滬教版 八年級(上)數(shù)學(xué) 秋季課程 第18講 直角三角形的判定、性質(zhì)和推論(解析版)

直角三角形的全等判定及性質(zhì)

內(nèi)容分析

直角三角形是特殊的三角形，本節(jié)主栗討論直角三角形全等的判定定理和性

質(zhì)，難點(diǎn)是直角三角形的性質(zhì)及應(yīng)用.綜合性較強(qiáng)，會牽涉到輔助線的添加，連

接中線，將散落的條件集中到直角三角形中進(jìn)行求解.

加知識結(jié)構(gòu)

模塊一：直角三角形全等的判定

知識精講

1、直角三角形全等的判定方法:

(1)直角三角形是特殊的三角形，對于一般三角形全等的判定方法，直角三角形都

適用;

(2)直角三角形還有一個特殊的判定方法：有一條直角邊和斜邊對應(yīng)相等的兩個直

角三角形全等(簡記L”).

例題解析

【例1】如圖，ZD=ZC=90°,請?zhí)砑右粋€條件，使得ZVIBC義ARW,并在括號內(nèi)寫出判

定的依據(jù).DC

⑴AD=()；

(2)ZDAB=()./

【答案】BC,H.L；ZCBA,AAS./

【解析】(1)有一條直角邊和斜邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全V-----------------------------

A

(2)兩角及其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

【總結(jié)】考查直角三角形全等判定及三角形全等判定定理.

【例2】已知：如圖，EFLAD,BCLAD,AG=DH,AF=DC,那么圖中全等的三角形共有

______對.

EB

【例3】下列命題中，正確的個數(shù)是()

①兩條邊分別相等的兩個直角三角形全等；

②斜邊和直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等；

③斜邊相等的兩個等腰直角三角形全等.

A.3B.2C.1D.0

【答案】B

【解析】①錯誤；②、③正確.

【總結(jié)】考查直角三角形全等的判定定理.

【例4】已知：如圖，AC±BC,ADLBD,AD=BC,CELAB,DFLAB,垂足分另U是E、F,

求證：CE=DF.

A

EFB

【解析】-AC±BC,AD±BD,

:.ZACB=ZBDA=90°

在RTAACB和RT^BDA中,

[AB=BA

\BC=AD

RTAACB絲RTABDA(H.L)

NCAB=ZDBA(全等三角形對應(yīng)角相等)，AC=BD(全等三角形對應(yīng)邊相等)

CE±AB,DF±AB:.ZAEC^ZBFD=90°

在RTAAEC和RTABFD中

ZAEC=NBFD

<ZCAB=NDBA,/.RT^AEC"RTABFD(A.A.S)

AC=BD

:.CE=DF（全等三角形對應(yīng)邊相等）

【總結(jié)】考查直角三角形全等判定及三角形全等判定定理的綜合應(yīng)用.

【例5】如圖，已知：中，/ACB是直角，。是AB上一點(diǎn)，BD=BC,過。作A?

的垂線交AC于求證：CD_LBE.

【解析】ZACB=90°,DELAB,ZECB=ZEDB=90°.

在RTABEC和RTABED中，

[BE=BE,

\:.RTABEC與RI\BED（H.L）

[BC=BD

:.EC=ED（全等三角形對應(yīng)邊相等）

在CD的垂直平分線上（垂直平分線逆定理）

又?.?BC=8D（已知），.13也在CD的垂直平分線上（垂直平分線逆定理）

.〔BE垂直平分CD（兩點(diǎn)確定一條直線），即COLBE.

【總結(jié)】考查直角三角形斜邊直角邊判定的用法以及垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理的應(yīng)用.

【例6】如圖，AABC中,AB±BC,AD平分NBAC,DF±AC,ED=CD.求證:AC=AE+2BE.

【解析】?.?AD平分NBAC,S.AB1BC,DFLAC

:.BD=FD（角平分線性質(zhì)定理）

BDC

在RTABED和RTAFCD中，

\ED=CD,、

\,:.RTABED冬RTAFCD(H.L)

[BD=FD

:.BE=FC(全等三角形對應(yīng)邊相等)

同理可證：RTAABDRTAAFD(H.L),

:.AB=AF(全等三角形對應(yīng)邊相等)

AC=AF+FC,AB=AE+BE,

:.AC=AE+2BE.

【總結(jié)】本題主要考查直角三角形全等判定與角平分線性質(zhì)的綜合應(yīng)用.

【例7】如圖1,點(diǎn)A、E、F、C在一條直線上，AE=CF,過￡、歹分另lj作DELAC,BFL

AC.若AB=C￡),

(1)BD與EF有什么關(guān)系?為什么？

(2)若變?yōu)閳D2所示位置，結(jié)論是否仍然成立?請說明理由.

【答案】(1)2。與所互相平分；

A

(2)成立.

【解析】(1)提示：證RTAABF義RTKDE(HZ)；

RTQEG絲RTABFG(AAS)

得：EG=FG,DG=BG(全等三角形對應(yīng)邊相等)

(2)同理可證，結(jié)論成立.

【總結(jié)】考查直角三角形全等的判定及全等三角形

的判定定理的應(yīng)用.一可

D

圖2

【例8】在直角△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,直線/為經(jīng)過點(diǎn)A的任一直線，BDM

于點(diǎn)D,CE，/于點(diǎn)E,若BD〉CE,試問：

(1)AO與CE的大小關(guān)系如何?請說明理由；

(2)線段8。、DE、CE之間的數(shù)量關(guān)系如何?你能說明清楚嗎?試一試.

【答案】(1)AD=CE-.(2)BD=CE+DE.

DC

【解析】(1)???za4c=90。，:.ZBAD+ZCAE=90°,

?;BD工1,CE±l,ZBDA=ZAEC=90°,

:.ZDBA+ZBAD=90°,:.ZDBA=ZEAC

在RTAABD和RTKAE中，

ABDA=NAEC

<AB=CA,:.RTAABD咨RTCAE(AS.A)

ZDBA=NEAC

:.AD=CE(全等三角形對應(yīng)邊相等)

(2)BD^CE+DE

■.■AD^CE,y.-.-AE^AD+DE,

AE=CE+DE

?.?R7\ABD沿RTKAE,

:.BD=AE

BD=CE+DE.

【總結(jié)】考查全等三角形的應(yīng)用及線段間的等量代換.

【例9】如圖，在△A2C中，AB=AC,DE是過點(diǎn)A的直線，BD_LDE于D,CE_LDE于E.

（1）若BC在DE的同側(cè)（如圖1）,1.AD=CE,求證：ABLAC.

（2）若BC在OE的兩側(cè)（如圖2）,其他的條件不變，問4B與AC仍垂直嗎?若是,

請予以證明，若不是，請說明理由.

【解析】（1）證明：CE±DE

.\ZBDA=ZAEC=90°.

在R7ZBDA和RT^AEC中，

(AB=CA/、

\，:.RT^ABD名RMCAE(//.￡)，

[AD=CE

ZDAB=ZECA.???ZAEC=90。，/.ZCAE+ZECA=90°,

:.ZCAE-^ZDAB=90°.,\ZBAC=90°,

:.AB±AC.

(2)AB±AC.

同理可證：RT^ABD咨RTACAE,則可證44c=90。，

即ABLAC.

【總結(jié)】考查直角三角形全等的判定及同角的余角相等相結(jié)合.

【例10]如圖，在△A3C中，ZACB=90°,CD是斜邊A3上的高，在A3上截取AE■二AC

過點(diǎn)E作￡尸〃CO、交3。邊于點(diǎn)尸，EG垂直3C于點(diǎn)G,求證：DE=EG,

【解析】聯(lián)結(jié)CE

-AE=AC,:.ZACE=ZAEC

???ZACB=90°,/.ZACE+ZECG=90°

\CD±AB,ZAEC-^-ZECD=90°

:.ZECD=ZECG

又?.CD_LAB,EGLBC

,\DE=GE

【總結(jié)】考查等邊對等角及角平分線性質(zhì)定理的綜合運(yùn)用.

模塊二：直角三角形的性質(zhì)

知識精講

2、兩個性質(zhì):

(1)直角三角形的兩個銳角互余；

(2)在直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半.如果有直角三角形，作斜邊的

中線這條輔助線，可達(dá)到解決問題的目的.

例題解析

【例11]如圖，在中，ZACB=90°,CD_L4B于。:

(1)若/B=55°，則/A=

(2)若/B—/A=10°,則

(3)圖中與NA互余的角有,與NA相等的角有.

【答案】(1)35°；(2)50°；(3)ZB、ZACD■,ZBCD.

【解析】直角三角形的兩個銳角互余，題目中有三個直角三角形AABC、AACD、ABCD.

【總結(jié)】直角三角形性質(zhì)1：直角三角形的兩個銳角互余的運(yùn)用.

【例12]如圖，已知，四邊形ABC。中，ZABC=ZADC=90°,M、N分別是AC、BD中

點(diǎn).求證：MNLBD.

【解析】聯(lián)結(jié)A/D、MB.\

ZABC=ZADC=90。，M分別是AC中點(diǎn)

I1B'C

:.BM=-AC,DM^-AC(直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半)

22

:.BM=DM,?.??/是中點(diǎn)，:.MN±BD(等腰三角形三線合一).

【總結(jié)】考查直角三角形斜邊中線性質(zhì)及等腰三角形三線合一性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

【例13]如圖，在中，ZC=90°,A3的中垂線交AB于￡、AC于。，BD、CE

交于F,設(shè)ZDFC=x,A

(1)求證：/CDB=/CEB；\

(2)用x的代數(shù)式表示y.\

【答案】⑴略；(2)y=60°-1x.

【解析】(1)?."ZC=90°,AB的中垂線交AB于E夕[夕

:.AE=BE=-AB,CE=-AB(直角三角形斜邊中線等于斜邊一半)CB

:.AE=CE,:.ZA=ZACE,:.NCEB=2ZA.

又TAB的中垂線交AB于E,;.AD=DB（垂直平分線的性質(zhì)）

:.ZA=ZABD,:.ZCDB=2ZA,:.CDB=ZCEB

（2）■.■ZA=y,ZDFC=x,ZA=ZACE,ZA=ZABD

又?；NCDB=ZA+ZABDNCDB=2y,ZACE=y

ZACE+ZCDB+ZDFC=180°.

即x+3y=180。，:.y=6Q°-^x

【總結(jié)】主要考查：直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和性

質(zhì)的綜合運(yùn)用.

【例14】如圖AABC中，AO是BC邊上的高，CF是AB邊的中線，BF^DC,P是CF

中點(diǎn).求證：（1）DPIFC；（2）ZB=1ZBCF.

【答案】略

【解析】（1）聯(lián)結(jié)DR

?.?AO是BC邊上的高，CF是AB邊的中線，BF=

；DF是直角AABD斜邊上的中線，:.DF=-AB,

2

-.BF=DC,:.DC=DF,又?.「是CF中點(diǎn)，:.DP±CF.

（2）-.BF=DF,:.ZB=ZBDF,:DF=DC,:.ZBCF=ZDFC.

NBDF=ZBCF+ZDFC=2ZBCF,:.ZB=2ZBCF.

【總結(jié)】考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，注意掌握直角三角形中，斜邊中線等于斜邊一半的

定理應(yīng)用.

【例15]如圖，AB,CD交于點(diǎn)。，且CA=CO,E、F、M分別是OD、。4、

BC的中點(diǎn)，求證：ME=MF.

【答案】略

【解析】聯(lián)結(jié)BE,CF

■,BD=BO,CA=CO,E、尸分別是。D、OA的中點(diǎn)

:.BELDO,CFLAO

???M是的中點(diǎn)

:.EM=-BC,FM=-BC（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）

22

:.EM=MF

【總結(jié)】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)與等腰三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

【例16]如圖，在梯形ABC。中，AD//BC,M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，若N3與

/C互余，則與(BC-AQ)的關(guān)系是什么?

【答案】MN=i（BC-AD）

【解析】過點(diǎn)M分別作ME/MB,MF//DC,

交3c于點(diǎn)E、F

:"B=NMEF,2C=4MFE,rNB與NC互余，:.ZMEF+ZMFE^90°,

:.ZEMF=9Q°,即AMEF為直角三角形.

?.?在梯形ABCO中，AD//BC,ME//AB,MF//DC,AM=BE,DM=CF,

-.-M,N分別是AD、BC的中點(diǎn)，AM=DM,BN=CN

:.BC-AD=BC-（BE+CF）=EF,EN=FN

:.MN=-EF:.MN=^（BC-AD）

2

【總結(jié)】考查直角三角形斜邊中線性質(zhì)的應(yīng)用.

【例17]如圖，已知在鈍角AABC中，AC.BC邊上的高分別是BE、AD,BE、AD的延

長線交于點(diǎn)〃，點(diǎn)AG分別是BH、AC的中點(diǎn).

(1)求證：ZFDG=90°；

(2)連結(jié)PG,試問AFDG能否為等腰直角三角形?若能，試確定NA3C的度數(shù)，并

寫出你的推理過程；若不能，請簡要說明理由.，

【解析】(1)證明：?「AC、8c邊上的高分別是BE、AD,

又?.,點(diǎn)F、G分別是①/、AC的中點(diǎn)，

.-.DG=CG=-AC,:.DF=BF=-BH(斜邊中線等于斜邊的一必、/

22

/.ZGDC=ZGCD=ZBCE,:.ZDBF=ZBDF,

AGDC+ZBDF=ZBCE+ZDBF,又?.?AE工BH,ZBCE+ZDBF=900'

ri

ZGDC+ZBDF=90°,即ZFDG=90°

(2)能，ZABC=45°.

若AGOF為直角等腰三角形，則GD=ED,.?.ACuB”,

:.@CD沿ABHD(A.A.S),:.AD=BD,.\ZABC^45°.

【總結(jié)】主要考查對直角三角形性質(zhì)的掌握，以及能否靈活的運(yùn)用.

【例18】如圖，等腰直角三角形ABC中，ZACB=90°,AO為腰CB上的中線，CE±AD

交AB于E.求證：ZCDA=ZEDB.

【解析】過點(diǎn)C作CHJ_回于點(diǎn)H,交AD于點(diǎn)尸.

,等腰直角三角形ABC中，ZACB=9Q°,

:.AB=45°.

■.■CHYAB,:.NACH=NBCH=45。,

:.ZACF=ZBCH=ZB

5L-：CE^AD,.-.Z1=Z2.

在AACF和ACBE中，

ZACF=ZB

<AC=CB,

Z1=Z2

.1△ACF=ACBE(AS.A),

CF=BE.

■：AD為腰CB上的中線，

CD=BD.

在ACFD和ABED中,

CF=BE

-ZDCF=ZB,

CD=BD

：.ACFD色ABED(SAS)

:.ZCDF=ZBDE,

即ZC7M=ZEDB.

【總結(jié)】考查學(xué)生對輔助線的添加及全等三角形的構(gòu)造能力.

【例19]如圖，點(diǎn)A、B、C在同一直線上，在直線AC的同側(cè)作△回￡和△8CF,連接

AF,CE,取ARCE的中點(diǎn)M、N,連接MB、NB、NM.

(1)若△ABE和△FBC是等腰直角三角形，且/尸BC=90°,如圖1所示，

則△MBN是三角形；

(2)若/XABE和△FBC中，BA=BE,BC=BF,S.ZABE=ZFBC=a,如圖2所示，

則叢MBN是______三角形，且ZMBN=；

(3)若(2)中的△A3E繞點(diǎn)2旋轉(zhuǎn)一定的角度，如圖3,其他的條件不變那么(2)

中的結(jié)論是否成立?若成立，給出你的證明，若不成立，寫出正確的結(jié)論并給出

證明.

【答案】(1)等腰直角；(2)等腰，e；(3)結(jié)論仍然成立.

【解析】(1)易證AAB尸之AEBC,AF=EC,

:.BM=BN,：.AAMBgAENB,/.ZMBA=ZNBE

ZMBA+ZMBF=90°,ZMBF+ZNBE=9Q0

即NMBN=90。，.?.△MBN為等腰直角三角形

AC

圖1

(2)根據(jù)題意，可知AABF咨AEBC,:.BM=BN

即4WBN為等腰三角形，■.■ZABM=ZEBN

:.ZABE=ZMBN=a,:.ZMBN=a

(3),:AABF名AEBC,■-AF=CE,ZAFB=ZECB

:.FM=CN,:.AMFB之ANCB

BM=BN,ZMBF^ZNBC

ZMBN=ZMBF+NFBN=ZFBN+ZNBC=ZFBC=a

【總結(jié)】本題考查了圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形和

全等三角形的判定.掌握等腰三角形和全等三角形的性

質(zhì)及判定并學(xué)會靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

【例20]已知，如圖，在AABC中，邊AB上的高CF邊BC上的高與邊CA上的高

BE交于點(diǎn)”，連接ERA"和BC的中點(diǎn)為N、M.

求證：MN是線段EF的中垂線.

【解析】連接9、EM、FN、EN

；4FC=9O。，M為3c的中點(diǎn)，Z.FM=-BC

2

VZBEC=90°,M為BC的中點(diǎn)，

：.EM=-BC,：.FM=ME

2

VZAFH^90°,N為AH的中點(diǎn)，：.FN=-AH

2

；NAEH=90。，N為AH的中點(diǎn)，：.EN=-AH,

2

：.FN=EN,VFM=ME,FN=EN

：.MN是線段EF的中垂線.

【總結(jié)】考察直角三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線性質(zhì)定理逆定理的綜合運(yùn)用.

模塊三：直角三角形性質(zhì)的推論

知識精講

3、推論:

(1)在直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊的一半;

(2)在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳

角等于30°.

例題解析

【例22】WABC中，AB=AC=6,ZB=30°,則BC邊上的高AO=；

(2)△ABC中，AB=AC,ABHM?；CD=-AB,則1頁角/BAC=

2

【答案】(1)3；(2)30?；?50。.

【解析】(1)在RTAABD中，乙?=30。，貝=

一2

(2)要分兩種情況考慮，△ABC可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形;

當(dāng)△ABC是銳角三角形時，440=30。；

當(dāng)△ABC是鈍角三角形時，44c=150。.

【總結(jié)】考查直角三角形性質(zhì)的兩條推論的運(yùn)用以及分類討論思想.

【例23]如圖，在矩形ABCD中，AB=2BC,在CD上取一點(diǎn)E,使AE=AB,則/EBC的

度數(shù)為.

【答案】15°.

【解析】過點(diǎn)E作垂足為H,則=

又?；AB=2BC,AE=AB,

:.AE=2EH,.-.ZE4B=30°

:.ZABE^15°,

:.ZEBC=15°

【總結(jié)】考查直角三角形性質(zhì)的推論的運(yùn)用：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的

一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°

【例24】已知：如圖，在△ABC中，BA=BC,ZB=120°,AB的垂直平分線MN交AC于

D,求證：AD=-DC.

2

【解析】連接8。

；BA=BC,ZB=120°,ZA=ZC=30°

?.?AB的垂直平分線MN交AC于D,AZ)=03,

ZA=ZD^4=30°

VZB=120°,ZDBC=120°-30°=90°

,/ZC=30°,ZDBC=90°,ABD=-DC

2

VAD=DB,：.AD=-DC

2

【總結(jié)】考察線段垂直平分線的性質(zhì)和直角三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

【例25】已知：如圖，RtAABCRtAABD+,DA=DB,ZADB=90°,BC=-AB,

2

ZACB=90°,DELAB,聯(lián)結(jié)DC,求N￡DC的大小.

【答案】75°.

【解析】連接CE

"DA=DB,DELAB,：.AE=EB

,JRt^ABC,BC=-AB,：.ZCAB=30°

2

RtAABC,AE=EB,：.AE=CE

：.ZCAB=ZACE,；.ZCEB=ZCAB+ZACE=60°

DELAB,：.ZDEC=90°-60°=30°

"RtAABC^WRtAABD,AE=EB

：.DE=^AB,CE^^AB,:.DE=CE

1QQO_QQO

ZDEC=30°,,??/EDC==75°

2

【總結(jié)】考察線段垂直平分線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

【例26］已知如圖，在直角△ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,。為AB上一點(diǎn),

且=求證：CZ)_LAB.

4

【答案】見解析

【解析】取的中點(diǎn)E,連接CE

"：BE=-AB,BD=-AB,

24

2BD=BE,：.ED=DB

ZACB=90°,ZA=30°,/?BC=-AB

2

ZACB=9Q°，AE=EB，ACE=-AB,:.BC=CE

2

,:BC=CE,ED=DB,：.CDLAB.

【總結(jié)】考察直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用及等腰三角形三線合一性質(zhì)的運(yùn)用.

【例27】已知等邊△ABC中，。、E分別是BC、AC上的點(diǎn)，且AE=CDAD與BE相交

于點(diǎn)F,過點(diǎn)3作2GLAD,垂足為G,

(1)求EG：的值;

(2)若￡＞、E分別在BC、CA的延長線上，其他條件都不變，上述結(jié)論是否仍然成立,

請說明理由.

G

B

【答案】（1）1：2；（2）見解析.

【解析】(1)VZACD=ZBAE,AE=CD,AB=CA,

△ABE當(dāng)△C4D,AZCAD=ZABE

'：ZCAD+ZBAF=60°,：.ZABE+ZBAF=60°

：.ZBFG=60°,ZFBG=30°

"：BG.LAD,：.FG=-BF,

2

BPFG：BF=1：2；

（2）若。、E分別在BC、CA的延長線上，其他條件都不變，也可以用同樣的方法證

明出兩個三角形全等，進(jìn)而得到結(jié)論.

【總結(jié)】考察直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用及利用三角形的外角性質(zhì)求角的度數(shù).

【例28】在ZABC中，已知/幺=60。，BE±ACE,C以LA3于尸，點(diǎn)。是BC中點(diǎn).

（1）如果AB=AC,求證△DEF為等邊三角形；

（2）如果那C,試猜想ZDEF是不是等邊三角形，若是，請加以證明，若不是，請說明

理由；A

（3）如果CM=4,FM=5,求BE的長度./\

【答案】（1）見解析；（2）是，理由見解析；（3）12.夕\

【解析】（1）點(diǎn)。是BC中點(diǎn)，DE=DC=^BC/

VCFXAB,點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，ADF=BF=-BC,：.DE=DFR---------Ac

2D

'：ZA=60°,AB=AC,.?.△ABC是等邊三角形，/.ZABC=ZACB=60P

'：DE=DC,ZACB=60°,/.ADEC是等邊三角形，/.ZEDC=60°

DF=DB,ZABC=60°,；.ABFD是等邊三角形，；.ZFDB=60°

ZFDE=180。—60。—60°=60°

DE=DF,：.ADEF為等邊三角形

（2）'：BE±AC,點(diǎn)。是BC中點(diǎn)，ADE=DC=-BC

2

,/CFLAB,點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，ADF=BF=-BC,：.DE=DF

2

"：ZA=60°,；.ZABC+ZACB=120°,

,/DE=DC,；.ZDEC=ZACB

"?DF=DB,：.ZDFB^ZABC,

ZFDE=180°-ZFDB-ZEDC

=180°-(180°-2ZABC)-(180°-2ZACB)

=2(ZABC+ZACB)-180°=60°

DE=DF,：.△D&F為等邊三角形

(3)ZA=60°,BEL4c于E,CFLAB,：.ZFBM=ZECM=30°

；.FM=-BM,EM=-CM

22

CM=4,FM=5,：.EM=2,BM=10,

：.BE=BM+ME=\Q+2^\2

【總結(jié)】考察直角三角形性質(zhì)及等邊三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

【例29】已知/MAN,AC平分NM4N,

(1)在圖1中，若NMAN=120。，ZABC=ZADC=90°,求證：AB+AD=AC.

(2)在圖2中，若/AMN=120。，ZABC+ZADC=1SQ°,則(1)中的結(jié)論是否

仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.

：.AB=-AC,AD=-AC

22

AB+AD=-AC+-AC=AC；

22

(2)過C作CE_LAM,過C作CF_LAN,垂足分別為￡、F

：AC平分/MAN,CELAM,CFLAN,

：.CE=CF

：ZABC+ZADC=1SQ°,ZMDC+ZADC=liQ°,

：.ZEDC=ZABC

VZEDC=ZABC,CE=CF,NCED=NCFB

：.△CEO名ACBF,ED=BF

AD+AB=AE-DE+AF+BF=AE+AF

VZMAN=12.0°,AC平分NWW,

ZCAD=ZCAB=60°

'：ZABC=ZADC=9Q°,

ZACE=ZACF=30°,

：.AE=-AC,AF=-AC

22

AB+AD=-AC+~AC=AC

22

【總結(jié)】考察角平分線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

隨堂檢測

【練習(xí)1】下列條件不可以判定兩個直角三角形全等的是).

A、兩條直角邊對應(yīng)相等

B、斜邊一個銳角對應(yīng)相等

C、一條直角邊和一條斜邊對應(yīng)相等

D、一條邊和一個角對應(yīng)相等

【答案】D

【解析】A的理由是S.AS；B的理由是A.AS,C的理由是“Z

【總結(jié)】考察直角三角形全等的判定.

【練習(xí)2】如圖在AABC中，ZACB=90°,在AB上截取AE=AC,BD=BC,則

ZDCE=.

【答案】45°

【解析】ZDCE=180°—NCDE—NCED

lono1800-ZB1800-ZA

22

=4+4=45。.

2

【總結(jié)】本題主要考查等邊對等角及三角形內(nèi)角和定理的綜合運(yùn)用.

【練習(xí)3】如圖在AABC中，ZACB=90°,CD_LAB于點(diǎn)。，乙4=30°,則=AB

【答案】

4

【解析】??,ZA+ZACD=90。，ZBCD-^-ZACD=90°,

：.ZBCD=ZA=30°

VZACB=90°,ZA=30°，：.BC=-AB

2

VZBDC=90°,ZBCD=3QP,：.BD=-BC,/.

2

【總結(jié)】考察直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用.

【練習(xí)4】如圖，在直角△ABC在，ZACB=90°,AB=8cm,。為AB的中點(diǎn)，DE1AC

E,ZA=30°,求BC、CD和。E的長.

【答案】BC=4cm,CD=4cm,DE=2cm.

【解析】u：ZACB=90°,AB=8cm,。為AB的中點(diǎn)，NA=30°,

：.CD=-AB=4,BC=-AB=4IU：

22

:DELAC,ZA=30°,：.DE=-AD=2.

2

【總結(jié)】考察直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用.

【練習(xí)5】如圖，ZU2C中,ADLBC于點(diǎn)D,BELAC于點(diǎn)E,交AL（于點(diǎn)〃，且AD=BD,

AC=BH,連接C”.求證：ZABC=ZBCH.

【答案】見解析

【解析】〈NBDH=ZADC=9。,AC=BH,AD=BD

：.ABHD^AACD,；.DH=DC

?：AD±BC,：.ZCHD=ZBCH=45°

VAD=BD,AD±BC,：.ZABC=ZBAD=45°,

：.ZABC=ZBCH.

【總結(jié)】考察直角三角形全等的判定和性質(zhì)的運(yùn)用.

【練習(xí)6】如圖，已知，在銳角三角形ABC中，ZABC=2ZC,A。，3c于點(diǎn)D,E為AC

的中點(diǎn)，ED的延長線交AB的延長線于點(diǎn)孔求證：BF=BD.

【解析】"：AD±BC,E為AC的中點(diǎn)，

DE^EC=-AC,/.NC=NEDC

2

,/ZEDC=ZBDF,ZC=NBDF

'：ZABC=2ZC,：.ZABC=2ZBDF

,/ZABC=ZBDF+ZF,ZBDF=NF,：.BF=BD.

【總結(jié)】考察直角三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

【練習(xí)7】如圖，在△ABC中，2ELAC于點(diǎn)E,CPLA2于點(diǎn)RD是邊2c的中點(diǎn)，連接

DF、EF、DE.

(1)求證：ED=DF；

(2)若△DEP是等邊三角形，則AABC應(yīng)滿足什么條件?

【解析】(1)點(diǎn)。是BC中點(diǎn)，

/?DE=DC=-BC

2

?：CF±AB,點(diǎn)。是BC中點(diǎn)，

/?DF=BD=-BC,

2

/.DE=DF；

(2)/A=60。時，△￡)￡尸是等邊三角形.

'：BE±AC,點(diǎn)。是BC中點(diǎn)，DE=DC=-BC

2

'：CF±AB,點(diǎn)。是BC中點(diǎn)，

/.DF=BF=-BC,：.DE=DF

2

ZA=6Q°,ZABC+ZACB=120。，

DE=DC,；.ZDEC=ZACB

"?DF=DB,：.ZDFB=ZABC,

ZFDE=180°-ZFDB-ZEDC

=180°-(180°-2ZABC)-(180°-1ZACB)

=2(ZABC+ZACB)-180°=60°

"?DE=DF,

.?.△D所為等邊三角形

【總結(jié)】考察直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形判定的綜合運(yùn)用.

【練習(xí)8】如圖，AD〃BC,且8Z)_LCD,BD=CD,AC=BC.求證：AB=BO.

【解析】過A作AELBC垂足為E,過D作。FLBC,垂足為尸

VBDXCD,BD=CD,DF±BC,：.DF=-BC

2B

'：AE±BC,DF±BC,AD//BC,

四邊形AEFD是長方形，AE=D尸

VDF=-BC,AE=DF,AC=BC

2

：.AE=-AC,：.ZACB=3Q°

2

"AC^BC,：.ZBAO=ZABC=75°

'：BDLCD,BD=CD,：.ZDBC=45°,/.ZABD=30°

ZBAO=75°,；.ZAOB=75°

二ZBAO=ZAOB,：.AB=BO

【總結(jié)】考察直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用.

【練習(xí)9]已知：如圖在△ABC中，是BC邊上的高，CE是AB上的中線，DC=BE,

DG1CE,垂足為點(diǎn)G.

求證：/AEC=3/DCE.

【答案】見解析

【解析】聯(lián)結(jié)即

是BC邊上的高，CE是AB上的中線，

ED=BE=-AB

2

,/DC=BE,：.DE=DC,：.ZDCE=ZDEC

：.ZEDB=ZDCE+ZDEC=2ZDCE

VBE=ED,：.ZB=ZEDB,:.ZB=2ZDCE

ZAEC=ZB+ZDCE=3ZDCE

【總結(jié)】考察直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用.

【練習(xí)10]如圖，在等邊三角形ABC中，D、E分別是2C、AC上的一點(diǎn)，且AE=CD,

AD與BE相交于點(diǎn)FCF±BE.求AK的值.

【答案】1:2.

【解析】過2作BKLA。的垂線，垂足為K

?/AB^AC,ZBAE=ZACD,AE=CD,

：.AABE^ACAD,

：.ZDAC=ZABE

：.ZBFD=ZABE+ZBAF=ZDAC+ZBAF=60。

VZBFD=6O°,BK1AD,

：.ZFBK=3Q°,/?FK=-BF

2

'：ZBAK=ZCBF,ZAKB=ZBFC,AB=BC

：.AABK色&BCF

：.AK=BF,AF+FK^BF

：.AF+-BF=BF

2

/.BF=2AF,即AF：BF=1:2

【總結(jié)】考察全等三角形的判定和性質(zhì)以及直角三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

【練習(xí)11]如圖，在直角三角形ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,以A3為邊向外作等邊

三角形ABO,AE_LB。于點(diǎn)E,AE交C。于點(diǎn)K

(1)線段DM與線段BC有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并證明；

(2)若△ABC于△AB。在AB的同側(cè)，C。的延長線與AE的延長線交于點(diǎn)請?jiān)趫D2

中畫出AAB。與點(diǎn)M；線段。M與BC仍有(1)中的數(shù)量關(guān)系嗎?并證明.

【解析】(1):直角三角形ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,等邊三角形ABD,

AZC4D=150°,AC=AD

：.ZADC=1(180°-ZC4D)=15°

"?ZADB=60°,；.Z.CDB=45°

?JAELBD,...△OWE是等腰直角三角形

DM=6DE

;等邊三角形ABD,AELBO于點(diǎn)E

1-Jl

：.DE=—DB,：.DM^—DB

22

?.,直角三角形ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,

：.BC=6AB

DB=AB,：.BC=42DB

課后作業(yè)

【作業(yè)1】下列命題中，正確的有（）個

①腰長及底邊上的高對應(yīng)相等的兩個等腰三角形全等

②有一直角邊和斜邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等

③有兩邊和其中一邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】（1）（2）對，（3）錯誤，滿足條件的三角形可以是銳角三角形也可以是鈍角三角形.

【總結(jié)】考察三角形全等的判定方法.

【作業(yè)2】（1）直角WABC中，ZC=90°,CDLAB,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，ZACD=25°,

則ZECB=

(2)直角△ABC中，ZC=90°,CDLAB,點(diǎn)E是A3的中點(diǎn)，ZDCE=10°,

則/8=

【答案】(1)25°；(2)40°.

【解析】利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的

角度之間的關(guān)系可得到答案.

【總結(jié)】考察直角三角形的性質(zhì).

A

【作業(yè)3】如圖，中，AB=AC,DB=DC,DE1AC,AC=2AD,AB=8,

貝l]AD=,AE=

【答案】4；2.

【解析】VAB^AC,DB=DC

VAC^2AD,：.AC=30°,

,：DEIAC,：.ZADE=ZB=30°,：.AE=-AD^2.

2

【總結(jié)】考察等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

【作業(yè)4】（1）等腰三角形底角是75°,腰長為9,則此三角形的面積是:

（2）等腰三角形一腰上的高等于腰長的一半，則這個等腰三角形的頂角的度數(shù)是

【答案】(1)—；(2)30°或150°.

4

【解析】（1）???等腰三角形底角是75°..頂角為30度，則腰上的高為？，則三角形的面

2

鉆斗1C981

積為一x9x—=一

224

（2）注意分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況分類討論.

【總結(jié)】考察直角三角形的性質(zhì).注意等腰三角形分為銳角等腰三角形和鈍角等腰三角形.

【作業(yè)5】已知：ABLBC,OCLLBC,點(diǎn)E在BC上，MAE=AD,AB=BC,求證：CE=CD.

【解析】過。作OF，AB,垂足為尸

"ABLBC,DC±BC,DF±AB,

四邊形BCD尸是長方形，

/.DF^BC,BF=CD

AB=BC,：,AB=DF

'：AB=DF,AE^AD,

：.△AFD沿AEBA,

AF=BE

,:AB=BC,：.CE=BF

?；BF=CD,：.CE=CD

【總結(jié)】考察直角三角形全等的判定方法的運(yùn)用.

【作業(yè)6】已知：如圖，A4BC中，ZB=40°,ZC=20°,DA1.CA,求證：CD=2AB.

【答案】見解析

【解析】取CD的中點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)AE

"DALCA,CE=ED

：.AE=CE」CD

2

ZC=ZC4E=20°

ZAEB=ZC+ZCAE=40°

?.?々=40。，AZAEB=ZB,：.AE=AB

VAE=-CD,：.AB^-CD,即CD=2AB

22

【總結(jié)】考察等腰三角形的判定和直角三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

【作業(yè)7】如圖，已知：ZiABC中，AB=AC,/A=60°,BD=CD,BE//AC,DE±BE,

求證：4BE=AC.

【解析】連接AD

\'AB=AC,NA=60°,

.?.△ABC是等邊三角形，：.BC=AC

'：AB=AC,BD=CD,：.AD±BC

VADAC=-ABAC=30°,ADYBC,：.DC=-AC

22

"BD=CD,：.BD=-AC

2

,/BE//AC,：.NDBE=NC=60°

,：DEA.BE,：.BE^-BD

2

VBD=-AC,：.BE^-AC,

24

即4BE=AC.

【總結(jié)】考察直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

【作業(yè)8】在等腰直角△A2C中，D是斜邊的中點(diǎn)，E、尸分