3.4 函數(shù)的應(yīng)用（一）（解析版）

.4函數(shù)的應(yīng)用（一）知識(shí)點(diǎn)一一次函數(shù)模型【例1】（22-23高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）在實(shí)施“城鄉(xiāng)危舊房改造工程”中，河西區(qū)計(jì)劃推出A，B兩種新戶型．根據(jù)預(yù)算，建成10套A種戶型和30套B種戶型住房共需資金480萬(wàn)元，建成30套A種戶型和10套B種戶型住房共需資金400萬(wàn)元．(1)在危舊房改造中建成一套A種戶型和一套B種戶型住房所需資金分別是多少萬(wàn)元？(2)河西區(qū)有800套住房需要改造，改造資金由國(guó)家危舊房補(bǔ)貼和地方財(cái)政共同承擔(dān)，若國(guó)家補(bǔ)貼撥付的改造資金不少于2100萬(wàn)元，河西區(qū)財(cái)政投入額資金不超過(guò)7700萬(wàn)元，其中國(guó)家財(cái)政投入到A，B兩種戶型的改造資金分別為每套2萬(wàn)元和3萬(wàn)元；①請(qǐng)你計(jì)算求出A種戶型至少可以建多少套？最多可以建多少套？②設(shè)這項(xiàng)改造工程總投入資金W萬(wàn)元，建成A種戶型m套，寫出W與m的關(guān)系式，并求出最少總投入．【答案】(1)A、B戶型所需資金分別為萬(wàn)元(2)①A戶型可建最少、最多套數(shù)分別為套②，萬(wàn)元【解析】（1）設(shè)在危舊房改造中建成一套A種戶型和一套B種戶型住房所需資金分別是x萬(wàn)元和y萬(wàn)元．由題意，解得，∴在危舊房改造中建成一套種戶型和一套種戶型住房所需資金分別是9萬(wàn)元和13萬(wàn)元；（2）①設(shè)種戶型有套，則B種戶型有套．由題意解得．∴種戶型至少可以建套，最多可以建套．②設(shè)這項(xiàng)改造工程總投入資金萬(wàn)元，建成種戶型套，則，顯然關(guān)于遞減∵∴時(shí)，的最小值為萬(wàn)元【變式】1．（2024江蘇南通·期中）黨的十九大報(bào)告明確要求繼續(xù)深化國(guó)有企業(yè)改革，培育具有全球競(jìng)爭(zhēng)力的世界一流企業(yè).某企業(yè)抓住機(jī)遇推進(jìn)生產(chǎn)改革，從單一產(chǎn)品轉(zhuǎn)為生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與市場(chǎng)預(yù)測(cè)，A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資成正比，其關(guān)系如圖①；B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖②（注：所示圖中的橫坐標(biāo)表示投資金額，單位為萬(wàn)元）.

(1)分別求出A、B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；(2)該企業(yè)已籌集到10萬(wàn)元資金，并全部投入A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問(wèn)：怎樣分配這10萬(wàn)元資金，才能使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？【答案】(1)，(2)A產(chǎn)品投入6萬(wàn)元，B產(chǎn)品投入4萬(wàn)元，才能使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是7萬(wàn)元【解析】（1）設(shè)投資為萬(wàn)元，A產(chǎn)品的利潤(rùn)為萬(wàn)元，B產(chǎn)品的利潤(rùn)為萬(wàn)元由題設(shè)，，由圖知，故，又，所以．從而，．（2）設(shè)A產(chǎn)品投入萬(wàn)元，則B產(chǎn)品投入萬(wàn)元，設(shè)企業(yè)利潤(rùn)為萬(wàn)元?jiǎng)t，令，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí).故A產(chǎn)品投入6萬(wàn)元，B產(chǎn)品投入4萬(wàn)元，才能使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是7萬(wàn)元.2．（23-24高一上·云南保山·開學(xué)考試）為落實(shí)“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，某市政部門招標(biāo)一工程隊(duì)負(fù)責(zé)在山腳下修建一座水庫(kù)的土方施工任務(wù).該工程隊(duì)有兩種型號(hào)的挖掘機(jī)，已知3臺(tái)型和5臺(tái)型挖掘機(jī)同時(shí)施工一小時(shí)挖土165立方米；4臺(tái)型和7臺(tái)型挖掘機(jī)同時(shí)施工一小時(shí)挖土225立方米.每臺(tái)型挖掘機(jī)一小時(shí)的施工費(fèi)用為300元，每臺(tái)型挖掘機(jī)一小時(shí)的施工費(fèi)用為180元.(1)分別求每臺(tái)型，型挖掘機(jī)一小時(shí)挖土多少立方米？(2)若不同數(shù)量的型和型挖掘機(jī)共12臺(tái)同時(shí)施工4小時(shí)，至少完成1080立方米的挖土量，且總費(fèi)用不超過(guò)12960元.問(wèn)施工時(shí)有哪幾種調(diào)配方案，并指出哪種調(diào)配方案的施工費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是多少元？【答案】(1)每臺(tái)型挖掘機(jī)一小時(shí)挖土30立方米，每臺(tái)型挖據(jù)機(jī)一小時(shí)挖土15立方米(2)型挖掘機(jī)7臺(tái)，型挖掘機(jī)5臺(tái)的施工費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為12000元【解析】（1）設(shè)每臺(tái)型，型挖掘機(jī)一小時(shí)分別挖土立方米和立方米，根據(jù)題意，得，解得.所以，每臺(tái)型挖掘機(jī)一小時(shí)挖土30立方米，每臺(tái)型挖據(jù)機(jī)一小時(shí)挖土15立方米.（2）設(shè)型挖掘機(jī)有臺(tái)，總費(fèi)用為元，則型挖據(jù)機(jī)有臺(tái).根據(jù)題意，得，因?yàn)?，解得，又因?yàn)?，解得，所?所以，共有三種調(diào)配方案.方案一：當(dāng)時(shí)，，即型挖據(jù)機(jī)7臺(tái)，型挖掘機(jī)5臺(tái)；案二：當(dāng)時(shí)，，即型挖掘機(jī)8臺(tái)，型挖掘機(jī)4臺(tái)；方案三：當(dāng)時(shí)，，即型挖掘機(jī)9臺(tái)，型挖掘機(jī)3臺(tái).，由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，隨的減小而減小，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)型挖掘機(jī)7臺(tái)，型挖掘機(jī)5臺(tái)的施工費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為12000元.知識(shí)點(diǎn)二一元二次函數(shù)模型【例2】（23-24高一上·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）某工廠2022年年初用100萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一臺(tái)新的設(shè)備，并立即投入使用，該設(shè)備使用后，每年的總收入預(yù)計(jì)為50萬(wàn)元.設(shè)使用x年后該設(shè)備的維修、保養(yǎng)費(fèi)用為萬(wàn)元，盈利總額為y萬(wàn)元.(1)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)從第幾年開始，使用該設(shè)備開始盈利?【答案】(1)(2)第三年【解析】（1）由已知可得，.（2）當(dāng)時(shí)，開始盈利，即，整理可得，解得.又，所以，即從第三年開始盈利.【變式】1．（23-24高一上·上海閔行·期中）某園林建設(shè)公司計(jì)劃購(gòu)買一批機(jī)器投入施工．據(jù)分析，這批機(jī)器可獲得的利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）與運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間（單位：年）的函數(shù)解析式為（，且）．(1)當(dāng)這批機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)第幾年時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)為多少？(2)當(dāng)運(yùn)轉(zhuǎn)多少年時(shí)，這批機(jī)器的年平均利潤(rùn)最大？【答案】(1)這批機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)第6年時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為27萬(wàn)元；(2)當(dāng)運(yùn)轉(zhuǎn)3年時(shí)，這批機(jī)器的年平均利潤(rùn)最大【解析】（1），因?yàn)?，且，所以?dāng)時(shí)，取得最大值，故這批機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)第6年時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為27萬(wàn)元；（2）設(shè)年平均利潤(rùn)為，因?yàn)?，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故當(dāng)運(yùn)轉(zhuǎn)3年時(shí)，這批機(jī)器的年平均利潤(rùn)最大.2．（2023高一·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，某中學(xué)準(zhǔn)備在校園里利用院墻的一段，再砌三面墻，圍成一個(gè)矩形花園，已知院墻長(zhǎng)為25米，籬笆長(zhǎng)50米（籬笆全部用完），設(shè)籬笆的一面的長(zhǎng)為米．(1)當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為多少米時(shí)，矩形花園的面積為300平方米？(2)若圍成的矩形的面積為S平方米，當(dāng)x為何值時(shí)，S有最大值，最大值是多少？【答案】(1)15米；(2)當(dāng)x為12.5米時(shí)，S有最大值，最大值是312.5平方米.【解析】（1）設(shè)籬笆的一面AB的長(zhǎng)為x米，則，由題意得，，解得，，，，所以，的長(zhǎng)為15米時(shí)，矩形花園的面積為300平方米；（2）由題意得，時(shí)，S取得最大值，此時(shí)，，所以，當(dāng)x為12.5米時(shí)，S有最大值，最大值是312.5平方米．知識(shí)點(diǎn)三分段函數(shù)模型【例3】（23-24高一上·江西上饒·期末）隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展、醫(yī)療消費(fèi)需求增長(zhǎng)、人們健康觀念轉(zhuǎn)變以及人口老齡化進(jìn)程加快等因素的影響，醫(yī)療器械市場(chǎng)近年來(lái)一直保持了持續(xù)增長(zhǎng)的趨勢(shì).上饒市醫(yī)療器械公司為了進(jìn)一步增加市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，計(jì)劃改進(jìn)技術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為400萬(wàn)元，最大產(chǎn)能為100臺(tái).每生產(chǎn)臺(tái)，需另投入成本萬(wàn)元，且，由市場(chǎng)調(diào)研知，該產(chǎn)品每臺(tái)的售價(jià)為200萬(wàn)元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當(dāng)年能全部銷售完.(1)寫出年利潤(rùn)萬(wàn)元關(guān)于年產(chǎn)量臺(tái)的函數(shù)解析式（利潤(rùn)=銷售收入-成本）；(2)當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?【答案】(1)(2)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為35（臺(tái)）時(shí)所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為2050（萬(wàn)元）【解析】（1）由題意可得，所以.（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取最大值，（萬(wàn)元）；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即（萬(wàn)元），因?yàn)?，故?dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為35（臺(tái)）時(shí)所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為2050（萬(wàn)元）.【變式】1．（23-24高一上·江蘇宿遷·期中）新能源汽車是低碳生活的必然選擇和汽車產(chǎn)業(yè)的發(fā)展趨勢(shì).某汽車企業(yè)為了響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，2020年積極引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，通過(guò)分析，全年需要投入固定成本萬(wàn)元.每生產(chǎn)（百輛）新能源汽車，需另投入成本萬(wàn)元，且，由市場(chǎng)調(diào)研知，每輛車售價(jià)萬(wàn)元，且生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.(1)求出年的利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；（利潤(rùn)銷售量售價(jià)成本）(2)年產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn).【答案】(1)(2)年產(chǎn)量為90百輛時(shí)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為2820萬(wàn)元.【解析】（1）每輛車售價(jià)5萬(wàn)元，年產(chǎn)量（百輛）時(shí)銷售收入為萬(wàn)元，總成本為，所以.所以年利潤(rùn).（2）由（1）當(dāng)時(shí)，（百輛）時(shí)（萬(wàn)元），當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)（百輛）時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)?820萬(wàn)元萬(wàn)元,所以年產(chǎn)量90百輛時(shí)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為2820萬(wàn)元.2．（2024·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）2022年第24屆北京冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，于2022年2月4日星期五開幕，將于2月20日星期日閉幕．該奧運(yùn)會(huì)激發(fā)了大家對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的熱情，與冰雪運(yùn)動(dòng)有關(guān)的商品銷量持續(xù)增長(zhǎng)．對(duì)某店鋪某款冰雪運(yùn)動(dòng)裝備在過(guò)去的一個(gè)月內(nèi)（以30天計(jì)）的銷售情況進(jìn)行調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該款冰雪運(yùn)動(dòng)裝備的日銷售單價(jià)（元/套）與時(shí)間x（被調(diào)查的一個(gè)月內(nèi)的第x天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足（k為正常數(shù)）．該商品的日銷售量（個(gè)）與時(shí)間x（天）部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：x10202530110120125120已知第10天該商品的日銷售收入為121元．(1)求k的值；(2)給出兩種函數(shù)模型：①，②，請(qǐng)你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)來(lái)描述該商品的日銷售量與時(shí)間x的關(guān)系，并求出該函數(shù)的解析式；(3)求該商品的日銷售收入（，）（元）的最小值．【答案】(1)(2)選擇②，，（，）(3)121元【解析】(1)因?yàn)榈?0天該商品的日銷售收入為121元，所以，解得；(2)由表中數(shù)據(jù)可得，當(dāng)時(shí)間變化時(shí)，該商品的日銷售量有增有減，并不單調(diào)，故只能選②:代入數(shù)據(jù)可得：，解得，，所以，（，）(3)由（2）可得，，所以，，所以當(dāng)，時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，且為121；當(dāng)，時(shí)，為單調(diào)遞減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，且為124，綜上，當(dāng)時(shí)，有最小值，且為121元，所以該商品的日銷售收入最小值為121元．單選題1．（2024福建）一個(gè)矩形的周長(zhǎng)是20，矩形的長(zhǎng)y關(guān)于寬x的函數(shù)解析式為（）（默認(rèn)y>x）A．y＝10－x(0<x<5)B．y＝10－2x(0<x<10)C．y＝20－x(0<x<5)D．y＝20－2x(0<x<10)【答案】A【解析】由題意可知2y＋2x＝20，即y＝10－x，又10－x>x，所以0<x<5.所以函數(shù)解析式為.故選：A2．（2024安徽）生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費(fèi)用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個(gè)月生產(chǎn)某種商品x萬(wàn)件時(shí)的生產(chǎn)成本為（萬(wàn)元）.一萬(wàn)件售價(jià)是20萬(wàn)元，為獲取更大利潤(rùn)，該企業(yè)一個(gè)月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為（

）A．18萬(wàn)件 B．20萬(wàn)件 C．16萬(wàn)件 D．8萬(wàn)件【答案】A【解析】利潤(rùn).所以當(dāng)時(shí)，L(x)有最大值.故選：A3．（23-24高一上·江蘇南京·期中）學(xué)校宿舍與辦公室相距.某同學(xué)有重要材料要送交給老師，從宿舍出發(fā)，先勻速跑步來(lái)到辦公室，停留，然后勻速步行返回宿含.在這個(gè)過(guò)程中，這位同學(xué)行進(jìn)的速度和行走的路程都是時(shí)間的函數(shù)，則速度函數(shù)和路程函數(shù)的示意圖分別是下面四個(gè)圖象中的（

）

A．①② B．③④ C．①④ D．②③【答案】A【解析】設(shè)行進(jìn)的速度為m/min，行走的路程為Sm，則，且，由速度函數(shù)及路程函數(shù)的解析式可知，其圖象分別為①②.故選：A4．（23-24高一上·江西·階段練習(xí)）你見過(guò)古人眼中的煙花嗎？那是朱淑真元宵夜的“火樹銀花觸目紅”，是隋煬帝眼中的“燈樹千光照，花焰七枝開”.煙花，雖然是沒(méi)有根的花，是虛幻的花，卻在達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)爆裂，用其燦爛的一秒換來(lái)人們真心的喝彩.已知某種煙花距地面的高度（單位：米）與時(shí)間（單位：秒）之間的關(guān)系式為，則煙花在沖擊后爆裂的時(shí)刻是（

）A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒【答案】A【解析】由題意，，則當(dāng)時(shí)，即煙花達(dá)到最高點(diǎn)，爆裂的時(shí)刻是第秒.故選：A.5．（22-23高一上·浙江·期中）某商場(chǎng)在國(guó)慶期間舉辦促銷活動(dòng)，規(guī)定：顧客購(gòu)物總金額不超過(guò)400元，不享受折扣；若顧客的購(gòu)物總金額超過(guò)400元，則超過(guò)400元部分分兩檔享受折扣優(yōu)惠，折扣率如下表所示：可享受折扣優(yōu)惠的金額折扣率不超過(guò)400元部分超過(guò)400元部分若某顧客獲得65元折扣優(yōu)惠，則此顧客實(shí)際所付金額為（

）A．935元 B．1000元 C．1035元 D．1100元【答案】C【解析】當(dāng)顧客的購(gòu)物總金額超過(guò)400元不超過(guò)800元時(shí)，享受折扣優(yōu)惠的金額做多為元，故該顧客購(gòu)物總金額一定超過(guò)了800元，設(shè)為x元，則，解得（元），則此顧客實(shí)際所付金額為元，故選：C.6．（2024四川自貢·期末）某班計(jì)劃在勞動(dòng)實(shí)踐基地內(nèi)種植蔬菜，班長(zhǎng)買回來(lái)8米長(zhǎng)的圍欄，準(zhǔn)備圍成一邊靠墻（墻足夠長(zhǎng)）的菜園，為了讓菜園面積盡可能大，同學(xué)們提出了圍成矩形?三角形?弓形這三種方案，最佳方案是（

）A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2【答案】C【解析】方案1：設(shè)米，則米，則菜園面積，當(dāng)時(shí)，此時(shí)菜園最大面積為；方案2：依題意，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)；方案3：若弓形為半圓，則半圓的半徑米，此時(shí)菜園最大面積；故選：C．7．（2025·廣西·模擬預(yù)測(cè)）異速生長(zhǎng)規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數(shù)量關(guān)系通常以冪函數(shù)形式表示．比如，某類動(dòng)物的新陳代謝率與其體重滿足，其中和為正常數(shù)，該類動(dòng)物某一個(gè)體在生長(zhǎng)發(fā)育過(guò)程中，其體重增長(zhǎng)到初始狀態(tài)的16倍時(shí)，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍，則為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)初始狀態(tài)為，則，，又，，即，，，，，．故選：D．8．（2024湖南邵陽(yáng)·期末）如圖，點(diǎn)P在邊長(zhǎng)為1的正方形邊上運(yùn)動(dòng)，M是CD的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P沿運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路程x與的面積y的函數(shù)的圖象的形狀大致是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】點(diǎn)P在AB上時(shí),；點(diǎn)P在BC上時(shí)，；點(diǎn)P在CD上時(shí)，；所以畫出分段函數(shù)的大致圖象，如圖所示．故選：A．多選題9．（23-24高一上·河南·期中）某種商品單價(jià)為50元時(shí)，每月可銷售此種商品300件，若將單價(jià)降低元，則月銷售量增加10x件，要使此種商品的月銷售額不低于15950元，則x的取值可能為（

）A．9 B．7 C．13 D．11【答案】AD【解析】設(shè)此種商品的月銷售額為，由題意知，單價(jià)為，銷售量為，所以銷售額：，所以，,,.故x的取值可能為9或者11，不可能是7或者13.故選：AD10．（22-23高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一座公園，甲同學(xué)家到公園的距離與乙同學(xué)家到公園的距離都是2km．如圖所示表示甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家經(jīng)過(guò)的路程y（km）與時(shí)間x（min）的關(guān)系，下列結(jié)論正確的是（

）

A．甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家走了60minB．甲從家到公園的時(shí)間是30minC．當(dāng)0≤x≤30時(shí)，y與x的關(guān)系式為D．當(dāng)30≤x≤60時(shí)，y與x的關(guān)系式為【答案】BCD【解析】由圖象可知，甲在公園休息的時(shí)間是10min，所以只走了50min，故A錯(cuò)誤，由題中圖象可知，甲從家到公園的時(shí)間是30min，故B正確，當(dāng)0≤x≤30時(shí)，設(shè)y＝kx（k≠0），則2＝30k，解得k，故C正確，當(dāng)30≤x≤60時(shí)，設(shè)y＝kx+b，直線過(guò)點(diǎn)（40，2），（50，3），則，故y與x的關(guān)系式為，故D正確．故選：BCD11．（22-23高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）在一條筆直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B兩地之間，甲車從A地沿這條公路勻速駛向C地，乙車從B地沿這條公路勻速駛向A地．在甲車出發(fā)至甲車到達(dá)C地的過(guò)程中，甲、乙兩車各自與C地的距離y（km）與甲車行駛時(shí)間t（h）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．下列結(jié)論正確的是（

）

A．甲車出發(fā)2h時(shí)，兩車相遇B．乙車出發(fā)1.5h時(shí)，兩車相距170kmC．乙車出發(fā)2h時(shí)，兩車相遇D．甲車到達(dá)C地時(shí)，兩車相距40km【答案】BCD【解析】觀察函數(shù)圖象可知，當(dāng)t＝2時(shí)，兩函數(shù)圖象相交，∵C地位于A、B兩地之間，∴交點(diǎn)代表了兩車離C地的距離相等，并不是兩車相遇，結(jié)論A錯(cuò)誤；甲車的速度為240÷4＝60（km/h），乙車的速度為200÷（3.5﹣1）＝80（km/h），∵（240+200﹣60﹣170）÷（60+80）＝1.5（h），∴乙車出發(fā)1.5h時(shí)，兩車相距170km，結(jié)論B正確；∵，∴乙車出發(fā)時(shí)，兩車相遇，結(jié)論C正確；∵80×（4﹣3.5）＝40（km），∴甲車到達(dá)C地時(shí)，兩車相距40km，結(jié)論D正確；故選：BCD填空題12．（22-23高一上·廣西桂林·期中）將進(jìn)貨單價(jià)40元的商品按50元一個(gè)售出，能賣出500個(gè)；若此商品每漲價(jià)1元，其銷售量減少10個(gè).為了賺到最大利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為元.【答案】【解析】設(shè)售價(jià)為元，總利潤(rùn)為元，則，當(dāng)時(shí)，最大，最大的利潤(rùn)元；即定價(jià)為70元時(shí)可獲得最大利潤(rùn)，最大的利潤(rùn)是9000元．故答案為:.13．（23-24高一上·上海浦東新·期末）要建造一個(gè)高為3米，容積為48立方米的無(wú)蓋長(zhǎng)方體蓄水池.已知池底的造價(jià)為每平方米1500米，池壁的造價(jià)為每平方米1000元.該蓄水池的總造價(jià)（元）關(guān)于池底一邊的長(zhǎng)度（米）的函數(shù)關(guān)系為：.【答案】，【解析】根據(jù)條件，該蓄水池的總造價(jià)元，池底一邊的長(zhǎng)度米，底面另一邊長(zhǎng)為米,∴長(zhǎng)方體的底面積為16，側(cè)面積為，由題意得：，,故答案為：，.14．（2024浙江寧波）某市對(duì)新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層．某建筑物準(zhǔn)備建造可以使用30年的隔熱層，據(jù)當(dāng)年的物價(jià)，每厘米厚的隔熱層的建造成本是9萬(wàn)元．根據(jù)建筑公司的前期研究得到，該建筑物30年間每年的能源消耗費(fèi)用N（單位：萬(wàn)元）與隔熱層的厚度h（單位：厘米）滿足關(guān)系：．經(jīng)測(cè)算知道，如果不建造隔熱層，那么30年間每年的能源消耗費(fèi)用為10萬(wàn)元．設(shè)為隔熱層的建造費(fèi)用與30年間的能源消耗費(fèi)用的總和，那么使達(dá)到最小值的隔熱層的厚度h＝厘米．【答案】【解析】由題意及，可得，即，∴．隔熱層的建造費(fèi)用與30年間的能源消耗費(fèi)用的總和（萬(wàn)元），當(dāng)且僅當(dāng)，即（厘米）時(shí)達(dá)到最小值．故答案為:.解答題15．（23-24高一上·甘肅慶陽(yáng)·期末）某呼吸機(jī)生產(chǎn)企業(yè)計(jì)劃投資固定成本500萬(wàn)元引進(jìn)先進(jìn)設(shè)備，用于生產(chǎn)救治新冠患者的無(wú)創(chuàng)呼吸機(jī)，需要投入成本（單位：萬(wàn)元）與年產(chǎn)量（單位：百臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式為，據(jù)以往出口市場(chǎng)價(jià)格，每臺(tái)呼吸機(jī)的售價(jià)為3萬(wàn)元，且依據(jù)國(guó)外疫情情況，預(yù)測(cè)該年度生產(chǎn)的無(wú)創(chuàng)呼吸機(jī)能全部售完.(1)求年利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量的函數(shù)解析式（利潤(rùn)銷售額投入成本固定成本）；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少時(shí)，年利潤(rùn)最大？并求出最大年利潤(rùn).【答案】(1)(2)當(dāng)年產(chǎn)量為臺(tái)時(shí)，年利潤(rùn)最大，且最大年利潤(rùn)為萬(wàn)元【解析】（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以.（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最大值，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取得最大值，綜上，當(dāng)年產(chǎn)量為臺(tái)時(shí)，年利潤(rùn)最大，且最大年利潤(rùn)為萬(wàn)元．16．（23-24高一上·河南·期中）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為全面實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，大力發(fā)展特色農(nóng)產(chǎn)業(yè)，提升特色農(nóng)產(chǎn)品的知名度，邀請(qǐng)了一家廣告牌制作公司設(shè)計(jì)一個(gè)寬為x米、長(zhǎng)為y米的長(zhǎng)方形展牌，其中，并要求其面積為平方米．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)；(2)判斷在其定義域內(nèi)的單調(diào)性，并用定義證明；(3)如何設(shè)計(jì)展牌的長(zhǎng)和寬，才能使展牌的周長(zhǎng)最?。俊敬鸢浮?1)(2)判斷在其定義域單調(diào)遞減;證明見解析(3)設(shè)計(jì)展牌的長(zhǎng)為6和寬為2【解析】（1）寬為x米、長(zhǎng)為y米的長(zhǎng)方形展牌，所以面積為：，，其中,,故即.（2）判斷在其定義域單調(diào)遞減，任取則，因?yàn)樗?，所以在其定義域單調(diào)遞減.（3）展牌的周長(zhǎng)即.當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立.此時(shí).所以設(shè)計(jì)展牌的長(zhǎng)為6和寬為2，才能使展牌的周長(zhǎng)最小，最小值為16.17．（23-24高一上·山東青島·期中）新冠疫情發(fā)生以后，口罩供不應(yīng)求，某口罩廠日夜加班生產(chǎn)，為抗擊疫情做貢獻(xiàn)．生產(chǎn)口罩的固定成本為400萬(wàn)元，每生產(chǎn)x萬(wàn)箱，需另投入成本萬(wàn)元，當(dāng)產(chǎn)量不足40萬(wàn)箱時(shí)，；當(dāng)產(chǎn)量不小于40萬(wàn)箱時(shí)，，若每箱口罩售價(jià)160元，通過(guò)市場(chǎng)分析，該口罩廠生產(chǎn)的口罩可以全部銷售完．(1)求口罩銷售利潤(rùn)y（萬(wàn)元）關(guān)于產(chǎn)量x（萬(wàn)箱）的函數(shù)關(guān)系式；（銷售利潤(rùn)=銷售總價(jià)固定成本生產(chǎn)成本）(2)當(dāng)產(chǎn)量為多少萬(wàn)箱時(shí)，該口罩生產(chǎn)廠所獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)值是多少（萬(wàn)元）？【答案】(1)；(2)當(dāng)產(chǎn)量為70萬(wàn)箱時(shí)，該口罩生產(chǎn)廠在生產(chǎn)中獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為560萬(wàn)元【解析】（1）解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以；（2）解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，y取得最大值，最大值為500萬(wàn)元；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，y取得最大值，最大值為560萬(wàn)元．綜上，當(dāng)產(chǎn)量為70萬(wàn)箱時(shí)，該口罩生產(chǎn)廠在生產(chǎn)中獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為560萬(wàn)元18．（23-24高一上·云南昆明·期中）杭州亞運(yùn)會(huì)田徑比賽10月5日迎來(lái)收官，在最后兩個(gè)競(jìng)技項(xiàng)目男女馬拉松比賽中，中國(guó)選手何杰以2小時(shí)13分02秒奪得男子組冠軍，這是中國(guó)隊(duì)亞運(yùn)史上首枚男子馬拉松金牌.人類長(zhǎng)跑運(yùn)動(dòng)一般分為兩個(gè)階段，第一階段為前1小時(shí)的穩(wěn)定階段，第二階段為疲勞階段.現(xiàn)一