考研數(shù)學(xué)二分類模擬211

考研數(shù)學(xué)二分類模擬211一、選擇題1.

A.22B.23C.24D.25正確答案：C[解析]第一行加到第二行，然后第二行加到第三行，最后第三行再加到第四行，得到上對角線行列式故該行列式值為24。故選C。

2.

四階行列式

的值等于______A.a1a2a3a4-b1b2b3b4B.a1a2a3a4+b1b2b3b4C.(a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)D.(a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)正確答案：D[解析]方法一：根據(jù)行列式的按k行(列)展開法則，將此行列式第二、三行(列)展開，得

故選D。

方法二：交換該行列式的第二行與第四行，再將第二列與第四列交換，即

由拉普拉斯展開定理可知，原式=(a1a4-b1b4)(a2a3-b2b3)。故選D。

3.

A.(ad-bc)2B.-(ad-bc)2C.a2d2-b2C2D.b2c2-a2d2正確答案：B[考點(diǎn)]本題要計(jì)算四階行列式。[解析]方法一：由行列式的展開定理按第一列展開

故選B。

方法二：利用拉普拉斯展開式，即

故選B。

通過觀察行列式中元素的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)該行列式中零比較多，所以有兩種方法可以解決：第一種是利用行列式按行(列)展開定理；第二種是利用拉普拉斯展開定理。

4.

設(shè)2n階行列式D的某一列元素及其余子式都等于a，則D=______A.0B.a2C.-a2D.na2正確答案：A[解析]按這一列展開，D=a1jA1j+a2jA2j+…+a2njA2nj=aA1j+aA2j+…+aA2nj，并注意到這一列元素的代數(shù)余子式中有n個(gè)為a，n個(gè)為-a，從而行列式的值為零。故選A。

5.

設(shè)且|A|=m，則|B|=______A.mB.-8mC.2mD.-2m正確答案：D[解析]方法一：

故選D。

方法二：將行列式|A|的第一列加到第二列上，再將第二、三列互換，之后第一列乘以2就可以得到行列式|B|。由行列式的性質(zhì)知|B|=-2|A|=-2m。故選D。

6.

設(shè)則f'(x)=0的根的個(gè)數(shù)為______A.0B.1C.2D.3正確答案：C[解析]按行列式展開得

所以有

f'(x)=5(x2-4)=0，

因此根的個(gè)數(shù)為2。故選C。

7.

(設(shè)α1，α2，α3，β1，β2均為四維列向量，且|A|=|α1，α2，α3，β1|=m，|B|=|α1，α2，β2，a3|=n，則|α3，α2，α1，(β1+β2)|=______A.m+nB.m-nC.-(m+n)D.n-m正確答案：D[解析]由行列式運(yùn)算法則，|α3，α2，α1，(β1+β2)|=|α3，α2，α1，β1|+|α3，α2，α1，β2|，且

|α3，α2，α1，β2|=-|α1，α2，α3，β2|=|α1，α2，β2，α3|=|B|=n，

故可得

|α3，α2，α1，(β1+β2)|=-|A|+|B|=-m+n。

故選D。

8.

α1，α2，α3，β1，β2均為四維列向量，A=(α1，α2，α3，β1)，B=(α3，α1，α2，β2)，且|A|=1，|B|=2，則|A+B|=______A.9B.6C.3D.1正確答案：B[解析]方法一：由矩陣加法公式，得A+B=(α1+α3，α2+α1，α3+α2，β1+β2)，結(jié)合行列式的性質(zhì)有

|A+B|=|α1+α3，α2+α1，α3+α2，β1+β2|

=|2(α1+α2+α3)，α2+α1，α3+α2，β1+β2|

=2|α1+α2+α3，α2+α1，α3+α2，β1+β2|

=2|α1+α2+α3，-α3，-α1，β1+β2|

=2|α2，-α3，-α1，β1+β2|

=2|α1，α2，α3，β1+β2|

=2(|A|+|B|)=6。

方法二：

故選B。

如果行列式是由抽象向量形式所表示，則可將每個(gè)向量視為行列式的一列，結(jié)合行列式的常用性質(zhì)求得結(jié)果。

9.

設(shè)A=(α1，α2，α3)是三階矩陣，則|A|=______A.|α1-α2，α2-α3，α3-α1|B.|α1+α2，α2+α3，α3+α1|C.|α1+2α2，α3，α1+α2|D.|α1，α2+α3，α1+α2|正確答案：C[解析]

故選C。

10.

設(shè)n階矩陣A=(α1，α2，…，αn)，B=(αn，α1，…，αn-1)，若|A|=1，則|A-B|=______A.0B.2C.1+(-1)n+1D.1+(-1)n正確答案：A[解析]對于行列式|A-B|，將第2～n列都加到第一列上，即

|A-B|=|α1-αn，α2-α1，…，αn-αn-1|=|0，α2-α1，…，αn-αn-1|=0。

故選A。

11.

設(shè)矩陣矩陣B滿足AB+B+A+2E=0，則|B+E|=______

A．-6

B．6

C．

D．正確答案：C[解析]化簡矩陣方程，構(gòu)造B+E，用因式分解法，則有

A(B+E)+(B+E)=-E，即(A+E)(B+E)=-E，

兩邊取行列式，由行列式乘法公式得

|A+E|·|B+E|=1，

又有

故故選C。

12.

設(shè)A為三階矩陣，，則|4A-(3A*)-1|=______

A．

B．3

C．6

D．9正確答案：D[解析]|4A-(3A*)-1|=|4A-(3|A|A-1)-1|=|4A-A|=|3A|=9。故選D。

二、填空題1.

正確答案：-2(x3+y3)[解析]將后兩列加到第一列上

2.

正確答案：(a1c2-a2c1)(b1d2-b2d1)[解析]根據(jù)行列式按行(列)展開法則，按照第一行展開，有

3.

正確答案：120[解析]將行列式第四行的各元素加到第一行相應(yīng)元素上后，提出公因子10，然后將第四行逐行換至第二行，即

4.

設(shè)矩陣矩陣B滿足ABA*=2BA*+E，其中A*為A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，則|B|=______。正確答案：[解析]由于AA*=A*A=|A|E，且|A|=3，所以|A*|-|A|2=9。

由ABA*=2BA*+E可得ABA*-2BA*=E，即(A-2E)BA*=E，則

|A-2E||B||A*|=|E|=1，

如果題目中給出了矩陣的方程，要求某矩陣的行列式，一般的思路是先從方程中將要計(jì)算行列式的矩陣作為公因子提出，再在等式兩邊同時(shí)取行列式。

5.

設(shè)三階行列式D3的第二行元素分別為1，-2，3，對應(yīng)的代數(shù)余子式分別為-3，2，1，則D3=______。正確答案：-4[解析]根據(jù)行列式的求解方法：行列式的值等于它的任一行元素與其相應(yīng)代數(shù)余子式乘積之和。故

D3=a21A21+a22A22+a23A23=1×(-3)+(-2)×2+3×1=-4。

6.

設(shè)行列式則第四行元素余子式之和的值為______。正確答案：0[解析]第四行余子式之和

7.

已知三階行列式=______。正確答案：[解析]結(jié)合行列式的性質(zhì)：行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符號外面。即

所以

8.

設(shè)A=(α1，α2，α3，β)，B=(α2，α3，α1，γ)，|A|=a，|B|=b，則|A+B|=______。正確答案：2(a+b)[解析]由題意

A+B=(α1+α2，α2+α3，α3+α1，β+γ)，

即有

|A+B|=|α1+α2，α2+α3，α3+α1，β+γ|，

將該行列式的第一列的-1倍加到第二列得

|A+B|=|α1+α2，α3-α1，α3+α1，β+γ|，

再將新的行列式的第二列加到第三列可得

|A+B|=|α1+α2，α3-α1，2α3，β+γ|=2|α1+α2，-α1，α3，β+γ|

=-2|α1+α2，α1，α3，β+γ|=-2|α2，α1，α3，β+γ|

=-2(|α2，α1，α3，β|+|α2，α1，α3，γ|)，

其中

|α2，α1，α3，β|=-|A|=-a，|α2，α1，α3，γ|=-|B|=-b，

故

|A+B|=2(a+b)。

9.

設(shè)A=(α1，α2，α3)是三階矩陣，且|A|=4。若B=(α1-3α2+2α3，α2-2α3，2α2+α3)，則|B|=______。正確答案：20[解析]方法一：利用行列式的性質(zhì)

|B|=|α1-3α2+2α3，α2-2α3，5α3|=5|α1-3α2+2α3，α2-2α3，α3|

=5|α1-3α2，α2，α3|=5|α1，α2，α3|=5|A|=20。

方法二：

所以

10.

設(shè)α1，α2，α3均為三維列向量，記矩陣A=(α1，α2，α3)，B=(α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3)，如果|A|=1，那么|B|=______。正確答案：2[解析]方法一：由題干可知，

于是，有

方法二：利用行列式性質(zhì)(在行列式中，把某行的各元素分別乘以非零常數(shù)加到另一行的對應(yīng)元素上，行列式的值不變；從某一行或列中提取某一公因子行列式值不變)

又因?yàn)閨A|=|α1，α2，α3|=1，故|B|=2|A|=2。

本題方法一中用到的矩陣按列分塊時(shí)的運(yùn)算性質(zhì)很常用：設(shè)A=(α1，α2，…，αn)，假設(shè)B=(bij)為n×m矩陣，則

對上述等式要從兩個(gè)角度去把握，一方面，要會做這樣的運(yùn)算；另一方面，看到形如(b11α1+b21α2+…+bn1αn，b12α1+b22α2+…+bn2αn，…，b1mα1+b2mα2+…+bnmαn)的矩陣，也要想到用該公式進(jìn)行變形。

11.

設(shè)矩陣B滿足AB+B+A+2E=O，則|B+E|=______。正確答案：[解析]由AB+B+A+2E=O可知A(B+E)+B+E=-E，即(A+E)(B+E)=-E。

取行列式可得

|A+E||B+E|=|-E|=1，

由于

故

12.

設(shè)A為奇數(shù)階矩陣，且AAT=ATA=E。若|A|＞0，則|A-E|=______。正確答案：0[解析]|A-E|=|A-AAT|=|A(E-AT)|=|A|·|E-AT|=|A|·|E-A|。

由AAT=ATA=E，可知|A|2=1，因?yàn)閨A|＞0，所以|A|=1，即|A-E|=|E-A|。

又A為奇數(shù)階矩陣，所以|E-A|=|-(A-E)|=-|A-E|=-|E-A|，故|A-E|=0。

13.

已知A，B，C都是行列式值為2的三階矩陣，則=______。正確答案：[解析]根據(jù)行列式按行(列)展開法則，得

14.

已知A為三階方陣，A2-A-2E=O，且0＜|A|＜5，則|A+2E|=______。正確答案：4[解析]設(shè)A的特征值λi對應(yīng)的特征向量是xi(xi≠0，i=1，2，3)，則Axi=λxi。

由A2-A-2E=O可知，特征向量xi滿足(A2-A-2E)xi=0，從而有λi2～λi-2=0，解得λi=-1或λi=2。再根據(jù)|A|=λ1λ2λ3及0＜|A|＜5可得，λ1=λ2=-1，λ3=2。

由Axi=λxi可得(A+2E)xi=(λi+2)xi，即A+2E的特征值μi(i=1，2，3)滿足μi=λi+2，

所以μ1=μ2=1，μ3=4，故|A+2E|=1×1×4=4。

15.

設(shè)三階方陣A與B相似，且|2E+A|=0。已知λ1=1，λ2=-1是方陣B的兩個(gè)特征值，則|A+2AB|=______。正確答案：18[解析]由|2E+A|=0，可得|-2E-A|=0，即λ=-2是A的一個(gè)特征值。

因A與B相似，且由相似矩陣具有相同的特征值可知，λ1=1，λ2=-1也是A的特征值，所以A，B的特征值均為λ1=1，λ2=-1，λ3=-2，則E+2B的三個(gè)特征值分別為3，-1，-3。從而可得|A|=λ1λ2λ3=2，|E+2B|=3×(-1)×(-3)=9，故

|A+2AB|=|A(E+2B)|=|A|·|E+2B|=18。

16.

已知A，B為三階相似矩陣，λ1=1，λ2=2為A的兩個(gè)特征值，行列式|B|=2，則行列式正確答案：[解析]設(shè)λ3為A的另一特征值。由A與B相似知，|A|=|B|=2，且λ1λ2λ3=|A|=2，則有λ3=1，從而A，_B有相同的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=1。

于是有

|A+E|=(λ1+1)(λ2+1)(λ3+1)=12，|(A+E)-1|=，

|(2B)*|=|22B*|=43|B*|=43|B|2=256。

故有

17.

設(shè)A為三階矩陣，|A|=3，A*為A的伴隨矩陣，若交換A的第1行與第2行得矩陣B，則|BA*|=______。正確答案：-27[解析]|BA*|=|B|·|A*|，其中|B|=-|A|=-3，|A*|=|A|3-1=9，因此|BA*|=-27。

抽象矩陣行列式的計(jì)算一般會用到方陣的行列式的相關(guān)公式，常用的公式可分為三部分，分別是：①矩陣的運(yùn)算：若A，B均為n階矩陣，則|AT|=|A|，|AB|=|A||B|，|kA|=kn|A|；②逆矩陣與伴隨矩陣，若A為n階矩陣，則|A*|=|A|n-1；若A為n階可逆矩陣，則|A-1|=|A|-1；③分塊矩陣，若A，B分別為n階及m階方陣，則

三、解答題1.

計(jì)算行列式正確答案：解：把第一行的-1倍分別加至其余各行，然后將第2～n列依次加至第一列，得

2.

計(jì)算行列式正確答案：解：把第二行的-1倍分別加至其余各行，再把第一行的2倍加至第二行，得

3.

計(jì)算行列式正確答案：解：把第一行的-1倍分別加至其余各行，得

4.

計(jì)算行列式正確答案：解：利用行列式的性質(zhì)，得

同理可得，所以

依次遞推可得

5.

計(jì)算行列式其中未寫出的元素都是0。正確答案：解：該行列式只有兩條對角線上元素不為0，可以按其中一行展開，找出遞推關(guān)系式。

按第一行展開，得

將以上兩個(gè)行列式分別按最后一行展開，得

由此得遞推公式D2n=(andn-bncn)D2n-2。按遞推公式逐層代入得

又由

因此原行列式

6.

正確答案：證明：本題可利用遞推法證明。

顯然D1=an，根據(jù)上面的結(jié)論有：

左邊=xDn+a0=x(xDn-1+a1)+a0=x2Dn-1+xa1+a0=…

=xnD1+an-1xn-1+…+a1x+a0=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=右邊，

所以，命題成立。

7.

設(shè)n階矩陣證明行列式|A|=(n+1)an。正確答案：證明：方法一：數(shù)學(xué)歸納法。

記以下用數(shù)學(xué)歸納法證明Dn=(n+1)an。

當(dāng)n=1時(shí)，D1=2a，結(jié)論成立。

當(dāng)n=2時(shí)，結(jié)論成立。

假設(shè)結(jié)論對小于n的情況成立，將Dn按第一行展開，則有

故|A|=(n+1)an。

方法二：消元法。

8.

計(jì)算n階行列式其中α≠β。正確答案：解：令則將該行列式按第一行展開得

再將上式中后面的n-1階行列式按照第一列展開得Dn=(α+β)Dn-1-αβDn-2，則

Dn=αDn-1=β(Dn-1-αDn-2)=β2(Dn-2-αDn-3)=…=βn-2(D2-αD1)

=βn-2[(α2+αβ+β2)-α(α+β)]=βn，

即

Dn-αDn-1=βn

(1)

類似地

Dn-βDn-1=αn，

(2)

(1)×β-(2)×α可得(β-α)Dn=βn+1-αn+1，所以。

(其中上式還可以進(jìn)一步化簡為)[解析]上面幾個(gè)題目的高階行列式的計(jì)算均用到了數(shù)學(xué)歸納法，常用的數(shù)學(xué)歸納法有兩種類型。其步驟分別如下：

第一種數(shù)學(xué)歸納法：(1)驗(yàn)證n=1時(shí)，行列式的表達(dá)式fn正確；(2)設(shè)n=k時(shí)，行列式的表達(dá)