第十章 第6講 離散型隨機變量及其分布列、數字特征

第十章計數原理、概率、隨機變量及其分布第6講離散型隨機變量及其分布列、數字特征

課標要求命題點五年考情命題分析預測了解離散型隨機

變量的概念，理

解離散型隨機變

量分布列及其數

字特征(均值、

方差).離散型隨機變

量分布列的性

質本講是高考的命題熱點，常以實際

問題為情境，與計數原理、古典概

型等知識綜合命題，考查離散型隨

機變量的分布列、均值與方差，以

解答題為主，有時也以選擇題、填

空題的形式進行考查，難度中等.課標要求命題點五年考情命題分析預測了解離散型隨機變

量的概念，理解離

散型隨機變量分布

列及其數字特征

(均值、方差).離散型隨機變量

的分布列及數字

特征2022全國卷甲T19；

2021新高考卷ⅠT18；

2021新高考卷ⅡT21；

2019全國卷ⅠT21預計2025年高考會

著重考查本講知識

的實際應用.利用均值與方差

進行決策2021新高考卷ⅠT18

學生用書P2391.離散型隨機變量一般地，對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω，都有①

?

與之對應，我們稱

X

為隨機變量.可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機變量，稱

為離散型隨機變量.隨機變量一般用大寫英文字母表示，例如

X

，

Y

，

Z

.

隨機變量的取值一般用小寫英

文字母表示，例如

x

，

y

，

z

.唯一的實數

X

(ω)

2.離散型隨機變量的分布列一般地，設離散型隨機變量

X

的可能取值為

x

1，

x

2，…，

xn

，我們稱

X

取每一個值

xi

的概率

P

(

X

＝

xi

)＝

pi

，

i

＝1，2，…，

n

為

X

的概率分布列，簡稱分布列.離散型

隨機變量的分布列可以用表格或圖形表示.3.離散型隨機變量分布列的性質(1)

pi

②

0，

i

＝1，2，…，

n

；(2)

p

1＋

p

2＋…＋

pn

＝③

?.≥

1

4.離散型隨機變量的均值與方差一般地，若離散型隨機變量

X

的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn

x

1

p

1＋

x

2

p

2＋…＋

xnpn

標準差

偏離程度

5.均值與方差的性質若

Y

＝

aX

＋

b

，其中

a

，

b

是常數，

X

，

X

1，

X

2是隨機變量，則(1)

E

(

aX

＋

b

)＝⑧

，

D

(

aX

＋

b

)＝⑨

?；(2)

E

(

X

1＋

X

2)＝

E

(

X

1)＋

E

(

X

2)，

D

(

X

)＝

E

(

X

2)－[

E

(

X

)]2.aE

(

X

)＋

b

a

2

D

(

X

)

1.下列說法錯誤的是

(

B

)A.拋擲一枚質地均勻的硬幣，出現正面的次數是隨機變量B.離散型隨機變量的分布列中，隨機變量取各個值的概率之和可以小于1C.離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的D.隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標

準差越小，則偏離變量的平均程度越小B123452.設

X

是一個離散型隨機變量，其分布列為X－101P1－qq－q2則

q

等于(

D

)A.1

D123453.一臺機器生產某種產品，如果生產出一件甲等品可獲利50元，生產出一件乙等品

可獲利30元，生產一件次品要賠20元，已知這臺機器生產出甲等品、乙等品和次品

的概率分別為0.6，0.3和0.1，則這臺機器每生產一件產品，平均預期可獲利(

B

)A.36元B.37元C.38元D.39元[解析]設這臺機器每生產一件產品可獲利

X

元，則

X

可能取的數值為50，30，－

20，所以

P

(

X

＝50)＝0.6，

P

(

X

＝30)＝0.3，

P

(

X

＝－20)＝0.1，所以這臺機器每生

產一件產品平均預期可獲利為

E

(

X

)＝50×0.6＋30×0.3－20×0.1＝37(元)，故選B.B123454.[多選]設離散型隨機變量

X

的分布列為X01234P

q0.40.10.20.2若離散型隨機變量

Y

滿足

Y

＝2

X

＋1，則下列結果正確的有(

ACD

)A.q＝0.1B.E(X)＝2，D(X)＝1.4C.E(X)＝2，D(X)＝1.8D.E(Y)＝5，D(Y)＝7.2ACD12345[解析]因為

q

＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以

q

＝0.1，故A正確；又

E

(

X

)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，

D

(

X

)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故C正確，B錯誤；因為

Y

＝2

X

＋1，所以

E

(

Y

)＝2

E

(

X

)＋1＝5，

D

(

Y

)＝4

D

(

X

)＝7.2，故D正確.故選ACD.123455.若隨機變量

X

滿足

P

(

X

＝

c

)＝1，其中

c

為常數，則

D

(

X

)的值為

?.[解析]

∵

P

(

X

＝

c

)＝1，∴

E

(

X

)＝

c

×1＝

c

，∴

D

(

X

)＝(

c

－

c

)2×1＝0.0

12345

學生用書P241

ξ78910Px0.10.3y

A.0.8B.0.6C.0.4D.0.2[解析]由題中表格可知

x

＋0.1＋0.3＋

y

＝1，7

x

＋8×0.1＋9×0.3＋10

y

＝8.9，解

得

y

＝0.4.故選C.C例1訓練1例2訓練2例3訓練3

AB

例1訓練1例2訓練2例3訓練3方法技巧離散型隨機變量分布列的性質的應用1.利用“總概率之和為1”可以求相關參數的值及檢驗分布列是否正確；2.利用“離散型隨機變量在某一范圍內的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之

和”求某些特定事件的概率.例1訓練1例2訓練2例3訓練3訓練1(1)若隨機變量

X

的分布列為X－2－10123P0.10.20.20.30.10.1則當

P

(

X

＜

a

)＝0.8時，實數

a

的取值范圍是(

C

)A.(－∞，2]B.[1，2]C.(1，2]D.(1，2)[解析]由隨機變量

X

的分布列知，

P

(

X

＜1)＝0.5，

P

(

X

＜2)＝0.8，故當

P

(

X

＜

a

)＝0.8時，實數

a

的取值范圍是(1，2].C例1訓練1例2訓練2例3訓練3(2)隨機變量

X

的分布列如下：X－101Pabc其中

a

，

b

，

c

成等差數列，則

P

(｜

X

｜＝1)＝

，公差

d

的取值范圍是

?

?.

例1訓練1例2訓練2例3訓練3

B.E(3ξ＋1)＝7C.D(ξ)＝2D.D(3ξ＋1)＝6ABC例1訓練1例2訓練2例3訓練3

例1訓練1例2訓練2例3訓練3(2)[2022全國卷甲]甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝

方得10分，負方得0分，沒有平局.三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍.

已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結果相互

獨立.①求甲學校獲得冠軍的概率；[解析]

①設甲學校獲得冠軍的事件為

A

，則甲學校必須獲勝2場或者3場.

P

(

A

)＝

0.5×0.4×0.8＋(1－0.5)×0.4×0.8＋0.5×(1－0.4)×0.8＋0.5×0.4×(1－0.8)＝0.6.故甲學校獲得冠軍的概率為0.6.②用

X

表示乙學校的總得分，求

X

的分布列與期望.例1訓練1例2訓練2例3訓練3②

X

的取值可以為0，10，20，30.

P

(

X

＝0)＝0.5×0.4×0.8＝0.16，

P

(

X

＝10)＝(1－0.5)×0.4×0.8＋0.5×(1－0.4)×0.8＋0.5×0.4×(1－0.8)＝0.44，

P

(

X

＝20)＝(1－0.5)×(1－0.4)×0.8＋0.5×(1－0.4)×(1－0.8)＋(1－0.5)×0.4×(1－

0.8)＝0.34，

P

(

X

＝30)＝(1－0.5)×(1－0.4)×(1－0.8)＝0.06.所以

X

的分布列為X0102030P0.160.440.340.06所以

E

(

X

)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.例1訓練1例2訓練2例3訓練3方法技巧求離散型隨機變量

X

的均值與方差的步驟(1)理解

X

的含義，寫出

X

的全部可能取值；(2)求

X

取每個值的概率；(3)寫出

X

的分布列；(4)由均值、方差的定義求

E

(

X

)，

D

(

X

).例1訓練1例2訓練2例3訓練3訓練2[多選]甲、乙兩人進行紙牌游戲(紙牌除了顏色不同，沒有其他任何區(qū)別)，他

們手里各持有4張紙牌，其中甲手里有2張黑牌，2張紅牌，乙手里有3張黑牌，1張

紅牌，現在兩人都各自隨機取出1張牌進行交換，交換后甲、乙手中的紅牌張數分

別為

X

，

Y

，則(

AD

)C.E(X)＝E(Y)D.D(X)＝D(Y)AD例1訓練1例2訓練2例3訓練3

例1訓練1例2訓練2例3訓練3命題點3

利用均值與方差進行決策例3[2021新高考卷Ⅰ]某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題.每位參加

比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則

該同學比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回

答正確與否，該同學比賽結束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0

分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分.已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能

正確回答問題的概率與回答次序無關.(1)若小明先回答A類問題，記

X

為小明的累計得分，求

X

的分布列；(2)為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.例1訓練1例2訓練2例3訓練3[解析]

(1)由題意得，

X

的所有可能取值為0，20，100，

P

(

X

＝0)＝1－0.8＝0.2，

P

(

X

＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，

P

(

X

＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以

X

的分布列為X020100P0.20.320.48例1訓練1例2訓練2例3訓練3(2)當小明先回答A類問題時，由(1)可得

E

(

X

)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.當小明先回答B(yǎng)類問題時，記

Y

為小明的累計得分，則

Y

的所有可能取值為0，80，100，

P

(

Y

＝0)＝1－0.6＝0.4，

P

(

Y

＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，

P

(

Y

＝100)＝0.6×0.8＝0.48，所以

Y

的分布列為Y080100P0.40.120.48

E

(

Y

)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.因為57.6＞54.4，即

E

(

Y

)＞

E

(

X

)，所以為使累計得分的期望最大，小明應選擇先

回答B(yǎng)類問題.例1訓練1例2訓練2例3訓練3方法技巧在利用均值和方差的意義去分析、解決實際問題時，一般先比較均值，若均值相

同，再用方差來決定.需要注意的是，實際應用中是方差大了好還是方差小了好，要

看這組數據反映的實際問題.例1訓練1例2訓練2例3訓練3

例1訓練1例2訓練2例3訓練3

300－150P

5000－300P例1訓練1例2訓練2例3訓練3

例1訓練1例2訓練2例3訓練3

(2)若市場預期不變，該投資公司按照你選擇的項目長期投資(每一年的利潤和本金

繼續(xù)用作投資)，大約在哪一年年底總資產(利潤＋本金)可以翻一番？(參考數據：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)例1訓練1例2訓練2例3訓練3

1.[命題點1]設

X

是一個離散型隨機變量，其分布列為X01P9a2－a3－8a則常數

a

的值為(

A

)

A12342.[命題點2]已知ξ的分布列如表所示.012P？！？

A.0B.1C.2D.3C1234

[解析]

設“？”＝

a

，“！”＝

b

，則

a

，

b

∈[0，1]，2

a

＋

b

＝1.

12343.[命題點2/2023南昌市一模]某班準備購買班服，確定從

A

，

B

兩種款式中選出一種

統(tǒng)一購買.現在全班50位同學贊成購買

A

，

B

款式的人數分別為20，30，為了盡量統(tǒng)

一意見，準備在全班進行3輪宣傳，每輪宣傳從全班同學中隨機選出一位，介紹他

贊成所選款式的理由.假設每輪宣傳后，贊成該同學所選款式的不會改變意見，不贊

成該同學所選款式的同學會有5位改變意見，改成贊成該同學所選款式.(1)計算第2輪宣傳選到的同學贊成

A

款式的概率.1234

1234

(2)設經過3輪宣傳后贊成

A

款式的人數為

X

，求隨機變量

X

的數學期望.1234所以

X

的分布列為X5152535P

1234

1234(2)請從期望和方差的角度分析，甲、乙誰被錄用的可能性更大.

X123P

1234

Y0123P1234

1234

學生用書·作業(yè)幫P390

C123456789101112

X－201PabB123456789101112

1234567891011123.設0＜

a

≤

b

，隨機變量

X

的分布列是X012Paba＋b則

E

(

X

)的取值范圍是(

D

)

D1234567891011124.[浙江高考]設0＜

a

＜1.隨機變量

X

的分布列是X0a1P則當

a

在(0，1)內增大時，(

D

)A.D(X)增大B.D(X)減小C.D(X)先增大后減小D.D(X)先減小后增大D123456789101112

123456789101112

X012Pp－p21－pp2A.P(X＝2)的值最大B.P(X＝0)＜P(X＝1)C.E(X)隨p的增大而減小D.E(X)隨p的增大而增大BD123456789101112

1234567891011126.[多選]已知

A

＝

B

＝{1，2，3}，分別從集合

A

，

B

中各隨機取一個數

a

，

b

，得到

平面上一個點

P

(

a

，

b

)，設事件“點

P

恰好落在直線

x

＋

y

＝

n

上”對應的隨機變

量為

X

，

P

(

X

＝

n

)＝

Pn

，

X

的數學期望和方差分別為

E

(

X

)，

D

(

X

)，則(

BCD

)A.P4＝2P2C.E(X)＝4BCD123456789101112

1234567891011127.若

n

是一個三位正整數，且

n

的個位數字大于十位數字，十位數字大于百位數

字，則稱

n

為“三位遞增數”(如137，359，567等).在某次數學趣味活動中，每位

參加者需從所有的“三位遞增數”中隨機抽取1個數，且只能抽取一次.得分規(guī)則如

下：若抽取的“三位遞增數”的三個數字之積不能被5整除，參加者得0分；若能被

5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分.若甲參加活動，則甲得

分

X

的均值

E

(

X

)＝

?.

123456789101112

X0－11P

1234567891011128.[2024惠州市一調]學校團委和工會聯合組織教職員工進行益智健身活動比賽.經多

輪比賽后，由教師甲、乙作為代表進行決賽.決賽共設三個項目，每個項目勝者得10

分，負者得－5分，沒有平局.三個項目比賽結束后，總得分高的獲得冠軍.已知教師

甲在三個項目中獲勝的概率分別為0.4，0.5，0.75，各項目比賽結果相互獨立.甲、

乙獲得冠軍的概率分別記為

p

1，

p

2.123456789101112[解析]

(1)根據題意知，

X

的所有可能取值為－15，0，15，30.可得

P

(

X

＝－15)＝0.4×0.5×0.75＝0.15，

P

(

X

＝0)＝0.6×0.5×0.75＋0.4×0.5×0.75＋0.4×0.5×0.25＝0.425，

P

(

X

＝15)＝0.4×0.5×0.25＋0.6×0.5×0.25＋0.6×0.5×0.75＝0.35，

P

(

X

＝30)＝0.6×0.5×0.25＝0.075.∴

X

的分布列為X－1501530P0.150.4250.350.075∴

E

(

X

)＝－15×0.15＋0×0.425＋15×0.35＋30×0.075＝5.25.(1)用

X

表示教師乙的總得分，求

X

的分布列與期望.123456789101112

123456789101112

1234567891011129.[2023重慶市三檢]在“五一”節(jié)日期間，某商場準備舉行有獎促銷活動，顧客購

買超過一定金額的商品后均有一次抽獎機會.抽獎規(guī)則如下：將質地均勻的轉盤平均

分成

n

(

n

∈N*，

n

≥3)個扇區(qū)，每個扇區(qū)涂一種顏色，所有扇區(qū)的顏色各不相同，

顧客抽獎時連續(xù)轉動轉盤三次，記錄每次轉盤停止時指針所指扇區(qū)內的顏色(若指針

指在分界線處，本次轉動無效，需重轉一次)，若三次顏色都一樣，則獲得一等獎；

若其中兩次顏色一樣，則獲得二等獎；若三次顏色均不一樣，則獲得三等獎.123456789101112

123456789101112

1086018P(2)規(guī)定一等獎返還現金108元，二等獎返還現金60元，三等獎返還現金18元，在

n

取(1)中的最小值的情況下，求顧客在一次抽獎中獲獎金額的分布列和數學期望.

123456789101112

10.[2024南昌市模擬]黨建知識競賽有兩關，