2020年高中數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-專(zhuān)題2

專(zhuān)題07遞推數(shù)列及數(shù)列求和的綜合問(wèn)題一、單項(xiàng)選擇題1.〔2021·海南模擬〕數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，那么等于〔〕A.

B.

0

C.

2

D.

4【答案】C【考點(diǎn)】數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法，數(shù)列遞推式【解析】【解答】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，兩式相減得，令，得.應(yīng)選：C.【分析】由，，兩式相減得，，令，即可得到此題答案.2.〔2021·安陽(yáng)模擬〕各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列滿(mǎn)足，假設(shè)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，那么〔〕A.

B.

C.

D.

【答案】B【考點(diǎn)】數(shù)列的函數(shù)特性，數(shù)列遞推式【解析】【解答】由題意得當(dāng)時(shí)，，，累加得，故，當(dāng)時(shí)，該式也成立，那么因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，，所以由“對(duì)勾兩數(shù)〞的單調(diào)性可知且，∴且，解得.故答案為：B.【分析】根據(jù)遞推關(guān)系，利用累加法求出，進(jìn)而得到，再利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，即可得答案.3.〔2021高三上·瀘縣期末〕在數(shù)列中，，那么的值為〔〕A.

B.

C.

D.

【答案】C【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，等比關(guān)系確實(shí)定，數(shù)列遞推式【解析】【解答】因?yàn)?所以,故答案為：C【分析】依題意知,又,利用累加法即可求得的值.4.〔2021高二上·無(wú)錫期末〕設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，滿(mǎn)足，那么〔〕A.

B.

C.

D.

【答案】D【考點(diǎn)】等比關(guān)系確實(shí)定，數(shù)列遞推式【解析】【解答】解：當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，，故是以，的等比數(shù)列，故答案為：【分析】根據(jù)可求數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和求.5.〔2021高二上·集寧月考〕數(shù)列滿(mǎn)足，那么〔〕A.

B.

5

C.

D.

【答案】D【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式【解析】【解答】解：,,.因此數(shù)列是周期為的數(shù)列..故答案為：D【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前項(xiàng),得出數(shù)列是周期為的數(shù)列,可得的值.6.〔2021高三上·漢中月考〕定義在R上的函數(shù)f〔x〕是奇函數(shù)，且滿(mǎn)足f〔3-x〕=f〔x〕，f〔-1〕=3，數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1且an=n〔an+1-an〕〔n∈N*〕，那么f〔a36〕+f〔a37〕=〔〕A.

B.

C.

2

D.

3【答案】A【考點(diǎn)】奇函數(shù)，函數(shù)的周期性，數(shù)列遞推式【解析】【解答】∵函數(shù)f〔x〕是奇函數(shù)，且滿(mǎn)足f〔3-x〕=f〔x〕，f〔-1〕=3，∴f〔x〕=f〔3-x〕=-f〔x-3〕，即f〔x+3〕=-f〔x〕，那么f〔x+6〕=-f〔x+3〕=f〔x〕，即函數(shù)f〔x〕是周期為6的周期函數(shù)，由數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1且an=n〔an+1-an〕〔n∈N*〕，那么an=nan+1-nan，即〔1+n〕an=nan+1，那么，等式兩邊同時(shí)相乘得，即=n，即an=na1=n，即數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n，那么f〔a36〕+f〔a37〕=f〔36〕+f〔37〕=f〔0〕+f〔1〕，∵f〔x〕是奇函數(shù)，∴f〔0〕=0，∵f〔-1〕=3，∴-f〔1〕=3，即f〔1〕=-3，那么f〔a36〕+f〔a37〕=f〔36〕+f〔37〕=f〔0〕+f〔1〕=0-3=-3，故答案為：A．【分析】根據(jù)條件判斷函數(shù)的周期是6，利用數(shù)列的遞推關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合數(shù)列的通項(xiàng)公式以及函數(shù)的周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．7.〔2021高二上·榆林期中〕數(shù)列{an}的前項(xiàng)和，那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為〔〕A.

B.

C.

D.

【答案】D【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列遞推式【解析】【解答】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，不滿(mǎn)足故答案為：【分析】當(dāng)時(shí)，由求得；當(dāng)時(shí)，由求得；驗(yàn)證后可知數(shù)列為分段數(shù)列，從而得到結(jié)果.8.〔2021高二上·溫州期中〕數(shù)列的前項(xiàng)和為，那么＝(

)A.

B.

C.

D.

【答案】B【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式【解析】【解答】由得，即，而，所以.故答案為：B.【分析】利用公式計(jì)算得到，得到答案.9.〔2021高三上·長(zhǎng)治月考〕數(shù)列滿(mǎn)足，令，那么滿(mǎn)足的最小值為〔〕A.

9

B.

10

C.

11

D.

12【答案】B【考點(diǎn)】數(shù)列的函數(shù)特性，等比關(guān)系確實(shí)定，數(shù)列遞推式【解析】【解答】，，故是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故，那么，即，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，顯然當(dāng)時(shí)，成立，故的最小值為10.故答案為：B?！痉治觥坑蛇f推式求出與之間的關(guān)系，即的遞推關(guān)系，從而知數(shù)列是等比數(shù)列，由此可求得其通項(xiàng)公式，由通項(xiàng)公式知其是遞減的等比數(shù)列，從而可通過(guò)解不等式得出結(jié)論。10.〔2021高二上·延吉期中〕設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，.假設(shè)，那么〔〕A.

的最大值為B.

的最小值為C.

的最大值為D.

的最小值為【答案】C【考點(diǎn)】數(shù)列與函數(shù)的綜合【解析】【解答】∵〔n+1〕Sn＜nSn+1，∴Sn＜nSn+1﹣nSn＝nan+1即na1na1+n2d，整理得〔n2﹣n〕d＜2n2d∵n2﹣n﹣2n2＝﹣n2﹣n＜0∴d＞0∵1＜0∴a7＜0，a8＞0數(shù)列的前7項(xiàng)為負(fù)，故數(shù)列{Sn}中最小值是S7故答案為：C．【分析】由條件推導(dǎo)出〔n2﹣n〕d＜2n2d，從而得到d＞0，所以a7＜0，a8＞0，由此求出數(shù)列{Sn}中最小值是S7．11.〔2021高三上·佳木斯月考〕正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，那么的取值范圍為〔〕A.

B.

C.

D.

【答案】D【考點(diǎn)】數(shù)列的求和，數(shù)列遞推式【解析】【解答】因?yàn)?，所以，因此，即，又為正?xiàng)數(shù)列，所以，故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，因此，所以，因?yàn)?，所?故答案為：D【分析】利用條件，，結(jié)合與的關(guān)系式，用等差數(shù)列的定義和正項(xiàng)數(shù)列的定義推出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的前項(xiàng)和，再利用放縮法求出數(shù)列的前項(xiàng)和的取值范圍。12.〔2021高三上·建平期中〕數(shù)列為1、1、2、1、1、2、4、1、1、2、1、1、2、4、8、...，首先給出，接著復(fù)制該項(xiàng)后，再添加其后繼數(shù)2，于是，，然后再?gòu)?fù)制前面的所有項(xiàng)1、1、2，再添加2的后繼數(shù)4，于是，，，，接下來(lái)再?gòu)?fù)制前面的所有項(xiàng)1、1、2、1、1、2、4，再添加8，...，如此繼續(xù)，那么〔〕A.

16

B.

4

C.

2

D.

1【答案】D【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式【解析】【解答】由數(shù)列的構(gòu)造方法可知，，，，可得，所以數(shù)首次出現(xiàn)于第項(xiàng)，所以當(dāng)時(shí)，有，故．故答案為：D.【分析】利用條件，推出，及時(shí)，有，再求解的值即可．二、填空題13.〔2021高三上·渭南期末〕數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n(n+1)+2,其中,那么an=________.【答案】【考點(diǎn)】數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法，數(shù)列遞推式【解析】【解答】當(dāng)n=1時(shí)，S1=a1=4，當(dāng)n≥2時(shí)，由Sn=n(n+1)+2，①得Sn﹣1=(n﹣1)n+2，②①﹣②，得an=2n，其中n≥2，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=.故答案為：.【分析】當(dāng)n=1時(shí)，S1=a1=4，當(dāng)n≥2時(shí)，由題意，得Sn=n(n+1)+2，Sn﹣1=(n﹣1)n+2，相減即可得出.14.〔2021·遼寧模擬〕數(shù)列滿(mǎn)足，〔，〕，那么________.【答案】【考點(diǎn)】數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法，等差關(guān)系確實(shí)定，數(shù)列遞推式【解析】【解答】由于，即故是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列由于故答案為：【分析】利用項(xiàng)和轉(zhuǎn)換，得到，故是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，可得，再借助，即得解.15.〔2021高二上·黃陵期中〕假設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，，那么________；前8項(xiàng)的和________.〔用數(shù)字作答〕【答案】16；255【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，數(shù)列遞推式【解析】【解答】由知是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，由通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式知【分析】利用遞推式推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，利用通項(xiàng)公式和求和公式，代入即可求解,屬于根底題.16.〔2021高三上·上海期中〕數(shù)列的通項(xiàng)公式和為，，現(xiàn)從前項(xiàng)：中抽出一項(xiàng)〔不是也不是〕，余下各項(xiàng)的算術(shù)平均數(shù)為40，那么抽出的是第________項(xiàng)【答案】6【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列遞推式【解析】【解答】由得，〔驗(yàn)證當(dāng)時(shí)也符合〕故，令，得，即，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，，由題可知，余下各項(xiàng)的算術(shù)平均數(shù)是40，說(shuō)明余下每?jī)身?xiàng)的算數(shù)平均數(shù)只要滿(mǎn)足前式性質(zhì)即可，根據(jù)得算數(shù)平均數(shù)為，那么，抽出的是數(shù)列的第6項(xiàng)故答案為：6【分析】由可先算出，先令，算出，再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)一步判斷17.〔2021高三上·長(zhǎng)春月考〕以區(qū)間上的整數(shù)為分子，以為分母的數(shù)組成集合，其所有元素的和為；以區(qū)間上的整數(shù)為分子，以為分母組成不屬于集合的數(shù)組成集合，其所有元素的和為；……依此類(lèi)推以區(qū)間上的整數(shù)為分子，以為分母組成不屬于，…的數(shù)組成集合，其所有元素的和為，假設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，那么________．【答案】【考點(diǎn)】數(shù)列與函數(shù)的綜合【解析】【解答】解:據(jù)題意,得,,,…,,∴,∴,∴.故答案為:.【分析】根據(jù)題意可得,從而得到,然后求出-即可.三、解答題18.〔2021·晉城模擬〕等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2n2＋kn＋k，〔1〕求{an}的通項(xiàng)公式；〔2〕假設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.【答案】〔1〕解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，又?jǐn)?shù)列為等差數(shù)列，故當(dāng)時(shí)，，解得故.〔2〕解：由〔1〕可知，故

.故數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的求和，數(shù)列遞推式【解析】【分析】〔1〕由數(shù)列是等差數(shù)列，利用與之間的關(guān)系，即可求得；〔2〕利用裂項(xiàng)求和求解即可得到.19.〔2021·長(zhǎng)春模擬〕數(shù)列中，，，設(shè).〔Ⅰ〕求證：數(shù)列是等差數(shù)列；〔Ⅱ〕求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】解：〔Ⅰ〕證明：當(dāng)時(shí)，，所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可知，，所以，所以【考點(diǎn)】等差關(guān)系確實(shí)定，數(shù)列的求和，數(shù)列遞推式【解析】【分析】〔1〕證明〔為常數(shù)〕即可；〔2〕將采用裂項(xiàng)的方式先拆開(kāi)，然后利用裂項(xiàng)相消的求和方法求解.20.〔2021高二上·吳起期末〕為等差數(shù)列,其前項(xiàng)和為,為等比數(shù)列,滿(mǎn)足:,,,〔1〕求和;〔2〕設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】〔1〕解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列公比為q,因?yàn)?,,所以,所以,所以,,〔2〕解：由(1)知,,,所以,所以【考點(diǎn)】數(shù)列的求和，等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合【解析】【分析】(1)根據(jù)條件列出關(guān)于公差d和公比q的方程,解方程可得d和q,進(jìn)一步得到和;(2)根據(jù)(1)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,然后利用分組求和法求出其前n項(xiàng)和.21.〔2021·海南模擬〕數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.〔1〕證明：數(shù)列為常數(shù)列.〔2〕求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】〔1〕證明：當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，由①，得②，①-②得，，所以，因?yàn)椋?，所以，故?shù)列為常數(shù)列；〔2〕解：由〔1〕知，，所以，所以.【考點(diǎn)】數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法，數(shù)列的求