考研數(shù)學(xué)二分類模擬266

考研數(shù)學(xué)二分類模擬266解答題1.

求初值問題的解．正確答案：解

[考點(diǎn)]齊次方程的求解．

[解析]原方程可化為，是齊次方程．

本題應(yīng)注意的求法．

2.

設(shè)函數(shù)試判斷在點(diǎn)(0，0)處的連續(xù)性．正確答案：解：當(dāng)x2+y2＞0時(shí)，

當(dāng)x2+y2=0時(shí)，

可見，極限值隨著k的變化而變化，故極限不存在，從而在點(diǎn)(0，0)處不連續(xù)．[考點(diǎn)]二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)、偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的概念．

[解析]本題應(yīng)先求出的表達(dá)式，再判斷其連續(xù)性．

本題的關(guān)鍵在于證明不存在．

設(shè)線性方程組3.

證明：若a1，a2，a3，a4兩兩互不相同，則方程組無解．正確答案：解：由已知得

由a1，a2，a3，a4兩兩不相等，知，從而矩陣的秩．

但系數(shù)矩陣A的秩r(A)≤3，故，因此原方程組無解．[考點(diǎn)]具體型非齊次線性方程組求通解．

[解析](1)利用范德蒙行列式得到增廣矩陣的秩；

(2)利用解的結(jié)構(gòu)求解．

本題未知量系數(shù)和常數(shù)的排列是有規(guī)律的，因此首先要利用范德蒙行列式來確定增廣矩陣的秩，第二問也不需要對增廣矩陣作初等變換，只利用解的結(jié)構(gòu)即可．

4.

設(shè)a1=a3=k，a2=a4=-k(k≠0)，且β1=(-1，1，1)T，β2=(1，1，-1)T是該方程組的兩個(gè)解，求方程組的通解．正確答案：解：當(dāng)a1=a3=k，a2=a4=-k(k≠0)時(shí)，方程組為

因，從而方程組對應(yīng)的導(dǎo)出方程組的基礎(chǔ)解系應(yīng)含有3-2=1個(gè)解向量．

又因β1，β2是原非齊次線性方程組的兩個(gè)解，故是對應(yīng)齊次線性方程組的解，且ξ≠0，因此ξ是導(dǎo)出方程組的基礎(chǔ)解系．

于是，原非齊次線性方程組的通解為(c為任意常數(shù))．

5.

設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)且恒大于零，證明正確答案：證明：記D={(x，y)|a≤x≤b，a≤y≤b}，則

根據(jù)輪換對稱性有

由基本不等式可知

[考點(diǎn)]積分不等式的證明，二重積分的對稱性．

[解析]由于

而D={(x，y)|a≤x≤b，a≤y≤b}關(guān)于y=x對稱，故可考慮利用二重積分的對稱性．

本題的關(guān)鍵在于要想到利用二重積分的對稱性．

已知曲線(a＞0)與曲線在點(diǎn)(x0，y0)處有公共切線．求：6.

常數(shù)a的值及切點(diǎn)(x0，y0)．正確答案：解：

因?yàn)?x0，y0)是公共切點(diǎn)，所以有

解得

a=e-1，x0=e2，y0=1．[考點(diǎn)]定積分的幾何應(yīng)用．

[解析]用定積分求平面區(qū)域的面積及旋轉(zhuǎn)體的體積．

7.

兩曲線與x軸圍成的平面區(qū)域的面積．正確答案：解：面積為

[考點(diǎn)]定積分的幾何應(yīng)用．

8.

該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積．正確答案：解：體積為

[考點(diǎn)]定積分的幾何應(yīng)用．

已知函數(shù)9.

求a的值．正確答案：解：因?yàn)?/p>

故a=1.[考點(diǎn)]函數(shù)極限計(jì)算與無窮小階的比較．

[解析]計(jì)算極限判斷無窮小階．

無窮小階的比較是考研數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，其主要方法是將其轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的極限求解．

10.

若當(dāng)x→0時(shí)，f(x)-a與xk是同階無窮小，則求常數(shù)k的值．正確答案：解：由第一問可知a=1，則

故k+2=3，即當(dāng)k=1時(shí)，f(x)-a與xk是同階無窮小(x→0)．[考點(diǎn)]函數(shù)極限計(jì)算與無窮小階的比較．

11.

若函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，且a＜x1＜x2＜…＜xn＜b，證明：在[x1，xn]上必存在ξ，使得f(ξ)=λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn)，其中λi＞0，λ1+λ2+…+λn=1，i=1，2，…，n．正確答案：解：因?yàn)閒(x)在[a，b]上連續(xù)，又，所以f(x)在[x1，xn]上連續(xù)，從而f(x)在[x1，xn]上必有最大值和最小值．設(shè)M=max{f(x)|x1≤x≤xn}，m=min{f(x)|x1≤x≤xn}，則m≤λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn)≤M.

若m＜λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn)＜M，則由連續(xù)函數(shù)的介值定理知，ξ∈(x1，xn)，使f(ξ)=λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn)．

若m=λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn)，則有f(x1)=f(x2)=…=f(xn)=m，任取x2，…，xn-1中一點(diǎn)作為ξ，即有ξ∈(x1，xn)，使f(ξ)=λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn)．

若M=λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn)，則有f(x1)=f(x2)=…=f(xn)=M，任取x2，…，xn-1中一點(diǎn)作為ξ，即有ξ∈(x1，xn)，使f(ξ)=λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn)．[考點(diǎn)]連續(xù)函數(shù)的介值定理．

[解析]利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值、最小值定理及介值定理求解．

閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)是考研數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，在證明過程中要特別注意性質(zhì)的條件．

已知f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0，f(1)=1，，證明：12.

存在ξ∈(0，1)，使得．正確答案：解：令g(x)=f(x)+x-1，g(0)=-1＜0，g(1)=1＞0．

又，由介值定理可知，，使得

[考點(diǎn)]閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及微分中值定理的應(yīng)用．

[解析]根據(jù)已知條件，利用介值定理、微分中值定理及積分中值定理求解．

這是一道綜合了介值定理、微分中值定理及積分中值定理的題目，要注意定理滿足的條件及結(jié)論．

13.

存在兩個(gè)不同的點(diǎn)η，δ∈(0，1)，使得正確答案：解：因?yàn)?，由積分中值定理知，存在x0∈(0，1)使得f(1)=1．f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)；由拉格朗日中值定理知，存在η∈(0，x0)，δ∈(x0，1)使得

[考點(diǎn)]閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及微分中值定理的應(yīng)用．

設(shè)A，B是n階方陣，齊次線性方程組Ax=0和Bx=0分別有l(wèi)，m個(gè)線性無關(guān)的解向量，這里l≥0，m≥0．14.

證明：(AB)x=0至少有max{l，m}個(gè)線性無關(guān)的解向量．正確答案：證明：由已知條件有r(A)≤n-l，r(B)≤n-m，則r(AB)≤min{n-l，n-m}．于是(AB)x=0的基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)為n-r(AB)≥max{l，m}．[考點(diǎn)]齊次線性方程組解的判別．

[解析]利用系數(shù)矩陣的秩判別．

設(shè)A是m×n矩陣：

(1)Ax=0一定有解，即零解．

(2)Ax=0有非零解A的列向量組線性相關(guān)

r(A)＜行，

特別的，當(dāng)m=n時(shí)，Ax=0有非零解|A|=0．

(3)Ax=0只有零解A的列向量組線性無關(guān)

r(A)=n．

特別的，當(dāng)m=n時(shí)，Ax=0只有零解|A|≠0．

15.

如果l+m＞n，證明(A+B)x=0必有非零解．正確答案：解：r(A+B)≤r(A)+r(B)≤2n-(l+m)．如果l+m＞n，則r(A+B)＜n，于是(A+B)x=0必有非零解．[考點(diǎn)]齊次線性方程組解的判別．

設(shè)3維向量α1，α2，α3線性無關(guān)，β1=2α1+2kα3，β2=2α2，β3=α1+(k+1)α3．16.

證明β1，β2，β3線性無關(guān)．正確答案：解：(β1，β2，β3)=(2α1+2kα3，2α2，α1+(k+1)α3)

故β1，β2，β3線性無關(guān)．[考點(diǎn)]線性相關(guān)性的證明．

[解析](1)抽象向量組線性相關(guān)性的判別可以考慮用定義或表示矩陣．

(2)轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組求解．

17.

當(dāng)k為何值時(shí)，存在非零向量ξ，使得ξ由α1，α2，α3和β1，β2，β3線性表示的表達(dá)式相同?并求所有的ξ．正確答案：解：由題意知，

ξ=k1β1+k2β2+k3β3=k1α1+k2α2+k3α3，ξ≠0，

即k1(β1-α1)+k2(β2-α2)+k3(β3-α3)=0，k1，k2，k3不全為零．

k1(2α1+2kα3-α1)+k2(2α2-α2)+k3[α1+(k+1)α3-α3]=0，

k1(α1+2kα3)+k2(α2)+k3(α1+kα3)=0

有非零解，即

|α1+2kα3，α2，α1+kα3|=0，

也就是

由k1α1+k2α2+k3α1=0，可得k2=0，k1+k3=0．

所以，ξ=k1α1-k1α3，k1≠0．[考點(diǎn)]考查齊次線性方程組的變形．

18.

設(shè)f(x)在[a，b]上可導(dǎo)，且，證明：在(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ使得f'(ξ)=0．正確答案：證明：不妨設(shè)，由導(dǎo)數(shù)定義可知，

由極限的局部保號性可知，存在δ1＞0，當(dāng)x∈(a，a+δ1)時(shí)，f(x)＜f(a)；存在δ2＞0，當(dāng)x∈(b-δ2，b)時(shí)，f(x)＜f(b)．

又因?yàn)閒(x)在[a，b]上可導(dǎo)，從而一定連續(xù)，故必有最小值．由以上所證可知，最小值點(diǎn)ξ在(a，b)內(nèi)，因此由費(fèi)馬定理得f'(ξ)=0．[考點(diǎn)]導(dǎo)數(shù)定義、費(fèi)馬定理．

[解析]根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，利用極限的局部保號性，結(jié)合費(fèi)馬定理求解．

19.

設(shè)4x2+4y2+3z2=32，證明2xy+3yz≤16.正確答案：解：記f(x，y，z)=2xy+3yz，作拉格朗日函數(shù)

L(x，y，λ)=f(x，y，z)+λ(4x2+4y2+3z2-32)，

令

解得可能的極值點(diǎn)為(1，2，2)，(-1，2，-2)，(1，-2，2)，(-1，-2，-2)，

由f(1，2，2)=16，f(-1，2，-2)=-16，f(1，-2，2)=-16，f(-1，-2，-2)=16，可知f(x，y，z)在條件4x2+4y2+3z2=32下有最大值16，故

2xy+3yz≤16.[考點(diǎn)]多元函數(shù)的條件極值，證明不等式．

[解析]本題可轉(zhuǎn)化為求f(x，y，z)=2xy+3yz在條件4x2+4y2+3z2=32下的極值．

本題將多元函數(shù)的條件極值與證明不等式結(jié)合了起來．

20.

證明方程xn+xn-1+xn-2+…+x=1(n=2，3，4，…)在(0，1)內(nèi)必有唯一實(shí)根xn，并求正確答案：解：(1)令f(x)=xn+xn-1+xn-2+…+x-1(n=2，3，…)，則f(x)在[0，1]上連續(xù)，f(0)=-1＜0，f(1)=n-1＞0，由零點(diǎn)定理知，方程f(x)=0在(0，1)內(nèi)必有實(shí)根．

又，f'(x)=nxn-1+(n-1)xn-2+…+2x+1＞0，所以f(x)在[0，1]上單調(diào)增加，故方程f(x)=0在(0，1)內(nèi)有唯一實(shí)根，即方程xn+xn-1+xn-2+…+x=1(n=2，3，…)在(0，1)內(nèi)有唯一實(shí)根．

(2)設(shè)xn是方程f(x)=0在(0，1)內(nèi)的唯一實(shí)根，即

考慮數(shù)列{xn}，則0＜xn+1＜xn＜1，即{xn}單調(diào)有界．

根據(jù)單調(diào)有界原理知存在，設(shè)得

兩邊取極限得[考點(diǎn)]單調(diào)有界原理及零點(diǎn)定理．

[解析]零點(diǎn)定理證明根的存在性，單調(diào)性證明唯一性．

單調(diào)有界原理和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)是考研數(shù)學(xué)的重點(diǎn)．

21.

設(shè)函數(shù)y=excosx，求y(n)．正確答案：解：由y=excosx得

[考點(diǎn)]兩函數(shù)乘積的高階導(dǎo)數(shù)．

[解析]歸納法求高階導(dǎo)數(shù)．

(1)求乘積函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)一般考慮用萊布尼茨公式：設(shè)f(x)和g(x)都n階可導(dǎo)，則有

(2)高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算方法有直接求解法(歸納法)和間接求解法．間接求解法是對所求函數(shù)經(jīng)過恒等變形，根據(jù)高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合已知基本初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式求解．

(3)熟記以下常見函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)公式：

22.

求不定積分正確答案：解：如下圖所示，令x=sect，則dx=secttantdt，因而有

[考點(diǎn)]無理根式不定積分求解．

[解析]用第二換元積分法求解．

當(dāng)被積函數(shù)中含有的因子時(shí)，常用三角代換求解——弦代換、切代換和割代換．

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．23.

．正確答案：解：將方程兩邊取對數(shù)，得，兩邊對x求導(dǎo)，得

將代入并化簡整理得

[考點(diǎn)]初等函數(shù)求導(dǎo)．

[解析]用對數(shù)求導(dǎo)法求解．

若出現(xiàn)復(fù)雜的冪次運(yùn)算，則冪指函數(shù)y=f(x)g(x)[f(x)＞0]的導(dǎo)數(shù)也可化為指數(shù)函數(shù)的復(fù)合求解，即

24.

正確答案：解：將方程兩邊取對數(shù)，得lny=x[lnx-ln(x+1)]，兩邊對x求導(dǎo)，得

將代入并化簡整理得

[考點(diǎn)]初等函數(shù)求導(dǎo)．

25.

設(shè)x1＞0，，證明數(shù)列{xn}收斂，并求其極限值．正確答案：解：由x1＞0，有界．又由于遞推函數(shù)，故f(x)在(0，+∞)內(nèi)單調(diào)減少，則數(shù)列{xn}不單調(diào)．

假設(shè)存在，記為A(A＞0)，等式兩邊取極限得，解得A=3，A=-1(舍去)，下面證明．由于

令n→∞，由夾逼定理得存在且等于3．[考點(diǎn)]遞推數(shù)列求極限問題．

[解析]利用結(jié)論：單調(diào)有界數(shù)列必收斂．

熟記以下結(jié)論：

(1)對于遞推數(shù)列xn+1=f(xn)求極限問題，當(dāng)遞推函數(shù)f(x)在相應(yīng)區(qū)間上單調(diào)增加時(shí)，x2＞x1(x2＜x1)，則數(shù)列{xn}單調(diào)增加(單調(diào)減少)；當(dāng)遞推函數(shù)f(x)在相應(yīng)區(qū)間上單調(diào)減少時(shí)，則數(shù)列{xn}不具有單調(diào)性．

(2)對任意數(shù)列{xn}，若滿足|xn-A|≤k|xn-1-A|(n=2，3，…)，其中0＜k＜1，則|xn-A|≤k|xn-1-A|≤k2|xn-2-A|≤…≤kn-1|x1-A|，因?yàn)?，由夾逼定理知

26.

已知方程在區(qū)間(0，1)內(nèi)有實(shí)根，試確定常數(shù)k的取值范圍．正確答案：解：設(shè)，則

令g(x)=(1+x)ln2(l+x)-x2，則g(0)=0．因?yàn)間'(x)=ln2(1+x)+21n(1+x)-2x，所以g'(0)=0．而x∈(0，1)，所以g'(x)在(0，1)內(nèi)單調(diào)減少，由于g'(0)=0，所以當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，g'(x)＜g'(0)=0，也就是g(x)在(0，1)內(nèi)單調(diào)減少．當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，g(x)＜g(0