8.3.1棱柱棱錐棱臺的表面積和體積課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

第八章立體幾何初步8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積人教A版

數(shù)學(xué)

必修第二冊課程標(biāo)準1.了解棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面展開圖,掌握棱柱、棱錐、棱臺的表面積公式及體積公式,能用公式解決簡單的實際問題.2.能運用公式求棱柱、棱錐、棱臺的表面積及體積,理解棱柱、棱錐、棱臺的體積之間的關(guān)系.3.會求組合體的表面積及體積.基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)知識點1

棱柱、棱錐、棱臺的表面積多面體的表面積就是圍成多面體各個面的面積的

.棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是圍成它們的各個面的面積的

.

常常表示為側(cè)面積+底面積和

和

過關(guān)自診1.正三棱柱的底面邊長為1,側(cè)棱長為2,則它的側(cè)面積為

,表面積為

.

62.[蘇教版教材例題]設(shè)計一個正四棱錐形冷水塔塔頂,高是1.0m,底面的邊長是1.5m,制造這種塔頂需要多少平方米鐵板(精確到0.1m2)?解

如圖,S表示塔的頂點,O表示底面的中心,則SO是高.設(shè)點E是底面上一條邊的中點,連接SE,則SE是斜高.在Rt△SOE中,知識點2

棱柱、棱錐、棱臺的體積1.一般地,如果棱柱的底面積是S,高是h,那么這個棱柱的體積V棱柱=

.

2.一般地,如果棱錐的底面面積是S,高為h,那么該棱錐的體積V棱錐=

.

3.如果棱臺的上、下底面面積分別為S',S,高是h,那么這個棱臺的體積V棱臺=

.

棱臺兩底面之間的距離Sh過關(guān)自診

1.如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A=2,AB=1,那么該正四棱柱的體積為(

)A.1 B.2

C.4 D.8B解析

正四棱柱的體積為V=S正方形ABCD×AA1=12×2=2.2.[北師大版教材例題]已知一正四棱臺的上底邊長為4cm,下底邊長為8cm,高為3cm.求其體積.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一棱柱、棱錐、棱臺的表面積【例1】

如圖是一個搭建好的帳篷,它的下部是一個正六棱柱,上部是一個正六棱錐,其中帳篷的高為PO,正六棱錐的高為PO1,且PO=3PO1.當(dāng)PO1=2m,PA1=4m時,求帳篷的表面積.變式探究若把題目條件中“帳篷”改為“用某種材料制成條件中所示組合體形狀的封閉容器”,表面積為多少?規(guī)律方法

空間幾何體表面積的求法技巧求解此類問題時,首先要注意題目要求側(cè)面積還是表面積,其次觀察幾何體形狀,是已知的棱柱、棱錐、棱臺,還是由這些幾何體組成的組合體,再利用公式準確計算相關(guān)的面積,從而求解.探究點二棱柱、棱錐、棱臺的體積【例2】

(1)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a.截面A1DB將正方體分成兩部分,其體積分別為V1,V2,且V2>V1.求V1,V2以及V1∶V2.(2)已知正四棱臺兩底面邊長分別為20cm和10cm,側(cè)面面積為780cm2,求其體積.解

如圖所示,在正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中,A1B1=10

cm,AB=20

cm,取A1B1的中點E1,AB的中點E,則E1E為斜高.設(shè)O1,O分別是上、下底面的中心,則四邊形EOO1E1為直角梯形.變式探究在例2(1)中,求四棱錐A1-BDD1B1的體積.規(guī)律方法

求幾何體體積的常用方法

探究點三與正棱柱、正棱錐有關(guān)的體積和表面積問題【例3】

一個正四棱錐的底面邊長為3cm,側(cè)棱長為5cm,則它的體積為

cm3,表面積為

cm2.

24解析

如圖,∵正四棱錐P-ABCD的底面邊長為3

cm,∴S正方形ABCD=18

cm2.規(guī)律方法

正棱錐的性質(zhì)如下:(1)正棱錐的各側(cè)棱都相等,各側(cè)面都是全等的等腰三角形,側(cè)面等腰三角形底邊上的高叫做棱錐的斜高;(2)從頂點向底面作垂線,垂足為底面(正多邊形)的中心;(3)棱錐的底面及平行于底面的截面為相似的多邊形.變式訓(xùn)練正四棱臺(由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺)的上、下底面邊長分別是2cm和6cm,兩底面之間的距離為2cm,則該四棱臺的側(cè)面積為

.

解析

如圖,取上、下底面中心O1,O,B1C1和BC的中點E1,E.在直角梯形OEE1O1中,EE1為側(cè)面等腰梯形的高,過E1作E1H垂直于OE,垂足為H,OO1=2

cm,O1E1=1

cm,OE=3

cm,∴HE=2

cm.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積.(2)棱柱、棱錐、棱臺的體積.(3)組合體的表面積與體積.(4)棱柱、棱錐、棱臺體積公式之間的關(guān)系.2.方法歸納:等體積法、割補法.3.常見誤區(qū):平面圖形與立體圖形的切換不清楚.成果驗收·課堂達標(biāo)檢測1234567891011121314151617A級必備知識基礎(chǔ)練1.[探究點一]若六棱柱的底面是邊長為3的正六邊形,側(cè)面為矩形,側(cè)棱長為4,則其側(cè)面積等于(

)A.12 B.48 C.64 D.72D解析

∵六棱柱的底面是邊長為3的正六邊形,∴底面周長C=6×3=18,又側(cè)面是矩形,側(cè)棱長為4,∴棱柱的高h=4,∴棱柱的側(cè)面積S=Ch=72.故選D.12345678910111213141516172.[探究點二]如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,則三棱錐D-ACD1的體積是(

)A12345678910111213141516173.[探究點一]一個正四棱錐的底面邊長為2,高為,則該正四棱錐的表面積為(

)A.8 B.12 C.16 D.20B12345678910111213141516174.[探究點二]正方體的棱長為2,以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為(

)B12345678910111213141516175.[探究點二]棱臺的上、下底面面積分別是2,4,高為3,則棱臺的體積等于(

)C12345678910111213141516176.[探究點二]如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1的體積是120,E為CC1的中點,則三棱錐E-BCD的體積是

.

1012345678910111213141516177.[探究點三]已知某幾何體是由兩個全等的長方體和一個三棱柱組合而成,如圖所示,其中長方體的長、寬、高分別為4,3,3,三棱柱底面是直角邊分別為4,3的直角三角形,側(cè)棱長為3,則此幾何體的體積是

,表面積是

.

90

13812345678910111213141516178.[探究點二]有一個正四棱臺形狀的油槽,可以裝油190L,假如它的兩底面邊長分別等于60cm和40cm,則它的深度為

cm.

751234567891011121314151617B級關(guān)鍵能力提升練9.我國古代名著《張丘建算經(jīng)》中記載:“今有方錐下廣二丈,高三丈,欲斬末為方亭,令上方六尺,問亭方幾何?”大致意思為“有一個正四棱錐下底面邊長為二丈,高三丈,現(xiàn)從上面截去一段,使之成為正四棱臺狀方亭,且正四棱臺的上底面邊長為六尺,問該正四棱臺的體積是多少立方尺?”(注:1丈=10尺)(

)A.1946立方尺 B.3892立方尺C.7784立方尺 D.11676立方尺B123456789101112131415161710.如圖所示,在上、下底面對應(yīng)邊的比為1∶2的三棱臺中,過上底面的一邊A1B1和AC,BC的中點F,E作一個平面A1B1EF,記平面分三棱臺兩部分的體積為V1(三棱柱A1B1C1-FEC),V2兩部分,那么V1∶V2=

.

3∶4123456789101112131415161711.在三棱錐P-ABC中,D,E分別為PB,PC的中點,記三棱錐D-ABE的體積為V1,P-ABC的體積為V2,則

=

.

123456789101112131415161712.如圖,AA1,BB1,CC1相交于點O,形成兩個頂點相對、底面水平的三棱錐容器,AO=A1O,BO=B1O,CO=C1O.設(shè)三棱錐的高均為1,若上面三棱錐中裝有高度為0.5的液體,且液體能流入下面的三棱錐,則液體流下去后液面的高度為

.

123456789101112131415161713.廣場上的玩具石凳是由正方體截去八個全等的四面體得到的(如圖).如果被截正方體的棱長為2,那么玩具石凳的表面積為

.

解析

根據(jù)題意可知,玩具石凳的表面由8個全等的以2為邊長的等邊三角形和6個以2為邊長的全等的正方形構(gòu)成,故玩具石凳的表面積為123456789101112131415161714.已知正四棱臺的高是12cm,兩底面邊長之差為10cm,表面積為512cm2,則上、下底面邊長分別為

cm,體積為

cm3.

2,12

688

123456789101112131415161715.如圖所示,已知ABCD-A1B1C1D1是棱長為a的正方體,E,F分別為AA1,CC1的中點,求四棱錐A1-EBFD1的體積.1234567891011121314151617123456789101112131415161716.(多選題)一個圓臺的上、下底面半徑分別是10和20,它的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角為180°,則圓臺的(

)A.母線長是20 B.表面積是1100πABDC級學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練12345678910111213