第六章 第5講 解三角形應用舉例

第六章平面向量、復數(shù)第5講解三角形應用舉例

課標要求命題點五年考情命題分析預測能用余弦定理、正弦定理解決簡單的實際問題.余弦定理、正弦定理應用舉例2021全國卷乙T9；2021全國卷甲T8

本講知識單一，主要考查利用正、余弦定理求解距離、高度、角度問題，對數(shù)學建模能力的要求較高，一般以選擇題形式出現(xiàn)，難度中等.在2025年高考的備考中要提升閱讀理解能力，要能夠從文字信息中提取出解三角形的模型.

測量中的常用術語術語名稱術語意義圖形表示仰角與俯角在豎直平面內(nèi)的目標視線與水平視線所成的角

中，目標視線在水平視線①

?的叫做仰

角，目標視線在水平視線②

?的叫做俯

角.

上方下方術語名稱術語意義圖形表示方位角從某點的指北方向線起按順時針方向到目標方向線之間的水平夾角叫做方位角.方位角θ的范圍是0≤θ＜2π.

術語名稱術語意義圖形表示方向角正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角，通常表達為北(南)偏東(西)α.

北偏東α南偏西α坡角與坡度坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角.坡面的垂

直高度h和水平寬度l的比叫坡度.

1.如圖所示，為測量一樹的高度，在地面上選取

A

，

B

兩點(

A

，

B

與樹所在的直線

在同一平面內(nèi))，從

A

，

B

兩點測得樹尖

P

的仰角分別為30°和45°，且

A

，

B

兩點之

間的距離為60m，則樹的高度為(

A

)

A

1232.[易錯題]兩座燈塔

A

和

B

與海岸觀察站

C

的距離相等，燈塔

A

在觀察站北偏東

40°，燈塔

B

在觀察站南偏東60°，則燈塔

A

在燈塔

B

的(

B

)A.北偏東10°B.北偏西10°C.南偏東10°D.南偏西10°[解析]燈塔

A

，

B

的相對位置如圖所示，由已知得∠

ACB

＝80°，∠

CAB

＝∠

CBA

＝50°，則α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°，故選B.B123

A123

命題點

余弦定理、正弦定理應用舉例角度1

距離問題例1

[2023合肥市二檢]如圖，某地需要經(jīng)過一座山兩側的

D

，

E

兩點修建一條穿山隧

道.工程人員先選取直線

DE

上的三點

A

，

B

，

C

，在隧道

DE

正上方的山頂

P

處測得

A

處的俯角為15°，

B

處的俯角為45°，

C

處的俯角為30°，且測得

AB

＝1.4km，

BD

＝0.2km，

CE

＝0.5km，則擬修建的隧道

DE

的長為

?.0.7km

例1例2例3訓練

例1例2例3訓練

BA.346B.373C.446D.473例1例2例3訓練

例1例2例3訓練角度3

角度問題例3

如圖所示，位于

A

處的信息中心獲悉：在其正東方向40海里的

B

處有一艘漁船

遇險，在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的

C

處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向即沿直線

CB

前往

B

處救援，則cosθ＝

?.

例1例2例3訓練

例1例2例3訓練方法技巧1.解三角形實際問題的一般求解步驟(1)分析.理解題意，分析已知與未知，畫出示意圖.(2)建模.根據(jù)已知條件與求解目標，把已知量與所求量盡量集中在相關的三角形中，

建立一個解三角形的模型.(3)求解.利用正、余弦定理解三角形，求得數(shù)學模型的解.(4)檢驗.檢驗上述所求出的解是否具有實際意義，從而得出實際問題的解.2.對于立體測量問題，通常要轉化為兩類平面問題，一類是豎直放置的平面，通常

要解直角三角形；另一類是水平放置的平面，通常要解斜三角形.例1例2例3訓練

A.30mB.35mC.40mD.45mC例1例2例3訓練

例1例2例3訓練

A.AD＝24海里B.CD＝12海里C.∠CDA＝60°或∠CDA＝120°D.∠CDA＝60°ABD例1例2例3訓練

例1例2例3訓練

36

12

12

122.[角度2]如圖，為測量山高

MN

，選擇

A

和另一座山的山頂

C

為測量觀測點，從點

A

測得點

M

的仰角∠

MAN

＝60°，點

C

的仰角∠

CAB

＝45°以及∠

MAC

＝75°；從點

C

測得∠

MCA

＝60°，已知山高

BC

＝100m，則山高

MN

＝

?m.150

12

12

1.

[2024黑龍江省實驗中學開學考試]中國古代四大名樓之一鸛雀樓，位于山西省運

城市永濟市蒲州鎮(zhèn)，因唐代詩人王之渙的詩作《登鸛雀樓》而聞名遐邇.如圖，某同

學為測量鸛雀樓的高度

MN

，在鸛雀樓的正東方向找到一座建筑物

AB

，高約為37

m，在地面上點

C

處(

B

，

C

，

N

三點共線)測得建筑物頂部

A

，鸛雀樓頂部

M

的仰角

分別為30°和45°，在

A

處測得鸛雀樓頂部

M

的仰角為15°，則鸛雀樓的高度

MN

約為

(

B

)

BA.64mB.74mC.52mD.91m12345678

12345678

A.∠BCD，∠BDCB.∠ACD，∠ADCC.∠BCD，∠ACDD.∠BCD，∠ADCABD12345678[解析]對于A，根據(jù)

CD

，∠

BCD

，∠

BDC

，可解三角形求得

CB

，從而在Rt△

ABC

中求得

AB

，所以A符合題意.對于B，根據(jù)

CD

，∠

ACD

，∠

ADC

，可解三角形求得

AC

，從而在Rt△

ABC

中求

得

AB

，所以B符合題意.對于C，根據(jù)

CD

，∠

ACB

，∠

BCD

，∠

ACD

四個條件，無法通過解三角形求得

AB

，所以C不符合題意.對于D，第一步，∠

ACB

已知，在Rt△

ABC

中，用

AB

表示出

BC

，

AC

；第二步，

在△

BCD

中，根據(jù)余弦定理用

AB

表示出

BD

，在△

ACD

中，根據(jù)正弦定理用

AB

表

示出

AD

；第三步，在Rt△

ABD

中，利用勾股定理列方程，即可求得

AB

.

所以D符

合題意.12345678

12345678

12345678

12345678(2)如果有游客想直接從小島

A

出發(fā)到小島

C

，求游船航行的方向.

12345678

5.[2023貴州診斷]鏡面反射法是測量建筑物高度的重要方法，在如圖所示的模型

中，已知人眼距離地面高度

h

＝1.5m，某建筑物高

h

1＝4.5m，將鏡子(平面鏡)置于

平地上，人后退至從鏡中能夠看到建筑物頂部的位置，測量人與鏡子間的距離

a

1＝

1.2m，將鏡子后移

am，重復前面的操作，測量人與鏡子間的距離

a

2＝3.2m，則

a

＝(

A

)A.6B.5C.4D.3A12345678[解析]如圖，設建筑物最高點為

A

，建筑物底部為

O

，第一次觀察時鏡面位置為

B

，第一次觀察時人眼睛位置為

C

，第二次觀察時鏡面位置為

D

，設

O

到

B

之間的

距離為

a

0m，

123456786.[背景創(chuàng)新]1471年，德國數(shù)學家米勒向諾德爾教授提出一個問題：在地球表面的

什么部位，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長(即視角最大，視角是指由物體兩端引出的兩條

光線在眼球內(nèi)交叉而成的角)？這個問題被稱為米勒問題，諾德爾教授給出解答，以

懸桿的延長線和水平地面的交點為圓心，懸桿兩端點到地面的距離的積的算術平方

根為半徑在地面上作圓，則圓上的點對懸桿視角最大.米勒問題在實際生活中應用十

分廣泛.某人觀察一座山頂上的鐵塔，塔高90m，山高160m，此人站在對塔“最大

視角”(忽略人身高)的水平地面位置觀察此塔，則此時“最大視角”的正弦值為

(

B

)B12345678

123456787.[2024青島市檢測]海洋藍洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被譽為“地球給人類保

留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”.若要測量如圖所示某藍洞口邊緣

A

，

B

兩點間的距離，現(xiàn)

在珊瑚群島上取兩點

C

，

D

，測得

CD

＝8海里，∠

ADB

＝135°，∠

BDC

＝∠

DCA

＝15°，∠

ACB

＝120°，則

A

，

B

兩點間的距離為

海里.

12345678

123456788.[2024北京市密云二中月考]某自然保護區(qū)為研究動物種群的生活習性，設立了兩

個相距12km的觀測站

A

和

B

，觀測人員分別在

A

，

B

處觀測該動物種群.如圖，某

一時刻，該動物種群出現(xiàn)在點

C

處，觀測人員從兩個觀測站分別測得∠

B