2025千題百煉-高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問題（二）：第55煉 數(shù)列中的不等關(guān)系含答案

2025千題百煉——高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問題（二）：第55煉數(shù)列中的不等關(guān)系含答案第55煉數(shù)列中的不等關(guān)系一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、在數(shù)列中涉及到的不等關(guān)系通常與數(shù)列的最值有關(guān)，而要求的數(shù)列中的最值項(xiàng)，要依靠數(shù)列的單調(diào)性，所以判斷數(shù)列的單調(diào)性往往是此類問題的入手點(diǎn)2、如何判斷數(shù)列的單調(diào)性：（1）函數(shù)角度：從通項(xiàng)公式入手，將其視為關(guān)于的函數(shù)，然后通過函數(shù)的單調(diào)性來判斷數(shù)列的單調(diào)性。由于，所以如果需要用到導(dǎo)數(shù)，首先要構(gòu)造一個(gè)與通項(xiàng)公式形式相同，但定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性后再結(jié)合得到數(shù)列的單調(diào)性（2）相鄰項(xiàng)比較：在通項(xiàng)公式不便于直接分析單調(diào)性時(shí)，可考慮進(jìn)行相鄰項(xiàng)的比較得出數(shù)列的單調(diào)性，通常的手段就是作差（與0比較，從而轉(zhuǎn)化為判斷符號(hào)問題）或作商（與1比較，但要求是正項(xiàng)數(shù)列）3、用數(shù)列的眼光去看待有特征的一列數(shù)：在解數(shù)列題目時(shí)，不要狹隘的認(rèn)為只有題目中的是數(shù)列，實(shí)質(zhì)上只要是有規(guī)律的一排數(shù)，都可以視為數(shù)列，都可以運(yùn)用數(shù)列的知識(shí)來進(jìn)行處理。比如：含的表達(dá)式就可以看作是一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式；某數(shù)列的前項(xiàng)和也可看做數(shù)列等等。4、對(duì)于某數(shù)列的前項(xiàng)和，在判斷其單調(diào)性時(shí)可以考慮從解析式出發(fā)，用函數(shù)的觀點(diǎn)解決。也可以考慮相鄰項(xiàng)比較。在相鄰項(xiàng)比較的過程中可發(fā)現(xiàn)：，所以的增減由所加項(xiàng)的符號(hào)確定。進(jìn)而把問題轉(zhuǎn)化成為判斷的符號(hào)問題二、典型例題例1：已知數(shù)列，前項(xiàng)和滿足（1）求的通項(xiàng)公式（2）設(shè)，若數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：（1）時(shí)，當(dāng)時(shí)，符合上式（2）思路：由（1）可得：，由已知為單調(diào)遞減數(shù)列可得對(duì)均成立，所以代入通項(xiàng)公式得到關(guān)于的不等式，即只需，構(gòu)造函數(shù)或者數(shù)列求出的最大值即可解：是遞減數(shù)列，即只需①構(gòu)造函數(shù)：設(shè)則所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減時(shí)，即②構(gòu)造數(shù)列：設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，所以的最大項(xiàng)為例2：已知等差數(shù)列中，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，對(duì)任意的恒成立，則整數(shù)的最小值是（）A.B.C.D.思路：若恒成立，，要找，則需先確定的通項(xiàng)公式得到：，所以，發(fā)現(xiàn)無法直接求和，很難變?yōu)楹?jiǎn)單的表達(dá)式，所以考慮將視為一個(gè)數(shù)列，通過相鄰項(xiàng)比較尋找其單調(diào)性：，進(jìn)而單調(diào)遞減，，所以，從而答案：B例3：已知數(shù)列滿足，若為等比數(shù)列，且（1）求（2）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為①求②求正整數(shù)，使得對(duì)于，均有解：（1）或（舍）（2）①②思路：實(shí)質(zhì)是求取到最大值的項(xiàng)，考慮分析的單調(diào)性，從解析式上很難通過函數(shù)的單調(diào)性判斷，從而考慮相鄰項(xiàng)比較。對(duì)于而言，的增減受符號(hào)的影響，所以將問題轉(zhuǎn)化為判斷的符號(hào)?？晒烙?jì)出當(dāng)取得值較大時(shí)，會(huì)由正項(xiàng)變?yōu)樨?fù)項(xiàng)。所以只要尋找到正負(fù)的分界點(diǎn)即可解：當(dāng)時(shí)，可驗(yàn)證，從而可得設(shè)，則當(dāng)時(shí)，遞減時(shí)，時(shí)，均有例4：已知數(shù)列的前項(xiàng)和為且，數(shù)列滿足：，，其前項(xiàng)和為（1）求（2）令，記的前項(xiàng)和為，對(duì)，均有，求的最小值解：（1）為公差是的等差數(shù)列時(shí)，符合上式為等差數(shù)列設(shè)前項(xiàng)和為（2）思路：依題意可得：，可求出，從而，若最小，則應(yīng)最接近的最大最小值（或是臨界值），所以問題轉(zhuǎn)化成為求的范圍，可分析其單調(diào)性。單調(diào)遞增。所以最小值為，而當(dāng)時(shí)，，所以無限接近，故的取值范圍為中的離散點(diǎn)，從而求出的最小值解：設(shè)，可知遞增，當(dāng)時(shí)，若最小，則例5（2014，黃州區(qū)校級(jí)模擬）數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）求證：當(dāng)時(shí)，數(shù)列為等比數(shù)列（3）在（2）的條件下，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若數(shù)列中只有最小，求的取值范圍解：（1）符合上式（2）考慮即數(shù)列為等比數(shù)列（3）思路：由（2）可求得通項(xiàng)公式，但不知其單調(diào)性，但可以先考慮必要條件以縮小的取值范圍。若要最小，則最起碼要比小，從而先求出滿足的必要條件（也許最后結(jié)果是其子集），在這個(gè)范圍內(nèi)可判定為遞增數(shù)列，從而能保證最小由（2）可得：是公比為的等比數(shù)列若要最小，則必然要即則，所以為遞增數(shù)列，符合最小的條件所以小煉有話說：在求參數(shù)范圍時(shí)如果不能一次準(zhǔn)確列出參數(shù)所滿足的條件，可先寫出其必要條件適當(dāng)縮小其取值范圍，往往會(huì)給解題帶來新的突破口例6：（2014，文登市二模）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，其前項(xiàng)和為，滿足，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）若，令，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，試比較與的大小解：（1）（舍）或是公比為2的等比數(shù)列，解得：（2）思路：由（1）可得，進(jìn)而可求出，比較大小只需兩式作差，再進(jìn)行化簡(jiǎn)通分可得。利用函數(shù)或構(gòu)造數(shù)列判斷出的符號(hào)即可解：設(shè)，可得為減函數(shù)例7：（2014，湖南模擬）已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)任意的，都有（其中，且為常數(shù)），記數(shù)列的前項(xiàng)和為（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及（2）當(dāng)時(shí)，將數(shù)列的前項(xiàng)抽去其中一項(xiàng)后，剩下三項(xiàng)按原來的順序恰為等比數(shù)列的前項(xiàng)，記的前項(xiàng)和為，若存在，使得對(duì)任意，總有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：（1）①②①②可得：即為公差是的等差數(shù)列在令得：解得：（2）思路：本小問實(shí)質(zhì)是在數(shù)列背景下的多元恒成立問題，先求的表達(dá)式。由已知可得：時(shí)，，要解決，首先要解出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。時(shí)，，進(jìn)而顯然抽去的應(yīng)為，所以，得到，，所以要處理的恒成立不等式為：。再利用最值逐步消元即可解：時(shí)，，進(jìn)而成公比為的等比數(shù)列，即的公比為，且而由（1），當(dāng)時(shí)，，所以恒成立的不等式為：，所以設(shè)可得為遞增函數(shù)所以對(duì)任意的均成立即設(shè)為減函數(shù)小煉有話說：本題在處理恒成立問題時(shí)，兩個(gè)階段對(duì)變量量詞的不同導(dǎo)致取最大還是最小值要明確區(qū)分。第一階段是存在，也就是說只要有滿足不等式即可，所以只要最小值比右邊小，就意味著已經(jīng)存在這樣的；第二階段是對(duì)任意的，不等式均要成立，所以只要最大值滿足不等式，剩下的函數(shù)值也必然能滿足不等式。例8：已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）設(shè)數(shù)列滿足（為非零整數(shù)，），問是否存在整數(shù)，使得對(duì)任意，都有解：（1）即是公差為1的等差數(shù)列在令得：（2）思路：由（1）可得：，所以等同于，化簡(jiǎn)可得：，而的奇偶將決定的符號(hào)，所以要進(jìn)行分類討論解：由（1）可得：則等價(jià)于：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，恒成立不等式為：所以只需當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，恒成立不等式為：所以只需例9：已知數(shù)列前項(xiàng)和為，且（1）求的通項(xiàng)公式（2）設(shè)，若集合恰有個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍解：（1）（2）思路：由（1）所得通項(xiàng)公式可利用錯(cuò)位相減法求，進(jìn)而得到，要讀懂集合恰有4個(gè)元素的含義，根據(jù)描述的特點(diǎn)可知：集合中的元素應(yīng)該為從大到小排前4項(xiàng)的序數(shù)，所以只需判斷出的單調(diào)性，并結(jié)合單調(diào)性選出較大的前4項(xiàng)，便可確定的取值。解：兩式相減可得：下面考慮的單調(diào)性時(shí)，，即時(shí)，，所以而從大到小排的前4項(xiàng)為：例10：（2015，天元區(qū)校級(jí)模擬）已知數(shù)列滿足（1）當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前項(xiàng)和（2）若對(duì)任意，都有成立，求的取值范圍解：（1）①②①②可得：中奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，公差均為4當(dāng)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)為奇數(shù)時(shí)（2）思路：考慮將不等式轉(zhuǎn)化為的不等式，由（1）可得的奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)各為等差數(shù)列，所以只要通過分類討論確定的奇偶，即可把均用表示，再求出范圍即可解：由（1）可得：的奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)各為等差數(shù)列，且公差為4當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，化簡(jiǎn)后可得：所以只需設(shè)解得：或當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，同理：，化簡(jiǎn)可得：即設(shè)可得：綜上所述：或三、歷年好題精選1、已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（1）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和（2）若，求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式（3）記，若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值2、已知數(shù)列是首項(xiàng)的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和中成等差數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）設(shè)，若，求證：3、已知數(shù)列滿足：，且（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（3）設(shè)（為非零整數(shù)），試確定的值，使得對(duì)任意，都有成立4、已知數(shù)列中，（為非零常數(shù)），其前項(xiàng)和滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）若，且，求的值（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，數(shù)列中滿足的最大項(xiàng)恰為第項(xiàng)？若存在，分別求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由5、（2016，無錫聯(lián)考）數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)一切正整數(shù)都有．（1）求證：（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得不等式對(duì)一切正整數(shù)都成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由6、已知函數(shù)，數(shù)列滿足（1）求的通項(xiàng)公式（2）令，，若對(duì)一切成立，求最小正整數(shù)7、（2016，貴陽一中四月考）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，數(shù)列滿足，對(duì)任意，都有（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）令，若對(duì)任意的，不等式恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍8、設(shè)數(shù)列為數(shù)列的前項(xiàng)和，且（1）求的通項(xiàng)公式（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和，若存在整數(shù)，使得對(duì)任意的都有成立，求的最大值習(xí)題答案：1、解析：（1）（2）由可知，代入可得：時(shí)，代入可得：，即是公比為的等比數(shù)列在中，令可得：（3）可知為遞減數(shù)列為遞增數(shù)列即的最大值為2、解析：（1）成等差數(shù)列（2）由（1）可得：為遞增數(shù)列綜上所述：3、解：（1）是公比為的等比數(shù)列（2）當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，是公差為的等差數(shù)列即（3）由（2）可得：恒成立不等式為：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，4、解析：（1）由已知令，則，所以當(dāng)時(shí)，驗(yàn)證可知符合通項(xiàng)公式（2）可得（3）由可得若，則，不符題意，舍去若，則的最大項(xiàng)恰為第項(xiàng)因?yàn)樵摬坏仁綄?duì)任意均成立解得：5、解析：（1）即（2）由（1）可知，兩式相減可得：中奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)分別成公差是4的等差數(shù)列中令令可得：綜上所述可得：（3）恒成立的不等式為：設(shè)，由可知為遞減數(shù)列解得：6、解析：（1）由已知可得：為首項(xiàng)是1，公差是的等差數(shù)列（2）當(dāng)時(shí)，可驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，滿足上式所以對(duì)一切均成立最小正整數(shù)為7、解析：（1）可得：，驗(yàn)證時(shí)，符合上式由可知為等比數(shù)列（2）故恒成立不等式為：化簡(jiǎn)可得：。所以只需設(shè)8、解析：（1）是公差為1的等差數(shù)列在令得：（2）由（1）可得：設(shè)為遞增數(shù)列即的最大值為第56煉數(shù)列中的整數(shù)問題一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、整數(shù)的基本性質(zhì)：（1）整數(shù)的和，差，積仍為整數(shù)（2）整數(shù)的奇偶性：若，則稱為奇數(shù)；若，則稱為偶數(shù)，在加，減，乘法運(yùn)算中，其結(jié)果有以下規(guī)律：①奇數(shù)奇數(shù)偶數(shù)②奇數(shù)偶數(shù)奇數(shù)③偶數(shù)偶數(shù)偶數(shù)④奇數(shù)偶數(shù)偶數(shù)⑤偶數(shù)偶數(shù)偶數(shù)⑥奇數(shù)奇數(shù)奇數(shù)（3）若，且，則（4）已知，若，且，則只能取到有限多個(gè)整數(shù)（也有可能無解）（5）若，稱能被整除，則有：①②為的一個(gè)因數(shù)（6）最小數(shù)原理：自然數(shù)集的任何非空子集，均有一個(gè)最小的自然數(shù)2、整數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用：（1）若變量屬于整數(shù)，則利用方程與不等式均可求出變量的值：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，若要求得變量的值，通常要依賴方程，而不等式只能解得變量的范圍。但是在整數(shù)范圍內(nèi)，除了方程，在不等式中也可以利用整數(shù)的離散性求出變量的值（即性質(zhì)（4）），例如：若，則的取值只能是。所以在涉及求整數(shù)的值時(shí)，思路不要局限于尋找等量關(guān)系，構(gòu)造不等關(guān)系依然可以求解。（2）整除問題：若表達(dá)式形式較為簡(jiǎn)單，可通過對(duì)常數(shù)進(jìn)行因數(shù)分解，進(jìn)而確定變量的取值；若表達(dá)式次數(shù)較高，則可以先利用二項(xiàng)式定理去掉高次的項(xiàng)，再進(jìn)行處理。（3）多元整數(shù)不定方程：當(dāng)變量的值為整數(shù)時(shí)，不定方程的解可能有有限多組解。通常的處理方式有兩個(gè)：①通過對(duì)表達(dá)式進(jìn)行因式分解，對(duì)另一側(cè)的常數(shù)進(jìn)行因數(shù)分解，進(jìn)而將不定方程拆成多個(gè)方程的方程組，進(jìn)而解出變量②將一個(gè)字母視為變量（其余視為參數(shù)）并進(jìn)行參變分離，求出含變量函數(shù)的值域，進(jìn)而將參數(shù)置于一個(gè)范圍內(nèi)，再利用整數(shù)離散性求得參數(shù)的值（4）反證法：運(yùn)用反證法處理整數(shù)問題時(shí)，常見的矛盾有以下幾點(diǎn)：①所解得變量非整數(shù)，或不符合已知范圍②等式兩側(cè)為一奇一偶3、整數(shù)問題通常會(huì)與數(shù)列聯(lián)系起來，其特征就是數(shù)列中項(xiàng)的序數(shù)，以及前項(xiàng)和的項(xiàng)數(shù)，均為正整數(shù)。二、典型例題：例1：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若為數(shù)列中的項(xiàng)，則____思路：，中的項(xiàng)為大于等于（）的奇數(shù)，所以考慮將向奇數(shù)形式變形：，可得應(yīng)該為大于等于4的偶數(shù)，所以或，解得（舍）或答案：小煉有話說：（1）本題的亮點(diǎn)在于對(duì)的變形，在有關(guān)整數(shù)的問題里，通?？蓪?duì)分式進(jìn)行“分離常數(shù)”的變形，從而將復(fù)雜的分式簡(jiǎn)化，并能立刻找到需處理的部分。例如在本題中通過“分離常數(shù)”可迅速將目標(biāo)鎖定在上。（2）本題對(duì)的處理有多個(gè)角度，還可以從分母出發(fā)，觀察到應(yīng)為奇數(shù)，而，而的奇因數(shù)只有和，同樣可確定的值。例2：已知等差數(shù)列的公差，設(shè)的前項(xiàng)和為（1）求的通項(xiàng)公式（2）求的值，使得例3：已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）設(shè)，是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由解：（1）①符合①（2）思路：按照奇偶分段，所以要確定的奇偶。觀察可發(fā)現(xiàn)無論為何值，均為一奇一偶，所以只需要對(duì)的奇偶進(jìn)行分類討論，解出符合條件的即可解：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)解得：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)解得：（舍）綜上所述：例4：已知各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列滿足，前6項(xiàng)依次成等差數(shù)列，從第五項(xiàng)起依次成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）求出所有的正整數(shù)，使得解：（1）設(shè)前6項(xiàng)的公差為，則成等比數(shù)列，解得：時(shí)，，則時(shí)，（2）思路：由于數(shù)列分為兩部分，當(dāng)時(shí)，即為公比是的等比數(shù)列，所以考慮對(duì)于數(shù)列的前幾項(xiàng)可進(jìn)行驗(yàn)證，后成等比數(shù)列，從而可進(jìn)行抽象的計(jì)算，看是否能夠找到符合條件的。解：由（1）可得：則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，假設(shè)存在，使得則有即：，從而無解時(shí)，不存在這樣的，使得綜上所述：或例5：已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，（）.（1）求，的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）是否存在整數(shù)對(duì)，使得等式成立？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（1）在中，令，得：再令，得：（2）由①，可得：②①②可得：從第二項(xiàng)開始成等比關(guān)系，公比為而符合上式（3）思路：所成立的等式為，考慮將進(jìn)行分離得到：，再利用為整數(shù)可得為整數(shù)，從而求出符合條件的，再求出。解：由（2）得：且只需，即經(jīng)計(jì)算可得：時(shí)，解得：共有三組符合題意：小煉有話說：（1）在第（2）問中，要注意的取值范圍變化，并且要把所能取到的最小值代入到遞推公式中以了解遞推公式從第幾項(xiàng)開始滿足。（2）二元不定方程在求解時(shí)，參變分離是一種方式，通過變形讓兩變量分居不等號(hào)的兩側(cè)，這樣可以以一側(cè)作為突破口（比如本題中的整除問題），來求得變量的解例6：已知數(shù)列是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，且滿足，令，數(shù)列的前項(xiàng)和為（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及（2）是否存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列？若存在，求出所有的的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。解：（1）且（2）思路：先假定存在滿足條件的，則由可得，無法直接得到不等關(guān)系，考慮變形等式：，分離參數(shù)可得：，以為突破口可解出的范圍，從而確定的值后即可求出解：假設(shè)存在，則即即解得：，代入可得：，解得：存在，使得成等比數(shù)列例7：已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足：，且（1）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）設(shè)，求，并確定最小正整數(shù)，使得為整數(shù)解：（1）是公比為2的等比數(shù)列（2）思路：由（1）可得，的通項(xiàng)公式可求但是比較復(fù)雜，不利于求出，但觀察發(fā)現(xiàn)可將中的項(xiàng)重新組合，進(jìn)而能夠和找到聯(lián)系。，求和可得，若為整數(shù)，則能被整除，而，考慮可將寫成，通過二項(xiàng)式定理展開并找到最小的正整數(shù)解：若為整數(shù)，因?yàn)榧茨鼙徽钥傻脮r(shí)，能被整除的最小值是例8：已知為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，若（1）求（2）對(duì)，將中落入?yún)^(qū)間內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為①求②記，的前項(xiàng)和記為，是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由解：（1）設(shè)的公差為解得：（2）①②思路：由①可得：，，則所解方程變形為：，得到關(guān)于的不定方程，可考慮對(duì)進(jìn)行變量分離，以等式左右邊的符號(hào)作為突破口（左邊為正數(shù)），得到，即，然后代入解出符合條件的即可解：由①可得：由可得：時(shí)，解得：（舍）時(shí)，解得：（舍）時(shí)，解得：存在這樣的，滿足所給方程小煉有話說：1、本題中②的方程，并沒有在一開始就將代入，否則運(yùn)算會(huì)復(fù)雜的多，所采取的策略為先化簡(jiǎn)變形，變形完成之后再代入?？珊?jiǎn)化不必要的運(yùn)算2、本題在解的不定方程所用的方法為變量分離法，將兩個(gè)只含某一字母的式子用等號(hào)連接，則兩邊式子的范圍應(yīng)當(dāng)一致。以其中一個(gè)式子作為突破口（比如），再結(jié)合變量必須取整數(shù)的條件，便可用不等關(guān)系將變量所能取的值確定下來。例9：已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，且對(duì)任意的，都有：，若，則：（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）試探究：數(shù)列中是否存在某一項(xiàng)，它可以表示為該數(shù)列中其它項(xiàng)的和？若存在，請(qǐng)求出該項(xiàng)，若不存在，請(qǐng)說明理由解：（1）①②①②可得：令，則令，則令，則所以有：，解得：（2）思路：首先要把命題翻譯為等式，將其他項(xiàng)可設(shè)為，設(shè)存在某項(xiàng)，則，設(shè)，則同除以，就會(huì)出現(xiàn)左右兩側(cè)奇偶不同，從而假設(shè)不成立解：假設(shè)存在某項(xiàng)及數(shù)列中的其他項(xiàng)，所以兩邊同時(shí)除以可得：，左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)。所以等式不成立所以不存在這樣的項(xiàng)小煉有話說：（1）通過本題要學(xué)會(huì)如何表示數(shù)列中某一串項(xiàng)：如果是相鄰項(xiàng)，則可表示為：，如果不一定相鄰，則可用作角標(biāo)，其中體現(xiàn)出這一串項(xiàng)所成數(shù)列中項(xiàng)的序數(shù)，而表示該項(xiàng)在原數(shù)列中的序數(shù)（2）本題還有一個(gè)矛盾點(diǎn)：題目中的項(xiàng)不一定為相鄰項(xiàng)，但是可通過放縮將右邊的項(xiàng)補(bǔ)全，變?yōu)閺囊恢奔拥剑?。則①，由整數(shù)性質(zhì)可得，所以，與①矛盾，所以不存在。例10：已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，其中均為大于1的正整數(shù)，且，對(duì)于任意的，均存在，使得成立，則____________思路：本題的關(guān)鍵是求出，已知均為大于1的正整數(shù)，所以考慮從兩個(gè)不等關(guān)系入手嘗試求的值或范圍：，所以，從而根據(jù)不等號(hào)方向可得：解得：，所以，從而，代入可得：，因?yàn)?，所以（舍）或。所以成立，所以，答案：三、歷年好題精選1、（2014，山東師大附中五模）用部分自然數(shù)構(gòu)造如圖的數(shù)表：用表示第行第個(gè)數(shù)（），使得，每行中的其他各數(shù)分別等于其“肩膀”上的兩個(gè)數(shù)