2025千題百煉-高中數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問題（三）：第73煉 求參數(shù)的取值范圍含答案

2025千題百煉——高中數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問題（三）：第73煉求參數(shù)的取值范圍含答案第73煉求參數(shù)的取值范圍一、基礎(chǔ)知識(shí)：求參數(shù)的取值范圍宏觀上有兩種思路：一個(gè)是通過解不等式求解，一個(gè)是利用函數(shù)，通過解函數(shù)的值域求得參數(shù)范圍1、解不等式：通過題目條件建立關(guān)于參數(shù)的不等式，從而通過解不等式進(jìn)行求解。常見的不等關(guān)系如下：（1）圓錐曲線上的點(diǎn)坐標(biāo)的取值范圍①橢圓（以為例），則，②雙曲線：（以為例），則（左支）（右支）③拋物線：（以為例，則（2）直線與圓錐曲線位置關(guān)系：若直線與圓錐曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，則聯(lián)立消元后的一元二次方程（3）點(diǎn)與橢圓（以為例）位置關(guān)系：若點(diǎn)在橢圓內(nèi)，則（4）題目條件中的不等關(guān)系，有時(shí)是解決參數(shù)取值范圍的關(guān)鍵條件2、利用函數(shù)關(guān)系求得值域：題目中除了所求變量，還存在一個(gè)（或兩個(gè)）輔助變量，通過條件可建立起變量間的等式，進(jìn)而可將等式變形為所求變量關(guān)于輔助變量的函數(shù)，確定輔助變量的范圍后，則可求解函數(shù)的值域，即為參數(shù)取值范圍（1）一元函數(shù)：建立所求變量與某個(gè)輔助變量的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為求一元函數(shù)的值域，常見的函數(shù)有：①二次函數(shù)；②“對(duì)勾函數(shù)”；③反比例函數(shù)；④分式函數(shù)。若出現(xiàn)非常規(guī)函數(shù)，則可考慮通過換元“化歸”為常規(guī)函數(shù)，或者利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行解決。（2）二元函數(shù)：若題目中涉及變量較多，通過代換消元最后得到所求參數(shù)與兩個(gè)變量的表達(dá)式，則可通過均值不等式，放縮消元或數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解決。3、兩種方法的選擇與決策：通常與題目所給的條件相關(guān)，主要體現(xiàn)在以下幾點(diǎn)：（1）若題目中含有某個(gè)變量的范圍，則可以優(yōu)先考慮函數(shù)的方向，將該變量視為自變量，建立所求變量與自變量的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而求得值域（2）若題目中含有某個(gè)表達(dá)式的范圍（或不等式），一方面可以考慮將表達(dá)式視為整體，看能否轉(zhuǎn)為（1）的問題進(jìn)行處理，或者將該表達(dá)式中的項(xiàng)用所求變量進(jìn)行表示，從而建立起關(guān)于該變量的不等式，解不等式即可二、典型例題：例1：已知橢圓，、是其左右焦點(diǎn)，離心率為，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若分別是橢圓長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn)，為橢圓上動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線斜率為，且，求直線斜率的取值范圍；解：（1）橢圓方程為：代入可得：橢圓方程為：（2）由（1）可得：設(shè)，則在橢圓上即例2：已知橢圓的離心率為，其左，右焦點(diǎn)分別是，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為（1）求橢圓的方程（2）若過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，且滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：（1）的周長(zhǎng)橢圓方程為：（2）設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立直線與橢圓方程：，解得：，代入可得：由條件可得：，代入可得：例3：在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，且在所有過焦點(diǎn)的弦中，弦長(zhǎng)的最小值為（1）求橢圓方程（2）若過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)（在之間），求三角形與三角形面積比值的范圍解：（1）由橢圓性質(zhì)可得，焦點(diǎn)弦的最小值為橢圓方程為（2）設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓方程：同號(hào)設(shè)，所解不等式為：，即例4：已知橢圓的離心率為，直線與以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切（1）求橢圓的方程（2）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，直線過點(diǎn)且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線垂直于直線，垂足為點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡的方程（3）設(shè)與軸交于點(diǎn)，不同的兩點(diǎn)在上，且滿足，求的取值范圍解：（1）與圓相切即，解得（2）由（1）可得線段的垂直平分線交于點(diǎn)即的軌跡為以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，設(shè)為（3）思路：由已知可得，設(shè)，則所求為關(guān)于的函數(shù)，只需確定的范圍即可，因?yàn)椋杂锌赡軐?duì)的取值有影響，可利用此條件得到關(guān)于的函數(shù)，從而求得范圍。解：與橢圓的交點(diǎn)為，設(shè)，因?yàn)椋?jiǎn)可得：①考慮由①可得時(shí)，可得例5：已知橢圓的離心率，左焦點(diǎn)為，橢圓上的點(diǎn)到距離的最大值為（1）求橢圓的方程（2）在（1）的條件下，過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，與點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn)，且，求橢圓的弦長(zhǎng)的取值范圍解：（1）由離心率可得：依題意可得：可得：橢圓方程為：（2）由（1）可得橢圓方程為不妨設(shè)①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，符合題意，可得：②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線在圓中可得：解得：設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓方程：消去可得：由可得：綜上所述：的取值范圍是例6：已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，且使得的點(diǎn)恰有兩個(gè)，動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為（1）求橢圓的方程（2）如圖，以橢圓的長(zhǎng)軸為直徑作圓，過直線上的動(dòng)點(diǎn)，作圓的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為，若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，求的取值范圍解：（1）使得的點(diǎn)恰有兩個(gè)的最大值為為短軸頂點(diǎn)時(shí)，到焦點(diǎn)的距離的最大值為橢圓的方程：（2）由橢圓方程可得圓設(shè)，由圓的性質(zhì)可得：代入可得：滿足方程則到的距離下面計(jì)算：聯(lián)立方程設(shè)不妨設(shè)設(shè)，所以設(shè)在單調(diào)遞增所以，即例7：已知橢圓過點(diǎn)，且離心率（1）求橢圓方程（2）若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且線段的垂直平分線過定點(diǎn)，求的取值范圍解：（1）可得：橢圓方程為，代入可得：橢圓方程為：設(shè)，聯(lián)立方程可得：設(shè)中點(diǎn)，則則的中垂線為：，代入可得：，代入可得：或即的取值范圍是例8：在平面直角坐標(biāo)系中，原點(diǎn)為,拋物線的方程為,線段是拋物線的一條動(dòng)弦．（1）求拋物線的準(zhǔn)線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo);（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)圓,若存在且僅存在兩條動(dòng)弦,滿足直線與圓相切，求半徑的取值范圍？解：（1）由拋物線可得：，準(zhǔn)線方程：（2）設(shè)直線，，聯(lián)立方程：與圓相切，不妨令則，令在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增則若關(guān)于的方程有兩解，只需關(guān)于的方程有一解時(shí)，與有一個(gè)交點(diǎn)例9：已知橢圓的離心率為，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，且的周長(zhǎng)是（1）求橢圓的方程（2）設(shè)圓，過橢圓的上頂點(diǎn)作圓的兩條切線交橢圓于兩點(diǎn)，當(dāng)圓心在軸上移動(dòng)且時(shí)，求的斜率和取值范圍解：（1）的周長(zhǎng)橢圓方程為：（2）由橢圓方程可得：，設(shè)過且與圓相切的直線方程為，整理可得：兩條切線斜率是方程的兩根聯(lián)立直線與橢圓方程可得：消去可得：，同理可得：由可得：設(shè)，可知為增函數(shù)，例10：已知橢圓，其中為左右焦點(diǎn)，且離心率為，直線與橢圓交于兩不同點(diǎn)，當(dāng)直線過橢圓右焦點(diǎn)且傾斜角為時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離為（1）求橢圓的方程（2）若，當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求的最大值解：（1）設(shè)直線橢圓方程為（2）若直線斜率存在，設(shè)，聯(lián)立方程：消去可得：，整理可得：考慮即等號(hào)成立條件：時(shí)的最大值是當(dāng)斜率不存在時(shí)，關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)，再由可得：可計(jì)算出所以綜上所述的最大值是三、歷年好題精選1、已知點(diǎn)是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的取值范圍是（）A.B.C.D.2、（2015，新課標(biāo)I）已知是雙曲線上的一點(diǎn)，是上的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則的取值范圍是（）A.B.C.D.3、（2014，四川）設(shè)，過定點(diǎn)的動(dòng)直線和過定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的最大值是______4、（2016，廣東省四校第二次聯(lián)考）拋物線的焦點(diǎn)為，已知點(diǎn)為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，過弦的中點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最大值為（）A.B.C.D.5、（2016，貴州模擬）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，過點(diǎn)與垂直的直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，且是線段的中點(diǎn)，若果三點(diǎn)的圓恰好與直線相切.（1）求橢圓的方程；（2）過定點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且.若實(shí)數(shù)滿足，求的取值范圍.6、（2015，山東理）平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別是,以為圓心，以3為半徑的圓與以為圓心，以1為半徑的圓相交，交點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓，為橢圓上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，射線交橢圓于點(diǎn)①求的值；②求面積最大值.7、（2014，四川）已知橢圓的焦距為，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）設(shè)為橢圓的左焦點(diǎn)，為直線上任意一點(diǎn)，過作的垂線交橢圓于點(diǎn)①證明：平分線段（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）②當(dāng)最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)8、（2014，湖南）如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，離心率為；雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，離心率為，已知，且（1）求的方程（2）過作的不垂直于軸的弦為的中點(diǎn)，當(dāng)直線與交于兩點(diǎn)時(shí)，求四邊形面積的最小值9、（2014，山東）已知拋物線的焦點(diǎn)為，為上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交于另一點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)，且有，當(dāng)?shù)臋M坐標(biāo)為3時(shí)，為正三角形（1）求的方程（2）若直線，且和有且只有一個(gè)公共點(diǎn)①證明直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)②的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由10、（淮安、宿遷、連云港、徐州蘇北四市2016屆高三上期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率，左頂點(diǎn)為，過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于點(diǎn)，交軸于點(diǎn).（1）求橢圓的方程;（2）已知為的中點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)，對(duì)于任意的都有，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在說明理由;（3）若過點(diǎn)作直線的平行線交橢圓于點(diǎn)，求的最小值.11、（南通市海安縣2016屆高三上期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C：的焦距為2（1）若橢圓經(jīng)過點(diǎn)，求橢圓C的方程；（2）設(shè)，為橢圓的左焦點(diǎn)，若橢圓存在點(diǎn)，滿足，求橢圓的離心率的取值范圍；12、已知定點(diǎn)，曲線C是使為定值的點(diǎn)的軌跡，曲線過點(diǎn).（1）求曲線的方程；（2）直線過點(diǎn)，且與曲線交于，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，求直線的方程；（3）設(shè)點(diǎn)是曲線上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接、，設(shè)的角平分線交曲線的長(zhǎng)軸于點(diǎn)，求的取值范圍.13、已知圓,若橢圓的右頂點(diǎn)為圓的圓心，離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）若存在直線，使得直線與橢圓分別交于兩點(diǎn)，與圓分別交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，求圓的半徑的取值范圍．14、已知、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且離心率，點(diǎn)為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的內(nèi)切圓面積的最大值為.(1)求橢圓的方程；(2)若是橢圓上不重合的四個(gè)點(diǎn)，滿足向量與共線，與共線，且，求的取值范圍.習(xí)題答案：1、答案：B解析：設(shè)，其中，由焦半徑公式可得：代入可得：因?yàn)樗越獾糜蓪?duì)稱性可知：當(dāng)時(shí)，2、答案：A解析：由可得，所以，則，由得：代入到不等式：，解得3、答案：5解析：由兩條動(dòng)直線可得兩條信息：①兩個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)，且兩條直線垂直，垂足即為，所以為直角三角形，可知，由均值不等式可得，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)4、答案：A解析：過分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足設(shè)為設(shè)，由拋物線定義可得：在梯形中，可得為中位線由余弦定理可知在中，5、解析：設(shè)橢圓的半焦距為由為線段中點(diǎn)，所以三點(diǎn)圓的圓心為，半徑為又因?yàn)樵搱A與直線相切，所以所以，故所求橢圓方程為；若與軸不垂直，可設(shè)其方程為，代入橢圓方程可得，由，得設(shè)，根據(jù)已知，有于是消去，可得因?yàn)?，所以即有，?、解析：（1）橢圓離心率為，左、右焦點(diǎn)分別是,圓：圓：由兩圓相交可得，即，交點(diǎn)，，整理得，解得（舍去）故橢圓C的方程為.（2）①橢圓E的方程為，設(shè)點(diǎn)，滿足，射線，代入可得點(diǎn)，于是.②點(diǎn)到直線距離等于原點(diǎn)O到直線距離的3倍：，得，整理得，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立.而直線與橢圓C：有交點(diǎn)P，則有解，即有解，其判別式，即，則上述不成立，等號(hào)不成立，設(shè)，則在為增函數(shù)，于是當(dāng)時(shí)，故面積最大值為12.7、解析：（1）由已知可得：解得：橢圓方程為：（2）①由（1）可得：，設(shè)所以設(shè)，，聯(lián)立橢圓方程可得：設(shè)為的中點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為的斜率在上，即平分②由①可得：由弦長(zhǎng)公式可得：等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為8、解析：（1）由可得：（2）由（1）可得：，設(shè)直線，聯(lián)立方程可得：設(shè)中點(diǎn)即與雙曲線聯(lián)立方程可得：設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則點(diǎn)到直線的距離也為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線的異側(cè)由時(shí)，綜上所述：四邊形面積的最小值為29、解析：（1）依題意可知，設(shè)，則的中點(diǎn)為由拋物線定義可知：，解得：或（舍）拋物線方程為：（2）①由（1）可得，設(shè)的斜率為直線設(shè)直線，代入拋物線方程：和有且只有一個(gè)公共點(diǎn)設(shè)，則可得：當(dāng)時(shí)，，整理可得：恒過點(diǎn)當(dāng)時(shí)，可得：，過點(diǎn)過點(diǎn)②由①可得：過點(diǎn)設(shè)在直線上，設(shè)直線的方程為代入拋物線方程可得：，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)10、解析：（1）由左頂點(diǎn)為可得，又，所以又因?yàn)椋詸E圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）直線的方程為，由消元得，.化簡(jiǎn)得，，所以，.當(dāng)時(shí)，，所以.因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以的坐標(biāo)為，則直線的方程為，令，得點(diǎn)坐標(biāo)為，假設(shè)存在定點(diǎn)，使得，則，即恒成立，所以恒成立，所以即因此定點(diǎn)的坐標(biāo)為.（3）因?yàn)?，所以的方程可設(shè)為，由得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為由，得，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為．11、解析：（1）依題意可得：將代入橢圓方程可得：解得：橢圓方程為（2）可知，設(shè)，可知：由可得：，整理可得：聯(lián)立方程：，可解得：，即12、解析：（1）2分曲線C為以原點(diǎn)為中心，為焦點(diǎn)的橢圓設(shè)其長(zhǎng)半軸為,短半軸為,半焦距為，則，曲線C的方程為4分（2）設(shè)直線的為代入橢圓方程，得，計(jì)算并判斷得，設(shè),得到直線的距離，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，面積最大的面積取得最大值時(shí)，直線l的方程為：和9分（3）由題意可知：=,=設(shè)其中，將向量坐標(biāo)代入并化簡(jiǎn)得：m（，因?yàn)椋?，而，所?3、解析：(1)設(shè)橢圓的焦距為2C，因?yàn)閍=,,,所以橢圓C的方程為.(2)設(shè),聯(lián)立直線與橢圓方程得：,則,M()到直線的距離。,顯然若點(diǎn)H也在直線AB上,則由對(duì)稱性可知,直線就是y軸與已知矛盾,要使得|AG|=|BH|,只要|AB|=|GH|,,當(dāng)時(shí),，當(dāng)k時(shí),,綜上.14、解析：(1)由幾何性質(zhì)可知：當(dāng)內(nèi)切圓面積取最大值時(shí)，即取最大值，且.由得又為定值，，綜上得；又由，可得，即，經(jīng)計(jì)算得，，，故橢圓方程為. (2)①當(dāng)直線與中有一條直線垂直于軸時(shí)，.②當(dāng)直線斜率存在但不為0時(shí)，設(shè)的方程為：，由 消去可得：，代入弦長(zhǎng)公式得： ，同理由消去可得，代入弦長(zhǎng)公式得：，所以令，則，所以，由①②可知，的取值范圍是. 第74煉利用幾何關(guān)系求解最值問題一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、利用幾何關(guān)系求最值的一般思路:（1）抓住圖形中的定點(diǎn)與定長(zhǎng)，通常與求最值相關(guān)（2）遇到線段和差的最值，經(jīng)常在動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)共線的時(shí)候取到。因?yàn)楫?dāng)動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)不共線時(shí)，便可圍成三角形，從而由三角形性質(zhì)可知兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，無法取得最值。所以只有共線時(shí)才有可能達(dá)到最值。要注意動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)相對(duì)位置關(guān)系。一般的，尋找線段和的最小值，則動(dòng)點(diǎn)應(yīng)在定點(diǎn)連成的線段上；若尋找線段差的最小值，則動(dòng)點(diǎn)應(yīng)在定點(diǎn)連成的線段延長(zhǎng)線上。（3）若所求線段無法找到最值關(guān)系，則可考慮利用幾何關(guān)系進(jìn)行線段轉(zhuǎn)移，將其中某些線段用其它線段進(jìn)行表示，進(jìn)而找到最值位置（4）處理多個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)，可考慮先只讓一個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，其他動(dòng)點(diǎn)不動(dòng)，觀察此動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)最值選取的規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律讓其他點(diǎn)動(dòng)起來，尋找最值位置。2、常見的線段轉(zhuǎn)移：（1）利用對(duì)稱軸轉(zhuǎn)移線段（詳見例1）（2）在圓中，可利用與半徑相關(guān)的直角三角形（例如半弦，圓心到弦的垂線，半徑；或是切線，半徑，點(diǎn)與圓心的連線）通過勾股定理進(jìn)行線段轉(zhuǎn)移。（3）在拋物線中，可利用“點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離”的特點(diǎn)進(jìn)行兩個(gè)距離的相互轉(zhuǎn)化。（4）在橢圓中，利用兩條焦半徑的和為常數(shù)，可將一條焦半徑轉(zhuǎn)移至另一條焦半徑（5）在雙曲線中，利用兩條焦半徑的差為常數(shù)，也可將一條焦半徑轉(zhuǎn)移至另一條焦半徑（注意點(diǎn)在雙曲線的哪一支上）3、與圓相關(guān)的最值問題：（1）已知圓及圓外一定點(diǎn)，設(shè)圓的半徑為則圓上點(diǎn)到點(diǎn)距離的最小值為，最大值為（即連結(jié)并延長(zhǎng)，為與圓的交點(diǎn)，為延長(zhǎng)線與圓的交點(diǎn)（2）已知圓及圓內(nèi)一定點(diǎn)，則過點(diǎn)的所有弦中最長(zhǎng)的為直徑，最短的為與該直徑垂直的弦解：，弦長(zhǎng)的最大值為直徑，而最小值考慮弦長(zhǎng)公式為，若最小，則要取最大，在圓中為定值，在弦繞旋轉(zhuǎn)的過程中，，所以時(shí)，最?。?）已知圓和圓外的一條直線，則圓上點(diǎn)到直線距離的最小值為，距離的最大值為（過圓心作的垂線，垂足為，與圓交于，其反向延長(zhǎng)線交圓于（4）已知圓和圓外的一條直線，則過直線上的點(diǎn)作圓的切線，切線長(zhǎng)的最小值為解：，則若最小，則只需最小即可，所以點(diǎn)為過作垂線的垂足時(shí)，最小過作圓的切線，則切線長(zhǎng)最短4、與圓錐曲線相關(guān)的最值關(guān)系：（1）橢圓：設(shè)橢圓方程為①焦半徑：焦半徑的最大值為，最小值為②焦點(diǎn)弦：焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的最小值稱為通徑，為，此時(shí)焦點(diǎn)弦與焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸垂直（2）雙曲線：設(shè)雙曲線方程為①焦半徑：焦半徑的最小值為，無最大值②焦點(diǎn)弦：焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的最小值稱為通徑，為，此時(shí)焦點(diǎn)弦與焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸垂直（3）拋物線：設(shè)拋物線方程為①焦半徑：由拋物線的焦半徑公式可知：焦半徑的最小值為原點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，即②焦點(diǎn)弦：當(dāng)焦點(diǎn)弦與焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸垂直時(shí)，弦長(zhǎng)最小，為二、典型例題：例1：已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，為軸上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為___________思路：從所求可聯(lián)想到三點(diǎn)不共線時(shí)，三角形兩邊之和大于第三邊（而三點(diǎn)共線時(shí)可能相等），由已知可得：，但從圖像上發(fā)現(xiàn)無論在何處，，無法取到等號(hào)。（即使共線時(shí)等號(hào)也不成立），為了取到最值?？紤]利用對(duì)稱轉(zhuǎn)移所求線段。作關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，從而有，所以轉(zhuǎn)化為，可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，，即答案：小煉有話說：（1）三點(diǎn)共線取得最值的條件：動(dòng)點(diǎn)位于兩定點(diǎn)之間時(shí)，則距離和取到最小值。同理；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)位于兩定點(diǎn)同一側(cè)時(shí)，距離差的絕對(duì)值取到最大值。（2）處理線段和（差）最值問題時(shí)，如果已知線段無法找到最值關(guān)系，則可考慮利用“線段轉(zhuǎn)移法”，將某一線段替換成另一長(zhǎng)度相等線段，從而構(gòu)造出取得最值的條件例2：設(shè)拋物線上一點(diǎn)到此拋物線準(zhǔn)線的距離為，到直線的距離為，則的最小值為（）A.B.C.D.思路：通過作圖可觀察到直接求的最值比較困難，所以考慮轉(zhuǎn)移某個(gè)距離，由已知可得為到準(zhǔn)線的距離，所以可根據(jù)拋物線定義轉(zhuǎn)移為（其中是拋物線的焦點(diǎn)，），所以，觀察圖像可得：答案：A例3：已知過拋物線的焦點(diǎn)的弦與拋物線交于兩點(diǎn)，過分別作軸的垂線，垂足分別為，則的最小值為__________思路：設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，由拋物線可知，觀察圖像可知。而由拋物線定義可得：，所以，即要求出的最小值，只需求出的最小值，即拋物線焦點(diǎn)弦的最小值，由拋物線性質(zhì)可知當(dāng)軸時(shí)，最小，，所以答案：例4：已知點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)作拋物線的切線，若切點(diǎn)在第一象限，是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在圓上，則的最小值為（）A.B.C.D.思路：由圖像可知，固定點(diǎn)，則圓上到距離的最小值，所以只需在直線上找到與圓心距離最小的點(diǎn)，即到直線的距離。需要確定拋物線方程和點(diǎn)坐標(biāo)，由可得準(zhǔn)線方程為，所以，拋物線方程為，焦點(diǎn)設(shè)，則，切線斜率，從而，即，，所以直線方程：，從而答案：A例5：拋物線上的點(diǎn)到直線距離的最小值是（）A.B.C.D.思路一：直接利用點(diǎn)到直線距離公式得到距離關(guān)于的函數(shù)，設(shè)拋物線上的點(diǎn)，則，所以最小值為思路二：本題也可將直線進(jìn)行平移，平移至與拋物線相切，則兩直線之間的距離即為所求最小值。所以只需求與已知直線平行且與拋物線相切的直線，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，所求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因?yàn)榍芯€與平行，所以，可得，進(jìn)而，故切線方程為：，整理后可得：，所以兩直線距離，即拋物線上的點(diǎn)到距離的最小值答案：B例6：已知點(diǎn)是拋物線的一點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，在圓上，則的最小值為（）A.B.C.D.思路：本題含兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，先固定一個(gè)點(diǎn)不動(dòng)，尋找最小值的規(guī)律。考慮固定，則圓上距離最近的點(diǎn)為與圓的交點(diǎn)，即，所以只需考慮的最小值即可，通過移動(dòng)可知，無論位于何處，，所以不是最小值。考慮轉(zhuǎn)移線段，拋物線的準(zhǔn)線，則，所以（即到準(zhǔn)線的距離，所以答案：C例7：已知?jiǎng)狱c(diǎn)在橢圓上，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，，則的最小值是（）A.B.C.D.思路：由橢圓方程可知即為橢圓的焦點(diǎn)，由可知是以為圓心，半徑為1的圓上的點(diǎn)，在圓外，且由可得，所以即為圓上的切線，的最小值即切線長(zhǎng)的最小值，由圓的性質(zhì)可得：，所以只需找到的最小值即可，由橢圓性質(zhì)可知：，故答案：B例8：設(shè)是橢圓的左焦點(diǎn)，是橢圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最大值為___________思路：先作出橢圓圖像，標(biāo)出定點(diǎn)的位置，若從入手，則由圖發(fā)現(xiàn)無論在何處，。與所求最大值不符?？紤]進(jìn)行線段轉(zhuǎn)移，發(fā)現(xiàn)為左焦半徑，所以考慮作出右焦點(diǎn)，利用進(jìn)行線段轉(zhuǎn)移。即，只需求出，結(jié)合圖像可得，且，從而可得：答案：15例9：設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，分別是兩圓和上的點(diǎn)，則的最小值和最大值分別為（）A.4,8B.C.D.思路：本題有三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，但觀察可得之間沒有聯(lián)系，所以若達(dá)到最小，則只需分別達(dá)到最小即可。固定點(diǎn)，可知，所以，可知恰好為橢圓兩個(gè)定點(diǎn)，所以由橢圓定義可得：，所以，同理可知：，所以答案：A例10：設(shè)分別為和橢圓上的點(diǎn)，則兩點(diǎn)間的最大距離是___________思路：本題中均為動(dòng)點(diǎn)，所以考慮先固定一點(diǎn)不動(dòng)，比如點(diǎn)，尋找此時(shí)達(dá)到最值時(shí)位置的規(guī)律，