6.2直觀圖課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

第六章立體幾何初步2直觀圖北師大版

數(shù)學(xué)

必修第二冊目錄索引基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測課程標(biāo)準(zhǔn)1.掌握用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖.2.會(huì)用斜二測畫法畫常見的柱、錐、臺、球以及簡單組合體的直觀圖.3.能根據(jù)直觀圖還原出原圖形并能進(jìn)行相關(guān)的長度、面積等計(jì)算.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識全過關(guān)知識點(diǎn)

斜二測畫法1.水平放置的平面圖形直觀圖的畫法建系不同直觀圖不同(1)在已知圖形中建立平面直角坐標(biāo)系xOy,畫直觀圖時(shí),它們分別對應(yīng)x'軸和y'軸,兩軸相交于點(diǎn)O',使∠x'O'y'=

.

(2)已知圖形中平行于x軸或y軸的線段,在直觀圖中分別畫成

于x'軸或y'軸的線段.

(3)已知圖形中平行于x軸的線段,在直觀圖中保持原長度

;平行于y軸的線段,長度為原來的一半.

(4)連線并擦去輔助線

x'軸和y'軸,便獲得水平放置的直觀圖.45°平行

不變名師點(diǎn)睛1.斜二測畫法中,“斜”是指把直角坐標(biāo)系xOy變?yōu)樾弊鴺?biāo)系x'O'y',使∠x'O'y'=45°(或135°);“二測”是指畫直觀圖時(shí),平行于x軸的線段長度不變,平行于y軸的線段長度減半.2.斜二測畫法畫圖的關(guān)鍵是在原圖中找到?jīng)Q定圖形位置與形狀的點(diǎn),并在直觀圖中畫出.3.斜二測畫法的位置特征與度量特征簡記為:橫不變、縱折半,平行位置不改變.2.多面體的直觀圖的畫法(1)在已知的空間圖形中取水平平面和互相垂直的軸Ox,Oy;再取Oz軸,使∠xOz=90°,且∠yOz=90°.(2)畫直觀圖時(shí),把Ox,Oy,Oz畫成對應(yīng)的O'x',O'y',O'z',使∠x'O'y'=45°(或135°),∠x'O'z'=

.x'O'y'所確定的平面表示水平平面.

(3)已知圖形中平行于x軸、y軸或z軸的線段,在直觀圖中分別畫成平行于x'軸、y'軸或z'軸的線段.(4)已知圖形中平行于x軸和z軸的線段,在直觀圖中

;平行于y軸的線段長度為原來的一半.

(5)擦去輔助線,并將被遮線畫成虛線.90°

保持原長度不變名師點(diǎn)睛1.畫空間圖形的直觀圖在要求不太嚴(yán)格的情況下,長度和角度可適當(dāng)選取.為了增強(qiáng)立體感,被擋住的部分通常用虛線表示.2.斜二測畫法保持了原圖形的平行性、共線性,保持了平行線段的長度比.3.坐標(biāo)系的建立要充分利用幾何體的對稱性,坐標(biāo)原點(diǎn)一般建在圖形的對稱中心處,使幾何體的頂點(diǎn)盡可能多地落在坐標(biāo)軸上.4.要先畫出底面的直觀圖,再畫出其余各面.過關(guān)自診[人教A版教材例題]用斜二測畫法畫水平放置的正六邊形的直觀圖.畫法

(1)如圖①,在正六邊形ABCDEF中,取AD所在直線為x軸,AD的垂直平分線MN為y軸,兩軸相交于點(diǎn)O.在圖②中,畫相應(yīng)的x'軸與y'軸,兩軸相交于點(diǎn)O',使∠x'O'y'=45°.①

(2)在圖②中,以O(shè)'為中點(diǎn),在x'軸上取A'D'=AD,在y'軸上取M'N'=MN.以點(diǎn)N'為中點(diǎn),畫B'C'平行于x'軸,并且等于BC;再以M'為中點(diǎn),畫F'E'平行于x'軸,并且等于FE.(3)連接A'B',C'D',D'E',F'A',并擦去輔助線x'軸和y'軸,便獲得正六邊形ABCDEF水平放置的直觀圖A'B'C'D'E'F'(圖③).②③重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一畫水平放置的平面圖形的直觀圖【例1】

如圖,畫出水平放置的等腰梯形的直觀圖.畫法

(1)如圖,以AB所在直線為x軸,AB中點(diǎn)O為原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系,畫對應(yīng)的坐標(biāo)系x'O'y',使∠x'O'y'=45°.(2)以點(diǎn)O'為中點(diǎn)在x'軸上取A'B'=AB,在y'軸上取O'E'=OE,以E'為中點(diǎn)畫C'D'∥x'軸,并使C'D'=CD.(3)連接B'C',D'A',擦去輔助線,所得的四邊形A'B'C'D'就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖.變式探究把本例圖形換成右圖,試畫出該圖的直觀圖.解

(1)在已知的直角梯形ABCD中,以底邊AB所在直線為x軸,垂直于AB的腰AD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.如圖①.(2)畫相應(yīng)的x'軸和y'軸,使∠x'O'y'=45°,在x'軸上取O'B'=AB,在y'軸上取O'D'=AD,過D'作x'軸的平行線l,在l上沿x'軸正方向取點(diǎn)C'使得D'C'=DC.如圖②.(3)連接B'C',所得四邊形O'B'C'D'就是直角梯形ABCD的直觀圖.如圖③.規(guī)律方法

畫水平放置的平面圖形的直觀圖的技巧(1)在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí),選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是關(guān)鍵,一般要使得平面多邊形盡可能多的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,以便于畫點(diǎn).(2)畫平面圖形的直觀圖,首先畫與坐標(biāo)軸平行的線段(平行性不變),與坐標(biāo)軸不平行的線段通過與坐標(biāo)軸平行的線段確定它的兩個(gè)端點(diǎn),然后連接成線段.探究點(diǎn)二畫空間幾何體的直觀圖【例2】

畫出底面邊長為1.2cm的正方形、側(cè)棱均相等且高為1.5cm的四棱錐的直觀圖.畫法

(1)畫軸.畫x'軸、y'軸、z'軸,使∠x'O'y'=45°,∠x'O'z'=90°,如圖①所示.(2)畫底面.以O(shè)'為中心在x'軸上截取線段EF,使EF=1.2

cm,在y'軸上截取線段GH,使GH=0.6

cm.分別過E,F作y'軸的平行線,過G,H作x'軸的平行線,則交點(diǎn)分別為A,B,C,D,即四邊形ABCD為底面正方形的直觀圖.(3)畫高.在z'軸上截取OP,使OP=1.5

cm.(4)成圖.順次連接PA,PB,PC,PD,并擦去輔助線,將被遮住的部分改為虛線,得四棱錐的直觀圖,如圖②所示.規(guī)律方法

1.畫空間幾何體的直觀圖時(shí),一般是先按照畫平面圖形直觀圖的方法與步驟,畫出其底面的直觀圖,再在z軸上確定該幾何體的頂點(diǎn)或另一個(gè)底面的直觀圖所需坐標(biāo)系的原點(diǎn),從而作出另一個(gè)底面的直觀圖,最后得到整個(gè)幾何體的直觀圖.2.對于臺體、柱體等有上底面的幾何體,在作上底面的直觀圖時(shí),可先作出高線,在上底面所在的平面內(nèi)再建一個(gè)兩軸分別與下底面中的坐標(biāo)系中的兩軸平行的坐標(biāo)系,最后作出表示相應(yīng)等量的線段并連接.變式訓(xùn)練1用斜二測畫法畫出底面為正方形的四棱臺的直觀圖,其中上、下底面邊長分別為2,3,高為2.畫法

(1)畫軸.畫x軸、y軸、z軸,三軸相交于點(diǎn)O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.(2)畫下底面.以O(shè)為中心,在x軸上取線段MN,使MN=3,在y軸上取線段PQ,使PQ=1.5.分別過點(diǎn)M和點(diǎn)N作y軸的平行線,過點(diǎn)P和點(diǎn)Q作x軸的平行線,則交點(diǎn)分別為A,B,C,D,即四邊形ABCD為四棱臺的下底面.(3)畫上底面.在z軸上取一點(diǎn)O',使OO'=2,以O(shè)'為原點(diǎn)畫直線a和直線b,使直線a∥x軸,直線b∥y軸,在平面aO'b內(nèi)以O(shè)'為中心畫水平放置的邊長為2的正方形的直觀圖A'B'C'D'.(4)連線.被遮擋的線畫成虛線(如圖①),擦去輔助線并整理就得到四棱臺的直觀圖(如圖②).探究點(diǎn)三直觀圖的還原與計(jì)算角度1.直觀圖還原成原圖形【例3】

如圖所示,△A'B'C'是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖,將其恢復(fù)成原圖形.解

(1)畫直角坐標(biāo)系xOy,在x軸上取OA=O'A',即CA=C'A';(2)過B'作B'D'∥y'軸,交x'軸于D',在x軸上取OD=O'D',過D作DB∥y軸,并使DB=2D'B';(3)連接AB,BC,△ABC即為△A'B'C'原來的圖形,如圖所示.角度2.直觀圖與原圖形面積間的關(guān)系【例4】

已知△ABC的平面直觀圖△A'B'C'是邊長為a的正三角形,那么原△ABC的面積為(

)解析

畫△ABC直觀圖如圖①所示:②

①

規(guī)律方法

1.由直觀圖還原平面圖形關(guān)鍵有兩點(diǎn):(1)平行x'軸的線段長度不變,平行y'軸的線段擴(kuò)大為原來的2倍;(2)對于相鄰兩邊不與x',y'軸平行的頂點(diǎn)可通過作x'軸、y'軸平行線來確定其在xOy中的位置.2.由于斜二測畫法中平行于x軸的線段的長度在直觀圖中長度不變,而平行于y軸的線段在直觀圖中長度要減半,同時(shí)要傾斜45°,因此平面多邊形的直觀圖中的計(jì)算需注意兩點(diǎn):(1)直觀圖中任何一點(diǎn)距x'軸的距離都為原圖形中相應(yīng)點(diǎn)距x軸距離的變式訓(xùn)練2(1)如圖所示,△A'B'C'是△ABC的直觀圖,其中A'C'=A'B',那么△ABC是(

)A.等腰三角形

B.直角三角形C.等腰直角三角形

D.鈍角三角形B解析

由直觀圖看出,三角形中有兩邊分別和兩坐標(biāo)軸平行且相等,由斜二測畫法知原圖中相應(yīng)兩邊與兩軸平行,即有兩邊垂直且不等,所以原三角形為直角三角形.(2)(2023湖南益陽校級期中)一個(gè)平面圖形用斜二測畫法畫出的直觀圖如圖所示,此直觀圖恰好是一個(gè)邊長為2的正方形,則原平面圖形的面積是

.

本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識清單:(1)水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法;(2)空間幾何體直觀圖的畫法;(3)直觀圖的還原與計(jì)算.2.方法歸納:轉(zhuǎn)化法.3.常見誤區(qū):易忽視同一圖形選取坐標(biāo)系的角度不同,得到的直觀圖可能不同.成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測1234561.(多選)關(guān)于斜二測畫法所得到的直觀圖,下列說法正確的是(

)A.三角形的直觀圖是三角形B.平行四邊形的直觀圖是平行四邊形C.正方形的直觀圖是正方形D.菱形的直觀圖是菱形AB解析

斜二測畫法得到的圖形與原圖形中的線線相交、線線平行關(guān)系不會(huì)改變,因此三角形的直觀圖是三角形,平行四邊形的直觀圖是平行四邊形.1234562.(多選)如圖所示是斜二測畫法畫出的水平放置的三角形的直觀圖,D'為B'C'的中點(diǎn),且A'D'∥y'軸,B'C'∥x'軸,那么在原平面圖形中(

)A.AB與AC相等B.AD的長度大于AC的長度C.AB的長度大于AD的長度D.BC的長度大于AD的長度AC解析

根據(jù)斜二測畫法可知,AD=2A'D',BC=B'C',AD⊥BC,BD=CD,由勾股定理知AB=AC,由直角三角形邊的關(guān)系知AD<AC,AB>AD,BC與AD的長度大小不確定.1234563.下面每個(gè)選項(xiàng)的2個(gè)邊長為1的正三角形ABC的直觀圖不是全等三角形的一組是(

)C解析

可分別畫出各組圖形的直觀圖,觀察可得結(jié)論.1234564.如圖,平行四邊形A'B'C'D'為一個(gè)平面圖形的直觀圖,則它的原圖形四邊形ABCD的形狀為

.

正方形解析

因?yàn)椤螪'A'B'=45°,由斜二測畫法規(guī)則知∠DAB=90°,又因?yàn)樗倪呅蜛'B'C'D'為平行四邊形,且A'B'=2B'C',所以AB=BC=AD,所以原四邊形ABCD為正方形.1234565.如圖是用斜二測畫法畫出的△AOB的直觀圖,則△AOB的面積是

.

16解析

由題圖可知O'B