2025千題百煉-高中數(shù)學(xué)100個熱點(diǎn)問題（三）：第93煉 算法-多項(xiàng)循環(huán)體含答案

2025千題百煉——高中數(shù)學(xué)100個熱點(diǎn)問題（三）：第93煉算法—多項(xiàng)循環(huán)體含答案第93煉含多次循環(huán)的程序框圖一、基礎(chǔ)知識：1、如果在框圖運(yùn)行中，循環(huán)次數(shù)過多，則不易一一列舉，費(fèi)時費(fèi)力，則要通過列舉出的前幾個例子找到規(guī)律，并推斷出循環(huán)臨近結(jié)束時各變量的值2、找規(guī)律：在多次循環(huán)的框圖中，變量的取值通常呈現(xiàn)出以下幾點(diǎn)規(guī)律：（1）與數(shù)列的求和相關(guān)：框圖中某個變量與求和相關(guān)，且在每次循環(huán)中所加上的項(xiàng)具備特點(diǎn)，如同數(shù)列的通項(xiàng)公式。那么則可通過歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式從而判斷求和方法（2）與周期性相關(guān)：框圖經(jīng)過幾次循環(huán)后，某個變量的值存在周期性，那么可通過周期性即可判斷出循環(huán)臨近結(jié)束后，變量的取值。（3）計數(shù)變量：在較多次的循環(huán)中，往往會有一個變量，在每次循環(huán)時，它的值都加1，則該變量的值可代表循環(huán)的次數(shù)，這樣的變量稱為計數(shù)變量。由于多次循環(huán)不能一一列出，所以需要在前幾次的列舉中發(fā)現(xiàn)輸出變量與計數(shù)變量間的”對應(yīng)關(guān)系“以便于在最后一次循環(huán)時，可通過計數(shù)變量的值確定輸出變量的取值或者是在求和中最后一次加上的項(xiàng)二、典型例題：例1：右圖是表示分別輸出的值的過程的一個程序框圖，那么在圖中①②處應(yīng)分別填上()A.≤,B.≤,C.≤,D.≤,思路：通過框圖可發(fā)現(xiàn)代表求和，而變量是成為求和中的每一項(xiàng)，依題意，每項(xiàng)的底數(shù)為奇數(shù)（相差2），所以在執(zhí)行框②中填入的應(yīng)該是，在判斷框①中，只要不滿足①的條件則結(jié)束循環(huán)，從選項(xiàng)中可判斷是關(guān)于的條件，且最后一次輸出前，所加的項(xiàng)為，然后，所以判斷框中應(yīng)填寫，故選C答案：C例2：某程序框圖如圖所示，該程序運(yùn)行后輸出的S的值是（）A． B． C． D．思路：從判斷框中發(fā)現(xiàn)循環(huán)次數(shù)較多，所以考慮進(jìn)行幾次循環(huán)，并尋找規(guī)律：①②③④⑤由此可發(fā)現(xiàn)的值呈周期性變化，且周期為，最后一次循環(huán)，所以，所以的值與②相同，即答案：B例3：某程序框圖如圖所示，則該程序運(yùn)行后輸出的值是（）A.B.C.D.思路：程序運(yùn)行中變量變化如下：①②③④⑤⑥⑦可發(fā)現(xiàn)的取值以6為周期，當(dāng)時，循環(huán)結(jié)束，因?yàn)?，故此時的值與時的一致，所以答案：D例4：如果執(zhí)行右邊框圖，輸入，則輸出的數(shù)等于（）A.B.C.D.思路：可先進(jìn)行幾次循環(huán)觀察規(guī)律：①②③通過三次循環(huán)即可觀察到為數(shù)列（其中）進(jìn)行求和，即考慮在第次循環(huán)時的通式，通過通項(xiàng)公式特征可用錯位相減法求和：再考慮最后一次循環(huán)時，按照前面的對應(yīng)關(guān)系，循環(huán)的序數(shù)為，代入可得：答案：A例5：執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的，則輸出的（）A.B.C.D.思路：可先執(zhí)行幾次循環(huán)：①②③，依次類推可得：第次循環(huán)中，若輸入的，則考慮時，，故當(dāng)時，跳出循環(huán)，所以輸出的答案：C例6：若執(zhí)行右邊的程序框圖，輸出的值為4，則判斷框中應(yīng)填入的條件是（）A.B.C.D.思路：可先通過幾次循環(huán)尋找規(guī)律：①②③由此可發(fā)現(xiàn)：第次循環(huán)：，且即，因?yàn)檩敵觯?，解得，所以?yīng)該在后結(jié)束循環(huán)，判斷框應(yīng)填入答案：C例7：某算法的程序框圖如圖，輸入，若輸出結(jié)果滿足，則輸入正整數(shù)的最大值是___________思路：通過流程圖可觀察到可視為數(shù)列通過裂項(xiàng)相消求和得到。即解得，從而輸入的最大值為答案：例8閱讀下圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序（其中，表示“等于除以4的余數(shù)”）輸出值等于_________思路：通過可知框圖的關(guān)鍵為除以4的余數(shù)，且輸出的為一個求和，先做幾個循環(huán)尋找規(guī)律：①，，②，，③，，④，，⑤，，由此可得：的取值呈周期性。最后一次循環(huán)是，而，所以時，，且共進(jìn)行了次循環(huán)，所以答案：例9：如圖，程序框圖運(yùn)算的結(jié)果為________思路：由于，經(jīng)歷的循環(huán)次數(shù)較多，所以考慮求和中的規(guī)律。先通過幾次循環(huán)尋找：①②③……可觀察到，從而聯(lián)想到數(shù)列求和。很難從通項(xiàng)公式入手，觀察到相鄰兩項(xiàng)存在平方差特點(diǎn)，所以考慮兩兩分組。，則答案：例10：閱讀右面的程序框圖，若輸入的是100，則輸出的變量和的值依次是（）A．B．C．D．思路：通過幾次循環(huán)觀察特點(diǎn)：①②③通過三次循環(huán)便可發(fā)現(xiàn)，為偶數(shù)和，為奇數(shù)和，從而尋找最后一次循環(huán)，則答案：D三、歷年好題精選1、執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（）A．B．C．D．2、21.（2015，湖南）執(zhí)行如圖1所示的程序框圖，如果輸入，則輸出的()A.B.C.D.3、（2015，北京）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為（）A． B． C． D．4、（2015，福建）閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出的結(jié)果為()A．2B．1C．0D．5、（2015，陜西）根據(jù)右邊的圖，當(dāng)輸入為2006時，輸出的（）A．28B．10C．4D．26、（2015，天津）閱讀右邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出的值為（）A.-10B.6C.14D.187、（2015，山東）執(zhí)行右邊的程序框圖，輸出的的值為.8、（2014，北京）當(dāng)時，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（）A.B.C.D.9、（2014，湖北）設(shè)是一個各位數(shù)字都不是0且沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．將組成的3個數(shù)字按從小到大排成的三位數(shù)記為，按從大到小排成的三位數(shù)記為(例如，則）．閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，任意輸入一個，輸出的結(jié)果________．10、執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出，那么判斷框內(nèi)應(yīng)填（）A.B.C.D.答案：A11、定義某種運(yùn)算，運(yùn)算原理如圖所示，則式子的值為（）A．4B．8C．11D．1312、下圖是一算法的程序框圖，若此程序運(yùn)行結(jié)果為，則在判斷框中應(yīng)填入關(guān)于的判斷條件是（）A．B．C．D．習(xí)題答案：1、答案：C解析：執(zhí)行的程序流程如下：①②③……可知周期為2，且為奇數(shù)時，，為偶數(shù)時，；最后一次循環(huán)時，此時的2、答案：B解析：①②②，滿足，結(jié)束循環(huán)3、答案：B解析：①②③，滿足，結(jié)束循環(huán)4、答案：C解析：①②③④⑤，滿足，結(jié)束循環(huán)5、答案：B解析：①；②；③，…，以此類推下去，可知第1003次運(yùn)行時，；第1004次運(yùn)行時，，不滿足，結(jié)束循環(huán)，所以6、答案：B解析：①②③，滿足，結(jié)束循環(huán)7、答案：.解析：①②此時不成立，結(jié)束循環(huán)8、答案：C解析：由已知可得：的初始值為，循環(huán)結(jié)束判斷條件為：，循環(huán)過程如下：①②③，此時滿足，循環(huán)結(jié)束9、答案：495解析：本題循環(huán)結(jié)束的條件并非大于（或小于）一個值，所以要讀懂此程序的過程和結(jié)束的條件。為的差，循環(huán)結(jié)束時意味著，即的差與原數(shù)相等。設(shè)，若最大，則的個位不是與矛盾；若最大，則的百位不是也與矛盾；所以最大。當(dāng)時，，可得：，由可得，進(jìn)而可推斷出，從而10、答案：A解析：通過觀察框圖可得表示一個數(shù)列的求和，且數(shù)列的通項(xiàng)公式為，從而考慮裂項(xiàng)相消進(jìn)行求和，則，所以，結(jié)果為，可知求和時的，但由于在求和后，所以循環(huán)結(jié)束后的，所以判斷框應(yīng)填入的是11、答案：D解析：由框圖可知運(yùn)算的關(guān)鍵在于的大小，先計算，即，所以；另一部分，，所以式子的和為12、答案：C解析：執(zhí)行循環(huán)程序結(jié)果如下：①②③此時循環(huán)應(yīng)該終止，所以可知判斷條件為，可終止循環(huán)第94煉極坐標(biāo)與參數(shù)方程極坐標(biāo)與參數(shù)方程在高考中常以填空或選擇的形式出現(xiàn)，在知識上結(jié)合解析幾何，考查學(xué)生曲線方程的轉(zhuǎn)化能力，以及解析幾何的初步技能。題目難度不大，但需要學(xué)生能夠快速熟練的解決問題一、基礎(chǔ)知識：（一）極坐標(biāo)：1、極坐標(biāo)系的建立：以平面上一點(diǎn)為中心（作為極點(diǎn)），由此點(diǎn)引出一條射線，稱為極軸，這樣就建立了一個極坐標(biāo)系2、點(diǎn)坐標(biāo)的刻畫：用一組有序?qū)崝?shù)對確定平面上點(diǎn)的位置，其中代表該點(diǎn)到極點(diǎn)的距離，而表示極軸繞極點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)至過該點(diǎn)時轉(zhuǎn)過的角度，通常：3、直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系坐標(biāo)的互化：如果將極坐標(biāo)系的原點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與軸重合，則同一個點(diǎn)可具備極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)，那么兩種坐標(biāo)間的轉(zhuǎn)化公式為：，由點(diǎn)組成的直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程也可按照此法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化，例如：極坐標(biāo)方程（在轉(zhuǎn)化成時要設(shè)法構(gòu)造，然后進(jìn)行整體代換即可）（二）參數(shù)方程：1、如果曲線中的變量均可以寫成關(guān)于參數(shù)的函數(shù)，那么就稱為該曲線的參數(shù)方程，其中稱為參數(shù)2、參數(shù)方程與一般方程的轉(zhuǎn)化：消參法（1）代入消參：（2）整體消參：，由可得：（3）平方消參：利用消去參數(shù)例如：3、常見圖形的參數(shù)方程：（1）圓：的參數(shù)方程為：，其中為參數(shù)，其幾何含義為該圓的圓心角（2）橢圓：的參數(shù)方程為，其中為參數(shù)，其幾何含義為橢圓的離心角（3）雙曲線：的參數(shù)方程為，其中為參數(shù)，其幾何含義為雙曲線的離心角（4）拋物線：的參數(shù)方程為，其中為參數(shù)（5）直線：過，傾斜角為的直線參數(shù)方程為，其中代表該點(diǎn)與的距離注：對于極坐標(biāo)與參數(shù)方程等問題，通常的處理手段是將方程均轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的一般方程，然后利用傳統(tǒng)的解析幾何知識求解二、典型例題：例1：已知直線參數(shù)方程為，圓的參數(shù)方程為，則圓心到直線的距離為____________思路：將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為一般方程：所以圓心為，到直線的距離為：答案：例2：以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，在兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長度，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，曲線的參數(shù)方程為，則曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)距離的最大值為___________思路：，故曲線上距離最遠(yuǎn)的距離為到圓心的距離加上半徑，故答案：例3：已知在平面直角坐標(biāo)系中圓的參數(shù)方程為：，以為極軸建立極坐標(biāo)系，直線極坐標(biāo)方程為，則圓截直線所得弦長為__________思路：圓的方程為：，對于直線方程，無法直接替換為，需構(gòu)造再進(jìn)行轉(zhuǎn)換：再求出弦長即可：答案：例4：已知兩曲線參數(shù)方程分別為和，它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為_____________思路：曲線方程為，聯(lián)立方程可解得：或（舍）由可得：所以，坐標(biāo)為答案：例5：在極坐標(biāo)系中，直線與曲線相交于兩點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的值為_____________思路：先將直線與曲線轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程：，曲線，所以問題轉(zhuǎn)化為直線與圓相交于，且，利用圓與直線關(guān)系可求得圓心到直線距離即，解得或答案：或例6：以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位，已知直線的極坐標(biāo)方程為，它與曲線（為參數(shù)）相交于兩點(diǎn)，則_________思路：先將兩個方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的普通方程。對于，這種特殊的極坐標(biāo)方程可以考慮數(shù)形結(jié)合來確定直線：即，曲線消參后可得：即圓心是，半徑為的圓，所以，答案：小煉有話說：對于形如的極坐標(biāo)方程，可以作出圖像并根據(jù)圖像得到直角坐標(biāo)方程，或者可以考慮對賦予三角函數(shù)，然后向直角坐標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化：例7：在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程是，則兩曲線交點(diǎn)間的距離是______________思路：將轉(zhuǎn)變?yōu)橹苯亲鴺?biāo)系的普通方程。，則為直線與雙曲線位置關(guān)系，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求得弦長即可解：的方程為聯(lián)立方程可得：代入消去可得：設(shè)交點(diǎn)則答案：例8：已知曲線的極坐標(biāo)方程分別為，其中，則曲線交點(diǎn)的極坐標(biāo)為_______思路一：按照傳統(tǒng)思路，將轉(zhuǎn)變?yōu)橹苯亲鴺?biāo)系的普通方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)后再轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)解：或?qū)蓚€點(diǎn)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)分別為，因?yàn)?，所以只有符合條件思路二：觀察到所給方程形式簡單，且所求也為極坐標(biāo)，所以考慮直接進(jìn)行極坐標(biāo)方程聯(lián)立求解解：代入消去可得：交點(diǎn)坐標(biāo)為小煉有話說：（1）思路一中規(guī)中矩，但解題過程中要注意原極坐標(biāo)方程對的限制條件（2）思路二有些學(xué)生會對聯(lián)立方程不很適應(yīng)，要了解到極坐標(biāo)中的本身是實(shí)數(shù)，所以關(guān)于它們的方程與方程一樣，都是實(shí)數(shù)方程，所以可以用實(shí)數(shù)方程的方法去解根，只是由于其具備幾何含義（尤其）導(dǎo)致方程形式有些特殊（數(shù)與三角函數(shù)）。但在本題中，通過代入消元還是容易解出的例9：已知在極坐標(biāo)系中，為極點(diǎn)，圓的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，則的面積為___________思路一：將轉(zhuǎn)變?yōu)橹苯亲鴺?biāo)系方程：，所以，再求出的直角坐標(biāo)為，則，因?yàn)?，所以，且，所以思路二：本題求出后，發(fā)現(xiàn)其極坐標(biāo)為，而，所以可結(jié)合圖像利用極坐標(biāo)的幾何含義求解，可得，，所以答案：

小煉有話說：（1）在思路一中面積的求法用向量求解還可以更為簡單：，所以，代入即可（2）思路二體現(xiàn)了極坐標(biāo)本身具備幾何特點(diǎn)，即長度（）與角，在解決一些與幾何相關(guān)的問題時，靈活運(yùn)用極坐標(biāo)的幾何含義往往能達(dá)到出奇制勝的效果例10：在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為，（其中為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)點(diǎn)，曲線交于，求的值思路一：將轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下普通方程：，，聯(lián)立方程，解出坐標(biāo)，再求出即可解：設(shè)，思路二：本題在思路一的基礎(chǔ)上通過作圖可發(fā)現(xiàn)三點(diǎn)共線，則可以考慮將轉(zhuǎn)變?yōu)橄蛄康臄?shù)量積，即，進(jìn)而向量坐標(biāo)化后整體代入即可解：（前面轉(zhuǎn)化方程，聯(lián)立方程同思路一）設(shè)，由得思路三：觀察到恰好是直線參數(shù)方程的定點(diǎn)，且所求恰好是到的距離，所以聯(lián)系到直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何含義。只需求得對應(yīng)參數(shù)的乘積即可解：設(shè)，則有，，則有代入到中可得：所以是方程的兩根，整理可得：答案：小煉有話說：（1）思路二體現(xiàn)了處理線段模長乘積時，可觀察涉及線段是否具備共線特點(diǎn)，如果具備可以將其轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積，從而簡化運(yùn)算，但要注意與圖像結(jié)合，看好向量是同向還是反向（2）思路三體現(xiàn)了對直線參數(shù)方程中參數(shù)幾何含義的巧用。在處理兩條曲線（其中一條為參數(shù)方程）的交點(diǎn)問題時，可以將參數(shù)代換掉另一曲線中的得到關(guān)于參數(shù)的方程。另外在使用直線參數(shù)方程時，要注意參數(shù)前面的系數(shù)應(yīng)該是該