2025千題百煉-高考數(shù)學(xué)100個熱點問題（一）：第19煉 利用函數(shù)證明數(shù)列不等式含答案

2025千題百煉——高考數(shù)學(xué)100個熱點問題（一）：第19煉利用函數(shù)證明數(shù)列不等式含答案第19煉利用函數(shù)證明數(shù)列不等式利用函數(shù)證明不等式是在高考導(dǎo)數(shù)題中比較考驗學(xué)生靈活運用知識的能力，一方面以函數(shù)為背景讓學(xué)生探尋函數(shù)的性質(zhì)，另一方面體現(xiàn)數(shù)列是特殊的函數(shù)，進(jìn)而利用恒成立的不等式將沒有規(guī)律的數(shù)列放縮為為有具體特征的數(shù)列，可謂一題多考，巧妙地將函數(shù)，數(shù)列，不等式連接在一起，也是近年來高考的熱門題型。一、基礎(chǔ)知識：1、考察類型：（1）利用放縮通項公式解決數(shù)列求和中的不等問題（2）利用遞推公式處理通項公式中的不等問題2、恒成立不等式的來源：（1）函數(shù)的最值：在前面的章節(jié)中我們提到過最值的一個作用就是提供恒成立的不等式。（2）恒成立問題的求解：此類題目往往會在前幾問中進(jìn)行鋪墊，暗示數(shù)列放縮的方向。其中，有關(guān)恒成立問題的求解，參數(shù)范圍內(nèi)的值均可提供恒成立不等式3、常見恒成立不等式：（1）對數(shù)→多項式（2）指數(shù)→多項式4、關(guān)于前項和的放縮問題：求數(shù)列前項公式往往要通過數(shù)列的通項公式來解決，高中階段求和的方法有以下幾種：（1）倒序相加：通項公式具備第項與第項的和為常數(shù)的特點（2）錯位相減：通項公式為“等差等比”的形式（例如，求和可用錯位相減）（3）等比數(shù)列求和公式（4）裂項相消：通項公式可裂為兩項作差的形式，且裂開的某項能夠與后面項裂開的某項進(jìn)行相消。注：在放縮法處理數(shù)列求和不等式時，放縮為等比數(shù)列和能夠裂項相消的數(shù)列的情況比較多見，故優(yōu)先考慮。5、大體思路：對于數(shù)列求和不等式，要謹(jǐn)記“求和看通項”，從通項公式入手，結(jié)合不等號方向考慮放縮成可求和的通項公式。6、在放縮時要注意前幾問的鋪墊與提示，尤其是關(guān)于恒成立問題與最值問題所帶來的恒成立不等式，往往提供了放縮數(shù)列的方向7、放縮通項公式有可能會進(jìn)行多次，要注意放縮的方向：朝著可求和的通項公式進(jìn)行靠攏（等比數(shù)列，裂項相消等）8、數(shù)列不等式也可考慮利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明（有時更容易發(fā)現(xiàn)所證不等式與題目條件的聯(lián)系）二、典型例題：例1：已知函數(shù)在處取得極值（1）求實數(shù)的值（2）證明：對于任意的正整數(shù)，不等式都成立解：（1）為的極值點（2）思路一：聯(lián)想所證不等式與題目所給函數(shù)的聯(lián)系，會發(fā)現(xiàn)在中，存在對數(shù)，且左邊數(shù)列的通項公式也具備項的特征，所以考慮分析與的大小關(guān)系，然后與數(shù)列進(jìn)行聯(lián)系。解：下面求的單調(diào)區(qū)間,令即（每一個函數(shù)的最值都會為我們提供一個恒成立的不等式，不用白不用！觀察剛好與所證不等式不等號方向一致）令，則即 即小煉有話說：（1）此不等式實質(zhì)是兩組數(shù)列求和后的大小關(guān)系（），通過對應(yīng)項的大小關(guān)系決定求和式子的大小。此題在比較項的大小時關(guān)鍵是利用一個恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)的最值，而這個函數(shù)往往由題目所給。另外有兩點注意：①關(guān)注函數(shù)最值所產(chǎn)生的恒成立不等式②注意不等號的方向應(yīng)該與所證不等式同向（2）解決問題后便明白所證不等式為何右邊只有一個對數(shù)，其實也是在作和，只是作和時對數(shù)合并成一項（與對數(shù)運算法則和真數(shù)的特點相關(guān)），所以今后遇到類似問題可猜想對數(shù)是經(jīng)歷怎樣的過程化簡來的，這往往就是思路的突破點思路二：發(fā)現(xiàn)不等式兩邊均有含的表達(dá)式，且一側(cè)作和，所以考慮利用數(shù)學(xué)歸納法給予證明：解：用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時，不等式為成立②假設(shè)時，不等式成立（即）當(dāng)時，若要證只需證（下同思路一：分析的最值可得）令，由恒成立不等式可得即所證不等式成立③，均有小煉有話說：利用數(shù)學(xué)歸納法證明要注意兩點：（1）格式的書寫（2）要利用所假設(shè)的條件例2：已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（2）當(dāng)時，函數(shù)圖像上的點都在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，求實數(shù)的取值范圍（3）求證：（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）解：（1）常規(guī)解法，求出單調(diào)區(qū)間找最值,令求出單調(diào)區(qū)間如下：（2）解：函數(shù)圖像上的點都在區(qū)域內(nèi)，條件等價于,恒成立，即令令即①時，不符合題意（此時發(fā)現(xiàn)單調(diào)性并不能直接舍掉的情況，但可估計函數(shù)值的趨勢，恒為正，而早晚會隨著值的變大而為正數(shù)，所以必然不符合題意。在書寫時可構(gòu)造反例來說明，此題只需即可，所以選擇）②時，即在單調(diào)遞減，符合題意綜上所述：（3）思路：觀察所證不等式，左邊連乘，右邊是，可以想到利用兩邊取對數(shù)“化積為和”，同時利用第二問的結(jié)論。第二問給我們提供了恒成立的不等式，時，，取，即，則可與左邊的求和找到聯(lián)系。解：所證不等式等價于由（2）可得，令，即（左邊可看做是數(shù)列求和，利用結(jié)論將不等式左邊的項進(jìn)行放縮，轉(zhuǎn)化成可求和的數(shù)列——裂項相消）不等式得證小煉有話說：（1）第二問中代數(shù)方法與數(shù)形結(jié)合方法的抉擇（體會為什么放棄線性規(guī)劃思路），以及如何將約束條件轉(zhuǎn)變?yōu)楹愠闪栴}（2）對數(shù)運算的特點：化積為和。題目中沒有關(guān)于乘積式的不等關(guān)系，于是決定變?yōu)楹褪剑?）利用上一問的結(jié)論放縮通項公式，將不可求和轉(zhuǎn)變?yōu)榭汕蠛?，進(jìn)而解決問題例3：已知函數(shù)（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，若恒成立，求滿足條件的正整數(shù)的值；（3）求證：.解：（1）若當(dāng)時，在上單調(diào)遞增當(dāng)時，在上單調(diào)遞減（2）思路：不等式等價于，即而在第（1）問中即為的分子，故考慮利用來確定的符號，進(jìn)而求出的單調(diào)區(qū)間及最值解：，由（1）得單調(diào)遞增,(盡管無法直接求出的零點，但可估計出且，所以可估計零點的所在區(qū)間）的單調(diào)區(qū)間如下：（3）思路：由第（2）問得時，均有，所證不等式可兩邊同取對數(shù)“化積為和”，再考慮利用結(jié)論進(jìn)行放縮解：所證不等式等價于：由第（2）問可得：即原不等式成立。（如果從第一項就進(jìn)行縮小，則，發(fā)現(xiàn)縮小過度但差距不大，所以進(jìn)行調(diào)整，第一項不變，其余放縮。這樣不僅減少縮小的尺度，同時不改變求和規(guī)律）小煉有話說：這道題是對書中幾篇文章所講技巧的一個綜合。所涉內(nèi)容如下：（1）第二問中對零點的處理，參見：3.1.3最值分析法（2）第三問中數(shù)列放縮后的調(diào)整值得注意，放縮的過程中有可能存在“放過頭”的情況，往往是由于前幾項放縮程度過大造成的（通常越大，放縮的程度越?。?，所以考慮數(shù)列前幾項不進(jìn)行放縮，然后再看不等式能否成立，若一直都“過度”一點點，那么就要考慮是否另選放縮方案了。例4：設(shè)函數(shù)，其中。:（1）當(dāng)時，討論函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性；（2）證明：對任意的正整數(shù)，不等式都成立。解析：（1），令即解不等式①時方程的兩根，的單調(diào)區(qū)間為：②時，恒成立在單調(diào)遞增（2）考慮時，則令在恒成立在單調(diào)遞增，令即：例5：已知函數(shù)的最小值為0，其中。（1）求的值（2）若對任意的，有成立，求實數(shù)的最小值（3）證明：解：（1）,定義域令解得，的單調(diào)區(qū)間為：（2）當(dāng)時，取，有，故不合題意。當(dāng)時，令，即。，令，得當(dāng)時，在上恒成立因此在上單調(diào)遞減，對于任意的，總有，即在上恒成立。故符合題意。當(dāng)時，，，在內(nèi)單調(diào)遞增，取時，，即不成立。故不合題意綜上，的最小值為。（3）由第（2）問可得：當(dāng)時，不等式恒成立令即即例6：已知函數(shù)（1）求的最大值；（2）證明不等式：。解：（1），令，單調(diào)區(qū)間如下：（2）思路：左邊可看做數(shù)列求和，其通項公式為，無法直接求和，所以考慮利用條件進(jìn)行放縮，右邊是分式，可以猜想是等比數(shù)列求和后的結(jié)果，所以將放縮為等比數(shù)列模型。由（1）可得，令進(jìn)行嘗試解：由（1）可得令，即（尋找次方的來源）不等式得證小煉有話說：此題的第（3）問將數(shù)列通項公式放縮為等比數(shù)列求和，如果不等式的一側(cè)是一個分?jǐn)?shù)，則可向等比數(shù)列求和的結(jié)果考慮（猜想公比與首項）。例7：函數(shù).（1）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）證明：.（1）解：恒成立不等式等價于：，令(注：在中這三個自變量的函數(shù)值最便于計算，進(jìn)而選擇代入）可視為關(guān)于的一次函數(shù)且遞增令則對恒成立。若要，只需，下面進(jìn)行證明：,只需證即可考慮時，從而（注：導(dǎo)數(shù)無法求出極值點，故引入抽象的極值點,但要利用零點存在性定理估計所在區(qū)間）,使得且當(dāng)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增恒成立,進(jìn)而對每一個均滿足（2）思路：將左邊視為數(shù)列求和，其通項公式為(注意左邊是項求和），考慮利用前面條件對通項公式放縮：令，則恒成立，但如果直接進(jìn)行代入，不等號右邊的無法處理，進(jìn)而無法與所證不等式的右邊找到聯(lián)系。考慮將挪至左側(cè)并與合角，進(jìn)而將三角函數(shù)放縮為多項式。再根據(jù)求和特點進(jìn)行求和解：由（2）可得：令可得(注：通項公式為，而恒成立不等式中的三角函數(shù)為，所以令，反求即可）小煉有話說：（1）關(guān)注本題第二問恒成立的求法（具體可參見3.3.3有關(guān)內(nèi)容），在證明上需要極值點而無法直接求出時可先用抽象的代替，但要確定好所處的大概區(qū)間（2）第三問對第二問的結(jié)論稍加變形（即將與進(jìn)行合角，而不是直接代入)的應(yīng)用是本題的一大亮點。方程，不等式的變形目的是將條件與結(jié)論能夠連接起來，所以構(gòu)造時要關(guān)注所求不等式的結(jié)構(gòu)特點。（3）第三問不等式的左邊有兩個細(xì)節(jié)：第一個是左邊求和的項數(shù)是項，第二個在中，同一個所代表的含義不同。分母每一項都是,與項數(shù)相關(guān)。給定一個，數(shù)列項的分母就固定了。而分子的代表的是序數(shù)，可發(fā)現(xiàn)數(shù)列中分子是在不斷變化的，從1變到,在，同一個在分子分母中扮演的角色不同。所以在寫通項公式時，引入了字母用來區(qū)分序數(shù)與項數(shù)。例8：定義：若在上為增函數(shù)，則稱為“次比增函數(shù)”，其中，已知:（1）當(dāng)時，求函數(shù)在上的最小值（2）求證：解：（1）令解得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增①時，②，③，綜上所述：（2）由第（1）問可得：時，，即所求和的通項公式為，由可得：，令，可得：例9：已知函數(shù)（1）設(shè)，討論函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)（2）記，若對任意正整數(shù)，對任意恒成立，則稱在上是“高效”的。試判斷是否在上是“高效”的？若是，請給出證明，若不是，請說明理由解：（1），令即的零點個數(shù)即為函數(shù)與交點的個數(shù)設(shè)，，令解得單調(diào)區(qū)間如下：，草圖如下：或時，無零點或，一個零點，兩個零點（2）思路：觀察到結(jié)構(gòu)上與（2）中的很相似，而實質(zhì)上是，故考慮對每一項進(jìn)行放縮使得求和具有規(guī)律性，結(jié)合的特點可寫成（將視為整體），進(jìn)而利用單調(diào)性進(jìn)行放縮解：單調(diào)區(qū)間如下：（，進(jìn)而放縮為，而可放縮為能夠裂項求和的式子。）在上是“高效”的小煉有話說：（1）此題中的第（2）問對第（3）問的函數(shù)構(gòu)造提供了方便，對于證明數(shù)列不等式，同學(xué)要善于利用前面問題的條件與結(jié)論（2）第（3）問的關(guān)鍵之處在于尋找與的聯(lián)系，以及通過不等關(guān)系消（3）求和時通項公式放縮的方向為構(gòu)造具備裂項求和的數(shù)列，其中的放縮技巧如下：而左右兩邊均可裂項求和例10：已知函數(shù)（1）若在定義域內(nèi)為減函數(shù)，求的范圍（2）若滿足，試證明：時，解：（1）為減函數(shù)（2）思路：由（1）可得為減函數(shù)，進(jìn)而即，所求是有關(guān)的不等關(guān)系（①有的指數(shù)冪，所以可能與自然對數(shù)相關(guān)，②考慮數(shù)列的單調(diào)性），已知條件是遞推數(shù)列，可嘗試?yán)眠f推公式尋找不等關(guān)系求解。解：單調(diào)遞增時，即（利用進(jìn)行放縮，消掉多余的，由，聯(lián)想到是可裂項的。再由的特點決定兩邊同取對數(shù)）由（1）可得為減函數(shù)，進(jìn)而即（再次利用不等關(guān)系去掉根式，且降低項的次數(shù)，進(jìn)而不等號右側(cè)可求和。所用不等關(guān)系：）得證小煉有話說：（1）對付較復(fù)雜的題目，首先要把準(zhǔn)備工作做好，在第三問中你可做的準(zhǔn)備工作有這些：①如果你計算了，也許就知道左邊的的來源進(jìn)而決定進(jìn)行數(shù)列單調(diào)性分析。②如果你觀察了遞推公式，便可發(fā)現(xiàn)有可處理的地方③如果你觀察了所證不等式的右邊，便會由的指數(shù)冪聯(lián)想到對數(shù)不等式④如果利用第一問出個可用的不等式結(jié)論，也許你就發(fā)現(xiàn)了對數(shù)與根式的不等關(guān)系這些準(zhǔn)備工作不會直接得到答案，但是起碼會給你提供一些方法和可選擇的道路（2）第三問依然用到了數(shù)列求和，有關(guān)消項的求和通常有兩種，一種是相鄰的項做差（累加法），另外一種就是相鄰的項做商，此時利用對數(shù)即可將“累乘消項”轉(zhuǎn)變?yōu)椤袄奂酉棥钡?0煉一元不等式的證明利用函數(shù)性質(zhì)與最值證明一元不等式是導(dǎo)數(shù)綜合題常涉及的一類問題，考察學(xué)生構(gòu)造函數(shù)選擇函數(shù)的能力，體現(xiàn)了函數(shù)最值的一個作用——每一個函數(shù)的最值帶來一個恒成立的不等式。此外所證明的不等式也有可能對后一問的解決提供幫助，處于承上啟下的位置。一、基礎(chǔ)知識：1、證明方法的理論基礎(chǔ)（1）若要證(為常數(shù)）恒成立，則只需證明：，進(jìn)而將不等式的證明轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值（2）已知的公共定義域為，若，則證明：對任意的，有由不等式的傳遞性可得：，即2、證明一元不等式主要的方法有兩個：第一個方法是將含的項或所有項均挪至不等號的一側(cè)，將一側(cè)的解析式構(gòu)造為函數(shù)，通過分析函數(shù)的單調(diào)性得到最值，從而進(jìn)行證明，其優(yōu)點在于目的明確，構(gòu)造方法簡單，但對于移項后較復(fù)雜的解析式則很難分析出單調(diào)性第二個方法是利用不等式性質(zhì)對所證不等式進(jìn)行等價變形，轉(zhuǎn)化成為的形式，若能證明，即可得：，本方法的優(yōu)點在于對的項進(jìn)行分割變形，可將較復(fù)雜的解析式拆成兩個簡單的解析式。但缺點是局限性較強，如果與不滿足，則無法證明。所以用此類方法解題的情況不多，但是在第一個方法失效的時候可以考慮嘗試此法。3、在構(gòu)造函數(shù)時把握一個原則：以能夠分析導(dǎo)函數(shù)的符號為準(zhǔn)則。4、若在證明中，解析式可分解為幾個因式的乘積，則可對每個因式的符號進(jìn)行討論，進(jìn)而簡化所構(gòu)造函數(shù)的復(fù)雜度。5、合理的利用換元簡化所分析的解析式。6、判斷解析式符號的方法：（1）對解析式進(jìn)行因式分解，將復(fù)雜的式子拆分為一個個簡單的式子，判斷出每個式子的符號即可得到解析式的符號（2）將解析式視為一個函數(shù)，利用其零點（可猜出）與單調(diào)性（利用導(dǎo)數(shù)）可判斷其符號（3）將解析式中的項合理分組，達(dá)到分成若干正項的和或者若干負(fù)項的和的結(jié)果，進(jìn)而判斷出解析式符號二、典型例題：例1：求證：思路：移項構(gòu)造函數(shù)求解即可證明：所證不等式等價于：令則只需證明：令解得：↗↘即所證不等式成立小煉有話說：（1）此題的解法為證明一元不等式的基本方法，即將含的項移至不等號的一側(cè)，構(gòu)造函數(shù)解決。（2）一些常見不等關(guān)系可記下來以備使用：①②③例2：設(shè)函數(shù)，證明：當(dāng)時，思路：本題依然考慮構(gòu)造函數(shù)解決不等式，但如果僅僅是移項，則所證不等式為，令，其導(dǎo)函數(shù)比較復(fù)雜（也可解決此題），所以考慮先對不等式進(jìn)行等價變形，轉(zhuǎn)變?yōu)樾问捷^為簡單的不等式，再構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明證明：，所以所證不等式等價于設(shè)只需證即可令在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增故不等式得證小煉有話說：本題在證明時采取先化簡再證明的策略，這也是我們解決數(shù)學(xué)問題常用的方法之一，先把問題簡單化再進(jìn)行處理。在利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的問題中，所謂的“簡化”的標(biāo)準(zhǔn)就是構(gòu)造的函數(shù)是否易于分析單調(diào)性。例3：已知函數(shù)，證明：思路：若化簡不等式左邊，則所證不等式等價于，若將左邊構(gòu)造為函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)性難于分析，此法不可取?？紤]原不等式為乘積式，且與0進(jìn)行比較，所以考慮也可分別判斷各因式符號，只需讓與同號即可。而的正負(fù)一眼便可得出，的符號也不難分析，故采取分別判斷符號的方法解決。解：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增為增函數(shù)時，時，綜上所述，成立小煉有話說：與0比較大小也可看做是判斷一側(cè)式子的符號，當(dāng)不等式的一側(cè)可化為幾個因式的乘積時，可分別判斷每一個因式的符號（判斷相對簡單），再決定乘積的符號。例4：已知，其中常數(shù)（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值（2）求證：解：（1）當(dāng)時，，在單調(diào)遞增時，，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增的極小值為，無極大值（2）思路：本題如果直接構(gòu)將左側(cè)構(gòu)造函數(shù)，則導(dǎo)數(shù)過于復(fù)雜，不易進(jìn)行分析，所以考慮將所證不等式進(jìn)行變形成“”的形式。由第（1）問可得：，即，則所證不等式兩邊同時除以，即證：，而，所以只需構(gòu)造函數(shù)證明即可解：由（1）得所證不等式：設(shè)令可解得：在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減即例5：已知（1）當(dāng)時，求在的最值（2）求證：，解：（1）的單調(diào)區(qū)間為↘↗①②時，（2）思路：所證不等式，若都移到左邊構(gòu)造函數(shù)，則函數(shù)很難分析單調(diào)性，進(jìn)而無法求出最值。本題考慮在兩邊分別求出最值，再比較大小即可解：所證不等式等價于設(shè)令在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增設(shè)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減所證不等式成立例6：設(shè)為常數(shù)），曲線與直線在(0，0)點相切.(1)求的值.(2)證明：當(dāng)時，.解：（1）過點（2）思路：所證不等式等價于，若將的表達(dá)式挪至不等號一側(cè)，則所構(gòu)造的函數(shù)中，求導(dǎo)后結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜。觀察到對數(shù)與根式均含有，進(jìn)而考慮換元化簡不等式。另一方面，當(dāng)時，，而是所證的臨界值，進(jìn)而會對導(dǎo)數(shù)值的符號有所影響。解：所證不等式等價于：令則不等式轉(zhuǎn)化為：（若不去分母，導(dǎo)函數(shù)比較復(fù)雜，不易分析）令只需證即可觀察進(jìn)而考慮的單調(diào)性（盡管復(fù)雜，但有零點在，就能夠幫助繼續(xù)分析，堅持往下進(jìn)行）單調(diào)遞增，單調(diào)遞減（是的零點，從而引發(fā)連鎖反應(yīng)）單調(diào)遞減即所證不等式成立當(dāng)時，小煉有話說：本題有以下兩個亮點（1）利用換元簡化所證不等式（2）零點的關(guān)鍵作用：對于化簡后的函數(shù)而言，形式依然比較復(fù)雜，其導(dǎo)函數(shù)也很難直接因式分解判斷符號，但是由于尋找到這個零點，從而對導(dǎo)函數(shù)的符號判斷指引了方向，又因為發(fā)現(xiàn)也是導(dǎo)函數(shù)的零點，于是才決定在對導(dǎo)函數(shù)求一次導(dǎo)，在二次導(dǎo)函數(shù)中判斷了符號，進(jìn)而引發(fā)連鎖反應(yīng)，最終證明不等式?？梢哉f，本題能堅持對進(jìn)行分析的一個重要原因就是這個零點。例7：（2015，福建，20）已知函數(shù)（1）求證：當(dāng)時，（2）求證：當(dāng)時，存在，使得對任意的，恒有解：（1）思路：所證不等式為：，只需將含的項移植不等號一側(cè)，構(gòu)造函數(shù)即可證明證明：所證不等式等價于：，設(shè)在單調(diào)遞減時，即得證（2）思路：本題的目標(biāo)是要找到與相關(guān)的，因為函數(shù)形式較為簡單，所以可以考慮移至不等號一側(cè)：，設(shè)，，因為，所以只需在單增即可。可對進(jìn)行和分類討論。證明：設(shè)則且令，即①當(dāng)時，解得恒成立在單調(diào)遞增可取任意正數(shù)②當(dāng)時，，當(dāng)，，故可取任意正數(shù)③當(dāng)時，解得，而在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，均有，只需取即可綜上所述：存在，使得對任意的，恒有例8：已知函數(shù)（為常數(shù)，，是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線在處的切線與軸平行（1）求的值（2）設(shè)，其中為的導(dǎo)函數(shù)。證明：對解：（1）處的切線與軸平行:（2）所證不等式等價于：