考研數(shù)學(xué)二分類模擬267

考研數(shù)學(xué)二分類模擬267解答題1.

對(duì)函數(shù)f(x)=sinx及F(x)=x+cosx在區(qū)間上驗(yàn)證柯西中值定理的正確性．正確答案：解：函數(shù)f(x)和F(x)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且在內(nèi)F'(x)=1-sinx≠0，故f(x)和F(x)滿足柯西中值定理的條件．

可得取n=0，得滿足定理的，因此，柯西中值定理對(duì)函數(shù)f(x)和F(x)在上正確．[考點(diǎn)]柯西中值定理．

[解析]根據(jù)已知條件驗(yàn)證柯西中值定理．

微分中值定理是考研數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，要熟練掌握三個(gè)定理的條件、結(jié)論及證明過程．

2.

計(jì)算二重積分正確答案：解：

[考點(diǎn)]交換二重積分的積分次序．

[解析]本題若按極坐標(biāo)則難以計(jì)算，故可轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)．

若要計(jì)算二重積分，則給出的積分限往往不能直接使用．

3.

討論極限正確答案：解：當(dāng)0＜a＜1時(shí)，

[考點(diǎn)]數(shù)列極限求解．

[解析]常用極限結(jié)合無(wú)窮大與無(wú)窮小之間的關(guān)系計(jì)算數(shù)列極限．

含有待定參數(shù)的極限問題是考研數(shù)學(xué)中的常見考點(diǎn)，通過討論參數(shù)的范圍來(lái)求解具體的極限，記住兩個(gè)常用的結(jié)論：

已知連續(xù)函數(shù)f(x)滿足

4.

求f(x)．正確答案：解：令x-t=u，則dt=-du，從而

原積分方程可化為

兩邊關(guān)于x求導(dǎo)可得

由f(x)連續(xù)可知可導(dǎo)，進(jìn)而有f(x)可導(dǎo)，由此求導(dǎo)可得f'(x)+f(x)=2a，且f(0)=0．解該一階線性微分方程可得f(x)=e-x(2aex+C)，將f(0)=0代入上式可得C=-2a，故f(x)=2a(1-e-x)．[考點(diǎn)]連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的平均值．

[解析]用積分上限函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)，利用平均值公式求解．

在求解變限積分導(dǎo)數(shù)對(duì)應(yīng)的微分方程時(shí)，應(yīng)注意隱含的初始條件．

5.

若f(x)在區(qū)間[0，1]上的平均值為1，求a的值．正確答案：解：由題意可知

令x=1，則方程又f(1)=2a(1-e-1)，故[考點(diǎn)]連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的平均值．

6.

設(shè)A是n階方陣，A*是A的伴隨矩陣，如果存在n維非零列向量α，滿足Aα=0，證明：非齊次線性方程組A*x=α有解的充分必要條件是r(A)=n-1．正確答案：解：必要性，齊次線性方程組Ax=0有非零解α，表明r(A)≤n-1．A*x=α有解，表明A*≠0，那么A中至少有一個(gè)n-1階子式不為零，所以r(A)=n-1．

充分性．設(shè)r(A)=n-1，α≠0，Aα=0，那么α是齊次線性方程組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系．而AA*=|A|E=O表明A*的列向量是齊次線性方程組Ax=0的解，于是A*的列向量都是α的倍數(shù)，那么r(A*)=r(A*，α)=1，所以A*x=α有解．

7.

，A=αβT，B=βTα，求解方程2B2A2x=A4x+B4x+γ．正確答案：解：由題設(shè)得

又A2=αβTαβT=α(βTα)βT=2A，A4=8A，代入原方程，得

16Ax=8Ax+16x+γ，即8(A-2E)x=γ，

其中E是3階單位矩陣．

令x=(x1，x2，x3)T，代入上式，得到非齊次線性方程組

解其對(duì)應(yīng)的齊次方程組，得通解

其中k為任意常數(shù)．

顯然，非齊次線性方程組有一個(gè)特解于是所求方程的解為x=ξ+η*，即

其中k為任意常數(shù)．[考點(diǎn)]考查非齊次線性方程組的變形．

[解析]整理化簡(jiǎn)所給方程，轉(zhuǎn)化為非齊次線性方程組．

前面已經(jīng)提到，具有新穎性、創(chuàng)新性的考題越來(lái)越多地出現(xiàn)在考場(chǎng)上．本題即對(duì)非齊次線性方程組進(jìn)行了形式上的變形和創(chuàng)新．

8.

計(jì)算二重積分，其中D是由直線x=0，x=2，y=2以及曲線所圍成的平面區(qū)域．正確答案：解：如下圖所示，記則

[考點(diǎn)]二重積分的計(jì)算．

[解析]本題可先分割積分區(qū)域，再分別利用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)來(lái)計(jì)算兩個(gè)不同區(qū)域上的二重積分．

分割積分區(qū)域是計(jì)算二重積分的常用方法．

9.

求微分方程y"+λy'=2x+1的通解，其中λ為常數(shù)．正確答案：解：對(duì)于y"+λy'=0，解特征方程r2+λr=0得r1=0，r2=-λ.

當(dāng)λ≠0時(shí)，y"+λy'=0的通解為Y=C1+C2e-λ．

設(shè)y*=x(b0+b1x)，代入原方程得

2λb1x+λb0+2b1=2x+1．

[考點(diǎn)]二階常系數(shù)非齊次線性方程的求解．

[解析]原方程為自由項(xiàng)形如f(x)=eλxPm(x)(λ為常數(shù)，Pm(x)為x的一個(gè)m次多項(xiàng)式)的二階常系數(shù)非齊次線性方程，應(yīng)先求其對(duì)應(yīng)齊次線性方程的通解，再求其自身的一個(gè)特解．

值得注意的是，本題中參數(shù)λ的取值影響了微分方程的解法，故應(yīng)對(duì)其進(jìn)行分類討論．

設(shè)二次型經(jīng)正交變換x=Qy化為其中a≥b．求：10.

a，b的值．正確答案：解：設(shè)f=xTAx，其中，經(jīng)正交變換x=Qy，則

可知QTAQ=Q-1AQ=B，即A相似于B，則

tr(A)=tr(B)，|A|=|B|，

即1+4=a+b，ab=4，解得a=4，b=1.[考點(diǎn)]利用正交變換化簡(jiǎn)二次型．

[解析]二次型經(jīng)過正交變換化簡(jiǎn)的過程，對(duì)應(yīng)的矩陣是相似關(guān)系．

11.

正交矩陣Q.正確答案：解：設(shè)，則

因此

[考點(diǎn)]利用正交變換化簡(jiǎn)二次型．

[解析]若兩個(gè)矩陣同時(shí)與同一個(gè)對(duì)角矩陣相似，則它們相似．這也是相似對(duì)角化的一個(gè)重要應(yīng)用．

12.

求反常積分正確答案：解：解法1變量代換令，則

解法2變量代換令x=tant，dx=sec2tdt，則

[考點(diǎn)]反常積分的計(jì)算．

[解析]換元法求解反常積分．

設(shè)f(x)連續(xù)，則

13.

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，1]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(0)=1，且滿足其中Dt={(x，y)|0≤y≤t-x，0≤x≤t}(0＜t≤1)，求f(x)的表達(dá)式．正確答案：解：由

兩邊對(duì)t求導(dǎo)，得．解此微分方程，得

由f(0)=1得C=4，故[考點(diǎn)]二重積分的計(jì)算，微分方程的求解．

[解析]本題可先計(jì)算中的兩個(gè)二重積分，將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)含變限積分的等式．

本題具有一定的綜合性，將二重積分的計(jì)算與微分方程的求解結(jié)合了起來(lái)．

14.

曲線的切線與x軸和y軸圍成一個(gè)圖形，記切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為α，試求切線的方程和該圖形的面積．當(dāng)切點(diǎn)沿曲線趨于無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，該面積的變化趨勢(shì)如何?正確答案：解：由得處的切線方程為切線與x軸和y軸的交點(diǎn)分別為(3α，0)和，于是所圍成的三角形的面積為

因此，當(dāng)切點(diǎn)沿x軸正方向趨于無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，有；當(dāng)切點(diǎn)沿y軸正方向趨于無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，有[考點(diǎn)]導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．

[解析]求曲線的切線．

設(shè)f(x)定義在(0，+∞)內(nèi)．若存在p(x)=ax2+bx+c使得則稱當(dāng)x→+∞時(shí)，f(x)有漸近二次曲線．15.

已知f(x)有漸近二次曲線，試將常數(shù)a，b，c用函數(shù)f(x)的相關(guān)式子表示出來(lái)．正確答案：解：

綜上得

[考點(diǎn)]漸進(jìn)二次曲線的求解．

[解析]根據(jù)漸近線的求解方法，求解漸進(jìn)二次曲線．

16.

求的漸近二次曲線．正確答案：解：若有漸近二次曲線p(x)=ax2+bx+c，則

[考點(diǎn)]漸進(jìn)二次曲線的求解．

17.

計(jì)算，其中D={(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤2}．正確答案：解：如下圖所示，記D1={(x，y)|xy≥1}，D2={(x，y)|xy≤1}，則

[考點(diǎn)]二重積分的計(jì)算．

[解析]本題可先分割積分區(qū)域，再利用直角坐標(biāo)來(lái)計(jì)算兩個(gè)不同區(qū)域上的二重積分．

本題的關(guān)鍵在于要能夠分割積分區(qū)域．

18.

設(shè)函數(shù)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0，，證明：至少存在一點(diǎn)ξ∈(0，1)，使得正確答案：證明：作輔助函數(shù)

由題意知：

(1)即F(x)在[0，1]上連續(xù)；

(2)F(x)在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且

(3)F(0)=F(1)=0，由羅爾定理知，至少存在一點(diǎn)ξ∈(0，1)，使得F'(ξ)=0，即[考點(diǎn)]羅爾定理應(yīng)用．

[解析]構(gòu)造積分上限函數(shù)，應(yīng)用羅爾定理證明．

構(gòu)造輔助函數(shù)時(shí)，根據(jù)羅爾定理的條件要求，補(bǔ)充F(0)的值．

19.

設(shè)f(x)在[a，b]上二階可導(dǎo)，f'(a)=f'(b)=0．證明：存在ξ∈(a，b)使得正確答案：證明：因?yàn)閒(x)在a，b處的一階泰勒公式為

所以

兩式相減得

取f"(ξ)=max{|f"(η1)|，|f"(η2)|}，則有[考點(diǎn)]泰勒公式在不等式證明題中的應(yīng)用．

[解析]利用泰勒公式證明．

已知A=(α1，α2，α3，α4)，非齊次線性方程組Ax=b的通解為(1，1，1，1)T+k1(1，0，2，1)T+k2(2，1，1，-1)T．20.

令B=(α1，α2，α3)，求Bx=b的通解．正確答案：解：先求Bx=0的基礎(chǔ)解系，為此，首先要找出矩陣B的秩．

由題目的已知信息可得，Ax=0的基礎(chǔ)解系中含有兩個(gè)向量，故4-r(A)=2，也即r(A)=2．而由(1，0，2，1)T是Ax=0的解，可得α1+2α3+α4=0，故α4=-α1-2α3．可知α4能由α1，α2，α3線性表示，故r(α1，α2，α3，α4)=r(α1，α2，α3)=r(B)，也即r(B)=2．因此Bx=0的基礎(chǔ)解系中僅含有一個(gè)向量，求出Bx=0的任一非零解即為其基礎(chǔ)解系．

由于(1，0，2，1)T，(2，1，1，-1)T均為Ax=0的解，故它們的和(3，1，3，0)T也為Ax=0的解，可知3α1+α2+3α3=0，因此(3，1，3)T為Bx=0的解，也即(3，1，3)T為Bx=0的基礎(chǔ)解系．

然后，再求Bx=b的任何一個(gè)特解．故只需使得Ax=b的通解中的α4的系數(shù)為0即可，為此，令(1，1，1，1)T+k1(1，0，2，1)T+k2(2，1，1，-1)T中的k1=0，k2=1，得(3，2，2，0)T是Ax=b的一個(gè)解，故(3，2，2)T是Bx=b的一個(gè)解．

可知Bx=b的通解為(3，2，2)T+k(3，1，3)T，k∈R．[考點(diǎn)]抽象型非齊次線性方程組求通解．

[解析]利用解的結(jié)構(gòu)求解．

類似于齊次線性方程組，非齊次情形也分為具體型和抽象型．前者主要是對(duì)增廣矩陣作初等變換，后者主要是利用解的結(jié)構(gòu)．

21.

令C=(α1，α2，α3，α4，b)，求Cx=b的通解．正確答案：解：與第一問類似，先求Cx=0的基礎(chǔ)解系．

由于C即為線性方程組Ax=b的增廣矩陣，故r(C)=r(A)=2，可知Cx=0的基礎(chǔ)解系中含有5-2=3個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，為此，需要找到Cx=0的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解．

由于(1，0，2，1)T，(2，1，1，-1)T均為Ax=0的解，可知(1，0，2，1，0)T，(2，1，1，-1，0)T均為Cx=0的解．而(1，1，1，1)T為Ax=b的解，可知α1+α2+α3+α4-b，也即α1+α2+α3+α4-b=0，故(1，1，1，1，-1)T也為Cx=0的解，這樣，就找到了Cx=0的三個(gè)解：(1，0，2，1，0)T，(2，1，1，-1，0)T，(1，1，1，1，-1)T，容易驗(yàn)證它們是線性無(wú)關(guān)的，故它們即為Cx=0的基礎(chǔ)解系．

然后，易知(0，0，0，0，1)T為Cx=b的解，故Cx=b的通解為

(0，0，0，0，1)T+k1(1，0，2，1，0)T+k2(2，1，1，-1，0)T+k3(1，1，1，1，-1)T.[考點(diǎn)]抽象型非齊次線性方程組求通解．

22.

證明：，x∈[0，1]．正確答案：證明：設(shè)，x∈[0，1]，則f(0)=f(1)=0，且

f"(x)=π2(sinπx-1)≤0，x∈[0，1].

因此，f(x)為[0，1]上的凸函數(shù)，有f(x)≥min{f(0)，f(1)}=0，從而有[考點(diǎn)]利用函數(shù)凸性證明不等式．

[解析]借助輔助函數(shù)利用凸性證明不等式．

(1)討論凹凸性最簡(jiǎn)單的方法就是利用二階導(dǎo)數(shù)來(lái)判別．

(2)若f(x)是[a，b]上的凹的連續(xù)函數(shù)，則f(x)≤max{f(a)，f(b)}，x∈[a，b]；若f(x)是[a，b]上的凸的連續(xù)函數(shù)，則f(x)≥min{f(a)，f(b)}，x∈[a，b].

設(shè)η是非齊次線性方程組Ax=b的一個(gè)特解，ξ1，ξ2，…，ξs是齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，s=n-r(A)，證明：23.

向量組η，ξ1，ξ2，…，ξs線性無(wú)關(guān)．正確答案：解：反證法．因ξ1，…，ξn-r線性無(wú)關(guān)，故η可由ξ1，…，ξn-r線性表示，所以η為Ax=0的解，這與η為Ax=b的解矛盾．[考點(diǎn)]非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)．

[解析]判別線性相關(guān)性可以用反證法或定義的方法．

通過本題大家要掌握一個(gè)重要結(jié)論：非齊次線性方程組Ax=b最多有n-r(A)+1