2025千題百煉-高中數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題（三）：第83煉 特殊值法解決二項(xiàng)式展開(kāi)系數(shù)問(wèn)題含答案

2025千題百煉——高中數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題（三）：第83煉特殊值法解決二項(xiàng)式展開(kāi)系數(shù)問(wèn)題含答案第83煉特殊值法解決二項(xiàng)式展開(kāi)系數(shù)問(wèn)題一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、含變量的恒等式：是指無(wú)論變量在已知范圍內(nèi)取何值，均可使等式成立。所以通常可對(duì)變量賦予特殊值得到一些特殊的等式或性質(zhì)2、二項(xiàng)式展開(kāi)式與原二項(xiàng)式呈恒等關(guān)系，所以可通過(guò)對(duì)變量賦特殊值得到有關(guān)系數(shù)（或二項(xiàng)式系數(shù)）的等式3、常用賦值舉例：（1）設(shè)，①令，可得：②令，可得：，即：（假設(shè)為偶數(shù)），再結(jié)合①可得：（2）設(shè)①令，則有：，即展開(kāi)式系數(shù)和②令，則有：，即常數(shù)項(xiàng)③令，設(shè)為偶數(shù)，則有：，即偶次項(xiàng)系數(shù)和與奇次項(xiàng)系數(shù)和的差由①③即可求出和的值二、典型例題：例1：已知，則的值為_(kāi)_______思路：觀察發(fā)現(xiàn)展開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的指數(shù)冪為奇數(shù)，所以考慮令，則偶數(shù)項(xiàng)相同，奇數(shù)項(xiàng)相反，兩式相減即可得到的值解：令可得：①令可得：②①②可得：答案：例2：已知，則的值為（）A.B.C.D.思路：本題雖然恒等式左側(cè)復(fù)雜，但仍然可通過(guò)對(duì)賦予特殊值得到系數(shù)的關(guān)系式，觀察所求式子特點(diǎn)可令，得到，只需再求出即可。令可得，所以答案：B例3：設(shè)，則的值為（）A.B.C.D.思路：所求，在恒等式中令可得：，令時(shí)，所以答案：A例4：若，則等于（）A.B.C.D.思路：雖然展開(kāi)式的系數(shù)有正有負(fù)，但與對(duì)應(yīng)系數(shù)的絕對(duì)值相同，且均為正數(shù)。所以只需計(jì)算展開(kāi)的系數(shù)和即可。令，可得系數(shù)和為，所以答案：A例5：若，則__________思路：所求表達(dá)式可變形為：，從而只需求出和系數(shù)和即可。令可得：，令可得：，所以答案：2014例6：若，且，則等于（）A.B.C.D.思路：由可得或，解得，所求表達(dá)式只需令，可得答案：A例7：若，則（）A.B.C.D.思路：所求表達(dá)式中的項(xiàng)呈現(xiàn)2的指數(shù)冪遞增的特點(diǎn)，與恒等式聯(lián)系可發(fā)現(xiàn)令，可得：，令可得：，所以，所以所求表達(dá)式變形為：，而，所以，從而表達(dá)式的值為答案：D例8：已知，若，則的值為（）A.B.C.D.思路：在恒等式中令可得系數(shù)和，與條件聯(lián)系可考慮先求出，令，可得，展開(kāi)式中為最高次項(xiàng)系數(shù)，所以，，所以，即，解得答案：B例9：若，則的值是（）A.B.C.D.思路：觀察所求式子中項(xiàng)的系數(shù)剛好與二項(xiàng)展開(kāi)式中所在項(xiàng)的次數(shù)一致，可聯(lián)想到冪函數(shù)求導(dǎo)：，從而設(shè)，恒等式兩邊求導(dǎo)再令可解得的值，再在原恒等式中令計(jì)算出即可解：設(shè)令可得：而在中，令可得：答案：D例10：若等式對(duì)于一切實(shí)數(shù)都成立，則（）A.B.C.D.思路：從所求表達(dá)式項(xiàng)的系數(shù)與展開(kāi)式對(duì)應(yīng)項(xiàng)聯(lián)系起來(lái)可聯(lián)想到在恒等式中兩邊同取不定積分。例如：，再利用賦值法令即可得到所求表達(dá)式的值解：，兩邊同取不定積分可得：令可得：令可得：答案：B小煉有話(huà)說(shuō)：（1）本題可與例9作一個(gè)對(duì)照，都是對(duì)二項(xiàng)展開(kāi)的恒等式進(jìn)行等價(jià)變換。是求導(dǎo)還是取不定積分是由所求表達(dá)式項(xiàng)的系數(shù)與展開(kāi)式系數(shù)對(duì)照所確定的。（2）在取不定積分時(shí)，本題有兩個(gè)細(xì)節(jié)，一個(gè)是尋找的原函數(shù)，要注意其原函數(shù)求導(dǎo)時(shí)涉及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，所以系數(shù)要進(jìn)行調(diào)整。此類(lèi)問(wèn)題多是先猜函數(shù)的原型，再通過(guò)對(duì)所猜函數(shù)求導(dǎo)后與已知比較，調(diào)整系數(shù)；第二個(gè)是在求原函數(shù)時(shí)，要注意添加常數(shù)“C”，再利用賦值法求出的值即可第84煉古典概型一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、基本事件：一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的每一個(gè)不可再分的結(jié)果稱(chēng)為一個(gè)基本事件。例如：在扔骰子的試驗(yàn)中，向上的點(diǎn)數(shù)1點(diǎn)，2點(diǎn)，……，6點(diǎn)分別構(gòu)成一個(gè)基本事件2、基本事件空間：一次試驗(yàn)，將所有基本事件組成一個(gè)集合，稱(chēng)這個(gè)集合為該試驗(yàn)的基本事件空間，用表示。3、基本事件特點(diǎn)：設(shè)一次試驗(yàn)中的基本事件為（1）基本事件兩兩互斥（2）此項(xiàng)試驗(yàn)所產(chǎn)生的事件必由基本事件構(gòu)成，例如在扔骰子的試驗(yàn)中，設(shè)為“出現(xiàn)點(diǎn)”，事件為“點(diǎn)數(shù)大于3”，則事件（3）所有基本事件的并事件為必然事件由加法公式可得：因?yàn)?，所?、等可能事件：如果一項(xiàng)試驗(yàn)由個(gè)基本事件組成，而且每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性都是相等的，那么每一個(gè)基本事件互為等可能事件。5、等可能事件的概率：如果一項(xiàng)試驗(yàn)由個(gè)基本事件組成，且基本事件為等可能事件，則基本事件的概率為證明：設(shè)基本事件為，可知所以可得6、古典概型的適用條件：（1）試驗(yàn)的所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限多個(gè)（2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等當(dāng)滿(mǎn)足這兩個(gè)條件時(shí)，事件發(fā)生的概率就可以用事件所包含的基本事件個(gè)數(shù)占基本事件空間的總數(shù)的比例進(jìn)行表示，即7、運(yùn)用古典概型解題的步驟：①確定基本事件，一般要選擇試驗(yàn)中不可再分的結(jié)果作為基本事件，一般來(lái)說(shuō)，試驗(yàn)中的具體結(jié)果可作為基本事件，例如扔骰子，就以每個(gè)具體點(diǎn)數(shù)作為基本事件；在排隊(duì)時(shí)就以每種排隊(duì)情況作為基本事件等，以保證基本事件為等可能事件②可通過(guò)計(jì)數(shù)原理（排列，組合）進(jìn)行計(jì)算③要保證中所含的基本事件，均在之中，即事件應(yīng)在所包含的基本事件中選擇符合條件的二、典型例題：例1：從這6個(gè)自然數(shù)中隨機(jī)取三個(gè)數(shù)，則其中一個(gè)數(shù)是另外兩個(gè)數(shù)的和的概率為_(kāi)_______思路：事件為“6個(gè)自然數(shù)中取三個(gè)”，所以，事件為“一個(gè)數(shù)是另外兩個(gè)數(shù)的和”，不妨設(shè)，則可根據(jù)的取值進(jìn)行分類(lèi)討論，列舉出可能的情況：，所以。進(jìn)而計(jì)算出答案：例2：從集合中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為，從集合中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為，則直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)第三象限的概率為（）A.B.C.D.思路：設(shè)為“的所有組合”，則，設(shè)事件為“直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)第三象限”，則要求，所以，從而答案：A例3：袋中共有7個(gè)大小相同的球，其中3個(gè)紅球，2個(gè)白球，2個(gè)黑球。若從袋中任取三個(gè)球，則所取3個(gè)球中至少有兩個(gè)紅球的概率是（）A.B.C.D.思路：設(shè)為“袋中任取三球”，則，設(shè)事件為“至少兩個(gè)紅球”，所以，從而答案：B例4：設(shè)函數(shù)，若是從三個(gè)數(shù)中任取一個(gè)，是從五個(gè)數(shù)中任取一個(gè)，那么恒成立的概率是（）A.B.C.D.思路：設(shè)事件為“從所給數(shù)中任取一個(gè)”，則，所求事件為事件，要計(jì)算所包含的基本事件個(gè)數(shù)，則需要確定的關(guān)系，從恒成立的不等式入手，恒成立，只需，而，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以，得到關(guān)系后即可選出符合條件的：共8個(gè)，當(dāng)時(shí)，，所以符合條件，綜上可得，所以答案：A例5：某人射擊10次擊中目標(biāo)3次，則其中恰有兩次連續(xù)命中目標(biāo)的概率為（）A.B.C.D.思路：考慮設(shè)為“10次射擊任意擊中三次”，則，設(shè)事件為“恰有兩次連續(xù)命中”，則將命中分為兩次連續(xù)和一次單獨(dú)的，因?yàn)檫B續(xù)與單獨(dú)的命中不相鄰，聯(lián)想到插空法，所以（剩下七個(gè)位置出現(xiàn)八個(gè)空，插入連續(xù)與單獨(dú)的，共有種，然后要區(qū)分連續(xù)與單獨(dú)的順序，所以為），從而答案：A例6：已知甲袋裝有6個(gè)球，1個(gè)球標(biāo)0,2個(gè)球標(biāo)1，3個(gè)球標(biāo)2；乙袋裝有7個(gè)球，4個(gè)球標(biāo)0,1個(gè)球標(biāo)1,2個(gè)球標(biāo)2，現(xiàn)從甲袋中取一個(gè)球，乙袋中取兩個(gè)球，則取出的三個(gè)球上標(biāo)有的數(shù)碼乘積為4的概率是____________思路：設(shè)為“兩個(gè)袋中取出三個(gè)球”，則，事件為“三個(gè)球標(biāo)記數(shù)碼乘積為4”，因?yàn)椋匀齻€(gè)球中有兩個(gè)2號(hào)球，1個(gè)1號(hào)球，可根據(jù)1號(hào)球的來(lái)源分類(lèi)討論，當(dāng)1號(hào)球在甲袋時(shí)，有種，當(dāng)1號(hào)球在乙袋時(shí)，則乙袋一個(gè)1號(hào)球，一個(gè)二號(hào)球，共有有種，即種。則答案：例7：四面體的頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中任取4個(gè)點(diǎn)，則這四個(gè)點(diǎn)不共面的概率為（）A.B.C.D.思路：設(shè)為“10個(gè)點(diǎn)中取4個(gè)點(diǎn)”，則，設(shè)事件為“4個(gè)點(diǎn)不共面”，若正面尋找不共面的情況較為復(fù)雜，所以考慮問(wèn)題的對(duì)立面，即為“4個(gè)點(diǎn)共面”，由圖可得四點(diǎn)共面有以下幾種情況：（1）四個(gè)點(diǎn)在四面體的面上，則面上6個(gè)點(diǎn)中任意4個(gè)點(diǎn)均共面，則；（2）由平行線(xiàn)所產(chǎn)生的共面（非已知面），則有3對(duì)，即；（3）由一條棱上的三點(diǎn)與對(duì)棱的中點(diǎn)，即，所以共面的情況，所以，所以答案：D例8：袋子里有3顆白球，4顆黑球，5顆紅球，由甲，乙，丙三人依次各抽取一個(gè)球，抽取后不放回，若每顆球被抽到的機(jī)會(huì)均等，則甲，乙，丙三人所得之球顏色互異的概率是（）A.B.C.D.思路：事件為“不放回地抽取3個(gè)球”，則，基本事件為甲，乙，丙拿球的各種情況，且將這些球均視為不同元素。設(shè)所求事件“甲，乙，丙三人所得之球顏色互異”為事件，則先要從白球黑球紅球中各取一個(gè)（），再分給三個(gè)人（三個(gè)元素全排列），所以，從而答案：D例9：甲乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中想一個(gè)數(shù)字，記為，再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為，其中，若或，就稱(chēng)甲乙“心有靈犀”現(xiàn)在任意找兩人玩這個(gè)游戲，則他們“心有靈犀”的概率為（）A.B.C.D.思路：設(shè)為“甲想乙猜的所有情況”，則，設(shè)事件為“甲乙‘心有靈犀’”，可對(duì)甲想的數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論：當(dāng)時(shí)，可取的值為或；當(dāng)時(shí)，，所以事件包含的基本事件數(shù)，所以答案：C例10：將1,2,3,4四個(gè)數(shù)字隨機(jī)填入右方的方格中，每個(gè)方格中恰填一數(shù)字，但數(shù)字可重復(fù)使用，試問(wèn)時(shí)間“A