第九章 第2講 用樣本估計(jì)總體

第九章統(tǒng)計(jì)與成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析第2講用樣本估計(jì)總體

課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)1.能用樣本估計(jì)總體的

集中趨勢(shì)參數(shù)(平均數(shù)、

中位數(shù)、眾數(shù))，理解集

中趨勢(shì)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.百分位數(shù)

的估計(jì)本講是高考命題的熱

點(diǎn)，主要考查百分位

數(shù)，樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特

征，課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)2.能用樣本估計(jì)總體的

離散程度參數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)差、

方差、極差)，理解離散

程度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.樣本的數(shù)

字特征2023新高考卷ⅠT9；2022全國(guó)

卷乙T19；2022全國(guó)卷甲T2；

2021新高考卷ⅠT9；2021新高

考卷ⅡT9；2021全國(guó)卷甲T2；

2021全國(guó)卷乙T17；2020全國(guó)

卷ⅢT3；2019全國(guó)卷ⅡT5；

2019全國(guó)卷ⅡT13；2019全國(guó)

ⅢT17統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)

字特征，總體

趨勢(shì)估計(jì)等.課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)3.能用樣本估

計(jì)總體的取值

規(guī)律.4.能用樣本估

計(jì)百分位數(shù)，

理解百分位數(shù)

的統(tǒng)計(jì)含義.總體數(shù)字特征的

估計(jì)2023全國(guó)卷乙T17；2022新高考

卷ⅡT19；2022全國(guó)卷乙T19；

2021全國(guó)卷乙T17；2020全國(guó)卷

ⅡT18；2020全國(guó)卷ⅢT18；2019

全國(guó)卷ⅡT19；2019全國(guó)卷ⅢT17預(yù)計(jì)2025年高

考主要以生產(chǎn)

生活實(shí)踐情境

為載體考查樣

本的數(shù)字特征

及對(duì)總體的估

計(jì).分層隨機(jī)抽樣的

均值與方差

學(xué)生用書P2121.百分位數(shù)(1)定義：一般地，一組數(shù)據(jù)的第

p

百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少

有①

的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有②

?的數(shù)據(jù)大于或

等于這個(gè)值.(2)四分位數(shù)：第25百分位數(shù)、中位數(shù)(第50百分位數(shù))、第75百分位數(shù)把一組由

小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，這三個(gè)分位數(shù)統(tǒng)稱為四分位數(shù).其中第25百

分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)等，第75百分位數(shù)也稱為第三四分位

數(shù)或上四分位數(shù)等.p

％

(100－

p

)％

2.平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)數(shù)字特

征概念特征平均數(shù)與每一個(gè)樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，樣本中任何

一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改

變，對(duì)樣本中的極端值更加敏感.

數(shù)字特

征概念特征中位數(shù)將一組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序

排列后，處在最④

的一個(gè)數(shù)據(jù)(當(dāng)

數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí))或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的

⑤

(當(dāng)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)).只利用了樣本數(shù)據(jù)中間位置

的一個(gè)或兩個(gè)值，有的樣本

數(shù)據(jù)的改變不一定引起中位

數(shù)的改變.眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)⑥

的數(shù)據(jù)(即

頻數(shù)最大值所對(duì)應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)).體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中

點(diǎn)，對(duì)極端值不敏感，一組

數(shù)據(jù)可能有n個(gè)眾數(shù)，也可

能沒有眾數(shù).中間

平均數(shù)

最多

3.方差和標(biāo)準(zhǔn)差名稱定義樣本的方

差和標(biāo)準(zhǔn)

差

名稱定義總體的方

差和標(biāo)準(zhǔn)

差

4.分層隨機(jī)抽樣的樣本均值與方差

常用結(jié)論1.平均數(shù)的性質(zhì)

2.方差的性質(zhì)若給定一組數(shù)據(jù)

x

1，

x

2，…，

xn

，其方差為

s

2，則

ax

1，

ax

2，…，

axn

的方差為

a

2

s

2，

ax

1＋

b

，

ax

2＋

b

，…，

axn

＋

b

的方差為

a

2

s

2.特別地，當(dāng)

a

＝1時(shí)，有

x

1＋

b

，

x

2＋

b

，…，

xn

＋

b

的方差為

s

2，這說明將一組數(shù)

據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上一個(gè)相同的常數(shù)，方差是不變的，即數(shù)據(jù)經(jīng)過平移后方差

不變.

1.下列說法正確的是(

D

)A.對(duì)一組數(shù)據(jù)來說，平均數(shù)和中位數(shù)總是非常接近B.一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)唯一C.方差與標(biāo)準(zhǔn)差具有相同的單位D.如果一組數(shù)中每個(gè)數(shù)減去同一個(gè)非零常數(shù)，則這組數(shù)的平均數(shù)改變，方差不變[解析]

平均數(shù)指的是這組數(shù)據(jù)的平均水平，中位數(shù)指的是這組數(shù)據(jù)的中間水平，

它們之間沒有必然聯(lián)系，故A錯(cuò)誤；一組數(shù)據(jù)的第

p

百分位數(shù)可以不唯一，故B錯(cuò)

誤；方差是標(biāo)準(zhǔn)差的平方，故它們的單位不一樣，故C錯(cuò)誤.D123452.[全國(guó)卷Ⅲ]設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)

x

1，

x

2，…，

xn

的方差為0.01，則數(shù)據(jù)10

x

1，10

x2，…，10

xn

的方差為(

C

)A.0.01B.0.1C.1D.10[解析]因?yàn)閿?shù)據(jù)

axi

＋

b

(

i

＝1，2，…，

n

)的方差是數(shù)據(jù)

xi

(

i

＝1，2，…，

n

)的方

差的

a

2倍，所以所求數(shù)據(jù)的方差為102×0.01＝1.C123453.[多選/2021新高考卷Ⅱ]下列統(tǒng)計(jì)量中可用于度量樣本

x

1，

x

2，…，

xn

離散程度的

有(

AC

)A.x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差B.x1，x2，…，xn的中位數(shù)C.x1，x2，…，xn的極差D.x1，x2，…，xn的平均數(shù)[解析]平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)均刻畫了樣本數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，一般地，對(duì)數(shù)值型

數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的描述，可以用平均數(shù)和中位數(shù)，對(duì)分類型數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的描述，可

以用眾數(shù).方差、標(biāo)準(zhǔn)差和極差均是度量樣本數(shù)據(jù)離散程度的數(shù)字特征.故選AC.AC123454.[江蘇高考]已知一組數(shù)據(jù)6，7，8，8，9，10，則該組數(shù)據(jù)的方差是

?.

123455.[2023湖南省六校聯(lián)考]數(shù)據(jù)：1，2，2，3，4，5，6，6，7，8，其中位數(shù)為

m

，

第60百分位數(shù)為

a

，則

m

＋

a

＝

?.

10

12345

學(xué)生用書P213命題點(diǎn)1

百分位數(shù)的估計(jì)例1(1)一個(gè)容量為20的樣本，其數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：1，2，2，3，5，

6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18.則該組數(shù)據(jù)的第75百分

位數(shù)為

，第86百分位數(shù)為

?.

14.5

17

例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4(2)[2023重慶二調(diào)]如圖是根據(jù)某班學(xué)生在一次體能素質(zhì)測(cè)試中的成績(jī)畫出的頻率分

布直方圖，則由直方圖得到的80％分位數(shù)為

?.

解得

x

＝78.5.78.5

例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4方法技巧1.計(jì)算一組

n

個(gè)數(shù)據(jù)的第

p

百分位數(shù)的步驟(1)按從小到大排列原始數(shù)據(jù)；(2)計(jì)算

i

＝

n

×

p

％；(3)若

i

不是整數(shù)，而大于

i

的比

鄰整數(shù)為

j

，則第

p

百分位數(shù)為第

j

項(xiàng)數(shù)據(jù)；若

i

是整數(shù)，則第

p

百分位數(shù)為第

i

項(xiàng)與

第(

i

＋1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).2.頻率分布直方圖中第

p

百分位數(shù)的求解步驟(1)確定第

p

百分位數(shù)所在的區(qū)間[

a

，

b

)；

例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4訓(xùn)練1(1)已知100個(gè)數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是9.3，則下列說法正確的是(

C

)A.這100個(gè)數(shù)據(jù)中一定有75個(gè)數(shù)小于或等于9.3B.把這100個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個(gè)數(shù)據(jù)C.把這100個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個(gè)數(shù)據(jù)和第76個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)D.把這100個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個(gè)數(shù)據(jù)和第74個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)[解析]因?yàn)?00×75％＝75，為整數(shù)，所以第75個(gè)數(shù)據(jù)和第76個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為第

75百分位數(shù)，是9.3，則C正確，其他選項(xiàng)均不正確，故選C.C例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4(2)[2023河北名校聯(lián)考]為科普航天知識(shí)，某校組織學(xué)生參與航天知識(shí)競(jìng)答活動(dòng)，某

班8位同學(xué)成績(jī)?nèi)缦拢?，6，8，9，8，7，10，

m

.若去掉

m

，該組數(shù)據(jù)的第25百分

位數(shù)保持不變，則整數(shù)

m

(1≤

m

≤10)的值可以是

.(寫出一個(gè)滿

足條件的

m

的值即可)[解析]原數(shù)據(jù)去掉

m

后，剩余數(shù)據(jù)從小到大依次為6，7，7，8，8，9，10，因?yàn)?/p>

7×0.25＝1.75，所以這7個(gè)數(shù)的第25百分位數(shù)為7，所以數(shù)據(jù)7，6，8，9，8，7，

10，

m

的第25百分位數(shù)為7，又8×0.25＝2，所以7為這8個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排序后的第

2個(gè)數(shù)與第3個(gè)數(shù)的平均數(shù)，所以

m

(1≤

m

≤10)的值可以是7或8或9或10.7(8，9，10也可)

例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4

A例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4(2)[多選/2023新高考卷Ⅰ]有一組樣本數(shù)據(jù)

x

1，

x

2，…，

x

6，其中

x

1是最小值，

x

6是

最大值，則(

BD

)A.x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于x1，x2，…，x6的平均數(shù)B.x2，x3，x4，x5的中位數(shù)等于x1，x2，…，x6的中位數(shù)C.x2，x3，x4，x5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于x1，x2，…，x6的標(biāo)準(zhǔn)差D.x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差BD例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4角度2

統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)字特征例3[多選/2023重慶市三檢]某學(xué)校共有2000名男生，為了了解這部分學(xué)生的身體發(fā)

育情況，學(xué)校抽查了100名男生的體重情況.根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制樣本的頻率分布直方

圖如圖所示，則下列結(jié)論正確的是(

ABD

)ABDC.樣本的平均值為66D.該校男生體重超過70kg的學(xué)生大約為600人例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4方法技巧頻率分布直方圖中的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：在頻率分布直方圖中，一般用最高小長(zhǎng)方形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)近似

代替；(2)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等；(3)平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布直方圖中近似等于各組區(qū)間的中點(diǎn)值與對(duì)應(yīng)頻率之積

的和.例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4訓(xùn)練2(1)[2022全國(guó)卷甲]某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí).為了

解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分

類知識(shí)問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如圖，則(

B

)BA.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70％B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85％C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4(2)[多選/2021新高考卷Ⅰ]有一組樣本數(shù)據(jù)

x

1，

x

2，…，

xn

，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本

數(shù)據(jù)

y

1，

y

2，…，

yn

，其中

yi

＝

xi

＋

c

(

i

＝1，2，…，

n

)，

c

為非零常數(shù)，則

(

CD

)A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

CD例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4命題點(diǎn)3

總體數(shù)字特征的估計(jì)角度1

總體集中趨勢(shì)的估計(jì)例4統(tǒng)計(jì)局就某地居民的月收入(單位：元)情況調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫

出了樣本頻率分布直方圖(如圖)，每個(gè)分組包括左端點(diǎn)，不包括右端點(diǎn)，如第一組

表示月收入在[2500，3000)內(nèi).例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4(1)為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系，必須按月收入再?gòu)倪@10000人

中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽出100人進(jìn)行下一步分析，則月收入在[4000，4500)內(nèi)

的應(yīng)抽取多少人？

例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4

(3)樣本平均數(shù)為(2750×0.0002＋3250×0.0004＋3750×0.0005＋4250×0.0005＋4750×0.0003＋5250×0.0001)×500＝3900，因此估計(jì)該地居民月收入的平均數(shù)為3900元.(3)假設(shè)同組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，估計(jì)該地居民月收入的平均數(shù).(2)估計(jì)該地居民的月收入的中位數(shù).例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4方法技巧平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等都是刻畫“中心位置”的量，它們從不同角度刻畫了一組

數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).一般地，對(duì)數(shù)值型數(shù)據(jù)(如用水量、身高、收入、產(chǎn)量等)集中趨勢(shì)

的描述，可以用平均數(shù)、中位數(shù)；而對(duì)分類型數(shù)據(jù)(如校服規(guī)格、性別、產(chǎn)品質(zhì)量等

級(jí)等)集中趨勢(shì)的描述，可以用眾數(shù).例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4角度2

總體離散程度的估計(jì)例5[2023全國(guó)卷乙]某廠為比較甲、乙兩種工藝對(duì)橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效

應(yīng)，進(jìn)行10次配對(duì)試驗(yàn)，每次配對(duì)試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地

選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測(cè)量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸

縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為

xi

，

yi

(

i

＝1，

2，…，10)，試驗(yàn)結(jié)果如下：試驗(yàn)序號(hào)i12345678910伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi536527543530560533522550576536例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4

[解析]

(1)由題意，求出

zi

的值如表所示，試驗(yàn)序號(hào)i12345678910zi968－8151119182012

例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4方法技巧總體離散程度的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差(方差)刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動(dòng)幅度，標(biāo)準(zhǔn)差(方差)越大，數(shù)據(jù)的離散程

度越大，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差(方差)越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定.例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4訓(xùn)練3[全國(guó)卷Ⅱ]某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨機(jī)調(diào)查

了100個(gè)企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相對(duì)于前一年第一季度產(chǎn)值增長(zhǎng)率

y

的

頻數(shù)分布表.y的分組[－0.20，0)[0，0.20)[0.20，0.40)[0.40，0.60)[0.60，0.80)企業(yè)數(shù)22453147例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4(1)分別估計(jì)這類企業(yè)中產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于40％的企業(yè)比例、產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企

業(yè)比例；

例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4命題點(diǎn)4

分層隨機(jī)抽樣的均值與方差例6某校開展了為期一年的“弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化，閱讀經(jīng)典名著”活動(dòng).在了解全校學(xué)生

每年平均閱讀了多少本文學(xué)經(jīng)典名著時(shí)，甲同學(xué)抽取了一個(gè)容量為10的樣本，并算

得樣本的平均數(shù)為5，方差為9；乙同學(xué)抽取了一個(gè)容量為8的樣本，并算得樣本的

平均數(shù)為6，方差為16.已知甲、乙兩同學(xué)抽取的樣本合在一起組成一個(gè)容量為18的

樣本，則合在一起后的樣本平均數(shù)為

，方差為

.(精確到0.1)5.4

12.4

例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4訓(xùn)練4[2023安徽省示范高中聯(lián)考]為了調(diào)查公司員工的健康狀況，某公司男、女員工

比例是2∶3，用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取樣本，統(tǒng)計(jì)樣本數(shù)據(jù)如下：男員工的平均

體重為70kg，標(biāo)準(zhǔn)差為5kg；女員工的平均體重為50kg，標(biāo)準(zhǔn)差為6kg.則由此估

計(jì)該公司員工的平均體重是

kg，方差是

kg2.

58

127.6

例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4

A.50B.60C.70D.80

C12345

A.平均數(shù)不變B.眾數(shù)不變C.極差變小D.第20百分位數(shù)變大BD

123453.[命題點(diǎn)2，4/2023濰坊市高三統(tǒng)考]若一組樣本數(shù)據(jù)

x

1，

x

2，…，

xn

的平均數(shù)為

10，另一組樣本數(shù)據(jù)2

x

1＋4，2

x

2＋4，…，2

xn

＋4的方差為8，則兩組樣本數(shù)據(jù)合

并為一組樣本數(shù)據(jù)后的平均數(shù)和方差分別為(

A

)A.17，54B.17，48C.15，54D.15，48A12345

123454.[命題點(diǎn)3/2021全國(guó)卷乙]某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)

產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各

件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

12345

12345

123455.[命題點(diǎn)4/2023廣州市調(diào)研]為調(diào)查某地區(qū)中學(xué)生每天的睡眠時(shí)間，采用樣本量比例

分配的分層隨機(jī)抽樣，現(xiàn)抽取初中生800人，其每天睡眠時(shí)間均值為9小時(shí)，方差為

1，抽取高中生1200人，其每天睡眠時(shí)間均值為8小時(shí)，方差為0.5，則估計(jì)該地區(qū)

中學(xué)生每天睡眠時(shí)間的方差為(

B

)A.0.96B.0.94C.0.79D.0.75B12345

12345

學(xué)生用書·作業(yè)幫P3751234567891011121314151.[2024福州市一檢]某市抽查一周空氣質(zhì)量指數(shù)變化情況，得到一組數(shù)據(jù)：80，

76，73，82，86，75，81.以下關(guān)于這組數(shù)據(jù)判斷正確的有(

C

)A.極差為11B.中位數(shù)為82C.平均數(shù)為79D.方差為124C[解析]對(duì)A，B，將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為73，75，76，80，

81，82，86，則這組數(shù)據(jù)的極差為86－73＝13，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為80，A錯(cuò)

誤，B錯(cuò)誤；對(duì)C，(80＋76＋73＋82＋86＋75＋81)÷7＝79，C正確；對(duì)D，

[(80－79)2＋(76－79)2＋(73－79)2＋(82－79)2＋(86－79)2＋(75－79)2＋(81－

79)2]÷7≈17.7，D錯(cuò)誤.故選C.1234567891011121314152.[2024湖北部分學(xué)校聯(lián)考]為了弘揚(yáng)體育精神，某學(xué)校組織秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)，在一項(xiàng)比

賽中，學(xué)生甲進(jìn)行了8組投籃，得分分別為10，8，

a

，8，7，9，6，8，如果學(xué)生甲

的平均得分為8分，那么這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為(

C

)A.8B.9C.8.5D.9.5C

1234567891011121314153.[全國(guó)卷Ⅱ]演講比賽共有9位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)定該選手的成績(jī)

時(shí)，從9個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評(píng)分.7個(gè)有效評(píng)分

與9個(gè)原始評(píng)分相比，不變的數(shù)字特征是(

A

)A.中位數(shù)B.平均數(shù)C.方差D.極差[解析]記9個(gè)原始評(píng)分分別為

a

，

b

，

c

，

d

，

e

，

f

，

g

，

h

，

i

(按從小到大的順序

排列)，易知

e

為7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分的中位數(shù)，故不變的數(shù)字特征是中位

數(shù)，故選A.A1234567891011121314154.[2024河南名校聯(lián)考]在某次考試中，某班學(xué)生的最高分為100分，最低分為50分，

且最高分只有1個(gè)，現(xiàn)將全班每個(gè)學(xué)生的分?jǐn)?shù)按照

yi

＝

axi

＋

b

(

a

＞0)進(jìn)行調(diào)整，其

中

xi

是第

i

個(gè)學(xué)生的原始分?jǐn)?shù)，

yi

是第

i

個(gè)學(xué)生調(diào)整后的分?jǐn)?shù)，若調(diào)整后，全班的最

高分為100分，最低分為60分，則(

B

)A.調(diào)整后分?jǐn)?shù)的平均數(shù)和原始分?jǐn)?shù)的平均數(shù)相同B.調(diào)整后分?jǐn)?shù)的中位數(shù)高于原始分?jǐn)?shù)的中位數(shù)C.調(diào)整后分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差和原始分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差相同D.調(diào)整后分?jǐn)?shù)的眾數(shù)個(gè)數(shù)多于原始分?jǐn)?shù)的眾數(shù)個(gè)數(shù)B123456789101112131415[解析]對(duì)于A，B：根據(jù)題意知100＝100

a

＋

b

，60＝50

a

＋

b

，所以

a

＝0.8，

b

＝

20，于是

yi

＝0.8

xi

＋20，則

yi

－

xi

＝0.8

xi

＋20－

xi

＝20－0.2

xi

＝0.2(100－

xi

)≥0，

即除了最高分外，調(diào)整后的分?jǐn)?shù)都高于原始分?jǐn)?shù)，因此調(diào)整后分?jǐn)?shù)的平均數(shù)、中位

數(shù)分別高于原始分?jǐn)?shù)的平均數(shù)、中位數(shù)，A錯(cuò)誤，B正確.對(duì)于C：根據(jù)

yi

＝0.8

xi

＋20，可得調(diào)整后分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差等于原始分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差的0.8

倍，顯然調(diào)整后分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差變小了，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D：如果原始分?jǐn)?shù)相同，則調(diào)整后的分?jǐn)?shù)也相同，故調(diào)整后分?jǐn)?shù)的眾數(shù)個(gè)數(shù)和

原始分?jǐn)?shù)的眾數(shù)個(gè)數(shù)相同，故D錯(cuò)誤.1234567891011121314155.[多選/2024云南昆明模擬]甲、乙兩個(gè)旅游景區(qū)某月初連續(xù)7天的日均氣溫(單位：

℃)數(shù)據(jù)如圖所示(氣溫均取整數(shù))，則關(guān)于這7天的日均氣溫，下列判斷正確的是

(

ABC

)A.甲旅游景區(qū)日均氣溫的平均數(shù)與乙旅游景區(qū)日均氣溫的平均數(shù)

相等B.甲旅游景區(qū)日均氣溫的中位數(shù)與乙旅游景區(qū)日均氣溫的中位數(shù)

相等C.甲旅游景區(qū)的日均氣溫波動(dòng)比乙旅游景區(qū)的日均氣溫波動(dòng)大D.乙旅游景區(qū)日均氣溫的極差為1℃ABC123456789101112131415

1234567891011121314156.[多選/2023合肥市二檢]如圖是某汽車公司100家銷售商2022年新能源汽車銷售量

(單位：輛)的頻率分布直方圖，則(

ACD

)A.a的值為0.004B.估計(jì)這100家銷售商新能源汽車銷售量的平均數(shù)為135C.估計(jì)這100家銷售商新能源汽車銷售量的80％分位數(shù)為212.5D.若按分層隨機(jī)抽樣原則從這100家銷售商中抽取20家，則從銷售量在[200，300]內(nèi)

的銷售商中抽取5家ACD123456789101112131415[解析]對(duì)于A，由頻率分布直方圖可得，50×0.002＋50×0.003＋50

a

＋50×0.006

＋50

a

＋50×0.001＝1，得

a

＝0.004，故A正確；對(duì)于B，(25×0.002＋75×0.003＋

125×0.004＋175×0.006＋225×0.004＋275×0.001)×50＝150，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，

設(shè)80％分位數(shù)為

x

，易得

x

∈[200，250)，則50×0.002＋50×0.003＋50×0.004＋

50×0.006＋(

x

－200)×0.004＝0.8，解得

x

＝212.5，故C正確；對(duì)于D，銷售量在

[200，300]內(nèi)的頻率為50×0.004＋50×0.001＝0.25，20×0.25＝5，所以從銷售量在

[200，300]內(nèi)的銷售商中抽取5家，故D正確.故選ACD.123456789101112131415

A.從高一學(xué)生中抽取了40人B.抽取的高二學(xué)生每天的總讀書時(shí)間是1860小時(shí)C.被抽取的學(xué)生每天的讀書時(shí)間的平均數(shù)為3小時(shí)D.估計(jì)該校全體學(xué)生每天的讀書時(shí)間的方差為s2＝1.966ACD123456789101112131415

1234567891011121314158.[2024新疆喀什模擬]樣本中共有五個(gè)個(gè)體，其值分別為

a

，0，1，2，3，若該樣

本的平均值為1，則樣本方差為

?.

2

1234567891011121314159.[2024陜西商洛聯(lián)考]某品牌汽車2019—2022年這四年的銷量逐年增長(zhǎng)，2019年銷

量為5萬輛，2022年銷量為22萬輛，且這四年銷量的中位數(shù)與平均數(shù)相等，則這四

年的總銷量為

萬輛.

54

123456789101112131415

123456789101112131415

12345678910111213141511.[2023廣西聯(lián)考]某新能源汽車制造公司，為鼓勵(lì)消費(fèi)者購(gòu)買其生產(chǎn)的新能源汽

車，約定從2023年1月開始，凡購(gòu)買一輛該品牌汽車，在行駛?cè)旰?，公司將給予

適當(dāng)金額的