6.3.3平面向量加減運算的坐標表示6.3.4平面向量數(shù)乘運算的坐標表示課件高一下學期數(shù)學人教A版

第六章平面向量及其應(yīng)用平面向量加、減運算的坐標表示平面向量數(shù)乘運算的坐標表示人教A版

數(shù)學

必修第二冊課程標準1.會用坐標表示平面向量加、減運算與數(shù)乘運算.2.能用坐標表示平面向量共線的條件.基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)知識點1

平面向量運算的坐標表示平面向量的坐標運算法則:若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ∈R,則表示文字描述符號表示加法兩個向量和的坐標分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標的

a+b=

減法兩個向量差的坐標分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標的

a-b=

數(shù)乘實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的

λa=

向量坐標公式一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標已知A(x1,y1),B(x2,y2),則=

和

(x1+x2,y1+y2)差(x1-x2,y1-y2)相應(yīng)坐標

(λx1,λy1)(x2-x1,y2-y1)過關(guān)自診1.若a=(3,-2),b=(-1,4),則a+b=

.

2.在平面直角坐標系中,若M(1,-6),N(3,4),則向量

的坐標是

,向量

的坐標是

.

3.[北師大版教材習題]已知a=(2,4),b=(-1,1),求2a-3b,4a+2b的坐標.(2,2)(2,10)(-2,-10)解

2a-3b=(4,8)-(-3,3)=(7,5);4a+2b=(8,16)+(-2,2)=(6,18).知識點2

平面向量共線的坐標表示

利用平面向量共線可解決平面幾何中的平行問題

前提條件a=(x1,y1),b=(x2,y2)結(jié)論向量a,b共線的充要條件是

x1y2-x2y1=0名師點睛若a,b(b≠0)共線,則可設(shè)a=tb(t∈R),轉(zhuǎn)化為坐標即(a1,a2)=t(b1,b2),可得若再轉(zhuǎn)化為更一般的情況,可得:a1b2-a2b1=0.這是兩向量共線坐標條件的一般化表示,適用于任意兩向量共線.過關(guān)自診

2.若向量m=(3,-2)與n=(x,4)共線,則實數(shù)x=

.

-6解析

因為兩個向量共線,所以3×4=(-2)×x,解得x=-6.3.[人教B版教材例題]在平面直角坐標系中,已知A(-2,-3),B(0,1),C(2,5),求證:A,B,C三點共線.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一向量的坐標運算【例1】

(1)已知向量a=(1,2),b=(3,-4),c=(-2,6),試求a+3b,3a-2b+c.解

因為a=(1,2),b=(3,-4),c=(-2,6),所以a+3b=(1,2)+3(3,-4)=(1,2)+(9,-12)=(10,-10),規(guī)律方法

向量坐標運算要注意的問題(1)向量的坐標運算主要是利用加法、減法、數(shù)乘運算法則進行,若已知有向線段兩端點的坐標,則應(yīng)先求出向量的坐標,要注意三角形法則及平行四邊形法則的應(yīng)用.(2)若是給出向量的坐標,解題過程中要注意方程思想的運用及正確使用運算法則.(3)向量線性運算的坐標表示可完全類比數(shù)的運算進行.A.(4,6) B.(-4,-6) C.(-2,-2) D.(2,2)A探究點二向量坐標運算的應(yīng)用規(guī)律方法

平面向量坐標運算應(yīng)用技巧(1)坐標形式下向量相等的條件:相等向量的對應(yīng)坐標相等;對應(yīng)坐標相等的向量是相等向量.由此可建立相等關(guān)系求某些參數(shù)的值.(2)利用坐標運算求向量的基底表示,一般先求基底向量和被表示向量的坐標,再利用待定系數(shù)法.設(shè)c=xa+yb,在求解時要運用相等向量坐標相同的關(guān)系列方程(組)求出x,y的值.探究點三向量共線的判斷與證明【例3】

[人教B版教材習題]已知A(-1,-3),B(0,-1),C(1,1),求向量,并判斷A,B,C三點是否共線.規(guī)律方法

變式訓練2已知A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量

平行嗎?直線AB平行于直線CD嗎?探究點四根據(jù)向量共線求參數(shù)值【例4】

已知向量a=(-1,x),b=(x-2,-3),若向量2a+b與向量3a-2b共線,求實數(shù)x的值.解

因為a=(-1,x),b=(x-2,-3),所以2a+b=(x-4,2x-3),3a-2b=(-2x+1,3x+6).因為向量2a+b與向量3a-2b共線,所以(x-4)(3x+6)=(2x-3)(-2x+1),整理得x2-2x-3=0,解得x=3或x=-1.故實數(shù)x的值是3或-1.變式探究本例中,若已知“向量a=(-1,x),b=(x-2,-3)反向”,如何求實數(shù)x的值?解

(方法一)由題意可知向量a=(-1,x),b=(x-2,-3)共線,則有(-1)×(-3)=x(x-2),即x2-2x-3=0,解得x=3或x=-1.當x=3時,a=(-1,3),b=(1,-3),這時a=-b,a與b反向;當x=-1時,a=(-1,-1),b=(-3,-3),這時3a=b,a與b同向,故實數(shù)x的值為3.(方法二)因為向量a=(-1,x),b=(x-2,-3)反向,所以設(shè)a=λb(λ<0),即(-1,x)=λ(x-2,-3),因為λ<0,所以取x=3,故實數(shù)x的值為3.規(guī)律方法

根據(jù)向量共線求參數(shù)值的方法根據(jù)向量共線的條件求參數(shù)值的問題,一般有兩種處理思路,一是利用向量共線定理a=λb(b≠0)列方程組求解,二是利用向量共線的坐標表達式x1y2-x2y1=0或

(y1y2≠0)直接求解.探究點五利用向量共線證明三點共線【例5】

若已知點A(1,-3),B,C(9,1),求證:A,B,C三點共線.規(guī)律方法

三點共線的實質(zhì)與證明步驟(1)實質(zhì):三點共線問題的實質(zhì)是向量共線問題.兩個向量共線只需滿足方向相同或相反.(2)證明步驟:①證明向量平行;②證明兩個向量有公共點.C于是1×(m+1)-m×2=0,解得m=1.若點A,B,C能構(gòu)成三角形,則點A,B,C不共線,故m≠1.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)平面向量加、減運算的坐標表示.(2)平面向量數(shù)乘運算的坐標表示.(3)平面向量共線的坐標表示.2.方法歸納:數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū):忽視基底中的向量不共線.成果驗收·課堂達標檢測123456789101112131415161718192021A級必備知識基礎(chǔ)練1.(多選題)[探究點三]下列各對向量不共線的是(

)A.a=(2,3),b=(3,-2)B.a=(2,3),b=(4,-6)ABC解析

A,B,C中各對向量均不滿足向量共線定理,D中b=a,兩個向量共線.1234567891011121314151617181920212.[探究點一]向量a=(2,3),b=(1,-1),則2a+b=(

)A.10 B.(5,5) C.(5,6) D.(5,7)B解析

∵向量a=(2,3),b=(1,-1),∴2a+b=(5,5),故選B.1234567891011121314151617181920213.[探究點一]已知a=(-5,6),b=(-3,2),c=(x,y),若a-3b+2c=0,則c等于(

)A.(-2,6) B.(-4,0) C.(7,6) D.(-2,0)D解析

∵a-3b+2c=0,∴(-5,6)-(-9,6)+(2x,2y)=(0,0),1234567891011121314151617181920214.[探究點四]已知向量a=(3,5),b=(cosα,sinα),且a∥b,則tanα等于(

)B123456789101112131415161718192021A123456789101112131415161718192021123456789101112131415161718192021{m|m∈R且m≠6}1234567891011121314151617181920211234567891011121314151617181920219.[探究點二、四]已知a=(x+3,x2-3x-4),A(1,2),B(3,2).123456789101112131415161718192021(1)求3a+b-3c;(2)求滿足a=mb+nc的實數(shù)m,n;(3)求M,N的坐標及

的坐標.123456789101112131415161718192021(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)∵a=mb+nc,∴(5,-5)=m(-6,-3)+n(1,8).123456789101112131415161718192021123456789101112131415161718192021123456789101112131415161718192021123456789101112131415161718192021B級關(guān)鍵能力提升練12.(多選題)已知點A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),給出下面四個結(jié)論,其中正確的有(

)ACD123456789101112131415161718192021D12345678910111213141516171819202114.(多選題)已知向量a=(2,x2),b=(-1,y2-2).若a,b共線,則y的值可以是(

)A.-1 B.0 C.1 D.2ABC解析

∵a=(2,x2),b=(-1,y2-2),且a,b共線,∴2(y2-2)-(-1)x2=0,∴x2=4-2y2≥0,123456789101112131415161718192021B12345678910111213141516171819202112345678910111213141516171819202112345678910111213141516171819202118.已知向量a=(2,3),b=(-1,2).若ma+4b與a-2b共線,則m的值為

.

-2解析

因為ma+4b=m(2,3)+4(-1,2)=(2m-4,3m+8),a-2b=(2,3)-2(-1,2)=(4,-1),向量ma+4b與a-2b共線,所以-(2m-4)=4(3m+8),解得m=-2.12345678910111213141516171819202119.已知點A(-1,1),B(2,-1).(1)若點C是線段AB的中點,求點C的坐標;123456789101112131415161718192021123456789101112131