2025千題百煉-高中數(shù)學(xué)100個熱點(diǎn)問題（三）：第81煉 排列組合-選擇合適的數(shù)學(xué)模型含答案

2025千題百煉——高中數(shù)學(xué)100個熱點(diǎn)問題（三）：第81煉排列組合——選擇合適的數(shù)學(xué)模型含答案第81煉排列組合——尋找合適的模型在排列組合問題中，有一些問題如果直接從題目入手，處理起來比較繁瑣。但若找到解決問題的合適模型，或?qū)栴}進(jìn)行等價的轉(zhuǎn)化。便可巧妙的解決問題一、典型例題：例1：設(shè)集合由個元素構(gòu)成，即，則所有子集的個數(shù)為_______思路：可將組成子集的過程視為中的元素一個個進(jìn)行選擇，要不要進(jìn)入到這個子集當(dāng)中，所以第一步從開始，有兩種選擇，同樣后面的都有兩種選擇，所以總數(shù)個答案：例2：已知，且中有三個元素，若中的元素可構(gòu)成等差數(shù)列，則這樣的集合共有（）個A.B.C.D.思路：設(shè)中構(gòu)成等差數(shù)列的元素為，則有，由此可得應(yīng)該同奇同偶，而當(dāng)同奇同偶時，則必存在中間項(xiàng)，所以問題轉(zhuǎn)變?yōu)橹恍柙谥袑ふ彝嫱紨?shù)的情況。同為奇數(shù)的可能的情況為，同為偶數(shù)的可能的情況為，所以一共有種答案：C例3：設(shè)集合，那么集合中滿足條件“”的元素個數(shù)為（）A.B.C.D.思路：因?yàn)榛?，所以若，則在中至少有一個，且不多于個。所以可根據(jù)中含0的個數(shù)進(jìn)行分類討論。①五個數(shù)中有2個0，則另外3個從中取，共有方法數(shù)為②五個數(shù)中有3個0，則另外2個從中取，共有方法數(shù)為③五個數(shù)中有4個0，則另外1個從中取，共有方法數(shù)為所以共有種答案：D例4：設(shè)集合，設(shè)的三元素子集中，三個元素的和分別為，求的值思路：的三元子集共有個，若按照題目敘述一個個相加，則計(jì)算過于繁瑣。所以不妨換個思路，考慮將這些子集中的各自加在一起，再進(jìn)行匯總。則需要統(tǒng)計(jì)這個子集中共含有多少個。以1為例，含的子集可視為集合中有元素1，剩下兩個元素從9個數(shù)中任取，不同的選取構(gòu)成不同的含1的子集，共有個，所以和為，同理，含2的集合有，其和為……，含10的集合有個，其和為所以答案：例5：身高互不相同的6個人排成2橫行3縱列，在第一行的每個人都比他同列的身后的個子矮，則所有不同的排法種數(shù)是多少思路：雖然表面上是排隊(duì)問題，但分析實(shí)質(zhì)可發(fā)現(xiàn)，只需要將這六個人平均分成三組，并且進(jìn)行排列，即可完成任務(wù)。至于高矮問題，在分組之后只需讓個子矮的站在前面即可。從而將問題轉(zhuǎn)化為分組問題。則（種）答案：90例6：四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個點(diǎn)，則由這10點(diǎn)構(gòu)成的直線中，有（）對異面直線A.450B.441C.432D.423思路：首先要了解一個結(jié)論，就是在一個三棱錐中存在3對異面直線，而不共面的四個點(diǎn)便可構(gòu)成一個三棱錐，尋找不共面的四點(diǎn)只需用總數(shù)減去共面的四點(diǎn)即可。所以將問題轉(zhuǎn)化為尋找這10個點(diǎn)中共面四點(diǎn)的情況。首先4個面上共面的情況共有，每條棱與對棱中點(diǎn)共面情況共有6種，連結(jié)中點(diǎn)所成的中位線中有3對平行關(guān)系，所以共面，所以四點(diǎn)共面的情況共有種，所以四點(diǎn)不共面的情況有種，從而異面直線的對數(shù)為種答案：D小煉有話說：要熟悉異面直線問題的轉(zhuǎn)化：即異面→三棱錐→四點(diǎn)不共面→四點(diǎn)共面，從而將所考慮的問題簡單化例7：設(shè)是整數(shù)集的一個非空子集，對于，如果且，那么稱是集合的一個“孤立元”，給定，則的3個元素構(gòu)成的所有集合中，其元素都是“孤立元”的集合個數(shù)是（）A.B.C.D.思路：首先要理解“，則且”，意味著“獨(dú)立元”不含相鄰的數(shù)，元素均為獨(dú)立元，則說明3個元素彼此不相鄰，從而將問題轉(zhuǎn)化為不相鄰取元素問題，利用插空法可得：種答案：C例8：圓周上有20個點(diǎn)，過任意兩點(diǎn)連接一條弦，這些弦在圓內(nèi)的交點(diǎn)最多有多少個思路：本題可從另一個角度考慮交點(diǎn)的來源，一個交點(diǎn)由兩條弦構(gòu)成，也就用去圓上4個點(diǎn)，而這四個點(diǎn)可以構(gòu)成一個四邊形，在這個四邊形中，只有對角線的交點(diǎn)是在圓內(nèi)，其余均在圓上，所以有多少個四邊形就會有多少個對角線的交點(diǎn)，從而把交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)可組成多少個四邊形的問題，所以共有個答案：個例9：一個含有10項(xiàng)的數(shù)列滿足：，則符合這樣條件的數(shù)列有（）個A.30B.35C.36D.40思路：以為入手點(diǎn)可得：，即可視為在數(shù)軸上，向左或向右移動一個單位即可得到，則問題轉(zhuǎn)化為從開始，點(diǎn)向左或向右移動，總共9次達(dá)到，所以在這9步中，有且只有2步向左移動1個單位，7步向右移動1個單位。所以不同的走法共有種，即構(gòu)成36種不同的數(shù)列答案：36種例10：方程的正整數(shù)解有多少組？非負(fù)整數(shù)解有多少組？思路：本題可將10理解為10個1相加，而相當(dāng)于四個盒子，每個盒子里裝入了多少個1，則這個變量的值就為多少。從而將問題轉(zhuǎn)化為相同元素分組的模型，可以使用擋板法得：種；非負(fù)整數(shù)解相當(dāng)于允許盒子里為空，而擋板法適用于盒子非空的情況，所以考慮進(jìn)行化歸：，則這四個盒子非空即可。所以使用擋板法得：種答案：正整數(shù)解有84種，非負(fù)整數(shù)解有286種二、歷年好題精選1、在航天員進(jìn)行的一項(xiàng)太空實(shí)驗(yàn)中，要先后實(shí)施6個程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步，程序B和C在實(shí)施時必須相鄰，則在該實(shí)驗(yàn)中程序順序的編排方法共有（）A．144種B．96種C．48種D．34種2、現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張．從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張．不同取法的種數(shù)為（）A.232B.252C.472D.4843、在1，2，3，4，5這五個數(shù)字所組成的允許有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，其各個數(shù)字之和為9的三位數(shù)共有（）A.16個B.18個C.19個D.21個4、把座位號為1、2、3、4、5的五張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個人，每人至少一張，且分給同一人的多張票必須連號，那么不同的分法種數(shù)為（）A．96B．240C．48D．405、某班組織文藝晚會，準(zhǔn)備從等8個節(jié)目中選出4個節(jié)目演出，要求：兩個節(jié)目至少有一個選中，且同時選中時，它們的演出順序不能相鄰，那么不同演出順序的和數(shù)為（）A．1860B．1320C．1140D．10206、某班一天中有節(jié)課，上午節(jié)課，下午節(jié)課，要排出此班一天中語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、體育、藝術(shù)堂課的課程表，要求數(shù)學(xué)課排在上午，藝術(shù)課排在下午，不同排法種數(shù)為（）A．B．C．D．7、用0、1、2、3、4這五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中恰有一個偶數(shù)數(shù)字夾在兩個奇數(shù)數(shù)字之間的五位數(shù)的個數(shù)是（）A．48B．36C．28D．128、某賓館安排A、B、C、D、E五人入住3個房間，每個房間至少住1人，且A、B不能住同一房間，則不同的安排方法有（）種A．24B．48C．96D．1149、（2014重慶八中一月考，2）要從名男生和名女生中選出人組成啦啦隊(duì)，若按性別分層抽樣且甲男生擔(dān)任隊(duì)長，則不同的抽樣方法數(shù)是 A． B． C． D．10、（2015，廣東文），若集合：，，用表示集合中的元素個數(shù)，則（）A.B.C.D.11、（2014，浙江）在8張獎券中有一、二、三等獎各1張，其余5張無獎．將這8張獎券分配給4個人，每人2張，不同的獲獎情況有________種12、（2014，安徽）從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對，其中所成的角為60°的共有()A．24對B．30對C．48對D．60對13、（2014，重慶）某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()A．72B．120C．144D．16814、（2014，廣東）設(shè)集合，那么集合中滿足條件“”的元素個數(shù)為（）A.B.C.D.15、（2016，哈爾濱六中上學(xué)期期末考試）高一學(xué)習(xí)雷鋒志愿小組共有人，其中一班、二班、三班、四班各人，現(xiàn)在從中任選人，要求這三人不能是同一個班級的學(xué)生，且在三班至多選人，不同的選取法的種數(shù)為()A.B.C.D.16、集合的4元子集中，任意兩個元素差的絕對值都不為1，這樣的4元子集的個數(shù)有_____個習(xí)題答案：1、答案：B解析：相鄰則考慮使用整體法，程序有要求所以先確定的位置，共有2種選法，然后排剩下的元素，再排間的順序，所以總數(shù)為2、答案：C解析：考慮使用間接法，16張卡片任取3張共有種，然后三張卡片同色則不符合要求，共有種，然后若紅色卡片有2張則不符合要求，共有種，所以不同的取法種數(shù)為：3、答案：A解析：可按重復(fù)數(shù)字個數(shù)進(jìn)行分類討論，若沒有重復(fù)數(shù)字，則數(shù)字只能是或，三位數(shù)共有個；若有兩個重復(fù)數(shù)字，則數(shù)字為和，三位數(shù)有個；若三個數(shù)字相同，則只有333，所以4、答案：A解析：5張票分給4個人，則必有一人拿兩張票，所以先確定哪個人有兩張票，共種選擇，然后確定給哪兩張連號的票，共4種情況，剩下的票分給3人即可。所以5、答案：C解析：由題可知可分為兩類：第一類只有一個選中，則還需從剩下6個里選出3個節(jié)目，然后全排列，所以不同的演出順序有；第二類，同時選中，則還需從剩下6個里選出2個，然后不相鄰則進(jìn)行插空，所以不同演出順序有。綜上6、答案：B解析：先排數(shù)學(xué)與藝術(shù)各有3種共9種，其余的4個科目全排列有種，所以7、答案：C解析：根據(jù)題意，在0，1，2，3，4中有3個偶數(shù)，2個奇數(shù)，可以分3種情況討論：（1）0被奇數(shù)夾在中間，先考慮奇數(shù)1、3的順序，有2種情況；再將1、0、3看成一個整體，與2、4全排列，有種情況；故0被奇數(shù)夾在中間時，有種情況；（2）2被奇數(shù)夾在中間，先考慮奇數(shù)1、3的順序，有2種情況；再將1、2、3看成一個整體，與0、4全排列，有種情況，其中0在首位的有2種情況，則有種排法；故2被奇數(shù)夾在中間時，有種情況；（3）4被奇數(shù)夾在中間時，同2被奇數(shù)夾在中間的情況，有8種情況，則這樣的五位數(shù)共有12+8+8=28種.8、答案：D解析：由題可知，5個人住三個房間，每個房間至少住一人，則有（3,1,1）和（2,2,1）兩種，當(dāng)為（3,1,1）時，有種，A、B住同一房間有種，故有種，當(dāng)為（2,2,1）時，有種，A、B住同一房間有種，故有種，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理共有種9、答案：A解析：由分層抽樣可得男生需要4名，女生需要2名，甲男生擔(dān)任隊(duì)長，則還需要出3名男生，所以10、答案：D解析：分別統(tǒng)計(jì)中元素的個數(shù)，在中，可取的值由的值決定，當(dāng)時分別可選，所以有種，當(dāng)時；同理有種；當(dāng)時；同理有種；當(dāng)時；同理有種，所以共計(jì)；在中，可知一組，一組，按照的計(jì)算方式可得和的選擇各有10種，所以。從而11、答案：60解析：可按獲獎人數(shù)進(jìn)行分類討論，若有3人，則一人獲得一張中獎的獎券，即，若2人，則1人獲1個獎，1人獲2個獎，，所以共計(jì)12、答案：C解析：正方體的對角線共有12條，其所成角大致分為，可使用間接法，2個一對共有種選法，其中成的有6對，成有12對，所以成的共有對13、答案：B解析：不相鄰則“插空”，可歌舞類節(jié)目搭架子，因?yàn)楦栉桀惞?jié)目也不能相鄰，所以另外3個節(jié)目插空時有兩種情況，一種情況為3個節(jié)目插3個空，則有2種插法，再安排完順序，合計(jì)：；另一種情況為相聲與一個小品相鄰，然后與另一個小品插兩個空，則，則共計(jì)種14、答案：D解析：可知在中，的情況至少1個，最多3個，從而分三種情況討論即可，每種討論都分為兩步，第一步確定幾個選0，幾個選；第二步確定選的是選1還是：15、答案：B解析：分兩種情況討論，當(dāng)三班沒人時，，當(dāng)三班恰有一人時，，所以16、答案：解析：兩個元素差絕對值不為一，說明中的四個元素兩兩不相鄰，所以考慮插空法，剩下16個位置共17個空，選擇四個孔即可，共有個第82煉求二項(xiàng)式展開后的某項(xiàng)一、基礎(chǔ)知識：1、二項(xiàng)式展開式，從恒等式中我們可以發(fā)現(xiàn)這樣幾個特點(diǎn)（1）完全展開后的項(xiàng)數(shù)為（2）展開式按照的指數(shù)進(jìn)行降冪排列，對于展開式中的每一項(xiàng)，的指數(shù)呈此消彼長的特點(diǎn)。指數(shù)和為（3）在二項(xiàng)式展開式中由于按的指數(shù)進(jìn)行降冪排列，所以規(guī)定“”左邊的項(xiàng)視為，右邊的項(xiàng)為，比如：與雖然恒等，但是展開式卻不同，前者按的指數(shù)降冪排列，后者按的指數(shù)降冪排列。如果是，則視為進(jìn)行展開（4）二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式（注意是第項(xiàng)）2、二項(xiàng)式系數(shù)：項(xiàng)前面的稱為二項(xiàng)式系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的和為二項(xiàng)式系數(shù)的來源：多項(xiàng)式乘法的理論基礎(chǔ)是乘法的運(yùn)算律（分配律，交換律，結(jié)合律），所以在展開時有這樣一個特征：每個因式都必須出項(xiàng)，并且只能出一項(xiàng)，將每個因式所出的項(xiàng)乘在一起便成為了展開時中的某項(xiàng)。對于可看作是個相乘，對于意味著在這個中，有個式子出，剩下個式子出，那么這種出法一共有種。所以二項(xiàng)式展開式的每一項(xiàng)都可看做是一個組合問題。而二項(xiàng)式系數(shù)便是這個組合問題的結(jié)果。3、系數(shù)：是指該項(xiàng)經(jīng)過化簡后項(xiàng)前面的數(shù)字因數(shù)注：（1）在二項(xiàng)式定理中要注意區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)。二項(xiàng)式系數(shù)是展開式通項(xiàng)公式中的，對于確定的一個二項(xiàng)式，二項(xiàng)式系數(shù)只由決定。而系數(shù)是指展開并化簡后最后項(xiàng)前面的因數(shù)，其構(gòu)成一方面是二項(xiàng)式系數(shù)，同時還有項(xiàng)本身的系數(shù)。例如：展開式中第三項(xiàng)為，其中為該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，而化簡后的結(jié)果為該項(xiàng)的系數(shù)（2）二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的概念不同，但在某些情況下可以相等：當(dāng)二項(xiàng)式中每項(xiàng)的系數(shù)均為時（排除項(xiàng)本身系數(shù)的干擾），則展開后二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)相同。例如展開式的第三項(xiàng)為，可以計(jì)算出二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)均為103、有理項(xiàng)：系數(shù)為有理數(shù),次數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)，比如就是有理項(xiàng)，而就不是有理項(xiàng)。4、與的聯(lián)系：首先觀察他們的通項(xiàng)公式：：：兩者對應(yīng)項(xiàng)的構(gòu)成是相同的，對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)。其絕對值相等。所以在考慮系數(shù)的絕對值問題時，可將其轉(zhuǎn)化為求系數(shù)的問題5、二項(xiàng)式系數(shù)的最大值：在中，數(shù)值最大的位于這列數(shù)的中間位置。若為奇數(shù)（共有偶數(shù)項(xiàng)），則最大值為中間兩個，例如時，最大項(xiàng)為，若為偶數(shù)（共有奇數(shù)數(shù)項(xiàng)），則最大值為中間項(xiàng)，例如時，最大項(xiàng)為證明：在中的最大項(xiàng)首先要比相鄰的兩項(xiàng)大，所以不妨設(shè)最大項(xiàng)為，則有所以解得：即所以當(dāng)為奇數(shù)時（），不等式變?yōu)?，即或?yàn)橹虚g項(xiàng)當(dāng)為偶數(shù)時（），不等式變?yōu)?，即為中間項(xiàng)6、系數(shù)的最大值：由于系數(shù)受二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)自身系數(shù)影響，所以沒有固定的結(jié)論，需要計(jì)算所得，大致分為兩種情況：型：不妨設(shè)項(xiàng)的系數(shù)為，則理念與二項(xiàng)式系數(shù)最值類似，最大值首先要比相鄰項(xiàng)大，所以有，再根據(jù)通項(xiàng)公式代入解不等式即可型：其展開式的特點(diǎn)為項(xiàng)的符號有正有負(fù)，所以在解決此類問題時有兩種方法：一種是只選取其中的正項(xiàng)進(jìn)行比較，但序數(shù)相隔。即，在運(yùn)算上較為復(fù)雜；一種是先考慮系數(shù)絕對值的最大值，從而把問題轉(zhuǎn)化為的最大值問題，然后在考慮符號確定系數(shù)最大值。例1：二項(xiàng)式展開式中的常數(shù)項(xiàng)是_________方法一：思路：考慮先求出此二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，令的指數(shù)為0，求出的值再代入計(jì)算即可解：依題意可得：常數(shù)項(xiàng)為方法二：思路：對中的8個因式所出的項(xiàng)進(jìn)行分配，若最后結(jié)果為常數(shù)項(xiàng)，則需要兩個式子出，六個式子出相乘，所以常數(shù)項(xiàng)為：答案：7小煉有話說：通過本題說明求二項(xiàng)式展開式中某項(xiàng)的兩種主流方法：一是通過通項(xiàng)公式，先化簡通項(xiàng)公式，再利用題目中所求項(xiàng)的特征求出的值，進(jìn)而求解；二是分析展開式中每一項(xiàng)構(gòu)成的本質(zhì)，即每一個因式僅出一項(xiàng)，然后相乘得到，從而將尋找所求項(xiàng)需要的出項(xiàng)方案，將其作為一個組合問題求解。例2：在的展開式中，的系數(shù)是____________思路一：考慮二項(xiàng)展開的通項(xiàng)公式：由所求可得：思路二：可將其視為6個因式出項(xiàng)的問題，若要湊成，需要個，個所以該項(xiàng)為：答案：小煉有話說：利用二項(xiàng)式定理求某項(xiàng)，通常兩種思路：一種是利用二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)公式，結(jié)合條件求出的值再求出該項(xiàng)；另一種是將問題轉(zhuǎn)化為因式如何安排出項(xiàng)的問題。例3：若二項(xiàng)式的展開式中的第四項(xiàng)等于7，則的值是____________思路：條件中涉及到項(xiàng)的序數(shù)，那么只能考慮利用通項(xiàng)公式：，第四項(xiàng)中，，解得：答案：例4：已知的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)的值為__________思路：先利用通項(xiàng)公式求出的項(xiàng)，在利用系數(shù)的條件求出的值即可解：答案：例5：已知二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和是16，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是____思路：要想求得展開式的某項(xiàng)，首先要先確定的取值，先利用二項(xiàng)式系數(shù)和求出：即，再求展開式的常數(shù)項(xiàng)為答案：例6：的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為___________思路：已知表達(dá)式展開式中的每一項(xiàng)由兩部分相乘而成，要想湊得，不妨從其中