7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

第七章隨機(jī)變量及其分布離散型隨機(jī)變量的方差7.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征問(wèn)題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材必備知識(shí)探究11.問(wèn)題從兩名同學(xué)中挑出一名代表班級(jí)參加射擊比賽.根據(jù)以往的成績(jī)記錄，第一名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X1的分布列為X15678910P0.030.090.200.310.270.10第二名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X2的分布列為X256789P0.010.050.200.410.33(1)能否根據(jù)X1和X2的均值來(lái)決定派哪名同學(xué)參賽？提示

E(X1)＝8，E(X2)＝8，均值相等.不能根據(jù)X1和X2的均值決定選派人員.提示

左、右兩圖分別表示X1和X2的概率分布圖.比較兩個(gè)圖形，可以發(fā)現(xiàn)，第二名同學(xué)射擊成績(jī)更集中于8環(huán)，即第二名同學(xué)射擊成績(jī)更穩(wěn)定.(2)利用X1和X2的概率分布圖，這兩名同學(xué)的射擊水平誰(shuí)更穩(wěn)定？(3)怎樣定量刻畫(huà)隨機(jī)變量的穩(wěn)定性？提示

樣本方差反映了樣本數(shù)據(jù)與樣本均值的偏離程度，可刻畫(huà)樣本數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性.因此隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差可刻畫(huà)隨機(jī)變量的穩(wěn)定性.2.填空(1)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn標(biāo)準(zhǔn)差(2)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機(jī)變量取值的離散程度.方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機(jī)變量的取值越______；方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨機(jī)變量的取值越______.集中分散(3)幾個(gè)常見(jiàn)的結(jié)論①D(aX＋b)＝________.②若X服從兩點(diǎn)分布，則D(X)＝_________.a2D(X)p(1－p)B3.做一做(1)已知隨機(jī)變量X的分布列為X－101P0.50.30.2則D(X)等于(

)A.0.7 C.－0.3 D.0解析

E(X)＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，∴D(X)＝(－1＋0.3)2×0.5＋(0＋0.3)2×0.3＋(1＋0.3)2×0.2＝0.61.4(2)設(shè)隨機(jī)變量X的方差D(X)＝1，則D(2X＋1)的值為_(kāi)_______.解析

D(2X＋1)＝22D(X)＝4×1＝4.(1)離散型隨機(jī)變量的方差越大，

隨機(jī)變量越穩(wěn)定.(

)提示隨機(jī)變量的方差越小，隨機(jī)變量越穩(wěn)定.(2)若a是常數(shù)，

則D(a)＝0.()(3)離散型隨機(jī)變量的方差反映了隨機(jī)變量偏離于期望的平均程度.(

)(4)若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，

且成功的概率p＝0.5,則D(X)＝0.25.(

)×4.思考辨析正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.√√√HUDONGHEZUOYANXITIXINGGUANJIANNENGLITISHENG互動(dòng)合作研析題型關(guān)鍵能力提升2例1

有10張卡片，其中8張標(biāo)有數(shù)字2，2張標(biāo)有數(shù)字5，從中隨機(jī)地抽取3張卡片，設(shè)3張卡片數(shù)字之和為ξ，求E(ξ)和D(ξ).題型一求離散型隨機(jī)變量的方差解這3張卡片上的數(shù)字之和為ξ，ξ的可能取值為6，9，12.ξ＝6表示取出的3張卡片上均標(biāo)有2，ξ＝9表示取出的3張卡片上兩張標(biāo)有2，一張標(biāo)有5，ξ＝12表示取出的3張卡片上一張標(biāo)有2，兩張標(biāo)有5，因此隨機(jī)變量ξ的分布列為求離散型隨機(jī)變量的步驟(1)明確隨機(jī)變量的所有可能取值，并理解每一個(gè)取值的意義.(2)求出隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率.(3)列出隨機(jī)變量的分布列.(4)由分布列計(jì)算E(X)，進(jìn)而求隨機(jī)變量的方差D(X).思維升華解乙投籃的次數(shù)ξ的可能取值為0，1，2.故ξ的分布列為例2

已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為題型二方差的性質(zhì)的應(yīng)用∴x＝2.解∵Y＝3X－2，∴D(Y)＝D(3X－2)＝9D(X)＝5，求隨機(jī)變量Y＝aX＋b方差的方法求隨機(jī)變量Y＝aX＋b的方差，一種方法是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一種方法是應(yīng)用公式D(aX＋b)＝a2D(X)求解.思維升華訓(xùn)練2

(多選)若隨機(jī)變量X的分布列為CDX01P0.2m已知隨機(jī)變量Y＝aX＋b(a，b∈R)且E(Y)＝10，D(Y)＝4，則a與b的值可以分別為(

)A.a＝10，b＝3 B.a＝3，b＝10C.a＝5，b＝6 D.a＝－5，b＝14解析

因?yàn)?.2＋m＝1，所以m＝0.8，由兩點(diǎn)分布，知E(X)＝0.8，D(X)＝0.8×0.2＝0.16.因?yàn)閅＝aX＋b(a，b∈R)，E(Y)＝10，D(Y)＝4，所以aE(X)＋b＝0.8a＋b＝10，a2D(X)＝0.16a2＝4，解之得a＝5，b＝6或a＝－5，b＝14.題型三方差的簡(jiǎn)單應(yīng)用例3

有甲、乙兩種建筑材料，從中各取等量樣品檢查它們的抗拉強(qiáng)度如下：其中，XA，XB分別表示甲、乙兩種材料的抗拉強(qiáng)度，在使用時(shí)要求抗拉強(qiáng)度不低于120，試比較甲、乙兩種建筑材料的穩(wěn)定程度(哪一個(gè)的穩(wěn)定性較好).解E(XA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，E(XB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125，D(XA)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50，D(XB)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165.由此可見(jiàn)E(XA)＝E(XB)，D(XA)＜D(XB)，故兩種材料的抗拉強(qiáng)度的平均值相等，其穩(wěn)定程度材料乙明顯不如材料甲，即甲的穩(wěn)定性好.(1)均值體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均大小，在兩種產(chǎn)品相比較時(shí)，只比較均值往往是不恰當(dāng)?shù)?，還需比較它們的取值的離散程度，即通過(guò)比較方差，才能準(zhǔn)確地得出更恰當(dāng)?shù)呐袛?(2)離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差之間存在著緊密的聯(lián)系，利用題目中所給出的條件，合理地列出方程或方程組求解，同時(shí)也應(yīng)注意合理選擇公式，簡(jiǎn)化問(wèn)題的解答過(guò)程.思維升華訓(xùn)練3

甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量ξ與η，且ξ，η的分布列為ξ123Pa0.10.6η123P0.3b0.3(1)求a，b的值；解由離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)可知a＋0.1＋0.6＝1，∴a＝0.3.同理0.3＋b＋0.3＝1，∴b＝0.4.(2)計(jì)算ξ，η的均值與方差，并以此分析甲、乙的技術(shù)狀況.解E(ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E(η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，D(ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，D(η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.由于E(ξ)>E(η)，說(shuō)明在一次射擊中，甲的平均得分比乙高，但D(ξ)>D(η)，說(shuō)明甲得分的穩(wěn)定性不如乙，因此甲、乙兩人技術(shù)水平都不夠全面，各有優(yōu)劣.課堂小結(jié)1.(1)求離散型隨機(jī)變量的方差步驟關(guān)鍵在于：①準(zhǔn)確求出隨機(jī)變量的分布列；②計(jì)算均值E(X)；③利用定義或公式D(X)＝E(X2)－[E(X)]2計(jì)算. (2)靈活利用方差的性質(zhì)D(aX＋b)＝a2D(X)簡(jiǎn)化計(jì)算.2.解題的常見(jiàn)誤區(qū)：方差與標(biāo)準(zhǔn)差均反映隨機(jī)變量的穩(wěn)定程度，但有區(qū)別，標(biāo)準(zhǔn)差的單位與隨機(jī)變量取值的單位相同，但方差則不同.TUOZHANYANSHENFENCENGJINGLIANHEXINSUYANGDACHENG拓展延伸分層精練核心素養(yǎng)達(dá)成3A.m

B.2m(1－m)C.m(m－1) D.m(1－m)D解析

由題意知X服從兩點(diǎn)分布，故D(X)＝m(1－m).A.6 B.8 C.3

D.4B∴D(2X－5)＝4D(X)＝4×2＝8.3.設(shè)0<p<1，隨機(jī)變量ξ的分布列為D則當(dāng)p在(0，1)內(nèi)增大時(shí)，(

)A.D(ξ)減小

B.D(ξ)增大C.D(ξ)先減小后增大

D.D(ξ)先增大后減小解析

由分布列可知4.以往的統(tǒng)計(jì)資料表明，甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員在比賽中得分情況為A現(xiàn)有一場(chǎng)比賽，派哪位運(yùn)動(dòng)員參加較好？(

)A.甲

B.乙C.甲、乙均可

D.無(wú)法確定解析

E(X1)＝0×0.2＋1×0.5＋2×0.3＝1.1，E(X2)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.4＝1.1，D(X1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49，D(X2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69.∴E(X1)＝E(X2)，D(X1)<D(X2)，即甲比乙得分穩(wěn)定，選甲參加較好.5.(多選)已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為AC則下列式子正確的是(

)6.若某事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生次數(shù)的方差等于0.25，則該事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為_(kāi)_________.0.5解析

設(shè)該事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p，該事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生次數(shù)記為X，則X服從兩點(diǎn)分布，則D(X)＝p(1－p)，所以p(1－p)＝0.25，解得p＝0.5.7.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為2若Y＝2X＋2，則D(Y)＝________.8.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為0.49且E(X)＝1.1，則D(X)＝__________.解得x＝2.9.已知η的分布列為(1)求η的方差；(2)設(shè)Y＝2η－E(η)，求D(Y).解∵Y＝2η－E(η)，∴D(Y)＝D[2η－E(η)]＝22D(η)＝4×384＝1536.10.已知海關(guān)大樓頂端鑲有A，B兩面大鐘，它們的日走時(shí)誤差分別為X1，X2(單位：s)，其分布列如下：根據(jù)這兩面大鐘日走時(shí)誤差的均值與方差比較這兩面大鐘的質(zhì)量.解由題意得，E(X1)＝0，E(X2)＝0，∴E(X1)＝E(X2).D(X1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5，D(X2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2.∴D(X1)<D(X2).綜上可知，A大鐘的質(zhì)量較好.11.(多選)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為AC若離散型隨機(jī)變量Y滿足Y＝2X＋1，則下列結(jié)果正確的有(

)A.E(X)＝2 B.D(X)＝2.4 C.D(X)＝2.8 D.D(Y)＝14解析

由離散型隨機(jī)變量X的分布列的性質(zhì)，得q＝1－0.3－0.2－0.2－0.1＝0.2，則E(X)＝0×0.2＋1×0.3＋2×0.2＋4×0.2＋5×0.1＝2，D(X)＝(0－2)2×0.2＋(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＋(5－2)2×0.1＝2.8.∵Y＝2X＋1，∴D(Y)＝22D(X)＝4D(X)＝4×2.8＝11.2.12.兩封信隨機(jī)投入A，B，C三個(gè)空郵箱中，則A郵箱的信件數(shù)X的方差D(X)＝________.解析

X的所有可能取值為0，1，2，13.某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃種植某種新作物，為此對(duì)這種作物的兩個(gè)品種(分別稱為品種甲和品種乙)進(jìn)行田間試驗(yàn).選取兩大塊地，每大塊地分為n小塊地，在總共2n小塊地中，隨機(jī)選n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種乙.假設(shè)n＝4，在第一大塊地中，種植品種甲的小塊