考研數(shù)學二分類模擬229

考研數(shù)學二分類模擬229解答題1.

設(shè)有三個線性無關(guān)的特征向量，求x，y之間的關(guān)系．正確答案：解：由

得λ1=-1，λ2=λ3=1．因為A有三個線性無關(guān)的特征向量，所以A可以對角化，所以r(E-A)=1，由

得x+y=0．[考點]特征值與特征向量

2.

設(shè)，B為三階非零矩陣，且AB=0，求r(A).正確答案：解：因為AB=0，所以r(A)+r(B)≤3，又因為B≠0，所以r(B)≥1，從而r(A)≤2．顯然A有一個二階的非零子式，故r(A)≥2，于是r(A)=2．[考點]矩陣

3.

求不定積分．正確答案：解：令，則x=ln(t2-1)，．于是

[考點]一元函數(shù)微積分

4.

設(shè)α1，α2，…，αs線性無關(guān)，并且證明：β1，β2，…，βs線性無關(guān)的充分必要條件是．正確答案：證明：設(shè)k1β1+…+ksβs=0，即

k1(a11α1+…+a1sαs)+…+ks(as1α1+…+assαs)=0

(k1a11+…+ksas1)α1+…+(k1α1s+…+ksass)αs=0①

由于α1，α2，…，αs線性無關(guān)，因此由式①得

齊次線性方程組②的系數(shù)行列式，則β1，β2，…，βs線性無關(guān)齊次線性方程組②只有零解．[考點]向量

5.

已知n階矩陣

Aij是元素aij的代數(shù)余子式，求．正確答案：解：因，A*=|A|A-1=A-1，則A*的全部元素之和為

[考點]矩陣

6.

設(shè)向量組α1，α2，…，αs線性無關(guān)，β=b1α1+b2α2+…+bi-1αi-1+biαi+bi+1αi+1+…+bsαs．如果bi≠0，那么用β替換αi以后得到的向量組α1，α2，…，αi-1，β，αi+1，…，αs也線性無關(guān)．正確答案：證明：由于

于是

故結(jié)論知，α1，…，αi-1，β，αi+1，…，αs線性無關(guān)．

注本例中的結(jié)論稱為替換定理，即設(shè)α1，…，αs線性無關(guān)，β=b1α1+…+bsαs，如果系數(shù)bi≠0，那么用β替換αi后，向量組α1，…，αi-1，β，αi+1，…，αs仍線性無關(guān)．

從證明還可以看到，如果bi=0，那么用β替換αi后，向量組α1，…，αi-1，β，αi+1，…，αs就線性相關(guān)了．這個結(jié)論也可直接從β=b1α1+…+bi-1αi-1+0αi+bi+1αi+1+…+bsαs得到．[考點]向量

7.

計算二重積分，其中D是由曲線x2+y2=x+y所圍成的區(qū)域．正確答案：解：顯然

令，其中0≤θ≤2π，．

所以

[考點]二重積分

8.

已知α1=(1，-2，0，3)T，α2=(2，-5，-3，6)T，α3=(0，1，3，0)T，α4=(2，-1，4，-7)T，α5=(5，-8，1，2)T．求該向量組一個極大無關(guān)組并用極大無關(guān)組表示其余向量．正確答案：解：令A(yù)=(α1，α2，α3，α4，α5)，對矩陣A作初等行變換化成行最簡形矩陣

即向量組α1，α2，α3，α4，α5秩為3，最大無關(guān)組為α1，α2，α4，且

α3=2α1-α2，α5=α1+α2+α4[考點]向量

9.

設(shè)A是n×m矩陣，B是m×n矩陣，滿足AB=E，E是n階單位矩陣，證明：A的行向量組線性無關(guān)．正確答案：證1：用定義．將A按行分塊為，設(shè)

k1α1+k2α2+…+knαn=0①

表示成矩陣形式

式②兩端右乘矩陣B，得

(k1，k2，…，kn)AB=(k1，k2，…，kn)E=(k1，k2，…，kn)=0

即ki=0(i=1，2，…，n)，故A的行向量組線性無關(guān)．

證2：An×m的行向量組線性無關(guān)r(A)=n．

因

r(An×m)≤n

又

r(A)≥r(AB)=r(E)=n

故r(A)=n，即A的行向量組線性無關(guān)．[考點]向量

10.

設(shè)f(x)在[0，+∞)上連續(xù)，且，求f(t)．正確答案：解：設(shè)x=ρcosθ，y=ρsinθ，0≤ρ≤2t，0≤θ≤2π．

上式兩邊對t求導(dǎo)得

f'(t)=8πte4πt2+8πtf(t)

即f'(t)-8πtf(t)=8πte4πt2，再由一階線性微分方程的公式可得通解

顯然有f(0)=1，得C=1．則所求函數(shù)f(t)=e4πt2(4πt2+1)．[考點]一元函數(shù)微積分

11.

計算下述2n階行列式(主對角線上元素都是a，副對角線上元素都是b，空缺處的元素為0)

正確答案：解：每次都按第1行和最后1行展開，得

D2n=(a2-b2)(-1)(1+2n)+(1+2n)·D2n-2

=(a2-b2)(a2-b2)(-1)[1+(2n-2)]+[1+(2n-2)]·D2n-4

=(a2-b2)2D2n-4=…=(a2-b2)n-1D2=(a2-b2)n[考點]行列式

求極限，設(shè)12.

；正確答案：解：利用基本不等式，故，．由此可知

故．[考點]極限、連續(xù)及其應(yīng)用

13.

；正確答案：解1：由于，因此將k=n2，n2+1，…，(n+1)2各不等式相加，可得

而不等式①左右兩端的極限皆為2，故．

解2：由于共有2n+2項，最小項為，最大項為，因此

故．[考點]極限、連續(xù)及其應(yīng)用

14.

；正確答案：因nk＜nk+1＜(n+1)k，故，即(k=1，2，…，n)，相加得

令n→+∞，取極限得．同理可得，從而．[考點]極限、連續(xù)及其應(yīng)用

15.

．正確答案：，因，故．[考點]極限、連續(xù)及其應(yīng)用

16.

設(shè)，求y'x，及y"x．正確答案：解：取對數(shù)，得

對x求導(dǎo)，得

將上式對x求導(dǎo)，得

[考點]一元函數(shù)微積分

17.

證明：f(x)=|x|3在x=0處的三階導(dǎo)數(shù)f"'(0)不存在．正確答案：證明：f(x)=|x|3=sgnx·x3，因此

而f"'-(0)=-6，所以f"'(0)不存在．[考點]連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分(Ⅰ)

18.

討論齊次線性方程組何時有非零解?何時只有零解?正確答案：解：對系數(shù)矩陣A做初等行變換

當a=-30且b=-41時，r(A)=2＜3，此時齊次線性方程組有非零解．

當a≠-30或b≠-41時，r(A)=3，此時齊次線性方程組只有零解．[考點]線性方程組