考研數(shù)學二分類模擬231

考研數(shù)學二分類模擬231解答題1.

證明：若f(x)是以T為周期的連續(xù)函數(shù)，則為周期函數(shù)或者F(x)可表示為線性函數(shù)與周期等于T的函數(shù)之和．正確答案：證明：因為，所以

又因f(x)是周期為T的連續(xù)函數(shù)，所以

于是

F(x+T)-F(x)=K

若K=0，則F(x)為周期等于T的周期函數(shù)．

若K≠0，可考慮，則

所以，φ(x)是以T為周期的周期函數(shù)，從而

則F(x)是線性函數(shù)與周期等于T的周期函數(shù)之和．[考點]一元函數(shù)微積分

2.

計算行列式

正確答案：解：將第1行乘以-1加到第2行，再將新得到的第2行乘以-1加到第3行，依次進行下去，可得

由范德蒙行列式得

[考點]行列式

3.

若f(x)在[a，b]上二次連續(xù)可微，，證明

其中．正確答案：證明：利用泰勒定理，將f(x)在處展開，則

其中ξ介于x與之間．

注

[考點]一元函數(shù)微積分

4.

設A為n階矩陣，A的各行元素之和為0且r(A)=n-1，求方程組Ax=0的通解．正確答案：解：設A=(aij)nn，A的各行元素之和為零，即ai1+ai2+…+ain=0，亦即

，所以．又因r(A)=n-1，所以為方程組Ax=0的基礎解系，從而通解為．[考點]線性方程組

5.

求的逆矩陣．正確答案：解：

所以

[考點]矩陣

6.

設向量組α1，α2，…，αs線性無關，則向量β可以由α1，α2，…，αs線性表出的充分必要條件是α1，α2，…，αs，β線性相關．正確答案：證明：必要性是顯然的．下面證充分性．

設α1，α2，…，αs，β線性相關，則存在不全為零的數(shù)k1，k2，…，ks，l使得

k1α1+k2α2+…+ksαs+lβ=0①

如果l=0，那么k1，k2，…，ks不全為0，并且從式①得

k1α1+k2α2+…+ksαs=0

于是α1，α2，…，αs線性相關．這與已知條件矛盾，因此l≠0，從而由式①得

[考點]向量

7.

設對非零x，y，有f(xy)=f(x)+f(y)，且f'(1)=a，求f'(x)(x≠0)．正確答案：解：由f(xy)=f(x)+f(y)，可得f(1)=0

則

[考點]一元函數(shù)微積分

設二次型f(x1，x2，x3)=xTAx，A的主對角線上元素之和為3，又AB+B=0，其中．8.

求正交變換x=Qy將二次型化為標準形；正確答案：解：由AB+B=0，得(E+A)B=0，從而

r(E+A)+r(B)≤3

因為r(B)=2，所以r(E+A)≤1，即r(-1·E-A)≤1，從而λ=-1為A的特征值且不低于二重，顯然λ=-1不可能為三重特征值，又因A的主對角線上元素之和為3，則A的特征值為λ1=λ2=-1，λ3=5．

由(E+A)B=0可得，矩陣B的列向量組均為方程組(E+A)x=0的解，故為λ1=λ2=-1對應的特征向量．

令為λ3=5對應的特征向量．

因為AT=A，所以解得，令

單位化得

令Q=(γ1，γ2，γ3)，則

[考點]二次型

9.

求矩陣A.正確答案：解：由

得

[考點]二次型

10.

設，若將A的第1行和第2行互換后得到矩陣B，求B-1．正確答案：解：因為B=E12A，所以

[考點]矩陣

11.

證明：n個n維列向量α1，α2，…，αn線性無關的充分必要條件是

其中是列向量αi的轉置，i=1，2，…，n．正確答案：證明：設A=(α1，α2，…，αn)，則α1，α2，…，αn線性無關|A|=|α1，α2，…，αn|≠0．

因

從而D=|ATA|=|AT||A|=|A|2，故α1，α2，…，αn線性無關D≠0．[考點]向量

12.

設，當a，b為何值時，存在矩陣C，使得AC-CA=B，并求所有的矩陣C.正確答案：解：設，則

得

對(*)的增廣矩陣作初等行變換

當a≠-1或b≠0時，系數(shù)矩陣的秩不等于增廣矩陣的秩，所以方程組(*)無解．

當a=-1且b=0時，方程組(*)有解，(*)的同解方程組為

通解為

x=(1，0，0，0)T+k1(1，-1，1，0)T+k2(1，0，0，1)T

其中k1，k2為任意常數(shù)，故知當且僅當a=-1，b=0時，存在滿足條件的矩陣C，且，其中k1，k2為任意常數(shù)．[考點]矩陣、向量、方程組

13.

f(x)在[0，+∞)上具有連續(xù)二階導數(shù)，又設f(0)＞0，f'(0)＜0，f"(x)＜0．證明：f(x)在區(qū)間內(nèi)至少有一個根．正確答案：證明：對任意的x∈(0，+∞)，由泰勒公式有，其中η∈(0，x)，則

而f(0)＞0，由零點定理，至少有一點，使f(ξ)=0．[考點]連續(xù)、導數(shù)、微分(Ⅱ)

14.

已知，計算n階行列式

正確答案：解：

[考點]行列式

設fn(x)=sinx+sin2x+…+sinnx．試證：15.

對任意正整數(shù)n，方程fn(x)=1在內(nèi)有且僅有一個根；正確答案：證明：令Fn(x)=fn(x)-1，則

當n=1時，；當n＞1時，，，由零點定理可知，F(xiàn)n(x)在內(nèi)至少有一個根．而

即Fn(x)單調(diào)遞增，則Fn(x)在有且僅有一個根．[考點]連續(xù)、導數(shù)、微分(Ⅱ)

16.

設是fn(x)=1的根，則．正確答案：證明：設x1是方程f1(x)=1的根，則；x2是f2(x)=1的根，則由第一小題的證明過程可知．

若xn是方程fn(x)=1的根，即Fn(xn)=0．再由第一小題的證明過程可知，F(xiàn)n-1(xn-1)=0，即sinxn-1+sin2xn-1+…+sinn-1xn-1-1=0，所以

Fn(xn-1)=sinnxn-1+sinn-1xn-1+…+sinxn-1-1=sinnxn-1＞0

而Fn(x)遞增，所以(n∈N+)．此即證得{xn}單調(diào)遞減且有下界．

故可設，且

由于n≥3時，，所以．

對①兩邊取極限并注意，得，所以．[考點]連續(xù)、導數(shù)、微分(Ⅱ)

17.

計算積分，其中

正確答案：解：利用極坐標變換x=rcosθ，y=rsinθ，則

其中．

記

則

[考點]多元函數(shù)微積分

[解析]f(x，y)可表示為含有絕對值的函數(shù)

于是應當分拆為不同區(qū)域上的積分．

18.

設曲線L的方程為(1≤x≤e)，求L的弧長．正確答案：解：曲線的微分為

所以弧長為

[考點]定積分的應用

19.

當0≤x≤π時，討論方程sin3xcosx=a實根的數(shù)目，并劃分出這些根所在的區(qū)間．正確答案：解：當a=0時，方程顯然有實根x=0，或π．接下來討論a≠0的情況．

令f(x)=sin3xcosx-a，則f'(x)=3sin2xcos2x-sin4x．

令f'(x)=0，得駐點．由于

所以，當時，f'(x)＞0；當時，f'(x)＜0．

整理上述信息，得到下列表格．

注意到，所以此時極大值即為最大值，極小值即為最小值．

故分以下五種情況討論：

情況1時，方程無根(圖1)；

圖1

情況2時，方程有唯一根(圖2)；

圖2

情況3時，方程恰有兩個根(圖3)；

圖3

情況4時，方程有唯一根(圖4)；

圖4

情況5時，方程無根(圖5)