第七章 第2講 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

第七章立體幾何與空間向量第2講空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

課標要求命題點五年考情命題分析預(yù)測借助長方體，在直觀

認識空間點、直線、

平面的位置關(guān)系的基

礎(chǔ)上，抽象出空間

點、直線、平面的位

置關(guān)系的定義，了解

4個基本事實和定理.平面的基

本性質(zhì)及

應(yīng)用2020新高考卷

ⅠT16；2020全國卷

ⅡT16；2020全國卷

ⅢT19該講是立體幾何的基礎(chǔ)，

主要以客觀題的形式出

現(xiàn)，考查平面的基本性質(zhì)

及應(yīng)用(如作截面)，線線

位置關(guān)系的判定等，難度

中等.在2025年高考備考中

要側(cè)重對基本性質(zhì)的理解

和應(yīng)用.空間直

線、平面

間的位置

關(guān)系2023上海春季T15；

2021新高考卷

ⅡT10；2019全國卷

ⅢT8

1.平面的基本性質(zhì)(1)三個基本事實基本事實1過①

的三個點，有且只有一個平面.基本事實2如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi).基本事實3如果兩個不重合的平面②

?，那么它們有且只有

③

過該點的公共直線.不在一條直線上

有一個公共點

一條

(2)三個推論利用基本事實1和基本事實2，結(jié)合“兩點確定一條直線”可得到以下推論.推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面.推論2經(jīng)過兩條④

直線，有且只有一個平面.推論3經(jīng)過兩條⑤

直線，有且只有一個平面.相交

平行

3.空間中直線、平面間的位置關(guān)系圖形語言符號語言公共點直線與平面相交

a∩α＝A1個平行

a∥α0個在平面內(nèi)

a?α⑥

?個平面與平面平行

α∥β⑦

?個相交

α∩β＝l無數(shù)個無數(shù)

0

說明

分別在兩個平行平面內(nèi)的直線平行或異面.

1.如圖，α∩β＝

l

，

A

，

B

∈α，

C

∈β，且

C

?

l

，直線

AB

∩

l

＝

M

，過

A

，

B

，

C

三點的平面記作γ，則γ與β的交線必通過(

D

)A.點AB.點BC.點C但不過點MD.點C和點MD1232.[多選]以下說法正確的是(

CD

)A.若一條直線上有兩個點到一個平面距離相等，則這條直線與該平面平行B.若一個平面上有三個點到另一個平面距離相等，則這兩個平面平行C.若三條直線a，b，c兩兩平行且分別交直線l于A，B，C三點，則這四條直線共面D.不共面的四點中，任意三點都不共線[解析]對于A，直線也可能在平面內(nèi)或與平面相交；對于B，兩平面也可能相交；

易知C，D正確.CD1233.[多選]如圖是一個正方體的展開圖，則在這個正方體中，下列命題正確的是

(

CD

)A.AF與CN平行B.BM與AN是異面直線C.AF與BM是異面直線D.BN與DE是異面直線CD123[解析]

把正方體的平面展開圖還原，如圖，由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知，

AF

與

CN

是異面直線，故A錯誤；

BM

與

AN

平行，故B錯誤；

BM

?平面

BCMF

，

F

∈平面

BCMF

，

A

?平面

BCMF

，

F

?

BM

，故

AF

與

BM

是異

面直線，故C正確；

DE

?平面

ADNE

，

N

∈平面

ADNE

，

B

?平面

ADNE

，

N

?

DE

，故

BN

與

DE

是異面

直線，故D正確.123

命題點1

平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用例1

已知在正方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

E

，

F

分別為

D

1

C

1，

C

1

B

1的中點，

AC

∩

BD

＝

P

，

A

1

C

1∩

EF

＝

Q

.

求證：(1)

D

，

B

，

F

，

E

四點共面.[解析]

如圖所示，連接

B

1

D

1.由題意知

EF

是△

D

1

B

1

C

1的中位線，所以

EF

∥

B

1

D

1.在正方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

B

1

D

1∥

BD

，所以

EF

∥

BD

，所以

EF

，

BD

確定一個平面，即

D

，

B

，

F

，

E

四點共面.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2[解析]

記

A

1，

C

，

C

1三點確定的平面為平面α，平面

BDEF

為平面β.因為

Q

∈

A

1

C

1，所以

Q

∈α.又

Q

∈

EF

，所以

Q

∈β，所以

Q

是α與β的公共點.同理，

P

是α與β的公共點，所以α∩β＝

PQ

.

又

A

1

C

∩β＝

R

，所以

R

∈

A

1

C

，

R

∈α，且

R

∈β，則

R

∈

PQ

，故

P

，

Q

，

R

三點共線.[解析]

因為

EF

∥

BD

且

EF

＜

BD

，所以

DE

與

BF

相交，設(shè)交點為

M

，則由

M

∈

DE

，

DE

?平面

D

1

DCC

1，得

M

∈平面

D

1

DCC

1，同理，

M

∈平面

B

1

BCC

1.又平面

D

1

DCC

1∩平面

B

1

BCC

1＝

CC

1，所以

M

∈

CC

1.所以

DE

，

BF

，

CC

1三線交于一點.(3)

DE

，

BF

，

CC

1三線交于一點.(2)若

A

1

C

交平面

DBFE

于點

R

，則

P

，

Q

，

R

三點共線.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2方法技巧1.證明點共線問題的常用方法基本事實法先找出兩個平面，然后證明這些點都是這兩個平面的公共點，再根

據(jù)基本事實3證明這些點都在交線上.納入直線法選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其余點也在該直線上.2.證明線共點問題的常用方法先證兩條直線交于一點，再證明第三條直線經(jīng)過該點.3.證明點、直線共面問題的常用方法納入平面法先確定一個平面，再證明有關(guān)點、線在此平面內(nèi).輔助平面法先證明有關(guān)的點、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，

最后證明平面α，β重合.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練1

如圖，已知正方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

E

，

F

分別是棱

CC

1，

AA

1的中點.(1)畫出平面

BED

1

F

與平面

ABCD

的交線，并說明理由.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2[解析]如圖1所示，直線

PB

為平面

BED

1

F

與平面

ABCD

的交線，理由如下：圖1在正方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，因為

DA

?平面

AA

1

D

1

D

，

D

1

F

?平面

AA

1

D

1

D

，且

DA

與

D

1

F

不平行，所以在平面

AA

1

D

1

D

內(nèi)分別延長

D

1

F

，

DA

，則

D

1

F

與

DA

必相交于一點，不妨設(shè)

為點

P

，所以

P

∈

AD

，

P

∈

D

1

F

.

圖1因為

DA

?平面

ABCD

，

D

1

F

?平面

BED

1

F

，所以

P

∈平面

ABCD

，

P

∈平面

BED

1

F

，即

P

為平面

ABCD

和平面

BED

1

F

的公共點.連接

PB

，又

B

為平面

ABCD

和平面

BED

1

F

的公共點，所以直線

PB

為平面

BED

1

F

與平面

ABCD

的交線.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2[解析]

如圖2所示，連接

BD

1，

BD

，

B

1

D

1，在正方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，圖2因為

BB

1∥

DD

1，且

BB

1＝

DD

1，所以四邊形

BB

1

D

1

D

為平行四邊形.因為

H

為直線

B

1

D

與平面

BED

1

F

的交點，所以

H

∈

B

1

D

，又

B

1

D

?平面

BB

1

D

1

D

，所以

H

∈平面

BB

1

D

1

D

，又

H

∈平面

BED

1

F

，平面

BED

1

F

∩平面

BB

1

D

1

D

＝

BD1，圖2所以

H

∈

BD

1，所以

B

，

H

，

D

1三點共線.(2)設(shè)

H

為直線

B

1

D

與平面

BED

1

F

的交點，求證：

B

，

H

，

D

1三點共線.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2命題點2

空間直線、平面間的位置關(guān)系例2

(1)[2023上海春季高考]如圖，在正方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

P

是

A

1

C

1上的

動點，則下列直線中，始終與直線

BP

異面的是(

B

)A.DD1B.ACC.AD1D.B1CB例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2[解析]對于A，如圖1，當(dāng)點

P

為

A

1

C

1的中點時，連接

B

1

D

1，

BD

，則

P

在

B

1

D

1

上，

BP

?平面

BDD

1

B

1，又

DD

1?平面

BDD

1

B

1，所以

BP

與

DD

1共面，故A錯誤；圖1圖1例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2對于B，如圖2，連接

AC

，易知

AC

?平面

ACC

1

A

1，

BP

?平面

ACC

1

A

1，且

BP

∩

平面

ACC

1

A

1＝

P

，

P

不在

AC

上，所以

BP

與

AC

為異面直線，故B正確；當(dāng)點

P

與

點

C

1重合時，連接

AD

1，

B

1

C

(圖略)，由正方體的性質(zhì)，易知

BP

∥

AD

1，

BP

與

B

1

C

相交，故C，D錯誤.故選B.圖2圖2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2(2)[2023高三名校聯(lián)考(一)]設(shè)α是空間中的一個平面，

l

，

m

，

n

是三條不同的直

線，則下列說法正確的是(

B

)A.若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，則l⊥αB.若l∥m，m∥n，l⊥α，則n⊥αC.若l∥m，m⊥α，n⊥α，則l⊥nD.若m?α，n⊥α，l⊥n，則l∥mB例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2[解析]

A選項，若

m

?α，

n

?α，

l

⊥

m

，

l

⊥

n

，則

l

與α相交、平行或

l

?α，如圖

1，

m

∥

n

，且滿足

m

?α，

n

?α，

l

⊥

m

，

l

⊥

n

，但此時

l

與α斜交，故A錯誤；B選

項，因為

l

∥

m

，

m

∥

n

，所以

l

∥

n

，因為

l

⊥α，所以

n

⊥α，故B正確；C選項，

因為

m

⊥α，

n

⊥α，所以

m

∥

n

，因為

l

∥

m

，所以

l

∥

n

，故C錯誤；D選項，若

m?α，

n

⊥α，

l

⊥

n

，則

l

與

m

相交、平行或異面，如圖2，滿足

m

?α，

n

⊥α，

l

⊥

n

，但此時

l

與

m

異面，故D錯誤.故選B.圖1

圖2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2方法技巧1.判斷空間直線、平面間的位置關(guān)系時，注意對平面的基本性質(zhì)及有關(guān)定理的應(yīng)用.2.判斷空間直線、平面間位置關(guān)系的命題的真假時，常借助幾何模型(長方體、正方

體)或?qū)嵨?墻角、桌面等).3.注意反證法在判斷空間兩直線位置關(guān)系時的應(yīng)用.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練2

若直線

l

1和

l

2是異面直線，

l

1在平面α內(nèi)，

l

2在平面β內(nèi)，

l

是平面α與平面β的

交線，則下列命題正確的是(

D

)A.l與l1，l2都不相交B.l與l1，l2都相交C.l至多與l1，l2中的一條直線相交D.l至少與l1，l2中的一條直線相交D例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2解法二(模型法)如圖1，

l

1與

l

2是異面直線，

l

1與

l

平行，

l

2與

l

相交，故A，B不正

確；如圖2，

l

1與

l

2是異面直線，

l

1，

l

2都與

l

相交，故C不正確.[解析]

解法一(反證法)若

l

∥

l

1，

l

∥

l

2，則

l

1∥

l

2，這與

l

1，

l

2是異面直線矛盾.

故

l

至少與

l

1，

l

2中的一條直線相交.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2

1.[命題點1]到空間不共面的四點距離相等的平面的個數(shù)為(

C

)A.1B.4C.7D.8C12[解析]當(dāng)空間四點

A

，

B

，

C

，

D

不共面時，則四點構(gòu)成一個三棱錐.當(dāng)平面一側(cè)

有一個點，另一側(cè)有三個點時，如圖1，當(dāng)平面過

AD

，

BD

，

CD

的中點時，滿足

條件.因為三棱錐有4個面，則此時滿足條件的平面有4個.圖1圖112當(dāng)平面一側(cè)有兩個點，另一側(cè)有兩個點時，如圖2，當(dāng)平面過

AB

，

BD

，

CD

，

AC

的中點時，滿足條件.因為三棱錐的相對棱有3對，則此時滿足條件的平面有3個.所

以滿足條件的平面共有7個.故選C.圖2圖2122.[命題點2/多選]已知

G

，

N

，

M

，

H

分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則

下列表示直線

GH

，

MN

是異面直線的圖形是(

BD

)A

B

C

D[解析]

A中，直線

GH

∥

MN

；B中，

G

，

H

，

N

三點共面，但

M

?平面

GHN

，因

此直線

GH

與

MN

異面；C中，連接

MG

，

GM

∥

HN

，因此

GH

與

MN

共面；D中，

G

，

M

，

N

三點共面，但

H

?平面

GMN

，因此

GH

與

MN

異面.BD12

1.[2024廣東省深圳市第二高級中學(xué)模擬]已知平面α，β，γ兩兩垂直，直線

a

，

b

，

c

滿足

a

?α，

b

?β，

c

?γ，則直線

a

，

b

，

c

不可能滿足以下哪種關(guān)系(

B

)A.兩兩垂直B.兩兩平行C.兩兩相交D.兩兩異面B12345678[解析]如圖1，可得

a

，

b

，

c

可能兩兩垂直；如圖2，可得

a

，

b

，

c

可能兩兩相

交；如圖3，可得

a

，

b

，

c

可能兩兩異面.故選B.圖1

圖2

圖3123456782.[2024河南焦作模擬]已知

m

，

n

為異面直線，

m

⊥平面α，

n

⊥平面β.若直線

l

滿足

l

⊥

m

，

l

⊥

n

，

l

?α，

l

?β，則(

B

)A.α∥β，l∥αB.α與β相交，且交線平行于lC.α⊥β，l⊥βD.α與β相交，且交線垂直于lB12345678[解析]若α∥β，則由

m

⊥平面α，

n

⊥平面β，可得

m

∥

n

，這與

m

，

n

是異面直線

矛盾，故α與β相交.設(shè)α∩β＝

a

，過空間內(nèi)一點

P

，作m'∥

m

，n'∥

n

，m'與n'相交，設(shè)m'與n'確定的平面為γ.因為

l

⊥

m

，

l

⊥

n

，所以

l

⊥m'，

l

⊥n'，故

l

⊥γ，因為

m

⊥α，

n

⊥β，所以m'⊥α，n'⊥β，所以

a

⊥m'，

a

⊥n'，所以

a

⊥γ，又因為

l

?α，

l

?β，所以

l

與

a

不重合，所以

l

∥

a

.故選B.123456783.[多選/2024貴州省遵義市南白中學(xué)聯(lián)考]已知

a

，

b

是兩條不重合直線，α，β是兩

個不重合平面，則下列說法正確的是(

BC

)A.若α∥β，a?α，b?β，則a與b是異面直線B.若a∥b，b?α，則直線a平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線C.若α∥β，a?α，則a∥βD.若α∩β＝b，a?α，則a與β一定相交BC12345678[解析]選項正誤原因A?若α∥β，a?α，b?β，則a與b平行或異面.B√若a∥b，b?α，則平面α內(nèi)所有與b平行的直線都與a平行.C√若α∥β，則平面α內(nèi)所有直線都與β平行，因為a?α，所以a∥β.D?若α∩β＝b，a?α，則當(dāng)a∥b時，a∥β.123456784.[多選/2023廣東省廣州市模擬]已知直線

l

與平面α相交于點

P

，則下列結(jié)論正確的

是(

ABD

)A.α內(nèi)不存在直線與l平行B.α內(nèi)有無數(shù)條直線與l垂直C.α內(nèi)所有直線與l是異面直線D.至少存在一個過l且與α垂直的平面ABD12345678[解析]直線

l

與平面α相交于點

P

，故α內(nèi)不存在直線與

l

平行，A正確.若

l

⊥α，則α

內(nèi)的所有直線都與

l

垂直；若

l

與α不垂直，設(shè)與

l

在平面α內(nèi)的射影垂直的直線為

n

，則平面α內(nèi)與

n

平行的直線都與

l

垂直，有無數(shù)條，B正確.平面α內(nèi)過點

P

的直線

與

l

相交，C錯誤.若

l

⊥α，則過

l

的任一平面都與α垂直；若

l

與α不垂直，取

l

上異于

點

P

的一點

Q

，過

Q

作

QM

⊥平面α于點

M

，則平面

PQM

⊥α，D正確.故選ABD.123456785.[多選/2023高三名校模擬]下列關(guān)于點、線、面的位置關(guān)系的命題中不正確的是

(

ABC

)A.若兩個平面有三個公共點，則它們一定重合B.空間中，相交于同一點的三條直線在同一平面內(nèi)C.兩條直線a，b分別和異面直線c，d都相交，則直線a，b是異面直線D.正方體ABCD－A1B1C1D1中，點O是B1D1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點M，

則A，M，O三點共線，且A，M，O，C四點共面ABC12345678[解析]如圖，在正方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

A

，

D

，

E

三個點在一條直線

上，平面

ABCD

與平面

ADD

1

A

1相交，不重合，故A不正確；從點

A

出發(fā)的三條棱

AA

1，

AB

，

AD

不在同一平面內(nèi)，故B不正確；若

a

∥

b

，則

a

，

b

確定一個平面，

且

a

，

b

分別與直線

c

，

d

的交點都在此平面內(nèi)，則

c

，

d

共面，與

c

，

d

是異面直線

矛盾，所以直線

a

，

b

可能是異面直線，也可能是相交直線(

c

，

d

中的一條直線過

a

，

b

的交點)，故C不正確；如圖，平面

AA

1

C

∩平面

AB

1

D

1＝

AO

，因為直線

A

1

C

交平面

AB

1

D

1于點

M

，所以

M

∈

AO

，即

A

，

M

，

O

三點共線，因為直線和直線外

一點可以確定一個平面，所以

A

，

O

，

C

，

M

四點共面，故D正確.故選ABC.12345678

6.如圖，點

N

為正方形

ABCD

的中心，△

ECD

為正三角形，平面

ECD

⊥平面

ABCD

，

M

是線段

ED

的中點，則(

B

)A.BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線B.BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線C.BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線D.BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線B12345678

123456787.[多選/2024云南昆明高三校考]如圖，在正方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

E

，

F

，

G

，

H

分別是棱

CC

1，

BC

，

CD

，

B

1

C

1的中點，則下列結(jié)論正確的是(

AC

)A.AF∥平面A1DEB.AG∥平面A1DEC.A1，D，E