第28講　余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例

第28講余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例【備選理由】例1是測(cè)量距離的問題,考查了正弦定理的應(yīng)用;例2是測(cè)量高度的問題,以滕王閣為背景,考查余弦定理的實(shí)際應(yīng)用;例3是測(cè)量角度的問題;例4作為對(duì)前面例題的補(bǔ)充,希望能提高學(xué)生的解題能力.例1[配例1使用][2023·哈爾濱六中二模]火箭造橋技術(shù)是我國首創(chuàng)在陡峭山區(qū)建橋的一種方法.由兩枚火箭牽引兩條足夠長的繩索精準(zhǔn)地射入對(duì)岸的指定位置,是建造高空懸索橋的關(guān)鍵.位于湖北省的四渡河大橋就是首次用這種技術(shù)建造的懸索橋.工程師們需要測(cè)算火箭攜帶的引導(dǎo)索的長度(引導(dǎo)索比較重,如果過長會(huì)影響火箭發(fā)射),如圖所示,已知工程師們?cè)诮蛱嶤測(cè)得對(duì)岸目標(biāo)點(diǎn)D的正下方地面上一標(biāo)志物AB的高為h,從點(diǎn)C處看點(diǎn)A和點(diǎn)B的俯角分別為α,β,則一枚火箭應(yīng)至少攜帶引導(dǎo)索CD的長度為 (C)A.hsinαcosβsinC.hcosαcos[解析]在Rt△BCD中,BC=CDcos∠BCD=CDcosβ,在△ABC中,AB=h,∠ACB=α-β,A=π2-α,由正弦定理可得ABsin∠ACB=BCsinA,即hsin(α例2[配例2使用]滕王閣,江南三大名樓之一,因初唐詩人王勃所作《滕王閣序》而名傳千古,如圖所示,在滕王閣旁的水平地面上共線的三點(diǎn)A,B,C處測(cè)得其頂點(diǎn)P的仰角分別為30°,60°,45°,且AB=BC=75米,則滕王閣的高度OP=1515米.

[解析]設(shè)OP=h(h>0)米,則OA=OPtan30°=3h(米),OB=OPtan60°=33h(米),OC=OP方法一:由∠OBC+∠OBA=π得cos∠OBC=-cos∠OBA,由余弦定理得33h2+752-h22×75×33h=-33h2+75方法二:在△OCB中,cos∠OCB=h2+752-33h22×75×h,在△OCA中,cos∠OCA=h2+1502-(3h)22×150×h,例3[配例3使用]如圖,某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東30°相距(6+2)海里的B處有一艘走私船,正沿東偏南45°的方向以3海里/時(shí)的速度向我海岸行駛,巡邏艇立即以22海里/時(shí)的速度沿著正東方向直線追去,1小時(shí)后,巡邏艇到達(dá)C處,走私船到達(dá)D處,此時(shí)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇,立即改變航向,以原速向正東方向逃竄,巡邏艇立即加速以32海里/時(shí)的速度沿著直線追擊.(1)當(dāng)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時(shí),兩者相距多少海里?(2)巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追,才能最快追上走私船?解:(1)由題意知,當(dāng)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時(shí),走私船在D處,巡邏艇在C處,此時(shí)BD=3×1=3,AC=22×1=22.由題意知∠BAC=90°-30°=60°.連接BC,在△ABC中,AB=6+2,AC=22,∠BAC=60°,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=(6+2)2+(22)2-2×(6+2)×22×12=12,所以BC=23在△ABC中,由正弦定理得ACsin∠ABC=BCsin∠BAC,即所以sin∠ABC=22,所以∠ABC=所以∠CBD=180°-45°-45°-60°=30°.在△BCD中,∠CBD=30°,BD=3,BC=23,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos30°=(23)2+32-2×23×3·cos30°=3,所以CD=3,故當(dāng)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時(shí),兩者相距3海里.(2)設(shè)巡邏艇經(jīng)過t小時(shí)沿CE方向在E處追上走私船,如圖,則CE=32t,DE=3t,CD=3.在△BCD中,由正弦定理得CDsin∠CBD=BDsin∠BCD=BCsin∠BDC,即3sin30°=3sin∠BCD=23sin∠BDC,所以sin∠BCD=32,所以∠BCD=60°,∠BDC=90°,∠CDE=135°.在△CDE中,由正弦定理得CEsin∠CDE=DEsin∠DCE,則sin∠DCE=3t·sin135°32t=12,所以∠DCE=30°,由(1)例4[補(bǔ)充使用]如圖,為方便市民游覽市民中心附近的“網(wǎng)紅橋”,現(xiàn)準(zhǔn)備在河岸一側(cè)建造一個(gè)觀景臺(tái)P,已知射線AB,AC是夾角為120°的公路(長度均超過3千米),在兩條公路AB,AC上分別設(shè)立游客上下點(diǎn)M,N,從觀景臺(tái)P到M,N建造兩條觀光線路PM,PN,測(cè)得AM=3千米,AN=3千米.(1)求MN的長度;(2)若∠MPN=60°,求△PMN的面積的最大值.解:(1)在△AMN中,由余弦定理得MN2=AM2+AN2-2AM·AN·cos120°=3+3-2×3×3×-12=9,可得MN所以MN的長度為3千米.(2)設(shè)∠PMN=α,因?yàn)椤螹PN=60°,所以∠PNM=120°-α.在△PMN中,由正弦定理得MNsin60°=PMsin(120°-α)所以PM=23sin(120°-α),PN=23sinα,所以S△PMN=12PM·PN·sin∠MPN=12×23sin(120°-α)×23sinα×32=3332cos