北京市匯文中學(xué)教育集團(tuán)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 含解析

北京匯文中學(xué)教育集團(tuán)2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科本試卷共4頁，共150分.考試時(shí)長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.一、選擇題（每題5分，共60分）1.下列關(guān)系中正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系、集合與集合的關(guān)系可判斷.【詳解】易得，，，，故C正確.故選：C.2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)交集的定義求解即可【詳解】由題意，故選：C3.命題，則命題p的否定是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定即可求解.【詳解】全稱命題的否定為特稱命題，故命題“”的否定為：，故選：A4.下列函數(shù)中，值域是的冪函數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義與性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)中的函數(shù)進(jìn)行分析、判斷即可．【詳解】由題意可得選項(xiàng)B、D的函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，故排除B、D；對(duì)于A：函數(shù)，定義域?yàn)镽，所以值域?yàn)镽，滿足條件；對(duì)于C：函數(shù)，定義域?yàn)?，在第一象限?nèi)單調(diào)遞增，又，所以值域?yàn)?，不滿足條件；故選：A5.若，c為實(shí)數(shù)，則下列不等關(guān)系不一定成立的是（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】A選項(xiàng)中，若，則不成立；B選項(xiàng)中，，所以，成立；由不等式的可乘方性知選項(xiàng)C正確；由不等式可加性知選項(xiàng)D正確．故選：A6.若、均為非零實(shí)數(shù)，則不等式成立的一個(gè)充要條件為（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式及充要條件的定義判斷即可；【詳解】解：因?yàn)?、均為非零?shí)數(shù)且，所以，因?yàn)?，，所以，所以，由，可得，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以不等式成立的一個(gè)充要條件為；故選：A7.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】化簡函數(shù)解析式，由此可得出合適選項(xiàng).【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，因此，函?shù)的圖象為選項(xiàng)D中的圖象.故選：D.8.設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.在上單調(diào)遞減B.的圖象與x軸只有2個(gè)公共點(diǎn)C.D.不等式的解集為【答案】B【解析】【分析】由奇函數(shù)性質(zhì)易知在上單調(diào)遞減，且，再結(jié)合單調(diào)性和零點(diǎn)判斷各項(xiàng)正誤.【詳解】由題設(shè)，奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，A對(duì)，B錯(cuò)，由在上單調(diào)遞減，則，C對(duì)，由上分析知：上，上，所以的解集為，D對(duì).故選：B9.已知函數(shù)（b，c為實(shí)數(shù)），.若方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，，則的最小值是（）A.4 B.2 C.1 D.【答案】B【解析】【分析】由求得，再由方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，，利用根的分布得到，然后利用韋達(dá)定理求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)（b，c為實(shí)數(shù)），，所以，解得，所以，因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)正實(shí)數(shù)根，，所以，解得，所以，當(dāng)c=2時(shí)，等號(hào)成立，所以其最小值是2，故選：B10.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a值的集合為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】,可以得到，求出集合A的子集，這樣就可以求出實(shí)數(shù)值集合.【詳解】,的子集有，當(dāng)時(shí)，顯然有；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，不存在符合題意，實(shí)數(shù)值集合為，故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了通過集合的運(yùn)算結(jié)果，得出集合之間的關(guān)系，求參數(shù)問題.重點(diǎn)考查了一個(gè)集合的子集，本題容易忽略空集是任何集合的子集這一結(jié)論.11.若函數(shù)的定義域和值域的交集為空集，則正數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先得到函數(shù)的定義域，再分析當(dāng)時(shí)的取值，即可得到，再對(duì)時(shí)分和兩種情況討論，求出此時(shí)的取值，即可得到的值域，從而得到不等式，解得即可；【詳解】解：因?yàn)?，所以定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，所以；要使定義域和值域的交集為空集，顯然，當(dāng)時(shí)，若則，此時(shí)顯然不滿足定義域和值域的交集為空集，若時(shí)在上單調(diào)遞減，此時(shí)，則，所以，解得，即故選：B12.已知函數(shù)，集合，集合，若，且都不是空集，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】因?yàn)榧隙疾皇强占?，設(shè)，則，，則，即可求出的值，然后對(duì)分類討論即可求解.【詳解】因?yàn)榧隙疾皇强占?，設(shè)，則，，則，所以，，當(dāng)時(shí)，方程的解為，此時(shí)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，方程的解為或，，則或，由，則無解，則，解得；綜上，所以，故選:B.二、填空題（每題5分，共30分）13.函數(shù)的定義域是______．【答案】【解析】【分析】由根式、分式性質(zhì)列不等式組求定義域即可.【詳解】由題設(shè)，可得.故答案為：14.______________．【答案】【解析】【分析】利用指數(shù)的運(yùn)算法則和對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即求.【詳解】原式.故答案為：.15.已知集合，，若滿足，則實(shí)數(shù)a的值為______．【答案】－3【解析】【分析】根據(jù)交集定義，若，則且，從而討論集合的情況，確定實(shí)數(shù)a的值.【詳解】由題意可得，且，當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)，，，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，，，中元素不滿足互異性，不符合題意，舍去，當(dāng)時(shí)，，，，符合題意，綜上所述，，故答案為：－3.16.不等式的解集是______．【答案】【解析】【分析】將不等式化為求解集即可.【詳解】由題設(shè)，則，解得.故答案為：17.某池塘里原有一塊浮萍，浮萍蔓延后的面積（單位：平方米）與時(shí)間（單位：月）的關(guān)系式為（且）圖象如圖所示.則下列結(jié)論：①浮萍蔓延每個(gè)月增長的面積都相同；②浮萍蔓延個(gè)月后的面積是浮萍蔓延個(gè)月后的面積的；③浮萍蔓延每個(gè)月增長率相同，都是；④浮萍蔓延到平方米所經(jīng)過的時(shí)間與蔓延到平方米所經(jīng)過的時(shí)間的和比蔓延到平方米所經(jīng)過的時(shí)間少.其中正確結(jié)論的序號(hào)是_____．【答案】②④【解析】【分析】由，可求得的值，可得出，計(jì)算出萍蔓延月至月份增長的面積和月至月份增長的面積，可判斷①的正誤；計(jì)算出浮萍蔓延個(gè)月后的面積和浮萍蔓延個(gè)月后的面積，可判斷②的正誤；計(jì)算出浮萍蔓延每個(gè)月增長率，可判斷③的正誤；利用指數(shù)運(yùn)算可判斷④的正誤.【詳解】由已知可得，則.對(duì)于①，浮萍蔓延月至月份增長的面積為（平方米），浮萍蔓延月至月份增長的面積為（平方米），①錯(cuò)；對(duì)于②，浮萍蔓延個(gè)月后的面積為（平方米），浮萍蔓延個(gè)月后的面積為（平方米），所以，浮萍蔓延個(gè)月后的面積是浮萍蔓延個(gè)月后的面積的，②對(duì)；對(duì)于③，浮萍蔓延第至個(gè)月的增長率為，所以，浮萍蔓延每個(gè)月增長率相同，都是，③錯(cuò)；對(duì)于④，浮萍蔓延到平方米所經(jīng)過的時(shí)間、蔓延到平方米所經(jīng)過的時(shí)間的和蔓延到平方米的時(shí)間分別為、、，則，，，所以，，所以，浮萍蔓延到平方米所經(jīng)過的時(shí)間與蔓延到平方米所經(jīng)過的時(shí)間的和比蔓延到平方米所經(jīng)過的時(shí)間少，④對(duì).故答案為：②④.18.世界公認(rèn)的三大著名數(shù)學(xué)家為阿基米德、牛頓、高斯，其中享有“數(shù)學(xué)王子”美譽(yù)的高斯提出了取整函數(shù)，表示不超過x的最大整數(shù)，例如．已知，，則函數(shù)的值域?yàn)開_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，將變形，分析其取值范圍，結(jié)合取整函數(shù)定義，分析得到答案.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，所以，即，所以，此時(shí)取值為1；當(dāng)時(shí)，，所以，即，所以，此時(shí)的取值為；綜上，的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋?三、解答題（共60分）19.已知二次函數(shù).（1）求的對(duì)稱軸；（2）若，求的值及的最值.【答案】（1）（2）的值是，最小值是，無最大值【解析】【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸公式，即可得到結(jié)果；（2）由，可求出的值，再根據(jù)二次函數(shù)的開口和對(duì)稱軸，即可求出最值.【小問1詳解】解：因?yàn)槎魏瘮?shù)，所以對(duì)稱軸．【小問2詳解】解：因?yàn)?，所?所以.所以．因?yàn)?，所以開口向上，又對(duì)稱軸為，所以最小值為，無最大值.20.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)．（1）求的值；（2）若時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由奇函數(shù)性質(zhì)有求參數(shù)，注意驗(yàn)證結(jié)果，再代入自變量求的值；（2）由解析式判斷單調(diào)性，結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)，將問題化為，恒成立，求右側(cè)最小值即得參數(shù)范圍.【小問1詳解】∵是R上的奇函數(shù)，則，即，解得，∴，，則，符合題意，∴.【小問2詳解】因?yàn)椋栽诙x域上單調(diào)遞增，又是定義在R上的奇函數(shù)，故在恒成立，等價(jià)于，即在上恒成立，即在上恒成立，即，恒成立，令，，則，∴．21.設(shè)函數(shù)（）.（1）指出在上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（2）若在上有解，求的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)遞減，證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用單調(diào)性的定義法進(jìn)行證明即可（2）利用參變分離法，使得問題轉(zhuǎn)化為有解，進(jìn)而利用的單調(diào)性求解即可【小問1詳解】在上單調(diào)遞減，證明如下：，取，則，則，，得，所以，在上單調(diào)遞減【小問2詳解】若在上有解，則有有解，整理得，，又在上單調(diào)遞減，在上必有，，在上必有，由在上有解，可得【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的難點(diǎn)在于利用參變分離法進(jìn)行化簡求解，參變分離后，利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式的有解問題即可，屬于基礎(chǔ)題22.已知是定義在上的函數(shù)，滿足下列兩個(gè)條件：①當(dāng)時(shí)，恒成立；②對(duì)任意的x，，都有．（1）求和；（2）判斷的奇偶性，并證明；（3）若在區(qū)間上單調(diào)遞減，直接寫出關(guān)于x的不等式的解集．【答案】（1），（2）奇函數(shù)，證明見解析（3）【解析】【分析】（1）在中，令，即可求得的值，取，即可求得的值.（2）取，，結(jié)合的值，即可證明的奇偶性.（3）利用單調(diào)性定義得到單調(diào)性，求解關(guān)于的不等式即可.【小問1詳解】解：令，得，∴或若，取，則得，與時(shí)，矛盾，故舍去．∴，，又時(shí)，，∴【小問2詳解】證明：取，，得則，∴，函數(shù)為奇函數(shù)．【小問3詳解】取，得，因?yàn)椋傻?，即所以，由函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，設(shè)且，可得，則，所以，即，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以不等式轉(zhuǎn)化為，解得，所以不等式的解集為．23.設(shè)A是實(shí)數(shù)集的非空子集，稱集合且為集合A的生成集．（1）當(dāng)時(shí)，寫出集合A的生成集B；（2）若A是由5個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，求其生成集B中元素個(gè)數(shù)的最小值；（3）判斷是否存在4個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合A，使其生成集，并說明理由．【答案】（1）（2）7（3）不存在，理由見解析【解析】【分析】（1）利用集合的生成集定義直接求解.（2）設(shè)，且，利用生成集的定義即可求解；（3）不存在，理由反證法說明.【小問1詳解】