第五章 第2講 等差數(shù)列

第五章數(shù)列第2講等差數(shù)列

課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)1.理解等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義.2.探索并掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，理解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系.3.能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題.4.體會(huì)等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的關(guān)系.等差數(shù)

列的基

本運(yùn)算2023新高考卷ⅠT20；2023全國(guó)卷乙T18；2023全國(guó)卷甲T5；2022新高考卷ⅡT3；2022全國(guó)卷乙T13；

2021新高考卷ⅡT17；2021北京T6；2019全國(guó)卷ⅠT9；2019全國(guó)卷ⅢT14本講的命題熱點(diǎn)為等差數(shù)列的基本運(yùn)算、等差數(shù)列的判定與證明、等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值，在客觀題和主觀題中都有可能出現(xiàn)，難度中等.考查學(xué)生的函數(shù)與方程思想和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.預(yù)計(jì)2025年高考命題穩(wěn)定，重點(diǎn)掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式及其變形應(yīng)用，同時(shí)也要關(guān)注等差數(shù)列與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用.課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)1.理解等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義.2.探索并掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，理解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系.3.能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題.4.體會(huì)等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的關(guān)系.等差數(shù)列的判定與證明2023新高考卷ⅠT7；2022全國(guó)卷甲T17；2021全國(guó)卷乙T19；2021全國(guó)卷甲T18本講的命題熱點(diǎn)為等差數(shù)列的基本運(yùn)算、等差數(shù)列的判定與證明、等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值，在客觀題和主觀題中都有可能出現(xiàn)，難度中等.考查學(xué)生的函數(shù)與方程思想和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.預(yù)計(jì)2025年高考命題穩(wěn)定，重點(diǎn)掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式及其變形應(yīng)用，同時(shí)也要關(guān)注等差數(shù)列與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用.等差數(shù)列的性質(zhì)2020全國(guó)卷ⅡT4；2020新高考卷ⅠT14等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值2022全國(guó)卷甲T17

1.等差數(shù)列的概念(1)等差數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的①

都等于②

?

?，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差

通常用字母

d

表示.(2)等差中項(xiàng)如果

a

，

A

，

b

成等差數(shù)列，那么

A

叫做

a

與

b

的③

，且

A

＝

④

?.差

同

一個(gè)常數(shù)

等差中項(xiàng)

(3)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其變形通項(xiàng)公式：⑤

，其中

a

1是首項(xiàng)，

d

是公差.通項(xiàng)公式的變形：

an

＝

am

＋(

n

－

m

)

d

(

m

，

n

∈N*).說明

由

an

＝

dn

＋(

a

1－

d

)可知，當(dāng)

d

≠0時(shí)，

an

可看作關(guān)于

n

的一次函數(shù).an

＝

a

1＋(

n

－1)

d

規(guī)律總結(jié)等差數(shù)列的單調(diào)性當(dāng)

d

＞0時(shí)，數(shù)列{

an

}為遞增數(shù)列；當(dāng)

d

＜0時(shí)，數(shù)列{

an

}為遞減數(shù)列；當(dāng)

d

＝0時(shí)，

數(shù)列{

an

}為常數(shù)列.2.等差數(shù)列的前

n

項(xiàng)和

3.等差數(shù)列的性質(zhì)(1)等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)設(shè)數(shù)列{

an

}，{

bn

}均為等差數(shù)列.a.若

k

＋

l

＝

m

＋

n

(

k

，

l

，

m

，

n

∈N*)，則

ak

＋

al

＝

am

＋

an

，特別地，若

p

＋

q

＝

2

m

，則⑦

.反之不一定成立.b.若{

an

}公差為

d

，則{

a

2

n

}也是等差數(shù)列，公差為⑧

?.

c

.{

pan

＋

qbn

}(

p

，

q

為常數(shù))也是等差數(shù)列.d.若{

an

}與{

bn

}有公共項(xiàng)，則{

an

}與{

bn

}的公共項(xiàng)從小到大排成的新數(shù)列也是等差

數(shù)列，首項(xiàng)是第一個(gè)相同的公共項(xiàng)，公差是{

an

}與{

bn

}的公差的⑨

?

?.ap

＋

aq

＝2

am

2

d

最小公倍數(shù)

e.若{

an

}公差為

d

，則

ak

，

ak

＋

m

，

ak

＋2

m

，…(

k

，

m

∈N*)組成公差為⑩

?的

等差數(shù)列，即下標(biāo)成等差數(shù)列，則相應(yīng)的項(xiàng)也成等差數(shù)列.

md

(2)等差數(shù)列前

n

項(xiàng)和的性質(zhì)設(shè)

Sn

為等差數(shù)列{

an

}的前

n

項(xiàng)和.

b.

Sm

，

S

2

m

－

Sm

，

S

3

m

－

S

2

m

，…(

m

∈N*)是等差數(shù)列.

a

1

1.[教材改編]如果三角形的三個(gè)內(nèi)角成等差數(shù)列，則中間角的大小為

?.[解析]由題意可設(shè)三個(gè)內(nèi)角分別為

x

－

d

，

x

，

x

＋

d

，則有(

x

－

d

)＋

x

＋(

x

＋

d

)

＝180°，可得

x

＝60°.60°

1234562.若等差數(shù)列{

an

}滿足

a

7＋

a

8＋

a

9＞0，

a

7＋

a

10＜0，則當(dāng)

n

＝

時(shí)，{

an

}的

前

n

項(xiàng)和最大.[解析]由

a

7＋

a

8＋

a

9＞0可得

a

8＞0，由

a

7＋

a

10＜0可得

a

8＋

a

9＜0，所以

a

9＜

0，所以當(dāng)

n

＝8時(shí)，{

an

}的前

n

項(xiàng)和最大.8

1234563.[教材改編]已知{

an

}為等差數(shù)列，且

a

20＝30，

a

30＝20，則

a

50＝

?.

0

1234564.[教材改編]某公司購(gòu)置了一臺(tái)價(jià)值220萬(wàn)元的設(shè)備，隨著設(shè)備在使用過程中老化，

每經(jīng)過一年，其價(jià)值減少20萬(wàn)元.當(dāng)設(shè)備價(jià)值低于購(gòu)進(jìn)價(jià)值的5％時(shí)，設(shè)備將報(bào)廢，

則該機(jī)器最多使用

年.[解析]設(shè)使用

n

年后，該設(shè)備的價(jià)值為

an

萬(wàn)元，則易知{

an

}是以(220－20)為首

項(xiàng)，－20為公差的等差數(shù)列，所以

an

＝(220－20)＋(

n

－1)×(－20)＝220－20

n

.令

220－20

n

≥220×5％，得

n

≤10.45，所以該設(shè)備最多使用10年.10

1234565.已知等差數(shù)列{

an

}的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項(xiàng)和為290，所有偶數(shù)項(xiàng)和為

261，則該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為

?.

19

1234566.[易錯(cuò)題]已知數(shù)列{

an

}滿足

a

1＝1，

an

＋

an

＋1＝

n

，則

a

20＝

?.[解析]因?yàn)?/p>

an

＋

an

＋1＝

n

，所以

a

1＋

a

2＝1，

a

2＋

a

3＝2，…，

a

19＋

a

20＝19.因?yàn)?/p>

a

1＝1，所以可得

a

1＝1，

a

3＝2，

a

5＝3，

a

7＝4，…，和

a

2＝0，

a

4＝1，

a

6＝2，

a

8＝3，…，奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成等差數(shù)列，所以

a

2

k

＝

k

－1(

k

∈N*)，所以

a

20

＝10－1＝9.9

123456

命題點(diǎn)1

等差數(shù)列的基本運(yùn)算例1

[2023全國(guó)卷甲]記

Sn

為等差數(shù)列{

an

}的前

n

項(xiàng)和.若

a

2＋

a

6＝10，

a

4

a

8＝45，則

S

5＝(

C

)A.25B.22C.20D.15

C例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4

(1)若3

a

2＝3

a

1＋

a

3，

S

3＋

T

3＝21，求{

an

}的通項(xiàng)公式；

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4(2)若{

bn

}為等差數(shù)列，且

S

99－

T

99＝99，求

d

.

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4方法技巧1.等差數(shù)列基本運(yùn)算中常用的數(shù)學(xué)思想方程思想等差數(shù)列中有五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，一般可“知三求二”，通過列

方程(組)求解.整體思想將已知和所求都用a1和d表示，尋求兩者之間的聯(lián)系，整體代換求解.2.等差數(shù)列基本運(yùn)算中常用的設(shè)元技巧若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，可將三個(gè)數(shù)設(shè)為

a

－

d

，

a

，

a

＋

d

；若四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，

可將四個(gè)數(shù)設(shè)為

a

－3

d

，

a

－

d

，

a

＋

d

，

a

＋3

d

.例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4

A.64B.100C.128D.132

C例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4(2)[2022全國(guó)卷乙]記

Sn

為等差數(shù)列{

an

}的前

n

項(xiàng)和.若2

S

3＝3

S

2＋6，則公差

d

＝

?.[解析]因?yàn)?

S

3＝3

S

2＋6，所以2(3

a

1＋3

d

)＝3(2

a

1＋

d

)＋6，化簡(jiǎn)得3

d

＝6，解

得

d

＝2.2

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4命題點(diǎn)2

等差數(shù)列的判定與證明例3

[2021全國(guó)卷甲]已知數(shù)列{

an

}的各項(xiàng)均為正數(shù)，記

Sn

為{

an

}的前

n

項(xiàng)和，從下

面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4方法技巧等差數(shù)列的判定與證明的方法定義法an－an－1(n≥2，n∈N*)為同一常數(shù)?{an}是等差數(shù)列等差中項(xiàng)法2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立?{an}是等差數(shù)列通項(xiàng)公式法an＝pn＋q(p，q為常數(shù))對(duì)任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式法Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))對(duì)任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件C例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4(2)[多選/2023福建莆田九中質(zhì)檢]已知數(shù)列{

an

}的前

n

項(xiàng)和為

Sn

，則下列結(jié)論正確的

是(

BCD

)A.若數(shù)列{Sn}為等差數(shù)列，則數(shù)列{an}為等差數(shù)列BCD例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4命題點(diǎn)3

等差數(shù)列的性質(zhì)例4(1)[新高考卷Ⅰ]將數(shù)列{2

n

－1}與{3

n

－2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列

{

an

}，則{

an

}的前

n

項(xiàng)和為

?.

3

n

2－2

n

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4訓(xùn)練3

(1)數(shù)列{

an

}，{

bn

}均為等差數(shù)列，且

a

1＝－5，

b

1＝－15，

a

2025＋

b

2025＝

100，則數(shù)列{

an

＋

bn

}的前2025項(xiàng)和為

?.

81000

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4命題點(diǎn)4

等差數(shù)列前

n

項(xiàng)和的最值

(1)證明：{

an

}是等差數(shù)列.

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4(2)若

a

4，

a

7，

a

9成等比數(shù)列，求

Sn

的最小值.

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4方法技巧求等差數(shù)列前

n

項(xiàng)和

Sn

的最值的方法

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4訓(xùn)練4

等差數(shù)列{

an

}的前

n

項(xiàng)和為

Sn

，若?

n

∈N*，

Sn

≤

S

7，則數(shù)列{

an

}的通項(xiàng)公

式可能是

(

B

)A.an＝16－3nB.an＝15－2nC.an＝2n－14D.an＝2n－15[解析]因?yàn)閿?shù)列{

an

}是等差數(shù)列，且?

n

∈N*，

Sn

≤

S

7，所以該數(shù)列從第8項(xiàng)起為

非正數(shù)，即

a

7≥0，

a

8≤0.對(duì)于A，

a

7＝16－3×7＝－5＜0，故A不正確；對(duì)于B，

a

7＝15－2×7＝1＞0，

a

8

＝15－2×8＝－1＜0，故B正確；對(duì)于C，

a

7＝2×7－14＝0，

a

8＝2×8－14＝2＞

0，故C不正確；對(duì)于D，

a

7＝2×7－15＝－1＜0，故D不正確.故選B.B例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4

1.[命題點(diǎn)1/2021新高考卷Ⅱ]記

Sn

是公差不為0的等差數(shù)列{

an

}的前

n

項(xiàng)和，若

a

3＝

S

5，

a

2

a

4＝

S

4.(1)求數(shù)列{

an

}的通項(xiàng)公式；

1234(2)求使

Sn

＞

an

成立的

n

的最小值.

12342.[命題點(diǎn)2/多選]兩個(gè)等差數(shù)列{

an

}和{

bn

}，其公差分別為

d

1

和

d

2

，其前

n

項(xiàng)和分

別為

Sn

和

Tn

，則下列說法正確的是(

AB

)B.若{Sn＋Tn}為等差數(shù)列，則d1＋d2＝0C.若{anbn}為等差數(shù)列，則d1＝d2＝0AB1234

1234

(1)證明：數(shù)列{

bn

}是等差數(shù)列.

1234(2)求{

an

}的通項(xiàng)公式.

1234

A.15B.16C.17D.14

C1234

1.[2024河南名校模擬]設(shè)

Sn

是等差數(shù)列{

an

}的前

n

項(xiàng)和，若

a

2＋

a

5＋

a

8＝15，則

S

9

＝(

C

)A.15B.30C.45D.60

C12345678910111213141516

A.21B.48C.75D.83

C12345678910111213141516

123456789101112131415163.[2024吉林白城模擬]已知等差數(shù)列{

an

}是遞增數(shù)列，且滿足

a

3＋

a

5＝14，

a

2

a

6＝

33，則

a

1

a

7＝(

C

)A.33B.16C.13D.12

C123456789101112131415164.[2023陜西寶雞模擬]已知首項(xiàng)為2的等差數(shù)列{

an

}的前30項(xiàng)中，奇數(shù)項(xiàng)的和為

A

，

偶數(shù)項(xiàng)的和為

B

，且

B

－

A

＝45，則

an

＝(

B

)A.3n－2B.3n－1C.3n＋1D.3n＋2[解析]在等差數(shù)列{

an

}中，首項(xiàng)

a

1＝2，設(shè)其公差為

d

，由前30項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和為

A

，

偶數(shù)項(xiàng)的和為

B

，

且

B

－

A

＝45，可得－

a

1＋

a

2－…－

a

29＋

a

30＝15

d

＝45，

解得

d

＝3，∴

an

＝

a

1＋(

n

－1)

d

＝2＋3(

n

－1)，即

an

＝3

n

－1，故選B.B123456789101112131415165.[多選/2024山東模擬]已知等差數(shù)列{

an

}的前

n

項(xiàng)和為

Sn

，公差為

d

，

a

3＝

a

1－

4，

S

7＝154，則(

AC

)A.d＝－2B.a1＝30C.－320是數(shù)列{an}中的項(xiàng)D.Sn取得最大值時(shí)，n＝14AC12345678910111213141516

123456789101112131415166.[2023廣州市二檢]在數(shù)列{

an

}中，

a

1＝2，

am

＋

n

＝

am

＋

an

(

m

，

n

∈N*)，若

akak

＋1＝440，則正整數(shù)

k

＝

?.[解析]

解法一令

m

＝1，則

an

＋1＝

an

＋

a

1，即

an

＋1－

an

＝2，所以數(shù)列{

an

}是

以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即

an

＝2＋(

n

－1)×2＝2

n

，又

k

為正整數(shù)，所以

akak

＋1＝2

k

×2(

k

＋1)＝440，即

k

(

k

＋1)＝110，解得

k

＝10或

k

＝－11(舍去).故填

10.解法二(列舉法)令

m

＝

n

＝1，則

a

2＝

a

1＋

a

1＝4；令

m

＝1，

n

＝2，則

a

3＝

a

1＋

a

2＝6；令

m

＝

n

＝2，則

a

4＝

a

2＋

a

2＝8.通過觀察找規(guī)律可知，數(shù)列{

an

}是以2為

首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即

an

＝2＋(

n

－1)×2＝2

n

，又

k

為正整數(shù)，所以

akak

＋1＝2

k

×2(

k

＋1)＝440，即

k

(

k

＋1)＝110，解得

k

＝10或

k

＝－11(舍去).故填10.10

123456789101112131415167.[2024江西撫州模擬改編]在數(shù)列{

an

}中，已知

an

＋1－

an

＝

an

＋2－

an

＋1，

a

1013＝

1，則該數(shù)列前2025項(xiàng)的和

S

2025＝

?.

2025

12345678910111213141516

123456789101112131415169.[2024浙江普陀中學(xué)模擬]已知正項(xiàng)數(shù)列{

an

}的前

n

項(xiàng)和為

Sn

，

a

1＝2.

12345678910111213141516

12345678910111213141516

10.[2024四川南充?？糫若一個(gè)凸

n

(

n

∈N*)邊形的最小內(nèi)角為95°，其他內(nèi)角依次增

加10°，則

n

的值為(

B

)A.6或12B.6C.8D.12

B1234567891011121314151611.[2024湖北孝感高中模擬]設(shè)等差數(shù)