滬科版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)大全

如果別人思考數(shù)學(xué)的真理像我一樣深入持久，他也會(huì)找到我的發(fā)現(xiàn)。——高斯

七年級(jí)數(shù)學(xué)（下）期末復(fù)習(xí).................................................................-1-

前言.......................................................................................-1-

第六章實(shí)數(shù)............................................................................-2-

一、平方根與立方根....................................................................-2-

1、平方根.........................................................................-2-

2、算術(shù)平方根.....................................................................-2-

3、立方根.........................................................................-2-

二、實(shí)數(shù)..............................................................................-2-

三、解題實(shí)用..........................................................................-2-

四、典題練習(xí)..........................................................................-2-

第七章一元一次不等式與不等式組.........................................................-3-

一、不等式及其性質(zhì)....................................................................-3-

四、一元一次不等式（組）解決實(shí)際問(wèn)題.................................................-4-

五、解題技巧..........................................................................-5-

1、有解無(wú)解問(wèn)題：................................................................-5-

2、特征解問(wèn)題：...................................................................-5-

六、典題練習(xí)..........................................................................-5-

第八章整式乘除與因式分解................................................................-6-

一、事的運(yùn)算：........................................................................-6-

二、整式乘法：........................................................................-6-

三、完全平方公式與平法差公式.........................................................-7-

四、整式除法..........................................................................-7-

五、因式分解...........................................................................-7-

六、典題練習(xí)...........................................................................-8-

第九章分式..............................................................................-8-

一、分式及其性質(zhì).......................................................................-8-

二、分式運(yùn)算...........................................................................-9-

三、分式方程...........................................................................-9-

四、分式應(yīng)用...........................................................................-9-

五、分式解題中常用的數(shù)學(xué)思想和技巧....................................................-9-

六、典題練習(xí)..........................................................................-10-

第十章相交線、平行線與平移.............................................................-12-

一、相交線...........................................................................-12-

二、平行線............................................................................-12-

三、平移.............................................................................-13-

七年級(jí)數(shù)學(xué)（下）期末復(fù)習(xí)

刖言

數(shù)學(xué)是一門研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間模型等概念的學(xué)科；數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵就是知

識(shí)和方法；知識(shí)是鎖眼，方法是鑰匙。缺少哪個(gè)都不能打開(kāi)題目這把鎖；那么我們的數(shù)學(xué)學(xué)

習(xí)也要針對(duì)這兩點(diǎn)進(jìn)行。

一、掌握課本知識(shí)內(nèi)容及內(nèi)涵

數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)解題的基石。只有掌握了課本知識(shí)的內(nèi)容，理解知識(shí)的內(nèi)涵，才能更好地運(yùn)用它來(lái)解

決問(wèn)題。

二、多看例題

數(shù)學(xué)有的概念、定理較抽象，我們可以通過(guò)例題，將已有的概念具體化，使自己對(duì)知識(shí)

的理解更加深刻，更加透徹！看例題時(shí)，還要注意以下幾點(diǎn)：

1、看一道例題，解決一類問(wèn)題。不能只看皮毛，不看內(nèi)涵。我們看例題，要注意總結(jié)并掌握

其解題方法，建立起更寬的解題思路。不能看一道題就只會(huì)一道題，只記題目答案不記方

法，這樣看例題也就失去了它本來(lái)的意義。每看一道題目，就應(yīng)理清解題思路，掌握解題

方法，再遇到同類型的題目，我們就不在難了。既然有“授人以魚(yú)，不如授人以漁”，那么

我們是不是也可以說(shuō)“要魚(yú)不如要漁”呢！

2、我們不僅要看例題還要會(huì)總結(jié)，總結(jié)題型、解題思路和方法。運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想。最好

把總結(jié)的寫出來(lái)。以后復(fù)習(xí)時(shí)再看，就事半功倍了。

3、會(huì)模仿，也要?jiǎng)?chuàng)新。在看例題的解題時(shí)，首先想自己遇到這個(gè)題怎么做，然后看例題怎么

解答的，之后我們還要思考還有沒(méi)有其它方法和思路。我們最后看哪種方法更簡(jiǎn)便。

三、多做練習(xí)

“多’講的是題型多，不是題目數(shù)量多。不怕難題，就怕生題。題海戰(zhàn)術(shù)不一定好，但是接

經(jīng)過(guò)大海的一番磨礪，卵石才變得更加美麗光滑。

觸的題型多了，總結(jié)的解題方法多了。以后遇到相同類型的題目也就不怕了。

四、心細(xì)，多思，善問(wèn)，勤總結(jié)

數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，做題目時(shí)要細(xì)心，一個(gè)符號(hào)之差，題目的解就可能完全不一樣了，遇到

問(wèn)題要多思考，培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)思維，思考實(shí)在不會(huì)的，我們就要問(wèn)，去弄懂。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們要會(huì)總結(jié)，還要勤總結(jié)。多總結(jié)知識(shí)內(nèi)容，總結(jié)解題方法，解

題思想。一方面能夠起到復(fù)習(xí)鞏固的作用，另一方面能提高自己的自學(xué)能力。

數(shù)學(xué)的四大思維體系：數(shù)形結(jié)合、函數(shù)思想、分類討論、方程思想。

經(jīng)過(guò)大海的一番磨礪，卵石才變得更加美麗光滑。

第六章實(shí)數(shù)

一、平方根與立方根

1、平方根

(1)定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a,那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根，也叫做二次方根。

(2)表示：非負(fù)數(shù)a的平方根記作士JI,讀作“正負(fù)根號(hào)a”,(a叫做被開(kāi)方數(shù))

(3)性質(zhì)：正數(shù)的平方根有兩個(gè)，且互為相反數(shù)；0的平方根為0;負(fù)數(shù)的沒(méi)有平方根。

(4)開(kāi)平方：求平方根的運(yùn)算叫做開(kāi)平方。

I、平方根是開(kāi)平方的結(jié)果；II、開(kāi)平方與平方互為逆運(yùn)算。

2、算術(shù)平方根

(1)定義：正數(shù)a的正的平方根而叫做a的算術(shù)平方根，0的算術(shù)平方根是0。

(2)性質(zhì)：(1)一個(gè)數(shù)a的算術(shù)平方根具有非負(fù)性；即:、520恒成立。

(2)正數(shù)的算術(shù)平方根只有1個(gè)，且為正數(shù)；0的算術(shù)平方根是0;

負(fù)數(shù)的沒(méi)有算術(shù)平方根。

3、立方根

(1)定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)的立方等于a,那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根，也叫做三次方根。

(2)表示：a的立方根記作加’，讀作"三次根號(hào)a”(a叫做被開(kāi)方數(shù)，3叫根指數(shù))

(3)性質(zhì)：正數(shù)的立方根是1個(gè)正數(shù)；負(fù)數(shù)的立方根是1個(gè)負(fù)數(shù)；0的立方根是0o

二、實(shí)數(shù)

1、無(wú)理數(shù)：無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)。(一個(gè)無(wú)理數(shù)與若干有理數(shù)之間的運(yùn)算結(jié)果還是無(wú)理數(shù))

2、實(shí)數(shù)：有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。

3、實(shí)數(shù)分類:(1)按定義分(略)(2)按正負(fù)性分(略)

4、實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。

5、實(shí)數(shù)的相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)：(與有理數(shù)的相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)意義類似)

經(jīng)過(guò)大海的一番磨礪，卵石才變得更加美麗光滑。

6、實(shí)數(shù)的運(yùn)算：實(shí)數(shù)與有理數(shù)一樣，可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方運(yùn)算，正數(shù)及零可以進(jìn)行開(kāi)平

方運(yùn)算，任意一個(gè)實(shí)數(shù)可以進(jìn)行開(kāi)立方運(yùn)算，而且有理數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律對(duì)于實(shí)數(shù)仍然適用。

7、實(shí)數(shù)大?。海?）正數(shù)＞0＞負(fù)數(shù)；（2）兩個(gè)負(fù)數(shù)相比，絕對(duì)值大的反而小；絕對(duì)值小的反而大。（3）

數(shù)軸上不同的點(diǎn)表示的數(shù)，右邊點(diǎn)表示的數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大。

8、實(shí)數(shù)比較大小的方法：作差法、平方法、作商法、倒數(shù)法、估值法?

三、解題實(shí)用

1、72?1.41421用1.732入2.236

2、-\[a^=|tz|=(Va)=a

a

3、Va-4b-4ab八0）

4b^\b

四、典題練習(xí)

1、Ji%的平方根是『的算術(shù)平方根是;-32的立方根是

2、如果一個(gè)有理數(shù)的算術(shù)平方根與立方根相同，那么這個(gè)數(shù)是;如果一個(gè)

有理數(shù)的平方根與立方根相同，那么這個(gè)數(shù)是O

3、一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根是X,則與他相鄰的下一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根是

4、下列各數(shù)中一定為正數(shù)的是（填序號(hào)）

①X②Jx+1③X?④Vx+1⑤Vx+1

5、當(dāng)x〈-1時(shí)，X?,-x,-x3和工的大小關(guān)系。

X

6、比較下列各組數(shù)的大小

（1）2-右與2-也（2）13與77（3）3石與2布（4）-,與-工

52〃7

7、J7-后的絕對(duì)值為，相反數(shù)為，倒數(shù)為o

8、已知岡=3,y為4的平方根，xy＜0，求x+y的值。

9、已知Jx+3+正工=0，求x2+y的平方根。

經(jīng)過(guò)大海的一番磨礪，卵石才變得更加美麗光滑。

10、如果一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根為2a"和a-5,則這個(gè)數(shù)是。

11、a為的整數(shù)部分，b為布的小數(shù)部分，則a+2b的值為。

12、若|2011-a|+Ja-2012=a，試求2-201戶的值。（提示：找出題中的隱含條件）

第七章一元一次不等式與不等式組

一、不等式及其性質(zhì)

1、不等式：

（1）定義：用（或“v”），“>”（或，。等不等號(hào)表示大小關(guān)系的式子,叫做不等式.用峰”表示不等關(guān)系的

式子也是不等式.

（2）不等式的解：能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。

（3）不等式的解集：一般地，一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個(gè)不等式的解集。求不等式

的解集的過(guò)程叫做解不等式。

不等式的解集與不等式的解的區(qū)別：解集是能使不等式成立的未知數(shù)的取值范圍，是所有解的集合,

而不等式的解是使不等式成立的未知數(shù)的值。

二者的關(guān)系是：解集包括解，所有的解組成了解集。

（4）解不等式：求不等式解的過(guò)程叫做解不等式。

2、不等式的基本性質(zhì)

性質(zhì)1:不等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變。

即：如果a>b,那么a±c>b土c.

性質(zhì)2:不等式的兩邊都乘上（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變。

即：如果a>b,并且c>0,那么ac〉bc;.

cc

性質(zhì)3:不等式的兩邊都乘上（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變。

艮口：如果a>6,并且c<0,那么ac<bc;—<—.

cc

性質(zhì)4:如果a>b,那么b<。（對(duì)稱性）

經(jīng)過(guò)大海的一番磨礪，卵石才變得更加美麗光滑。

性質(zhì)5:如果a那么a>c.（傳遞性）

二、一元一次不等式

1、定義：含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1,且不等號(hào)兩邊都是整式的不等式叫做一元一次不等式

2.一元一次不等式的解法：

根據(jù)是不等式的基本性質(zhì)；一般步驟為：（1）去分母（2）去括號(hào)（3）移項(xiàng)（4）合并同類項(xiàng)（5）系數(shù)化為1.

解不等式應(yīng)注意：①去分母時(shí)，每一項(xiàng)都要乘同一個(gè)數(shù)，尤其不要漏乘常數(shù)項(xiàng)；②移項(xiàng)時(shí)不要忘

記變號(hào)；③去括號(hào)時(shí)，若括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括號(hào)里的每一項(xiàng)都要變號(hào)；④在不等式兩邊都乘（或除以）

同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向要改變。

3.不等式的解集在數(shù)軸上表示：

（1）邊界：有等號(hào)的是實(shí)心圓圈，無(wú)等號(hào)的是空心圓圈；（2）方向：大向右，小向左

三、一元一次不等式組

1、定義：有幾個(gè)含有同一個(gè)未知數(shù)的一元一次不等式組成的不等式組，叫做一元一次不等式組

2、（一元一次）不等式組的解集：這幾個(gè)不等式解集的公共部分，叫做這個(gè)（一元一次）不等式

組的解集。

3、解不等式組：求不等式組解集的過(guò)程，叫做解不等式組。

4、一元一次不等式組的解法

1）分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集

2）利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個(gè)不等式組的解集。

由兩個(gè)一元一次不等式組成的不等式組的解集可歸納為下面四種情況：

不等式組（a<。）解集口訣記憶

Ja

x>b同大取大

Jxva

x<a同小取小

lxvZ?

經(jīng)過(guò)大海的一番磨礪，卵石才變得更加美麗光滑。

Jx>a

IxvZ?a<x<Z?大小小大中間找

Ixva

無(wú)解大大小小則無(wú)解

四、一元一次不等式（組）解決實(shí)際問(wèn)題

解題的步驟：

⑴審題，找出不等關(guān)系f⑵設(shè)未知數(shù)f⑶列出不等式（組）f

⑷求出不等式的解集f⑸找出符合題意的值f⑹作答。

五、解題技巧

1、有解無(wú)解問(wèn)題:

Jx>(z(有解：a<b)x>a（有解：a<b

n

(1Al無(wú)解：a>b(2)[x<bl無(wú)解：a>b

(x><2,有解:a<Z?

(3)1x幼Ol無(wú)解:a>b

2、特征解問(wèn)題:

解題步驟：把原式中的要求的量（以下簡(jiǎn)記為m）當(dāng)作已知數(shù)，去解原式——>得到原式的解（含

m）———根據(jù)解的特征列出式子（關(guān)于m的式子）——>解出m的值。

例：已知a+x22x+l的解集為xKl,求a的值。

解：解不等式a+無(wú)22尤+1?把a(bǔ)當(dāng)作已知數(shù)，去解原式

得x<。一1?得到原式的解（含a）

貝I」a-1=1?根據(jù)解的特征列出式子

解得a=2,解出a的值

六、典題練習(xí)

Jx<m+1

1、若關(guān)于x的不等式1XN2〃Z-1有解，則m的取值范圍是？若無(wú)解呢？

經(jīng)過(guò)大海的一番磨礪，卵石才變得更加美麗光滑。

)2x+y=l-m

2、已知關(guān)于x,丫的方程組\x+2y=2的解滿足x+y>0,求m的取值范圍。

3、適當(dāng)選擇a的取值范圍，使1.7<x<a的整數(shù)解：

(1)x只有一個(gè)整數(shù)解；(2)x一個(gè)整數(shù)解也沒(méi)有。

4、解不等式(組)

2+4x〉3x—7,3x—32x+l

2x-5<3x,---->X,

(1)x-2x(2)6x-3〉5x-4,(3)23

----->—?

[2-------33x—7<2x—3.-[x-2(x+3)]<l.

3y-82(10-y),

(4)-5<6-2x<35y----<-------—+1.

“37

5、若m、〃為有理數(shù)，解關(guān)于x的不等式(-/7?2-1)X>/7.

6、已知關(guān)于x,y的方程組+='+的解滿足x>y,求0的取值范圍。

4x+3y=p-1

，x-

7、已知關(guān)于x的不等式組12x-4>5的整數(shù)解共有3個(gè)，求b的取值范圍。

8、已知Z=2A2+3X+2,B=2★-4x-5,試比較Z與6的大小。

3x—4〉a

9、已知a是自然數(shù)，關(guān)于x的不等式組一-'的解集是x>2,求a的值。

[尤-2〉0

10、某種商品進(jìn)價(jià)為150元，出售時(shí)標(biāo)價(jià)為225元，由于銷售情況不好，商品準(zhǔn)備降價(jià)出售，但要保證

利潤(rùn)不低于10%,那么商店最多降價(jià)多少元出售商品？

11、某零件制造車間有20名工人，已知每名工人每天可制造甲種零件6個(gè)或乙種零件

5個(gè)，且每制造一個(gè)甲種零件可獲利150元，每制造一個(gè)乙種零件可獲利260元。在這

20名工人中，車間每天安排x名工人制造甲種零件，其余工人制造乙種零件。

(1)若此車間每天所獲利潤(rùn)為y(元)，用x的代數(shù)式表示V。

(2)若要使每天所獲利潤(rùn)不低于24000元，至少要派多少名工人去制造乙種零件？

12、某學(xué)校計(jì)劃組織385名師生租車旅游，現(xiàn)知道出租公司有42座和60座客車，42座

客車的租金為每輛320元，60座客車的租金為每輛460元。

經(jīng)過(guò)大海的一番磨礪，卵石才變得更加美麗光滑。

(1)若學(xué)校單獨(dú)租用這兩種客車各需多少錢？

(2)若學(xué)校同時(shí)租用這兩種客車8輛(可以坐不滿)，而且比單獨(dú)租用一種車輛節(jié)省

租金，請(qǐng)選擇最節(jié)省的租車方案。

第八章整式乘除與因式分解

一、事的運(yùn)算：

1、同底數(shù)幕乘法:同底數(shù)幕相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加。aman=am+n

2、同底數(shù)塞除法：同底數(shù)幕相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。ala"=尸

3、幕的乘方：幕的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。(“中=*

4、積的乘方：積的乘方等于各因式乘方的積。(ab)m=ambm

注：(1)任何一個(gè)不等于零的數(shù)的零指數(shù)幕都等于1;a°=la/0

(2)任何一個(gè)不等于零的數(shù)的-p(p為正整數(shù))指數(shù)幕，

等于這個(gè)數(shù)的p指數(shù)嘉的倒數(shù)。ap=—awO

ap

(3)科學(xué)記數(shù)法：c=±axlO"或c=±axl(T(l<a<10)

5、科學(xué)計(jì)數(shù)法：絕對(duì)值小于1的數(shù)可記成土axl(T的形式，其中"a<10,n是正整數(shù)，n等于

原數(shù)中第一個(gè)有效數(shù)字前面的零的個(gè)數(shù)(包括小數(shù)點(diǎn)前面的一個(gè)零k

二、整式乘法：

1、單項(xiàng)式的乘法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)幕分別相乘，作為積的因式；對(duì)于

只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。

2、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別

相乘，再把所得的積相加。

3、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)與另一

個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別相乘，再把所得的積相加。

經(jīng)過(guò)大海的一番磨礪，卵石才變得更加美麗光滑。

三、完全平方公式與平法差公式

1、完全平方公式：(a+>y=a2+2ab+Z?2(a-bf-2ab+b2

語(yǔ)言表示：兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方，等于這兩個(gè)數(shù)的平方和加(或減)這兩個(gè)數(shù)乘積的兩倍。

2、平法差公式：a2-b2=(a+bla-b)(兩個(gè)數(shù)的平方之差等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差之積。)

四、整式除法

1、單項(xiàng)式的除法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)幕分別相除，作為商的因式；對(duì)

于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。

2、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的除法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相除，先把多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這

個(gè)單項(xiàng)式再把所得的商相加。

五、因式分解

1、定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)因式的乘積的形式，叫做因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)

式分解因式。

2、分解因式的基本方法：

(1)提公因式法

(2)公式法：運(yùn)用完全平方公式和平法差公式

(3)對(duì)于二次三項(xiàng)式的因式分解的方法：

1)配方法，2)十字相乘法：公式x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

例：將/+4x+3因式分解。

方法一：配方法：原式=%2+4x+4-4+3=(x+2)2-l=(x+l)(x+3)

方法二：十字相乘法：JC2+4x+3=(x+lXx+3)

(4)分組分解法

3、分解因式的技巧：

(1)因式分解時(shí)，有公因式要先提公因式，然后考慮其他方法；

經(jīng)過(guò)大海的一番磨礪，卵石才變得更加美麗光滑。

(2)因式分解時(shí)，有時(shí)項(xiàng)數(shù)較多時(shí)，看看分組分解法是否更簡(jiǎn)潔

(3)變形技巧：

①符號(hào)變形：I、x-y=-(y-x)

Ik當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，(x-y)"=-(y-x)n

Ilk當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)(x-y)"=(y-x)"

②增項(xiàng)變形：例：4X4+1^>4X4+1+4X2-4X2^-(4X4+4X2+1)-4X2

③拆項(xiàng)變形：例+2x?-IfX3+必+X2-1(x3+x2)+(x2-1).x2(x+l)+(x/xx+l)―…

六、典題練習(xí)

1、計(jì)算題

(1)(a-2b)2.(2Z?-tz)5(2乂2x)3⑶卜心丫(4)a5-a2m(5)(3xlO5)2-QxlO3J

(6)(x+2y)4-?(-x-2y)3x(x+2y)2

2、快速計(jì)算:(1)103x97(2)1022(3)992

3、2m=4,4n=16,求22m”的值。

4、如果2mn-=64成立，那么m=,n=。

5、在括號(hào)內(nèi)填上指數(shù)和底數(shù)

(1)伊卜哪)(2)僅]=()2

6、化簡(jiǎn)求值：已知x?-2x=3，求(x/y+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-l)的值。

7、已知2x+5y=4，再求4*?32,的值。

8、已知a+b=3,ab=-5,求代數(shù)式的值:(1)a2+/J2(2)(a-b)2

9、因式分解：1)d+2/-5x-62)x2-y2+ax+ay3)a4+4Z?4

10、上匕較9999x9993與99962的大小。

J2m+n=6

11、不解不等式組\m-3n=].，求7〃(加-3〃)2-2(3〃-加F的值。

經(jīng)過(guò)大海的一番磨礪，卵石才變得更加美麗光滑。

第九章分式

-■、分式及其性質(zhì)

1、分式

（1）定義：一般的，如果a,b表示兩個(gè)整式，并且b中含有字母，那么式子?叫做分式；其中a叫

b

做分式的分子，b叫做分式的分母。

（2）有理式：整式和分式統(tǒng)稱為有理式。

（3）分式值=0=分子=0,且分母*0（分式有意義，則分母工0）

（4）最簡(jiǎn)分式：分子和分母沒(méi)有公因式的分式。

2、分式的性質(zhì)

分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變

即：色=佇"="生（a,b,m都是整式，且）

bb-mb+m

分式的性質(zhì)是分式化簡(jiǎn)和運(yùn)算的依據(jù)。

3、約分：把一個(gè)式子的分子分母的公因式約去叫做約分。

注：約分的結(jié)果應(yīng)為最簡(jiǎn)分式或整式。

4、約分的方法：

1）若分子、分母均為單項(xiàng)式：先找分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)，再找相同字母最低次幕；

2）若分子、分母有多項(xiàng)式：先把多項(xiàng)式因式分解，再找分子、分母的公因式。

二、分式運(yùn)算

1、分式的乘除

1）分式乘法法則：兩分式相乘，用分子的積做分子，分母的積做分母；即：-x-=—

bdbd

2）分式除法法則：兩分式相除，將除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘；

acadad

即an:一+一=一x—二——

bdbcbe

經(jīng)過(guò)大海的一番磨礪，卵石才變得更加美麗光滑。

3）分式乘方法則：分式的乘方就是分子分母分別乘方。即：用今，蜀=（向）"

2、分式的加減

1）同分母分式加減：分母不變分子相加減；即：-+-=—（bwo）

bbb''

2）異分母分式加減：先通分，變?yōu)橥帜傅姆质较嗉訙p，

a.cad.bead±bc（.,小

即nn：一±—=——±—=-------（bdwO）

bdbdbdbd

三、分式方程

1、定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。

2、解法：

1）基本思路：分式方程轉(zhuǎn)化＞整式方程

2）轉(zhuǎn)化方法：方程兩邊都乘以各個(gè)分式最簡(jiǎn)公分母，約去分母。

3）一般步驟：分式方程整式方程一＞解整式方程一＞檢驗(yàn)

注：檢驗(yàn)的是必不可缺的關(guān)鍵步驟，檢驗(yàn)的目的是看是否有增根存在。

四、分式應(yīng)用

列分式方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：審題—設(shè)未知數(shù)，找等量關(guān)系一列方程

-?檢驗(yàn)（①是否有增根，②是否符合題意）.得出答案

五、分式解題中常用的數(shù)學(xué)思想和技巧

1、已知工+4=5,求2什3沖+2），的值。（整體思想、構(gòu)造法）

xyx+2xy+y

2、已知±=±,求3x、5盯+2y；的值。整體思想、構(gòu)造法）

y32必+3孫-5：/

3、已知a>c=l,求--—+—-—+—-—的值。

1+a+ab1+b+bc1+c+ca

4、已知--1—=—,—F—=一,—H--=一，求------------（先求--1---F—的值,然向第1題做法）

ab6bc9ca15ab+bc+acabc

丫2+[1丫2+]]

5、已知^—=4,求V+r的值。（提示—=x+—）

XXXX

經(jīng)過(guò)大海的一番磨礪，卵石才變得更加美麗光滑。

+cc+aa+babc

6、已知-----=------=------，求的值。（提示：參數(shù)法）

ab(a+&)(￡>+c)(o+c)

X2

7、已知—=1,求的值。（倒數(shù)求值法）

X-X+1x4+x2+1

已知/_5%+1=0，求一+二的值。(提示：由%2-5%+1=0得%+L=5)

8、

Xx

黑卓二的值。

9、已知4x-3y-6z=0,x+ly-lz=0,求

2x2-3y2-10z2

（提示：消元代入法，把其中一個(gè)未知數(shù)看成常數(shù)，用它表示其它的未知數(shù)）

他計(jì)算⑴（提示：用字母代替數(shù)）

2)；+124

----1----7----7（提示：局部通分）

1-X1+X1+X1+X

-、x+2x+3x-4x-5龍+2I

3)---------------+——（提示：假分式可先變形——=1+——）

x+1x+2x-3x-4x+1x+1

六、典題練習(xí)

1、如果分式畢0的值為0那么X的值是

2、在比例式9:5=4:3x中x=

x+5%

計(jì)算:'二O

3、

1+x1-x

當(dāng)分式g與分式廠+,3x+2的值相等時(shí),x須滿足

4、

x-lx—1

把分式2x+2），中的X,y都擴(kuò)大2倍，則分式的值

o（填擴(kuò)大或縮小的倍數(shù)）

a3x—ym2+n2m+1a2-2ab+b1

、下列分式中，最簡(jiǎn)分式有個(gè)。

63x2，%2+y2，加2—〃2，加2_］，〃2_2ab—/

22

分式方程'4

7、F—的解是o8、若2x+y=0,則X+孫+?的值為

x—3x+3X2-92xy-x

22

Tr一-二l有意義？r-l

9、當(dāng)x為何值時(shí)，分式10、當(dāng)冗為何值時(shí)，分式F--------的值為零？

x—x—2x—x—2

2r+1

11、已知分式上二:當(dāng)小時(shí)，分式?jīng)]有意義；當(dāng)x=時(shí)，分式的值為0;當(dāng)x=-2時(shí)，分

x-2

時(shí)，關(guān)于x的方程2g=?的解是x=i。

式的值為12、當(dāng)2=

a-x4

經(jīng)過(guò)大海的一番磨礪，卵石才變得更加美麗光滑。

13、一輛汽車往返于相距akm的甲、乙兩地，去時(shí)每小時(shí)行mkm,返回時(shí)每小時(shí)行nkm,則往返一次

所用的時(shí)間是O

14、某班a名同學(xué)參加植樹(shù)活動(dòng)，其中男生b名(b<a),若只由男生完成，每人需植樹(shù)15棵；若只由女生

完成，則每人需植樹(shù)棵。

15、當(dāng)時(shí)，分式一堂的值與分式小3的值互為倒數(shù)。

x+1x+5

Y—81

16、若方程-一二=8有增根，則增根是____________o

x—77—x

17、若0=2,則網(wǎng)土2的值是。18、已知3a+1=0,求的值。

b3b-------------tz4+1

19、已知x+^=3,貝ijx2+±=20、已知工—工=3，則分式213孫-,

xxxyx-2xy-y

21、化簡(jiǎn)求值.

⑴(任白1-X31

)+(1——),其中x=--(2)7^“一2+”)，其中*=5

%-12

22、解方程：

…105c,c、23x+3

(1)------1------=2\(2)----------=-----o

2x-11-2xx-1x+1x2-l

?y一切I

23、已知方程*生=1+」,是否存在根的值使得方程無(wú)解？若存在，求出滿

Xx~-xx-1

足條件的根的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

24、若;=：=(,且3x+2y—z=14，求x、y、z的值。

25、小亮在購(gòu)物中心用12.5元買了若干盒餅干，但他在一分利超市發(fā)現(xiàn)，同樣的餅干，這里要比購(gòu)物中

心每盒便宜0.5元.因此當(dāng)他第二次買餅干時(shí)，便到一分利超市去買，如果用去14元，買的餅干盒數(shù)比

2

第一次買的盒數(shù)多g，問(wèn)他第一次在購(gòu)物中心買了幾盒餅干？

第十章相交線、平行線與平移

一、相交線

1、對(duì)頂角：兩條直線相交，有公共頂點(diǎn)且兩邊互為反向延長(zhǎng)線的角叫對(duì)頂角。

經(jīng)過(guò)大海的一番磨礪，卵石才變得更加美麗光滑。

對(duì)頂角性質(zhì)：對(duì)頂角相等

2、垂直:

(1)定義：兩條直線相交所成的四個(gè)角中，如果有一個(gè)角是直角，就說(shuō)明兩條直線相互垂直。記作

AB±CD;垂直的兩條直線其中一條直線叫做另一條直線的垂線；

它們的交點(diǎn)叫做垂足；連接直線外一點(diǎn)與垂足形成的線段叫做垂線段。

注：1)垂直是相交的一種特殊的情況；

2)兩條線段垂直，垂足可能在線段上，也可能在延長(zhǎng)線上。

(2)性質(zhì)：在同一平面內(nèi),過(guò)一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線垂直。

3、點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離。

在連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的線段中，垂線段最短。

4、垂線的畫法：略

二、平行線

1、定義：在同二生畫內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線。記作AB||CD。

在同一平面內(nèi)，兩條直線的關(guān)系不是相交就是平行，沒(méi)有其他。

2、相關(guān)概念：同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角。

3、性質(zhì)：

基本性質(zhì)：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線平行于這條直線。

其他性質(zhì)：①兩直線平行，同位角相等；

②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線位置關(guān)系性質(zhì)＞角的關(guān)系

③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

4、平行判定：①同位角相等，兩直線平行；

②內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；角的關(guān)系判定》兩直線位置關(guān)系

經(jīng)過(guò)大海的一番磨礪，卵石才變得更加美麗光滑。

③同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。

5、平行線的畫法：略

三、平移

1、定義：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這個(gè)圖形的變換叫做平移。

2、性質(zhì)：1）一個(gè)圖形和它經(jīng)過(guò)平移后所得到的圖形中，兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連接的線段平行

（或在同一直線上）且相等；

2）平移只改變圖形的位置，不改變圖形的大小和形狀。

2、確定平移的要素：1）方向；2）距離。

四、典題練習(xí)

1、如圖所示，下列判斷正確的是（）

（D（2）0）（4）

A、圖⑴中和/2是一組對(duì)頂角B、圖⑵中和/2是一組對(duì)頂角

C、圖⑶中和/2是一對(duì)鄰補(bǔ)角D、圖⑷中/和/2互為鄰補(bǔ)角

2、下列說(shuō)法中正確的是（）

A、有且只有一條直線垂直于已知直線；

B、直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段，叫做點(diǎn)到直線的距離；

C、互相垂直的兩條直線一定相交；

D、直線。外一點(diǎn)A與直線0上各點(diǎn)連接而成的所有線段中，最短線段的長(zhǎng)是3cm