第二章 第8講 函數(shù)模型的應(yīng)用

第二章函數(shù)第8講函數(shù)模型的應(yīng)用課標要求1.理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學(xué)語言和工具.在實際情境中，會選擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律.2.結(jié)合現(xiàn)實情境中的具體問題，利用計算工具，比較對數(shù)函數(shù)、一元一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長速度的差異，理解“對數(shù)增長”“直線上升”“指數(shù)爆炸”等術(shù)語的現(xiàn)實含義.3.收集、閱讀一些現(xiàn)實生活、生產(chǎn)實際或者經(jīng)濟領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)模型，體會人們是如何借助函數(shù)刻畫實際問題的，感悟數(shù)學(xué)模型中參數(shù)的現(xiàn)實意義.命題點五年考情命題分析預(yù)測利用函數(shù)圖象刻畫實際變化過程2022北京T7；2020北京T15本講主要考查實際情境載體下的數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建及應(yīng)用，常與函數(shù)圖象、單調(diào)性、最值及方程、不等式綜合命題，各種題型均有可能，屬中檔題.在2025年高考備考的過程中要注重對情境創(chuàng)新試題的訓(xùn)練，并能構(gòu)建模型解決問題.已知函數(shù)模型求解實際問題

2023新高考卷ⅠT10；2021全國卷甲T4；2020新高考卷ⅠT6；2020全國卷ⅢT4構(gòu)造函數(shù)模型求解實際問題

1.幾種常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝kx＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)反比例函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型f(x)＝abx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0，b＞0，b≠1)對數(shù)函數(shù)模型f(x)＝mlogax＋n(m，n，a為常數(shù)，m≠0，a＞0，a≠1)函數(shù)模型函數(shù)解析式冪函數(shù)模型f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0，n≠1)對勾函數(shù)模型2.指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)的比較y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)

上的單調(diào)性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越①

?越來越②

?隨n值變化而各有不同圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為

與③

?軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為

與④

?軸平行隨n值變化而各有不同聯(lián)系存在一個x0，當x＞x0時，有l(wèi)ogax＜xn＜ax快慢yx

1.下列說法正確的是(

D

)A.函數(shù)y＝2x的函數(shù)值比y＝x2的函數(shù)值大B.冪函數(shù)增長比一次函數(shù)增長更快C.某種商品進價為每件100元，按進價增加10％后出售，后因庫存積壓降價，若按九折出售，則每件還能獲利D.在(0，＋∞)上，隨著x的增大，y＝ax(a＞1)的增長速度會超過并遠遠大于y＝xα(α＞0)的增長速度D12342.已知

f

(

x

)＝

x

2，

g

(

x

)＝2

x

，

h

(

x

)＝log2

x

，當

x

∈(4，＋∞)時，對三個函數(shù)的增

長速度進行比較，下列選項中正確的是(

B

)A.f(x)＞g(x)＞h(x)B.g(x)＞f(x)＞h(x)C.g(x)＞h(x)＞f(x)D.f(x)＞h(x)＞g(x)B1234

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

C12344.[2023湖南省株洲市模擬]“每天進步一點點”可以用數(shù)學(xué)來詮釋，假如你今天的

數(shù)學(xué)水平是1，以后每天比前一天增加千分之五，則經(jīng)過

y

天之后，你的數(shù)學(xué)水平

x

與

y

之間的函數(shù)關(guān)系式是(

C

)A.y＝log0.95xB.y＝log0.995xC.y＝log1.005xD.y＝log1.05x

C1234

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3①在[

t

1，

t

2]這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；②在

t

2時刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；③在

t

3時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達標；④甲企業(yè)在[0，

t

1]，[

t

1，

t

2]，[

t

2，

t

3]這三段時間中，在[0，

t

1]的污水治

理能力最強.給出下列四個結(jié)論：其中所有正確結(jié)論的序號是

?.①②③

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3[解析]由題圖可知甲企業(yè)的污水排放量在

t

1時刻高于乙企業(yè)，而在

t

2時刻甲、乙

兩企業(yè)的污水排放量相同，故在[

t

1，

t

2]這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙

企業(yè)強，故①正確；甲企業(yè)污水排放量與時間的關(guān)系圖象在

t

2時刻切線的斜率的絕

對值大于乙企業(yè)，故②正確；在

t

3時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都低于污水達

標排放量，故都已達標，③正確；甲企業(yè)在[0，

t

1]，[

t

1，

t

2]，[

t

2，

t

3]這三段時間

中，在[

t

1，

t

2]這段時間的污水治理能力最強，故④錯誤.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3方法技巧判斷函數(shù)圖象與實際變化過程是否吻合的方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：若易構(gòu)建函數(shù)模型，則先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選擇函數(shù)

圖象.(2)驗證法：根據(jù)實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結(jié)合函數(shù)圖象的變化趨勢，

驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選擇出符合實際情況的答案.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

ABDA.乙的速度為300米/分B.25分鐘后甲的速度為400米/分C.乙比甲晚14分鐘到達B地D.A，B兩地之間的路程為29400米例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3命題點2

已知函數(shù)模型求解實際問題

例2

(1)[2024武漢部分學(xué)校調(diào)考]某企業(yè)在生產(chǎn)中為倡導(dǎo)綠色環(huán)保的理念，購入污水

過濾系統(tǒng)對污水進行過濾處理，已知在過濾過程中污水中的剩余污染物數(shù)量

N

(mg/L)與時間

t

(h)的關(guān)系為

N

＝

N

0e－

kt

，其中

N

0為初始污染物的數(shù)量，

k

為常數(shù).若

在某次過濾過程中，前2個小時過濾掉了污染物的30％，則可計算前6個小時共能過

濾掉污染物的(

C

)A.49％B.51％C.65.7％D.72.9％

C例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB燃油汽車1060～90混合動力汽車1050～60電動汽車1040例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3A.p1≥p2B.p2＞10p3C.p3＝100p0D.p1≤100p2

已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為

p

1，

p

2，

p

3，則(

ACD

)ACD例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3方法技巧已知函數(shù)模型求解實際問題的步驟(1)認清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)；(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)；(3)利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實際問題，并進行檢驗.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

A.1500元B.1200元C.1000元D.800元C例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3命題點3

構(gòu)造函數(shù)模型求解實際問題例3

(1)[2024四川省敘永一中模擬]凈水機通過分級過濾的方式使自來水逐步達到純

凈水的標準，其中第一級過濾一般由孔徑為5微米的

PP

棉濾芯(聚丙烯熔噴濾芯)構(gòu)

成，其結(jié)構(gòu)是多層式的，主要用于去除鐵銹、泥沙、懸浮物等各種大顆粒雜質(zhì)，假

設(shè)每一層

PP

棉濾芯可以過濾掉三分之一的大顆粒雜質(zhì)，若過濾前水中大顆粒雜質(zhì)

含量為80mg/L，現(xiàn)要滿足過濾后水中大顆粒雜質(zhì)含量不超過2mg/L，則

PP

棉濾芯

的層數(shù)最少為(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301，lg3≈0.477)(

A

)A.10B.9C.8D.7A例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3(2)[2023南昌市模擬]某市出臺兩套出租車計價方案，方案一：2千米及2千米以內(nèi)收

費8元(起步價)，超過2千米的部分每千米收費3元，不足1千米按1千米計算；方案

二：3千米及3千米以內(nèi)收費12元(起步價)，超過3千米不超過10千米的部分每千米收

費2.5元，超過10千米的部分每千米收費3.5元，不足1千米按1千米計算.以下說法正

確的是(

C

)A.方案二比方案一更優(yōu)惠B.乘客甲打車行駛4千米，他應(yīng)該選擇方案二C.乘客乙打車行駛12千米，他應(yīng)該選擇方案二D.乘客丙打車行駛16千米，他應(yīng)該選擇方案二C例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3方法技巧構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題的步驟(1)建模：抽象出實際問題的數(shù)學(xué)模型；(2)推理、演算：對數(shù)學(xué)模型進行邏輯推理或數(shù)學(xué)運算，得到問題在數(shù)學(xué)意義上

的解；(3)評價、解釋：對求得的數(shù)學(xué)結(jié)果進行深入討論，作出評價、解釋，返回到原來的

實際問題中去，得到實際問題的解.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

A.45.5B.37.5C.36D.35B例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

B123A.(0.4π＋8)萬元B.(0.04π＋8)萬元C.(0.4π＋6)萬元D.(0.04π＋6)萬元

1232.[命題點2/多選]第31屆世界大學(xué)生夏季運動會在四川成都舉行，大運會吉祥物“蓉

寶”備受人們歡迎.某大型超市舉行抽獎活動，推出“單次消費滿1000元可參加抽

獎”的活動，獎品為若干個大運會吉祥物“蓉寶”.抽獎結(jié)果分為五個等級，等級

x

與獲得“蓉寶”的個數(shù)

f

(

x

)的關(guān)系式為

f

(

x

)＝

p

＋e

kx

＋

b

，已知三等獎比四等獎獲得

的“蓉寶”多2個，比五等獎獲得的“蓉寶”多3個，且三等獎獲得的“蓉寶”數(shù)是

五等獎的2倍，則(

ABD

)A.k＝－ln2B.b＝5ln2C.p＝3D.二等獎獲得的“蓉寶”數(shù)為10ABD123

123

1233.[命題點3]某省2023年退休人員基本養(yǎng)老金，采取定額調(diào)整、掛鉤調(diào)整和適當傾斜

相結(jié)合的辦法.(1)定額調(diào)整：每人每月增加41元養(yǎng)老金.(2)掛鉤調(diào)整：按以下兩部分

計算增加養(yǎng)老金，①按2022年12月本人基本養(yǎng)老金的1.25％確定月增加額；②按本

人繳費年限分段確定月增加額，其中，對15年(含)以下的部分，每滿1年，月增加1.2

元，16年(含)以上至25年的部分，每滿1年，月增加1.4元，26年(含)以上至35年的部

分，每滿1年，月增加1.6元，36年(含)以上至45年的部分，每滿1年，月增加1.8元，

46年(含)以上的部分，每滿1年，月增加2元.(3)適當傾斜：2022年12月31日前，年滿

70周歲不滿75周歲、年滿75周歲不滿80周歲和年滿80周歲的退休人員，每人每月分

別增加15元、30元和60元養(yǎng)老金.張女士今年57周歲，繳費年限是34年，2022年12月

的基本養(yǎng)老金為3000元，則張女士2023年基本養(yǎng)老金的月增加額為(

B

)BA.78.5元B.124.9元C.132.9元D.147.9元123[解析]張女士年齡不滿70周歲，沒有“適當傾斜”的部分，只有定額調(diào)整41元和掛鉤調(diào)整的兩部分，其中按2022年12月本人基本養(yǎng)老金的1.25％確定的月增加額為3000×1.25％＝37.5(元)；按本人繳費年限分段確定的月增加額為15×1.2＋10×1.4＋(34－15－10)×1.6＝46.4(元).因此張女士2023年基本養(yǎng)老金的月增加額為41＋37.5＋46.4＝124.9(元)，故選B.123

123456789101.[2023合肥市二檢]Malthus模型是一種重要的數(shù)學(xué)模型.某研究人員在研究一種細菌

數(shù)量

N

(

t

)與時間

t

的關(guān)系時，得到的Malthus模型是

N

(

t

)＝

N

0e0.46

t

，其中

N

0是

t

＝

t

0時刻的細菌數(shù)量，e為自然對數(shù)的底數(shù).若

t

時刻細菌數(shù)量是

t

0時刻細菌數(shù)量的6.3倍，則

t

約為(ln6.3≈1.84)(

C

)A.2B.3C.4D.5[解析]因為

t

時刻細菌數(shù)量是

t

0時刻細菌數(shù)量的6.3倍，所以

N

0e0.46

t

＝6.3

N

0，即

e0.46

t

＝6.3，則0.46

t

＝ln6.3≈1.84，得

t

≈4.故選C.C

A.890.23tB.755.44tC.244.69tD.243.69tB12345678910

123456789103.[2022北京高考]在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化

碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻.如圖描述了一定條件下二氧化

碳所處的狀態(tài)與

T

和lgP

的關(guān)系，其中

T

表示溫度，單位是K；

P

表示壓強，單位是

bar.下列結(jié)論中正確的是(

D

)A.當T＝220，P＝1026時，二氧化碳處于液態(tài)B.當T＝270，P＝128時，二氧化碳處于氣態(tài)C.當T＝300，P＝9987時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)D.當T＝360，P＝729時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)D12345678910[解析]對于A選項，當

T

＝220，

P

＝1026，即lgP

＝lg1026＞lg103＝3

時，根據(jù)圖象可知，二氧化碳處于固態(tài)；對于B選項，當

T

＝270，

P

＝128，

即lgP

＝lg128∈(lg102，lg103)，即lgP

∈(2，3)時，根據(jù)圖象可知，二氧化

碳處于液態(tài)；對于C選項，當

T

＝300，

P

＝9987，即lgP

＝lg9987＜lg104

＝4時，根據(jù)圖象可知，二氧化碳處于固態(tài)；對于D選項，當

T

＝360，

P

＝

729，即lgP

＝lg729∈(lg102，lg103)，即lgP

＝lg729∈(2，3)時，根據(jù)圖象

可知，二氧化碳處于超臨界狀態(tài).故選D.123456789104.[多選/2024廣東七校聯(lián)考]盡管目前人類還無法準確預(yù)報地震，但科學(xué)家經(jīng)過研

究，已經(jīng)對地震有所了解，例如，地震時釋放的能量

E

(單位：焦耳)與地震里氏震

級

M

之間的關(guān)系為lgE

＝4.8＋1.5

M

，則下列說法正確的是(

ACD

)A.地震釋放的能量為1015.3焦耳時，地震里氏震級為七級B.八級地震釋放的能量為七級地震釋放的能量的6.3倍C.八級地震釋放的能量為六級地震釋放的能量的1000倍ACD12345678910

123456789105.[2024江蘇常州模擬]牛頓曾經(jīng)提出了常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型：θ＝(θ1－θ0)e－

kt

＋θ0，其中

t

為時間(單位：min)，θ0為環(huán)境溫度，θ1為物體初始溫度，θ為冷卻后溫

度.假設(shè)在室內(nèi)溫度為20°C的情況下，一杯飲料由100℃降低到60℃需要20min，則

此飲料從60℃降低到25℃需要

?min.

60

12345678910

3

10

12345678910

12345678910(1)當投入

A

，

B

兩個項目的資金相同且

B

項目比

A

項目一年創(chuàng)造的利潤高時，求投

入

A

項目的資金

x

(單位：萬元)的取值范圍.

綜上，投入

A

項目的資金

x

(單位：萬元)的取值范圍為(10，40).(2)若該公司共有資金30萬，全部用于投資

A

，

B

兩個項目，則該公司一年分別投入

A

，

B

兩個項目多少萬元時，創(chuàng)造的總利潤最大？1234