3.2.2 函數(shù)的奇偶性（原卷版）

.2.2函數(shù)的奇偶性知識(shí)點(diǎn)一判斷函數(shù)的奇偶性【【解題思路】判斷函數(shù)的奇偶性，一般有以下兩種方法(1)定義法：若函數(shù)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；若函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則應(yīng)進(jìn)一步判斷f(－x)是否等于±f(x)，或判斷f(－x)±f(x)是否等于0，從而確定奇偶性．(2)圖象法：若函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)為奇函數(shù)；若函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則函數(shù)為偶函數(shù)．【例1】（22-23高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）判斷下列函數(shù)的奇偶性，并加以證明：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8).【變式】1．（23-24高一下·遼寧·開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)，則有（

）A．是奇函數(shù)， B．是奇函數(shù)，C．是偶函數(shù)， D．是偶函數(shù)，2.（2024高一·全國(guó)·專題練習(xí)）判斷下列各函數(shù)是否具有奇偶性(1)(2)(3)(4)，(5)(6)；(7)(8)知識(shí)點(diǎn)二根據(jù)奇偶性補(bǔ)充圖像【【解題思路】巧用奇、偶函數(shù)的圖象求解問(wèn)題奇函數(shù)?圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)?圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．【例2】（22-23高一上·天津南開·期末）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象為拋物線的一部分(1)請(qǐng)畫出函數(shù)當(dāng)時(shí)的圖象；(2)寫出函數(shù)的解析式，值域，增區(qū)間．【變式】1．（23-24高一上·天津?yàn)I海新·期中）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，如圖當(dāng)時(shí)，.(1)求，的值；(2)求出當(dāng)時(shí)，的解析式；(3)請(qǐng)?jiān)趫D中的坐標(biāo)系中將函數(shù)的圖象補(bǔ)充完整；并根據(jù)圖象直接寫出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間及值域.2．（23-24高一上·福建廈門·期中）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．

(1)求當(dāng)時(shí)，的解析式；(2)如圖，請(qǐng)補(bǔ)出函數(shù)的完整圖象，根據(jù)圖象直接寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．知識(shí)點(diǎn)三根據(jù)奇偶性求參數(shù)【【解題思路】利用奇偶性求值的常見類型(1)求參數(shù)值：若解析式含參數(shù)，則根據(jù)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比較系數(shù)利用待定系數(shù)法求解；若定義域含參數(shù)，則根據(jù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，利用區(qū)間的端點(diǎn)和為0求參數(shù)．(2)求函數(shù)值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有時(shí)需要構(gòu)造奇函數(shù)或偶函數(shù)以便于求值．【例3-1】（22-23高一上·廣東湛江·期中）若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．2【例3-2】（23-24高一上·遼寧阜新·期中）若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．2【例3-3】（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）已知為奇函數(shù)，則（

）A． B．2 C．1 D．【例3-4】（2024內(nèi)蒙古赤峰·期中）若函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)．【變式】1．（23-24高一上·山西長(zhǎng)治·期末）若為奇函數(shù)，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．22．（23-24高一下·廣西南寧·開學(xué)考試）若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則（

）A． B． C．3 D．23．（23-24高一下·貴州貴陽(yáng)·階段練習(xí)）若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．4．（2024高一·全國(guó)·專題練習(xí)）已知為偶函數(shù)，則.知識(shí)點(diǎn)四根據(jù)奇偶性求解析式【【解題思路】用奇偶性求解析式如果已知函數(shù)的奇偶性和一個(gè)區(qū)間[a，b]上的解析式，求關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱區(qū)間[－b，－a]上的解析式，其解決思路為(1)“求誰(shuí)設(shè)誰(shuí)”，即在哪個(gè)區(qū)間上求解析式，x就應(yīng)在哪個(gè)區(qū)間上設(shè)．(2)要利用已知區(qū)間的解析式進(jìn)行代入．(3)利用f(x)的奇偶性寫出－f(x)或f(－x)，從而解出f(x)．【例4-1】（23-24·陜西西安）定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則解析式是.【例4-2】（23-24福建漳州）若函數(shù)是偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，.【變式】1．（22-23廣東陽(yáng)江）已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，，那么當(dāng)時(shí)，.2．（23-24高一上·上海楊浦·期末）已知奇函數(shù)在區(qū)間上的解析式為，則在區(qū)間上的解析式．3．（23-24高一上·北京·期中）已知函數(shù)在R上為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，的解析式為．4．（23-24高一上·陜西西安·階段練習(xí)）已知函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)都滿足，且當(dāng)時(shí)，，則．重難點(diǎn)一奇偶性與單調(diào)性解不等式【【解題思路】函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性1．若f(x)為奇函數(shù)且在區(qū)間[a，b](a<b)上單調(diào)遞增，則f(x)在[－b，－a]上單調(diào)遞增，即在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性一致(相同)．2．若f(x)為偶函數(shù)且在區(qū)間[a，b](a<b)上為單調(diào)遞增，則f(x)在[－b，－a]上單調(diào)遞減，即在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反．3.利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性解不等式，一般有兩類(1)利用圖象解不等式．(2)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單不等式求解．①利用已知條件，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，把已知不等式轉(zhuǎn)化為f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式；②根據(jù)奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性一致，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反，去掉不等式中的“f”轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單不等式(組)求解．提醒：列不等式(組)時(shí)不要忘掉函數(shù)定義域【例5-1】（23-24高一上·北京東城·期末）奇函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【例5-2】（23-24高一上·北京·期中）已知函數(shù)是偶函數(shù)，若在上單調(diào)遞增，，則的解集為（

）A． B．C． D．【變式】1．（23-24高一上·北京·期中）若定義在上的奇函數(shù)在上是增函數(shù)，又，則的解集為（

）A．或 B．或C．或 D．或2．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．3．（23-24高一上·云南曲靖·期末）若定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則滿足的的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（23-24高一上·江西·期末）已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且在上單調(diào)遞減，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．5（22-23高一上·北京·階段練習(xí)）若定義在上的奇函數(shù)在單調(diào)遞減，且，則滿足的的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（23-24高一下·河北張家口·開學(xué)考試）已知是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞減，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．重難點(diǎn)二奇偶性與單調(diào)性比較大小【【解題思路】比較大小的求解策略，看自變量是否在同一單調(diào)區(qū)間上(1)在同一單調(diào)區(qū)間上，直接利用函數(shù)的單調(diào)性比較大?。?2)不在同一單調(diào)區(qū)間上，需利用函數(shù)的奇偶性把自變量轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，然后利用單調(diào)性比較大小．【例6】（22-23高一上·湖南邵陽(yáng)·期末）已知是偶函數(shù)，在上是增函數(shù)，則，，的大小關(guān)系為：（

）A． B．C． D．【變式】1．（23-24高一上·新疆喀什·期末）若是偶函數(shù)，且對(duì)任意∈且，都有，則下列關(guān)系式中成立的是（）A． B．C． D．2．（22-23高一上·海南儋州·期末）（多選）若偶函數(shù)在上是增函數(shù)，則下列關(guān)系式中成立的是（

）A． B．C． D．3．（23-24高一上·北京東城·期中）已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則的從小到大的順序?yàn)?重難點(diǎn)三奇偶性與單調(diào)性求最值【例7-1】（23-24高一上·湖南株洲·期中）若奇函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增且有最大值，則函數(shù)在區(qū)間上（

）A．單調(diào)遞增且最小值為 B．單調(diào)遞增且最大值為C．單調(diào)遞減且最小值為 D．單調(diào)遞減且最大值為【例7-2】（23-24高一上·福建三明·期中）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的最大值為最小值為，則（

）A． B． C． D．【例7-3】（23-24高一上·北京·期中）已知函數(shù)，且，則．【變式】1．（23-24高一上·北京·期中）如果奇函數(shù)在上是減函數(shù)且最小值是4，那么在上是（

）A．減函數(shù)且最小值是－4 B．減函數(shù)且最大值是－4C．增函數(shù)且最小值是－4 D．增函數(shù)且最大值是－42．（23-24高一上·江西景德鎮(zhèn)·期中）已知是定義在R上的奇函數(shù)，設(shè)函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則（

）A．2 B．4 C．8 D．163．（23-24高一上·廣東茂名·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若，則.4．（23-24高三上·安徽安慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則．5．（2024高一·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，則=6．（23-24高一下·浙江·期中）已知函數(shù)，若，則．單選題1．（23-24高一下·安徽合肥·期末）若奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且最小值為5，則它在區(qū)間上是（

）A．增函數(shù)且有最大值 B．增函數(shù)且有最小值C．減函數(shù)且有最大值 D．減函數(shù)且有最小值2．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．3．（22-23高一上·河南·期中）已知分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，則（

）A．1 B．3 C． D．4．（22-23高一上·天津·期末）已知定義在上的函數(shù)滿足，且時(shí)，，都有，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．5．（23-24高一上·江蘇南京·期末）已知是定義在上的偶函數(shù)，對(duì)任意，且，都有，，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．6．（22-23高一下·內(nèi)蒙古赤峰·期末）已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，，，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．7．（23-24高一上·浙江寧波·期末）若函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．或8．（22-23高三上·山西運(yùn)城·期中）已知函數(shù)滿足：①定義域?yàn)?，②為偶函?shù)，③為奇函數(shù)，④對(duì)任意的，且，都有，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．多選題9．（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知函數(shù)，則（

）A．的定義域?yàn)?B．的值域?yàn)镽C．為增函數(shù) D．的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱10．（23-24高一上·安徽蕪湖·期末）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的定義域?yàn)锽．是偶函數(shù)C．的值域?yàn)镈．11．（23-24高一上·陜西漢中·期末）對(duì)于函數(shù)，下面幾個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．函數(shù)是奇函數(shù) B．函數(shù)是偶函數(shù)C．函數(shù)的值域?yàn)?D．函數(shù)在上是減函數(shù)填空題12．（24-25高一上·上?！ふn后作業(yè)）設(shè)，若，則．13．（23-24高一上·陜西商洛·期末）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則．14．（23-24高一上·江西景德鎮(zhèn)·期末）已知函數(shù)，且滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．解答題15．（2024高一·全國(guó)·專題練習(xí)）判斷下列各函數(shù)是否具有奇偶性(1)(2)(3)(4)；(5)(6)16．（23-24高一上·重慶永川·期中）已知函數(shù)．(1)判斷的奇偶性，并說(shuō)明理由；(2)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明；(3)求函數(shù)在上的最大值和最小