(diào)遞增，所以，所以，故實(shí)數(shù)的最大值為．10．已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性．(2)若關(guān)于的方程有兩個實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）分，，，四種情況討論，分別求出對應(yīng)單調(diào)性．（2）運(yùn)用同構(gòu)和換元，再通過分離參數(shù)求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由題意函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時，若，則單調(diào)遞增；若，則單調(diào)遞減．當(dāng)時，令，得或．①當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增．②當(dāng)時，，則當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增．③當(dāng)時，，則當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）由，得，即．設(shè)，則，所以為增函數(shù)，且的值域?yàn)椋?，所以可化為，則．令．因?yàn)殛P(guān)于的方程有兩個實(shí)數(shù)根，所以直線與函數(shù)的圖像有兩個不同的交點(diǎn)．因?yàn)椋援?dāng)時，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則單調(diào)遞減．所以，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．11．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若存在極小值點(diǎn)，且，求的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）直接利用求導(dǎo)求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間即可；（2）求導(dǎo)得到，然后對分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值即可.【詳解】（1），當(dāng)時，，由得或，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和．（2）．當(dāng)時，令，得，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)僅有唯一的極小值點(diǎn)，此時，顯然符合題意．當(dāng)時，令，得或，若，即，則，此時單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，不符合題意；若，即，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)的極小值點(diǎn)，由得，所以；若，即，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)的極小值點(diǎn)，由得．綜上所述，的取值范圍為．易錯點(diǎn)三：誤判最值與極值所在位置（利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值）1．函數(shù)的極值函數(shù)在點(diǎn)附近有定義，如果對附近的所有點(diǎn)都有，則稱是函數(shù)的一個極大值，記作．如果對附近的所有點(diǎn)都有，則稱是函數(shù)的一個極小值，記作．極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱為極值點(diǎn)．求可導(dǎo)函數(shù)極值的一般步驟第一步：先確定函數(shù)的定義域；第二步：求導(dǎo)數(shù)；第三步：求方程的根；第四步：檢驗(yàn)在方程的根的左右兩側(cè)的符號，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)在這個根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)在這個根處取得極小值．2．函數(shù)的最值函數(shù)最大值為極大值與靠近極小值的端點(diǎn)之間的最大者；函數(shù)最小值為極小值與靠近極大值的端點(diǎn)之間的最小者．導(dǎo)函數(shù)為（1）當(dāng)時，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．（2）當(dāng)時，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．一般地，設(shè)是定義在上的函數(shù)，在內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值可分為兩步進(jìn)行：第一步：求在內(nèi)的極值（極大值或極小值）；第二步：將的各極值與和比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．技巧：1．由圖象判斷函數(shù)的極值，要抓住兩點(diǎn)：（1）由的圖象與x軸的交點(diǎn)，可得函數(shù)的可能極值點(diǎn)；（2）由導(dǎo)函數(shù)的圖象可以看出的值的正負(fù)，從而可得函數(shù)的單調(diào)性．兩者結(jié)合可得極值點(diǎn)．2．已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時，要注意：（1）根據(jù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解；（2）因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于0不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以用待定系數(shù)法求解后必須檢驗(yàn)．3．求函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)的最值的思路（1）若所給的閉區(qū)間不含有參數(shù)，則只需對函數(shù)求導(dǎo)，并求在區(qū)間內(nèi)的根，再計算使導(dǎo)數(shù)等于零的根的函數(shù)值，把該函數(shù)值與，比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．（2）若所給的閉區(qū)間含有參數(shù)，則需對函數(shù)求導(dǎo)，通過對參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的最值．結(jié)論：1、若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值，則不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；2、若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲?，且值域?yàn)?，則不等式在區(qū)間D上恒成立．不等式在區(qū)間D上恒成立．3、若函數(shù)在區(qū)間Ｄ上存在最小值和最大值，即，則對不等式有解問題有以下結(jié)論：不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；4、若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲担缰涤?yàn)?，則對不等式有解問題有以下結(jié)論：不等式在區(qū)間D上有解不等式在區(qū)間D上有解5、對于任意的，總存在，使得；6、對于任意的，總存在，使得；7、若存在，對于任意的，使得；8、若存在，對于任意的，使得；9、對于任意的，使得；10、對于任意的，使得；11、若存在，總存在，使得12、若存在，總存在，使得易錯提醒：（1）①可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處取得極值的充要條件是：是導(dǎo)函數(shù)的變號零點(diǎn)，即，且在左側(cè)與右側(cè)，的符號導(dǎo)號．②是為極值點(diǎn)的既不充分也不必要條件，如，，但不是極值點(diǎn)．另外，極值點(diǎn)也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)，在極小值點(diǎn)是不可導(dǎo)的，于是有如下結(jié)論：為可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)；但為的極值點(diǎn)．（2）①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點(diǎn)附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最值是對函數(shù)在整個區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值；②函數(shù)的極值點(diǎn)必是開區(qū)間的點(diǎn)，不能是區(qū)間的端點(diǎn)；③函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.例．已知函數(shù)存在兩個極值點(diǎn)，且.(1)求的取值范圍；(2)若，求的最小值.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?因?yàn)楹瘮?shù)存在兩個極值點(diǎn)，且，所以方程在區(qū)間上有兩個不等根.所以有，解得.所以的取值范圍為.（2）由（1）知，即，所以可化為.因?yàn)椋?，所以令，設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以，所以若恒成立，則，即實(shí)數(shù)的最小值為0.變式1．已知函數(shù)，其中．(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求a的值；(2)若，討論函數(shù)的單調(diào)性．【詳解】（1），因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，解得，當(dāng)時，，若，則，若，則或.即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即是函數(shù)的極值點(diǎn).故．（2），，當(dāng)時，令，解得或，當(dāng)，即時，當(dāng)時，，當(dāng)或時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)或時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．當(dāng)，即時，，所以在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時，在上遞減，在上遞增，在上遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．變式2．若函數(shù)，為函數(shù)的極值點(diǎn).(1)求的值；(2)求函數(shù)的極值.【詳解】（1）因?yàn)?，所?因?yàn)槭堑囊粋€極值點(diǎn)，所以，即，則，當(dāng)時，，令，得或；令，得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以是的極小值點(diǎn)，滿足題意，故.（2）由（1）知，且是的極小值點(diǎn)，是的極大值點(diǎn)，所以的極小值為，的極大值為.變式3．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極值；(2)若有兩個極值點(diǎn)，求證：.【詳解】（1）當(dāng)時，函數(shù)，易知在定義域上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時，，即此時單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即此時單調(diào)遞增，故在時取得極小值，；（2）由，令，即，由題意可知是方程的兩個根，則，欲證，即證，即證，令，若，定義域上單調(diào)遞增，不存在兩個零點(diǎn)，舍去；則，可知在時，單調(diào)遞減，在時，單調(diào)遞增，要符合題意則需，又時，，時，，此時不妨令，構(gòu)造函數(shù)，即在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，即，所以，因?yàn)?，所以，且在時，單調(diào)遞增，故，得證.1．已知函數(shù)，在有且只有一個極值點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為在上只有一個變號零點(diǎn)，再求導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理求解．【詳解】，由題意在上只有一個變號零點(diǎn)，設(shè)，，時，在上沒有極值點(diǎn)，，時，恒成立，遞減，時，，因此，，所以，時，恒成立，遞增，時，，因此，，所以，時，時，，遞增，時，，遞減，，時，，，因此若，則在上至多只有一個不變號零點(diǎn)，所以且，由得，此時滿足題意．綜上，的范圍是．故選：C．2．已知是函數(shù)的一個極值點(diǎn)，則的取值集合為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)極值點(diǎn)的定義求解即可.【詳解】據(jù)題意，應(yīng)是的一個變號零點(diǎn)，由于，所以，解得，當(dāng)時，時，，當(dāng)時，，符合題意.故選：C.3．若函數(shù)在處取得極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依題意，求出導(dǎo)函數(shù)，可求得極值點(diǎn)分別為或，再分類討論，確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合極小值的定義，從而可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?，則，令，解得：或，當(dāng)時，即，令，解得：，令，解得：，此時函數(shù)在處取得極大值，不符合題意，舍去；當(dāng)時，即，則恒成立，此時函數(shù)單調(diào)遞增，沒有極值，不符合題意，舍去；當(dāng)時，即，令，解得：，令，解得：，此時函數(shù)在處取得極小值，符合題意.故選：C.4．設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，無極值點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先得到，根據(jù)題目條件得到不等式，求出，故，，分兩種情況，得到不等式，求出答案.【詳解】因?yàn)?，，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，無極值點(diǎn)，故，解得，則，，要想滿足要求，則或，解得，或，故的取值范圍是.故選：D5．關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．0是的極值點(diǎn)C．在上有且僅有1個零點(diǎn) D．的值域是【答案】C【分析】利用偶函數(shù)的定義判斷A，根據(jù)極值點(diǎn)定義判斷B，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷C，取特殊值判斷D.【詳解】的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，又，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故A錯誤；，，當(dāng)時，當(dāng)時，故不是函數(shù)的極值點(diǎn)，故B錯誤；由B知，當(dāng)時，單調(diào)遞增，又，所以在上有且僅有1個零點(diǎn)，故C正確；當(dāng)時，，故D錯誤.故選：C6．若函數(shù)在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)，令極值點(diǎn)屬于已知區(qū)間即可.【詳解】所以時遞減，時，遞增，是極值點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間(k－1，k＋1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，所以，即，故選：B.7．已知函數(shù)的極值點(diǎn)為，函數(shù)的最大值為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題目條件求出，，即可判斷．【詳解】的定義域?yàn)?，在上單調(diào)遞增，且，，所以，，所以當(dāng)時，當(dāng)時，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在處取得極小值且．的定義域?yàn)?，由，?dāng)時，，當(dāng)時，，故在處取得極大值，也是最大值，，即．所以．故選：A8．當(dāng)時，函數(shù)取得極值，則在區(qū)間上的最大值為（

）A．8 B．12 C．16 D．32【答案】C【分析】先利用極值點(diǎn)的定義求得，再利用導(dǎo)數(shù)求得的最值，從而得解.【詳解】因?yàn)椋?，又在取極值，所以，所以，，，令，得或；令，得；所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故滿足題意，又，故，故選：C．9．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的極值；(2)當(dāng)時，求在上的最小值；(3)若在上存在零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)極大值為，沒有極小值.(2)0(3)【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的極值；（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的最值；（3）根據(jù)的導(dǎo)數(shù)，對進(jìn)行分類，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和極值可得的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，定義域：，，令，則，變化時，，的變化情況如下表：0單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減則的極大值為：，沒有極小值；（2）當(dāng)時，，定義域：，，令，定義域：，，則在上是增函數(shù)，則，所以，即在上是增函數(shù)，則.（3），定義域：，，令，定義域：，，（1）當(dāng)時，，則在上是減函數(shù)，則，當(dāng)時，，則在上是減函數(shù)，，不合題意；當(dāng)時，，，則存在，使，即，變化時，，的變化情況如下表：0單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減則，只需，即；（2）當(dāng)時，由（1）知在上是增函數(shù)，，不合題意；（3）當(dāng)時，在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，則在上是增函數(shù)，，不合題意，綜上所述，的取值范圍是.10．已知函數(shù).(1)若為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求的極值；(2)若有兩個不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，再次求導(dǎo)，考慮和兩種情況，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性計算極值即可.（2）確定，變換得到，構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間和極值，畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像得到取值范圍.【詳解】（1），故，則，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以無極值；當(dāng)時，令，得，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得極小值，無極大值，.綜上所述：當(dāng)時，無極值；當(dāng)時，有極小值，無極大值.（2）顯然，要使方程有兩個不等的實(shí)根，只需當(dāng)時，有且僅有一個實(shí)根.當(dāng)時，由方程，得，令，則直線與的圖象有且僅有一個交點(diǎn)，.當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得極小值.又當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，所以作出的大致圖象如圖所示.

由圖象知要使直線與的圖象有且僅有一個交點(diǎn)，只需或，綜上所述：若有兩個不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.11．已知函數(shù)在處取得極值.(1)求的值；(2)求在上的值域.【答案】(1)；(2).【分析】（1）對給定函數(shù)求導(dǎo)，利用函數(shù)極值點(diǎn)的意義求出并驗(yàn)證即得.（2）由（1）的結(jié)論，利用導(dǎo)數(shù)求出在指定區(qū)間上的最大最小值即可得解.【詳解】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，由在處取得極值，得，解得，此時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即函數(shù)在處取得極值，所以.（2）由（1）知，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，而，即，所以函數(shù)在上的值域?yàn)?易錯點(diǎn)四：零點(diǎn)不易求時忽略設(shè)零點(diǎn)建等式（利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題）1．判斷函數(shù)y=f（x）在某個區(qū)間上是否存在零點(diǎn)，主要利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理進(jìn)行判斷．首先看函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，然后看是否有．若有，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有零點(diǎn)．2．判斷函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)個數(shù)時，常用以下方法：（1）解方程：當(dāng)對應(yīng)方程易解時，可通過解方程，判斷函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)；（2）根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知條件進(jìn)行判斷；（3）通過數(shù)形結(jié)合進(jìn)行判斷，畫函數(shù)圖象，觀察圖象與軸交點(diǎn)的個數(shù)來判斷．3．已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根），求參數(shù)的取值范圍常用的方法：方法1：直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍．方法2：分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，再轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決．方法3：數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，再數(shù)形結(jié)合求解．4．解決函數(shù)應(yīng)用問題的步驟第一步：審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；第二步：建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；第三步：解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；第四步：還原：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問題的意義．技巧：判斷函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的方法：方法1：利用零點(diǎn)存在性定理判斷法；方法2：代數(shù)法：求方程的實(shí)數(shù)根；方法3：幾何法：對于不易求根的方程，將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)或利用兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)求解．在利用函數(shù)性質(zhì)時，可用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性．方法技巧：已知函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問題的三種常用方法1、直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決2、數(shù)形結(jié)合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解結(jié)論拓展：與和相關(guān)的常見同構(gòu)模型①，構(gòu)造函數(shù)或②，構(gòu)造函數(shù)或③，構(gòu)造函數(shù)或易錯提醒：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得也就是方程的根例．已知函數(shù)．(1)若在區(qū)間上有極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時，求證：有兩個零點(diǎn)，，且．【詳解】（1）因?yàn)椋?，所?①當(dāng)時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，在上無極值點(diǎn)；②當(dāng)時，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增．所以的極小值點(diǎn)為，無極大值點(diǎn).因?yàn)樵谏嫌袠O值，所以，所以.綜上所述，當(dāng)時，在區(qū)間上有極值.（2）由已知，定義域?yàn)?當(dāng)時，，由（1）知：，因?yàn)?，所?令，，則.因?yàn)樵谏虾愠闪?，所以在上單調(diào)遞減，所以，即.因?yàn)?，，由?）知：在上單調(diào)遞減，且，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，可知在，即上存在唯一的零點(diǎn)，使，.因?yàn)?令，，則.當(dāng)時，有，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，有，所以在上單調(diào)遞減.所以，在處取得唯一極大值，也是最大值.因?yàn)?，所以，所以，即，所以，所?由（1）知在上單調(diào)遞增，且，所以在上存在唯一的零點(diǎn)，使．所以有兩個零點(diǎn)，.

下面證明：設(shè)，則．兩式相減：，即，所以.因?yàn)?，所?要證：，即證：，只要證：，即證：.

令，即證：，．令，，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以．即成立，故有兩個零點(diǎn)，，且.變式1．已知函數(shù).(1)試討論的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，當(dāng)時，在上恒成立，即在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，最多只有1個零點(diǎn)，當(dāng)時，的最小值為，若有兩個零點(diǎn)，則，由，得，，令函數(shù)，則在上單調(diào)遞減，又，即當(dāng)時，，則當(dāng)，即時，，令函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，即，，令函數(shù)，由二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)得，，即，于是當(dāng)，即時，有2個零點(diǎn)，所以若有兩個零點(diǎn)，則的取值范圍為.變式2．若函數(shù)在處有極小值．(1)求c的值．(2)函數(shù)恰有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)在處有極小值，所以，解得或，當(dāng)時，，則時，，時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，可得函數(shù)在處取得極小值；當(dāng)時，，則時，，時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得函數(shù)在處取得極大值，不合題意，舍去．所以c的值為3.（2），函數(shù)定義域?yàn)镽，，當(dāng)時，恒成立，在R上單調(diào)遞增，時，有一個零點(diǎn)-1；時，，，恰有一個零點(diǎn).當(dāng)時，解得或，解得，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，時，有極大值，時，有極小值，恰有一個零點(diǎn)，或解得，綜上可知，函數(shù)恰有一個零點(diǎn)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.變式3．已知函數(shù).(1)求的極值：(2)若有兩個零點(diǎn)，求a的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，解得，?dāng)時，則，當(dāng)時，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以當(dāng)時，有極小值，無極大值.（2）因?yàn)楹瘮?shù)有兩個零點(diǎn)，所以直線與函數(shù)有兩個交點(diǎn)，，令，解得，當(dāng)時，則，當(dāng)時，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.因?yàn)椋?，?dāng)時，，當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，所以函數(shù)的大致圖象如圖所示，結(jié)合圖象可知，當(dāng)時，有兩個零點(diǎn)，故a的取值范圍為.1．已知函數(shù)（）.(1)求在上的最大值；(2)若函數(shù)恰有三個零點(diǎn)，求a的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)明確函數(shù)的單調(diào)性，求出極值和端點(diǎn)值，可得答案；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求得其極大值和極小值，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，可得答案.【詳解】（1），可知時，單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，由，，，，則.（2）由（1）知在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，，因?yàn)橛腥齻€零點(diǎn)，所以，即，解得，故的取值范圍為.2．已知函數(shù)有兩個零點(diǎn).(1)求的取值范圍；(2)設(shè)，為的兩個零點(diǎn)，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合有兩個零點(diǎn)可得解；（2）分析法轉(zhuǎn)化要證問題，只要證，即證，即證，即證，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最值判斷證明.【詳解】（1）因?yàn)?，則，當(dāng)時，恒成立，則在上單調(diào)遞增，不符合題意，當(dāng)時，的解集為，的解集為，即的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個零點(diǎn)，且時，，，依題意，解得，即的取值范圍為.（2）不妨設(shè)，則，要證，則只要證，即證，即證，即證，，而即，即證，，令，，則，設(shè)，，則，即在上單調(diào)遞增，則有，即，在上單調(diào)遞減，而，當(dāng)時，，則當(dāng)時，成立，故有成立.3．已知是函數(shù)的一個極值點(diǎn)．(1)求的值；(2)若有3個零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)．【分析】（1）函數(shù)的極值點(diǎn)為導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，可求的值并檢驗(yàn)；