第53講　拋物線-高中數學教學資料

第53講拋物線【備選理由】例1主要考查拋物線的定義及應用;例2考查拋物線的簡單性質,考查轉化的思想方法與運算求解能力;例3考查直線與拋物線的位置關系;例4考查直線與拋物線的位置關系,考查拋物線與圓的綜合問題,綜合性較強;例5考查拋物線的方程及直線與拋物線的位置關系.例1[配例1使用](多選題)設拋物線C:y2=8x的焦點為F,準線為l,點M為C上一動點,E(3,1),則下列結論正確的有 (BC)A.準線l的方程是y=-2B.以線段MF為直徑的圓與y軸相切C.|ME|+|MF|的最小值為5D.|ME|-|MF|的最大值為2[解析]對于A,拋物線C:y2=8x的焦點為F(2,0),準線l的方程為x=-2,故A錯誤;對于B,設M(x0,y0),線段MF的中點為D,則|MF|=x0+2,D的坐標為x0+22,y02,所以xD=x0+22=|MF|2,即點D到點M,F和y軸的距離相等,所以以線段MF為直徑的圓與y軸相切,故B正確;對于C,過M作準線l的垂線,垂足為N,連接NE,由拋物線的定義得|MF|=|MN|,所以|ME|+|MF|=|ME|+|MN|,易知當E,M,N三點共線且NE⊥l時,|ME|+|MN|有最小值,最小值為3+2=5,所以|ME|+|MF|的最小值為5,故C正確;對于D,連接EF,可得|ME|-|MF|≤|EF|,當E,F,M三點共線且F在線段ME上時,|ME|-|MF|有最大值,最大值為|EF|=(3-例2[配例3使用](多選題)已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,過點F的直線l交拋物線于A,B兩點,以線段AB為直徑的圓交y軸于M,N兩點,設線段AB的中點為P,則下列說法正確的是 (BCD)A.若拋物線上的點E(2,t)到點F的距離為4,則拋物線的方程為y2=4xB.以線段AB為直徑的圓與準線相切C.線段AB長度的最小值是2pD.sin∠PMN的取值范圍為1[解析]由題意,拋物線y2=2px(p>0)的焦點為Fp2,0,準線方程為x=-p2,設A(x1,y1),B(x2,y2).對于A,由拋物線上的點E(2,t)到點F的距離為4,可得2+p2=4,解得p=4,所以拋物線的方程為y2=8x,所以A不正確.對于B,分別過點A,B,P作準線的垂線,垂足分別為A1,B1,Q,則線段AB的中點P到準線的距離為|PQ|=|AA1|+|BB1|2,根據拋物線的定義,可得|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,所以|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|,所以|PQ|=12|AB|,所以以線段AB為直徑的圓與準線相切,所以B正確.對于C,由拋物線的定義,可得|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p.當直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=p2,由x=p2,y2=2px,可得y=±p,不妨令y1=p,y2=-p,此時|AB|=2p;當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為y=kx-p2,易知k≠0,由y=kx-p2,y2=2px,整理得k2x2-(k2p+2p)x+k2p24=0,可得x1+x2=k2p+2pk2,所以|AB|=x1+x2+p=k2p+2pk2+p=2p+2pk2>2p.綜上可得,線段AB長度的最小值是2p,所以C正確.對于D,根據題意設直線l的方程為x=my+p2,由x=my+p2,y2=2px,整理得y2-2pmy-p2=0,可得y1+y2=2pm,則x1例3[配例4使用][2023·寧德模擬]已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,N為C上一點,且N在第一象限內,直線FN與C的準線交于點M,過點M且與x軸平行的直線與C交于點P,若|MN|=2|NF|,則△MPF的面積為 (C)A.8 B.12C.43 D.46[解析]設直線NF的傾斜角為θ,準線x=-1與x軸的交點為H,過N作NN'垂直于準線,交準線于N',則|NF|=|NN'|.由|MN|=2|NF|,得|MN|=2|NN'|.當0<θ<π2時,∠N'NF=π3,所以∠MFH=θ=π3.在Rt△MFH中,|HF|=2,∠MHF=π2,∠MFH=π3,所以|HM|=23,所以M(-1,-23).將y=-23代入y2=4x,得x=3,所以P(3,-23),此時△MPF的面積為12×[3-(-1)]×23=43.當π2<θ<π時,∠MNN'=π3,則∠MFH=π3,θ=2π3.在Rt△MFH中,|HF|=2,∠MHF=π2,∠MFH=π3,所以|MH|=23,所以M(-1,23).將y=23代入y2=4x,得x=3,所以P(3,23),此時△MPF的面積為12×[3-(-1)]×23=4例4[配例4使用](多選題)[2023·聊城二模]設直線l與拋物線y2=4x相交于A,B兩點,與圓C:(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于點M(x0,y0),且M為AB的中點,下列說法正確的是 (ABD)A.當y0=1時,直線l的斜率為2B.當y0=2時,|AB|=8C.當r=5時,符合條件的直線l有兩條D.當r=3時,符合條件的直線l有四條[解析]設A(x1,y1),B(x2,y2),則y12=4x1,y22=4x2,兩式相減得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).當直線l的斜率k存在時,x1≠x2,y0≠0,則y1+y22·y1-y2x1-x2=2,又y1+y2=2y0,所以y0k=2.當y0=1時,k=2,故A正確.由CM⊥AB,得k·y0-0x0-5=-1,即y0k=5-x0,故2=5-x0,解得x0=3,即M必在直線x=3上.當y0=2時,k=1,點M(3,2),直線l的方程為y=x-1,直線l恰好過拋物線的焦點(1,0),故|AB|=x1+x2+2=2x0+2=8,故B正確.將x=3代入y2=4x,得y2=12,由M在拋物線內部得y02<12.因為點M在圓C上,所以(x0-5)2+y02=r2,當r=5時,由(3-5)2+y02=25,解得y02=21,與y02<12矛盾,所以斜率存在的直線l不存在,當直線l的斜率不存在時,符合條件的直線l只有一條,故例5[配例2、例4使用]已知拋物線C:x2=2py(p>0),F為C的焦點,過點F的直線l與C交于H,I兩點,且拋物線C在H,I兩點處的切線交于點T,當l與y軸垂直時,|HI|=4.(1)求拋物線C的方程;(2)證明:|FH|·|FI|=|FT|2.解:(1)由題意知F0,p2,將y=p2代入x2=2py,解得x=±p,所以當l與y軸垂直時,|HI|=2p=4,所以p=2,所以拋物線C的方程為x(2)證明:方法一,根據題意知直線l的斜率存在,F(0,1).設直線l的方程為y=kx+1,H(x1,y1),I(x2,y2),由x2=4y,y=kx+1,所以Δ=(-4k)2+16>0,x1+x2=4k,x1x2=-4.對y=14x2求導,得y'=12所以kTH·kTI=12x1·12x2=14×(-所以TI⊥TH.直線HT的方程為y-y1=12x1(x-x1),又y1=14x12,所以直線HT的方程為y=1同理得直線IT的方程為y=12x2x-y2由y=1所以T(2k,-1).當k=0時,|FH|=|FI|=2,|FT|=2,所以|FH|·|FI|=|FT|2.當k≠0時,kFT·kHI=-1-1所以FT⊥HI,又TI⊥TH,所以△FTI∽△FHT,所以|FT||FH|=|FI|綜上所述,|FH|·|FI|=|FT|2.方法二,根據題意知直線l的斜率存在,F(0,1).設直線l的方程為y=kx+1,H(x1,y1),I(x2,y2),由x2=4y,y=kx+1,所以Δ=(-4k)2+16>0,x1+x2=4k,x1x2=-4.對y=14x2求導,得y'=12直線HT的方程為y-y1=12x1(x-x1),又y1=14x12,所以直線HT的方程為y=1同理得直線IT的方程為y=12x2x-y2由y=1所以T(2k,-1).因為|FH|2=x12+(y1-1)2=