濟南市濟南十二中九年級數(shù)學(xué)下冊第二單元《相似》測試(有答案解析)

一、選擇題1．如圖，在平行四邊形ABCD中，，F(xiàn)是AD的中點，射線EF與AC交于點G，與CD的延長線交于點P，則的值為（）．A． B． C． D．2．下列四個選項中的三角形，與圖中的三角形相似的是（）A． B．C． D．3．下列各組線段能成比例的是（）A．1.5cm，2.5cm，3.5cm，4.5cm B．1cm，2cm，3cm，4cmC．3cm，6cm，4cm，8cm D．cm，cm，cm，cm4．下列圖形中一定是相似形的是（）A．兩個等腰三角形 B．兩個菱形 C．兩個矩形 D．兩個正方形5．如圖，在四邊形ABCD中，對角線BD平分∠ABC，∠DBC＝30°，∠BAD＝∠BDC＝90°，E為BC的中點，AE與BD相交于點F，若CD＝2，則BF的長為（）A． B． C． D．6．下列每個選項的兩個圖形，不是相似圖形的是（）A． B． C． D．7．已知兩個相似三角形一組對應(yīng)高分別是15和5，面積之差為80，則較大三角形的面積為（）A．90 B．180 C．270 D．36008．如果兩個相似三角形的對應(yīng)高之比是，那么它們的周長比是（）A． B．C． D．9．大自然巧奪天工，一片小心樹葉也蘊含著“黃金分割”．如圖，P為AB的黃金分割點（AP>PB），如果AP的長度為8cm，那么AB的長度是（）A．-4 B．12- C．12+ D．+410．已知如圖，DE是△ABC的中位線，AF是BC邊上的中線，DE、AF交于點O．現(xiàn)有以下結(jié)論：①DE∥BC；②OD＝BC；③AO＝FO；④＝．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．411．已知是線段的黃金分割點，且，則的長為（）．A．2 B． C．2或 D．12．如圖，在△ABC中，DE∥BC，，則（）A． B． C． D．二、填空題13．如圖，，點在上，與交于點，，，則的長為．14．已知，則的值為________．15．如圖，在中，，，，是斜邊上方一點，連接，點是的中點，垂直平分，交于點，連接，交于點，當(dāng)為直角三角形時，線段的長為________．16．如圖，直線，直線m，n分別與a，b，c相交于點A，B，C，D，E，F(xiàn)，若，，，則_______．17．如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝20cm，弦BC＝12cm，F(xiàn)是弦BC的中點．若動點E以2cm/s的速度從A點出發(fā)沿著AB方向運動，設(shè)運動時間為t（s）（0≤t≤10），連接EF，當(dāng)△BEF是直角三角形時，t（s）的值為_______．18．如圖，在中，分別是邊的中點，與交于點，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中，正確的有__________．19．如圖，，，，在邊上取點P，使得，與兩兩相似，則長為___________．（結(jié)果用含的代數(shù)式表示）20．如圖，已知△ABC中，若BC＝6，△ABC的面積為12，四邊形DEFG是△ABC的內(nèi)接的正方形，則正方形DEFG的邊長是__．三、解答題21．如圖，在四邊形ABCD中，，DE，BF分別平分，，并交線段AB，CD于點E，F(xiàn)（點E，B不重合），在線段BF上取點M，N（點M在BN之間），使．當(dāng)點P從點D勻速運動到點E時，點Q恰好從點M勻速運動到點N，記，，已知，當(dāng)Q為BF中點時，．（1）判斷DE與BF的位置關(guān)系，并說明理由：（2）求DE，BF的長；（3）若①當(dāng)時，通過計算比較BE與BQ的大小關(guān)系；②連接PQ，當(dāng)PQ所在直線經(jīng)過四邊形ABCD的一個項點時，求所有滿足條件的x的值．22．定義：若一個四邊形能被其中一條對角線分割成兩個相似三角形，則稱這個四邊形為“友愛四邊形”，這條對角線叫“友愛線”．（1）如圖1，在的正方形網(wǎng)格中，有一個網(wǎng)格和兩個網(wǎng)格四邊形與四邊形，其中是被分割成的“友愛四邊形”的是______．（2）如圖2，四邊形是“友愛四邊形”，對角線是“友愛線”，同時也是的角平分線，若中，，，，求友愛四邊形的周長．（3）如圖3，在中，，，的面積為，點D是的平分線上一點，連接，．若四邊形是被分割成的“友愛四邊形”，求的長．23．已知，如圖1在矩形中，，，點是線段上的動點，連接，作，交的延長線于點，連接交于，設(shè)．（1）求證：．（2）若是等腰三角形，求的值．（3）取的中點，連接，若，求的面積．（4）如圖2作的外接圓，點關(guān)于的對稱點落在圓上，當(dāng)恰好落在內(nèi)部（不包括邊界），直接寫出的取值范圍______．24．如圖所示，四邊形是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，點在軸上，點在軸上，將邊折疊，使點落在邊的點處，已知折疊，且．（1）判斷與是否相似？請說明理由；（2）求點的坐標(biāo)（3）求直線與軸交點的坐標(biāo)．25．如圖，在中，，以AB為直徑的分別交AC、BC于點D、E，BC的延長線與的切線AF交于點F．（1）求證：；（2）若，，求AF的長．26．如圖，直線EF與⊙O相切于點C，點A為⊙O上異于點C的一動點，⊙O的半徑為4，AB⊥EF于點B，設(shè)∠ACF＝α（0°＜α＜180°）．（1）如圖1，若α＝45°，求證：四邊形OCBA為正方形；（2）當(dāng)AC＝4時，求α的度數(shù)．（3）若AC－AB＝1，求AC的長．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要刪除一、選擇題1．D解析：D【分析】證明≌△，推出，由，設(shè)，，推出，，由，可得的值．【詳解】∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵，，∴≌△，∴，∵，設(shè)，，∴，，∵，∴，故選：D．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用已知條件證明三角形全等、利用參數(shù)解決問題，屬于中考?？碱}型．2．B解析：B【分析】由于已知三角形和選擇項的三角形都放在小正方形的網(wǎng)格中，設(shè)正方形的邊長為1，所以每一個三角形的邊長都是可以表示出，然后根據(jù)三角形的對應(yīng)邊成比例即可判定選擇項．【詳解】解：設(shè)小正方形的邊長為1，那么已知三角形的三邊長分別為，2，，所以三邊之比為1：2：．A、三角形的三邊分別為2，，3，三邊之比為：：3，故本選項錯誤；B、三角形的三邊分別為2，4，2，三邊之比為1：2：，故本選項正確；C、三角形的三邊分別為2，3，，三邊之比為2：3：，故本選項錯誤；D、三角形的三邊分別為，，4，三邊之比為：：4，故本選項錯誤．故選：B．【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定，屬于基礎(chǔ)題，掌握三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似是解答本題的關(guān)鍵，難度一般．3．C解析：C【分析】根據(jù)比例線段的概念：如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段．【詳解】解：A、1.5×4.5≠2.5×3.5，故本選項錯誤；B、1×4≠2×3，故本選項錯誤；C、3×8＝4×6，故本選項正確；D、，故本選項錯誤．故選：C．【點睛】此題考查了比例線段的概念．注意在相乘的時候，最小的和最大的相乘，另外兩個相乘，看它們的積是否相等．4．D解析：D【分析】根據(jù)對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個圖形，叫做相似圖形進行判斷即可．【詳解】A、兩個等腰三角形，三個角不一定相等，因此不一定相似，故本選項錯誤，不符合題意．B、兩個菱形對應(yīng)角不一定相等，故本選項不符合題意；C、兩個矩形的邊不一定成比例，故不一定相似，故本選項錯誤，不符合題意．D、兩個正方形四個角相等，各邊一定對應(yīng)成比例，所以一定相似，故本選項正確，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了相似圖形的判定，掌握對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個圖形，叫做相似圖形是解題的關(guān)鍵．5．C解析：C【分析】連接DE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出BC，根據(jù)勾股定理求出BD，再求出AB，根據(jù)DE∥AB，得到，把已知數(shù)據(jù)代入計算，得到答案．【詳解】解：連接DE，∵∠BDC＝90°，∠CBD＝30°，CD＝2，∴BC＝2CD＝4，由勾股定理得，BD＝＝＝，∵E是BC的中點，∴DE＝BC＝BE＝2，∴∠BDE＝∠CBD＝30°，∵對角線BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝∠BDE，∴DE∥AB，∴，在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，∴AD＝BD＝，∴AB＝＝3，∴，即，解得，BF＝故選：C．【點睛】本題考查的是勾股定理、角平分線的性質(zhì)、直角三角形30度角的性質(zhì)、解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問題．6．D解析：D【分析】根據(jù)相似圖形的定義，對選項進行一一分析，排除錯誤答案．【詳解】解：A、形狀相同，但大小不同，符合相似形的定義，故不符合題意；B、形狀相同，但大小不同，符合相似形的定義，故不符合題意；C、形狀相同，但大小不同，符合相似形的定義，故不符合題意；D、形狀不相同，不符合相似形的定義，故符合題意；故選：D．【點睛】本題考查的是相似形的定義，是基礎(chǔ)題．7．A解析：A【分析】由兩個三角形的高之比可得出兩個三角形的相似比，進而得出兩個三角形的面積之比，根據(jù)兩個三角形的面積之比設(shè)未知數(shù)，列方程，求出較大三角形的面積即可．【詳解】由題意得，兩個三角形的相似比為：15∶5=3∶1，故面積比為：9∶1，設(shè)兩個三角形的面積分別為9x，x，則9x－x=80，解得：x=10，故較大三角形的面積為：9x=90．故選：A．【點睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，熟記相似三角形的高之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方是解題關(guān)鍵．8．A解析：A【分析】根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比，周長的比等于相似比解答．【詳解】解：∵對應(yīng)高之比是1：2，∴相似比=1：2，∴對應(yīng)周長之比是1：2．故選：A．【點睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，周長的比等于相似比．9．D解析：D【分析】根據(jù)黃金分割的定義得到AP=AB，然后把AP=8代入后可求出AB的長．【詳解】∵P為AB的黃金分割點（AP＞PB），∴AP=AB，∴AB=（cm），故選：D．【點睛】本題考查了黃金分割以及分母有理化．把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC=AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．其中AC=AB．并且線段AB的黃金分割點有兩個．10．C解析：C【分析】①根據(jù)三角形中位線定理進行判斷；②根據(jù)三角形中位線定理進行判斷；③根據(jù)三角形中位線定理進行判斷；④由相似三角形△ADO∽△ABF的面積之比等于相似比的平方進行判斷．【詳解】∵DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，故①正確；∴DE=BC，∴OD=BF，∵AF是BC邊上的中線，∴BF=BC，∴OD=BF=BC，故②正確；∵DE是△ABC的中位線，∴AD=DB，DE∥BC，∴AO＝FO，故③正確；④∵DE∥BC，即DO∥BF，∴△ADO∽△ABF，∴，又∵AF是BC邊上的中線，∴，∴，故④錯誤．綜上所述，正確的結(jié)論是①②③，共3個．故選：C．【點睛】本題考查了三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)．本題利用了“相似三角形的面積之比等于相似比的平方”的性質(zhì)．正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．11．C解析：C【分析】若點是靠近點B的黃金分割點，則，然后代入數(shù)據(jù)計算即可；若點是靠近點A的黃金分割點，先求出BP，再利用線段的和差即可求出AP．【詳解】解：若是靠近點B的黃金分割點，則；若是靠近點A的黃金分割點，則，∴；故選：C．【點睛】本題主要考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割比為是解題的關(guān)鍵．12．B解析：B【分析】直接利用平行線分線段成比例定理得出答案即可．【詳解】解：∵DE∥BC，∴．故選：B．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，了解定理的內(nèi)容是解答此題的關(guān)鍵．二、填空題13．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理由AB∥GH得出由GH∥CD得出將兩個式子相加即可求出GH的長【詳解】解：即①即②①②得解得故答案為：【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理熟練運用等式的性質(zhì)進行解析：【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，由AB∥GH，得出，由GH∥CD，得出，將兩個式子相加，即可求出GH的長．【詳解】解：，，即①，，，即②，①②，得，，，解得．故答案為：【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練運用等式的性質(zhì)進行計算．本題難度適中．14．2【分析】根據(jù)可設(shè)代入原式即可求解【詳解】∵∴設(shè)∴故答案為：2【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)利用設(shè)k法表示出xyz求解更簡便解析：2【分析】根據(jù)，可設(shè)，，，代入原式，即可求解．【詳解】∵，∴設(shè)，，，∴．故答案為：2．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，利用“設(shè)k法”表示出x、y、z求解更簡便．15．或【分析】（1）分別在中應(yīng)用含角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求得再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)等邊三角形的判定和性質(zhì)等腰三角形的判定求得最后利用線段的和差即可求得答案；根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)全等三角形的判定解析：或【分析】（1）分別在、、中應(yīng)用含角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求得，，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定求得，最后利用線段的和差即可求得答案；根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、分線段成比例定理可證得，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)列出方程，解方程即可求得，最后利用線段的和差即可求得答案．【詳解】解：①當(dāng)時，如圖1:∵在中，，，∴∴∵，∴∵∴∴在中，設(shè)，則∵∴∴∴，∵垂直平分線段∴∵∴是等邊三角形∴∴∴；②當(dāng)時，連接、交于點，過點作于，如圖2：設(shè)，則，∵垂直平分線段，點是的中點∴∵∴∵∵∴垂直平分線段∴∵，∴∴∵∴，∴∴∴∴∴∴∴．∴綜上所述，滿足條件的的值為6或．故答案是：6或【點睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)和判定、含角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等，滲透了邏輯推理的核心素養(yǎng)以及分類討論的數(shù)學(xué)思想．16．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得到然后根據(jù)比例的性質(zhì)求EF的長【詳解】解：∵直線a∥b∥c∴即∴EF=故答案為：【點睛】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線所得的對應(yīng)線段成比例解析：【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，然后根據(jù)比例的性質(zhì)求EF的長．【詳解】解：∵直線a∥b∥c，∴，即，∴EF=．故答案為：．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．17．5或82【分析】求出BF和AO的長分為兩種情況①∠EFB=90°②∠FEB=90°分別利用三角形中位線的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)求出AE的長再求出t即可【詳解】∵AB是⊙O的直徑∴∠C=90°解析：5或8.2【分析】求出BF和AO的長，分為兩種情況，①∠EFB=90°，②∠FEB=90°，分別利用三角形中位線的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)求出AE的長，再求出t即可．【詳解】∵AB是⊙O的直徑，∴∠C=90°，∵AB=20cm，弦BC=12cm，F(xiàn)是弦BC的中點，∴BF=BC=6cm，有兩種情況：①當(dāng)∠EFB=90°時，如圖：∵AB是⊙O的直徑，∴∠C=90°，∵∠EFB=90°，∴AC∥EF，∵F為BC的中點，∴E為AB的中點，即E和O重合，∵AB=20cm，∴AE=AO=AB=10cm，∴；②當(dāng)∠FEB=90°時，如圖：∵∠B=∠B，∠FEB=∠C=90°，∴△FEB∽△ACB，∴，∴，解得：BE=3.6（cm），∵AB=20cm，∴AE=AB-BE=16.4cm，∴；故答案為：5或8.2．【點睛】本題考查了圓周角定理，三角形中位線定理，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識點，分類討論是解此題的關(guān)鍵．18．②④【分析】由點DE分別是邊ACAB的中點知DE是△ABC的中位線據(jù)此知DE∥BC且從而得△ODE∽△OBC根據(jù)相似三角形的性質(zhì)逐一判斷可得【詳解】解：∵點DE分別是邊ACAB的中點∴DE是△ABC解析：②④【分析】由點D，E分別是邊AC，AB的中點知DE是△ABC的中位線，據(jù)此知DE∥BC且，從而得△ODE∽△OBC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)逐一判斷可得．【詳解】解：∵點D，E分別是邊AC，AB的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC且，②正確；∴∠ODE＝∠OBC、∠OED＝∠OCB，∴△ODE∽△OBC，∴，①錯誤；，③錯誤；∵，∴，④正確；故答案為：②④【點睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握中位線定理及相似三角形的判定與性質(zhì)．19．或【分析】根據(jù)△PAD△PBC都是直角三角形△PAD△PBC△PDC兩兩相似利用相似三角形性質(zhì)分類討論即可；【詳解】∵△PAD△PBC都是直角三角形△PAD△PBC△PDC兩兩相似∴△PDC是直角三解析：或【分析】根據(jù)△PAD，△PBC都是直角三角形，△PAD，△PBC，△PDC兩兩相似，利用相似三角形性質(zhì)分類討論即可；【詳解】∵△PAD，△PBC都是直角三角形，△PAD，△PBC，△PDC兩兩相似，∴△PDC是直角三角形，當(dāng)時，∴，∵，∴，∵，∴，當(dāng)時，∴，此時CD∥AB，，四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，與題意矛盾，故不存在這種情況；當(dāng)時，∴，，∴，過點P作于M，∴，，在△PAD和△PMD中，，∴，∴PA=PM，在△PBC和△PMC中，，∴，∴PB=PM，∴，∵，∴；當(dāng)時，當(dāng)時，，∴，∴，在△DPC和△BPC中，，∴，∴PD=PB，∴，∴；∴AP的長為或．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)應(yīng)用，結(jié)合全等三角形證明求解是解題的關(guān)鍵．20．【分析】過點作交于點證明（設(shè)為得到；證明列出比例式求出即可解決問題【詳解】解：如圖過點作交于點四邊形是正方形（設(shè)為則；的面積為12；解得：故答案為：【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)作出輔助線解析：【分析】過點作，交于點，證明（設(shè)為，得到；證明，列出比例式，求出即可解決問題．【詳解】解：如圖，過點作，交于點，四邊形是正方形，（設(shè)為，則；，的面積為12，，，；，，，解得：．故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，作出輔助線是解題的關(guān)鍵．三、解答題21．（1）DE∥BF，見解析；（2）DE=10；BF=18；（3）①BQ＜BE；②x=6或x=或x=【分析】（1）推出∠AED=∠ABF，即可得出DE∥BF；（2）求出DE=10，MN=6，把代入，解得x=5，即NQ=5，得出QM=1，由FQ=QB，BM=2FN，得出FN=4，BM=8，即可得出結(jié)果；（3）①連接EM并延長交BC于點H，易證四邊形DFME是平行四邊形，得出DF=EM，求出∠DEA=∠FBE=∠FBC=30°，∠ADE=∠CDE=∠FME=60°，∠MEB=∠FBE=30°，得出∠EHB=90°，DF=EM=BM=8，MH=4，EH=12，由勾股定理得HB=，BE=，當(dāng)DP=DF時，求出BQ=，即可得出BQ＜BE；②（Ⅰ）當(dāng)PQ經(jīng)過點D時，y=0，則x=6；（Ⅱ）當(dāng)PQ經(jīng)過點C時，由FQ∥DP，得出△CFQ∽△CDP，則，即可求出x=；（Ⅲ）當(dāng)PQ經(jīng)過點A時，由PE∥BQ，得出△APE∽△AQB，則，求出AE=，AB=，即可得出x=，由圖可知，PQ不可能過點B．【詳解】解：（1）DE與BF的位置關(guān)系為：DE∥BF，理由如下：如圖1所示：∵∠A=∠C=90°，∴∠ADC+∠ABC=360°-（∠A+∠C）=180°，∵DE、BF分別平分∠ADC、∠ABC，∴∠ADE=∠ADC，∠ABF=∠ABC，∴∠ADE+∠ABF=×180°=90°，∵∠ADE+∠AED=90°，∴∠AED=∠ABF，∴DE∥BF；（2）令x=0，得y=10，∴DE=10，令y=0，得x=6，∴MN=6，把y=代入，解得：x=5，即NQ=5，∴QM=6-5=1，∵Q是BF中點，∴FQ=QB，∵BM=2FN，∴FN+5=1+2FN，解得：FN=4，∴BM=8，∴BF=FN+MN+MB=18；（3）①連接EM并延長交BC于點H，如圖2所示：∵FM=4+6=10=DE，DE∥BF，∴四邊形DFME是平行四邊形，∴DF=EM，EH∥CD，∴∠MHB=∠C=90°，∵∠A=90°，∠AED=30°∴AD==5，∴∠DEA=∠FBE=∠FBC=30°，∴∠ADE=60°，∴∠ADE=∠CDE=∠FME=60°，∴∠DFM=∠DEM=120°，∴∠MEB=180°-120°-30°=30°，∴∠MEB=∠FBE=30°，∴DF=EM=BM=8，∴MH=BM=4，∴EH=8+4=12，由勾股定理得：HB=，∴BE=，當(dāng)DP=DF時，，解得：x=，∴BQ=14-x=，∵＜，∴BQ＜BE；②（Ⅰ）當(dāng)PQ經(jīng)過點D時，如圖3所示：y=0，則x=6；（Ⅱ）當(dāng)PQ經(jīng)過點C時，如圖4所示：∵BF=18，∠FCB=90°，∠CBF=30°，∴CF=BF=9，∴CD=9+8=17，∵FQ∥DP，∴△CFQ∽△CDP，∴，，解得：x=；（Ⅲ）當(dāng)PQ經(jīng)過點A時，如圖5所示：∵PE∥BQ，∴△APE∽△AQB，∴，由勾股定理得：AE=，∴AB=，∴，解得：x=，由圖可知，PQ不可能過點B；綜上所述，當(dāng)x=6或x=或x=時，PQ所在的直線經(jīng)過四邊形ABCD的一個頂點．【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理、角平分線的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識；本題綜合性強，難度較大，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（1）四邊形ABCE；（2）13或10；（2）2【分析】（1）根據(jù)勾股定理分別求出三個三角形的各邊長，根據(jù)三邊對應(yīng)成比例的三角形相似、“友愛四邊形”的定義判斷；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、兩角相等的兩個三角形相似證明；（3）AM⊥BC，根據(jù)含30°的直角三角形的特殊性質(zhì)及勾股定理用AB表示出AM，根據(jù)三角形的面積公式得到BC×AB＝12，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式計算，得到答案．【詳解】解：（1）∵AB＝2，BC＝1，AD＝4，∴由勾股定理得，AC＝＝，CD＝＝，AE＝＝2，CE＝＝5，∴＝＝＝，∴ABC∽EAC，∴四邊形ABCE是“友愛四邊形”，∵≠，∴ABC與ACD不相似，∴四邊形ABCD不是“友愛四邊形”，故答案為：四邊形ABCE；（2）∵AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD，當(dāng)∠B=∠DAC時，ABC∽DAC，則＝＝，∵，，，∴＝＝，解得AD＝，CD＝，∴友愛四邊形的周長為；當(dāng)∠B=∠D時，ABC∽ADC，則＝＝＝1，∵，，，∴＝＝1，解得AD＝2，CD＝3，∴友愛四邊形的周長為，綜上所述，友愛四邊形的周長為13或10；（3）如圖3，過點A作AM⊥BC于M，則∠AMB＝90°，∵，∴∠BAM＝30°，∴BM＝AB，∴在Rt△ABM中，AM＝＝＝AB，∵ABC的面積為3，∴BC×AB＝3，∴BC×AB＝12，∵四邊形ABCD是被BD分割成的“友愛四邊形”，且AB≠BC，∴ABD∽DBC∴，∴BD2＝AB×BC＝12，∴BD＝＝2．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、三角形的面積計算，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、理解“友愛四邊形”的定義是解題的關(guān)鍵．23．（1）見解析；（2）；（3）30；（4）【分析】（1）由四邊形ABCD為矩形，易知為Rt△，由，得出∠FCD+∠DCD=90°，從而得出∠FCD=ECB，有兩個角相等證明相似．（2）過點E作EH⊥CD，由等腰三角形易知CH=BE=m，AE=8-m，由（1）得，求出．再由找到對應(yīng)邊的比值列出等量關(guān)系，求出m即可．（3）由平行邊形的判定得出四邊AOCE為平行四邊形，得出OA=CE，在Rt△△AEF中，由斜邊的中線等于斜邊的一半得出，由（2）中得出m=3，分別求出CE、CF的值即可求出的面積．（4）有A關(guān)于EF對稱點為，得出，因為∠FAE=∠FCE=90°，所有由直徑所對的圓周角為90°得出EF為圓的直徑，要使恰好落在內(nèi)部得出，解除關(guān)于m的不等式即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴∠DCB=∠DCE+∠BCE=90°，∵∴∠FCD+∠DCD=90°∴∠FCD=ECB又∵∠FDC=∠B=90°∴（2）過點E作EH⊥CD交CD于點H，如圖∵是等腰三角形，∴GH=HC∵GE=m∴HC=HG=m，AE=8-m∠AFE=∠GEH∠A=∠DHE∴∵∴∴∴∴∴整理的（舍去），∴的值為3．（3）∵OA//CE，OC//AE∴四邊AOCE為平行四邊形，OA=CE∵O為EF的中點，△AEF為直角三角形∴∴OE=CE，△OEC為等腰三角形由（2）問可知，m=3∴FD=4，∴（4）連接∵A關(guān)于EF對稱點為，∴∵∠FAE=∠FCE=90°∴FE為圓的直徑∴C始終在圓上，要使落在內(nèi)部∴即，解得：故答案為：【點睛】本題考查了相似三角形性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、矩形的性質(zhì)、勾股定理以及圓的相關(guān)知識，熟悉相關(guān)知識并能靈活運用是解題關(guān)鍵．24．（1）與相似，理由見解析；（2）點的坐標(biāo)為；（3）點的坐標(biāo)為．【分析】（1）結(jié)論△OCD與△ADE相似：根據(jù)同角的余角相等即可得出∠OCD＝∠EDA，由此可證得兩三角形相似．（2）設(shè)，則，利用，得到，．在中，利用，解得，故可求解；（3）根據(jù)待定系數(shù)法求出CE的解析式，故可求解．【詳解】（1）與相似．理由如下：由折疊知，，∴，∵，∴∠OCD＝∠EDA．又∵，∴．（2）∵，∴設(shè)，則，由勾股定理得，∴．由（1），得：∴∴．在中，∵，∴，解得．∴，，∴點的坐標(biāo)