考研數(shù)學二分類模擬203

考研數(shù)學二分類模擬203一、選擇題1.

如圖，曲線段的方程為y=f(x)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，a]上有連續(xù)的導數(shù)，則定積分等于______

A.曲邊梯形ABOD面積B.梯形ABOD面積C.曲邊三角形ACD面積D.三角形ACD面積正確答案：C[解析]因為

其中af(a)是矩形ABOC的面積，為曲邊梯形ABOD的面積，所以為曲邊三角形ACD的面積。故選C。

2.

由曲線(0≤x≤π)與x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體體積為______

A．

B．

C．

D．正確答案：B[解析]由曲線y=f(x)繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積計算公式得

故選B。

3.

由曲線y=1-(x-1)2及直線y=0圍成的圖形(如圖)繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體體積V是______

A．

B．

C．

D．正確答案：D[解析]按選項，要把曲線表示成x=x(y)，于是要分成兩部分

則V是以下兩個旋轉(zhuǎn)體的體積之差

于是故選D。

4.

甲、乙兩人賽跑，計時開始時，甲在乙前方10米處，圖中實線表示甲的速度曲線v=v1(t)(單位：m/s)，虛線表示乙的速度曲線v=v2(t)，三塊陰影部分的面積的數(shù)值依次為10，20，3。計時開始后乙追上甲的時刻記為t0(單位：s)，則______

A.t0=10B.15＜t0＜20C.t0=25D.t0＞25正確答案：C[解析]從0到t0時刻，甲、乙的位移分別為要使乙追上甲，則需。由定積分的幾何意義可知

則t0=25。故選C。

5.

半圓形閘門半徑為R(米)，將其垂直放人水中，且直徑與水面齊平，設(shè)水密度ρ=1。若坐標原點取在圓心，x軸正向朝下，則閘門所受壓力P為______

A．

B．

C．

D．正確答案：C[解析]如圖所示，任取[x，x+dx]∈[0，R]，相應的小橫條所受壓力微元

于是閘門所受壓力故選C。

二、填空題1.

設(shè)封閉曲線L的極坐標方程為則L所圍平面圖形的面積是______。正確答案：[解析]直接利用封閉曲線圖形的面積公式可得

2.

設(shè)曲線的極坐標方程為ρ=eaθ(a＞0)，則該曲線上相應于θ從0變到2π的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積為______。正確答案：[解析]所求面積為

3.

曲線直線x=2及x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為______。正確答案：[解析]直接利用旋轉(zhuǎn)體的體積公式可得，如圖所示，x的積分從1到2。

4.

設(shè)無界區(qū)域G位于曲線下方，x軸上方，則G繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得空間區(qū)域的體積為______。正確答案：[解析]由題意

5.

當0≤θ≤π時，對數(shù)螺旋r=eθ的弧長為______。正確答案：[解析]利用極坐標的弧長公式

6.

曲線的弧長s=______。正確答案：[解析]

7.

曲線ρθ=1相應于的一段弧長s=______。正確答案：[解析]由已知可得則

8.

設(shè)曲線的參數(shù)方程為則對應于的曲線段的弧長s=______。正確答案：ln2[解析]因為x'(t)=cost，因此當時，曲線的弧微分為

因此，相應的曲線段的弧長為

9.

設(shè)有擺線x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0≤t≤2π)的第一拱L，則L繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面的面積S=______。正確答案：[解析]根據(jù)旋轉(zhuǎn)曲面面積公式可得

10.

一根長為1的細棒位于x軸的區(qū)間[0，1]上，若其線密度ρ(x)=-x2+2x+1，則該細棒的質(zhì)心坐標=______。正確答案：[解析]質(zhì)心橫坐標其中

所以得

三、解答題1.

設(shè)D是由曲線直線x=a(a＞0)及x軸所圍成的平面圖形，Vx，Vy分別是D繞x軸，y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積，若Vy=10Vx，求a的值。正確答案：解：由微元法可知

由已知條件10Vx=Vy，解得

2.

設(shè)曲線y=ax2(x≥0，常數(shù)a＞0)與曲線y=1-x2交于點A，過坐標原點O和點A的直線與曲線y=ax2圍成一平面圖形D，求

(Ⅰ)D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積V(a)；

(Ⅱ)a的值，使V(a)取得最大值。正確答案：解：由題意知，y=ax2與y=1-x2的交點為直線OA的方程為

(Ⅰ)旋轉(zhuǎn)體的體積

(Ⅱ)

當a＞0時，得V(a)的唯一駐點a=4。當0＜a＜4時，V'(a)＞0；當a＞4時，V'(a)＜0。故a=4為V(a)的唯一極大值點，即為最大值點。

3.

設(shè)D是位于曲線下方、x軸上方的無界區(qū)域。

(Ⅰ)求區(qū)域D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積V(a)；

(Ⅱ)當a為何值時，V(a)最小?并求此最小值。正確答案：解：(Ⅰ)

(Ⅱ)令得a=e。

當a＞e時，V'(a)＞0，V(a)單調(diào)增加。當1＜a＜e時，V'(a)＜0，V(a)單調(diào)減少。所以V(a)在a=e取得極小值，即為最小值，且最小值為V(e)=πe2。

4.

過點(0，1)作曲線L：y=lnx的切線，切點為A，L與x軸交于B點，區(qū)域D由L與直線AB圍成。求區(qū)域D的面積及D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。正確答案：解：設(shè)切點坐標為A(x0，lnx0)，斜率為，因此該點處切線方程為

又因為該切線過B(0，1)，所以x0=e2，故切線方程為

切線與x軸交點為(1，0)。因此直線AB的方程為

區(qū)域的面積為

旋轉(zhuǎn)一周所圍成的體積為

5.

一個高為l的柱體形貯油罐，底面是長軸為2a，短軸為2b的橢圓。現(xiàn)將貯油罐平放，當油罐中油面高度為時(如圖)，計算油的質(zhì)量(長度單位為m，質(zhì)量單位為kg，油的密度為常數(shù)ρ，單位為kg/m3)。

正確答案：解：如圖，建立直角坐標系，則油罐底面橢圓方程為

圖中陰影部分為油面與橢圓所圍成的圖形。

記S1為下半橢圓面積，則記S2是位于x軸上方陰影部分的面積，則記y=bsint，則dy=bcostdt，可得

因此可知油的質(zhì)量為

6.

函數(shù)與直線x=0，x=t(t＞0)及y=0圍成一曲邊梯形。該曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體，其體積為V(t)，側(cè)面積為S(t)，在x=t處的底面積為F(t)。

(Ⅰ)

(Ⅱ)正確答案：解：(Ⅰ)

所以

(Ⅱ)[解析]旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積的一般公式可以總結(jié)為S=2π∫lds，其中l(wèi)表示曲線上的點到旋轉(zhuǎn)軸的距離，ds表示弧長微分。例如對本題來說，由于旋轉(zhuǎn)軸是x軸，所以曲線上的點到旋轉(zhuǎn)軸的距離為曲線的縱坐標，曲線方程為y=f(x)，弧長微分為，所以旋轉(zhuǎn)曲面的面積就變成了

7.

設(shè)有擺線

試求L繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)面的面積。正確答案：解：這是由參數(shù)方程給出的曲線，由于

x'(θ)=1-cosθ，y'(θ)=sinθ，

則按旋轉(zhuǎn)曲面面積計算公式，可得旋轉(zhuǎn)面的面積

8.

為清除井底的污泥，用纜繩將抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口(如圖所示)。已知井深30m，抓斗自重400N，纜繩每米重50N，抓斗抓起的污泥重2000N，提升速度為3m/s，在提升過程中，污泥以20N/s的速率從抓斗縫隙中漏掉?，F(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升至井口，問克服重力需做多少焦耳的功?(說明：①1N×1m=1J，m，N，s，J分別表示米，牛，秒，焦；②抓斗的高度及位于井口上方的纜繩長度忽略不計。)

正確答案：解：作x軸如圖所示，將抓起污泥的抓斗提升至井口所做功記為W，當抓斗運動到x處時，作用力f(x)包括抓斗的自重400N，纜繩的重力50(30-x)N，污泥的重力即

于是

[解析]假設(shè)物體沿著x軸從x=a處運動到x=b處，并且作用力與位置之間的函數(shù)關(guān)系式為F=F(x)，x∈[a，b]，則這個過程中該作用力對物體所做的功為

9.

一容器的內(nèi)側(cè)是由圖中(如圖)曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面，該曲線由連接而成。

(Ⅰ)求容器的容積；

(Ⅱ)若將容器內(nèi)盛滿的水從容器頂部全部抽出，至少需要做多少功?

(長度單位為m，重力加速度為gm/s2，水的密度為103kg/m3。)正