考研數(shù)學二分類模擬題35

考研數(shù)學二分類模擬題35解答題1.

計算行列式正確答案：[解]

2.

計算正確答案：[解]

3.

證明：正確答案：[證明]

設．4.

計算D．正確答案：[解]

5.

求M31+M33+M34．正確答案：M31+M33+M34=1×A31+0×A32+1×A33+(-1)×A34

6.

設求(1)|-2B|；(2)AB-BA．正確答案：[解](1)|-2B|=(-2)3|B|=-8；

(2)，則

7.

設A，B為n階矩陣，且A2=A，B2=B，(A+B)2=A+B．證明：AB=0．正確答案：[證明]由A2=2A，B2=B及(A+B)2=A+B=A2+B2+AB+BA得AB+BA=O或AB=-BA，AB=-BA兩邊左乘A得AB=-ABA，再在AB=-BA兩邊右乘A得ABA=-BA，則AB=BA，于是AB=O．

8.

設AX=A+2X，其中，求X．正確答案：[解]由AX=A+2X得(A-2E)X=A，其中因為|A-2E|=-1≠0，所以X=(A-2E)-1A，

由

得

9.

設，且AX+|A|E=A*+X，求X．正確答案：[解]由AX+|A|E=A*+X得

(A-E)X=A*-|A|E=A*-AA*=(E-A)A*，

因為|E-A|=-3≠0，所以E-A可逆，于是X=-A*，

由|A|=6得X=-6A-1．

由

得，于是

10.

設四階矩陣B滿足，且，求矩陣B．正確答案：[解]

11.

設A，B滿足A*BA=2BA-8E，且，求B．正確答案：[解]由A*BA=2BA-8E得AA*BA=2ABA-8A，

即-2BA=2ABA-8A，整理得(A+E)B=4E，所以

12.

設，求B-1．正確答案：[解]

則

13.

設(ai≠0，i=1，2，…，n)，求A-1．正確答案：[解]令C=(an)，則，從而

14.

設n階矩陣A滿足A2+2A-3E=O．求：(1)(A+2E)-1；(2)(A+4E)-1．正確答案：[解](1)由A2+2A-3E=O得A(A+2E)=3E，，根據(jù)逆矩陣的定義，有

(2)由A2+2A-3E=O得(A+4E)(A-2E)+5E=O，則．

15.

設A為n階矩陣，且Ak=O，求(E-A)-1．正確答案：[解]Ek-Ak=(E-A)(E+A+A2+…+Ak-1)，又Ek-Ak=E，

所以(E-A)-1=E+A+A2+…+Ak-1．

設A，B為n階矩陣，16.

求P·Q．正確答案：[解]

17.

證明：當P可逆時，Q也可逆．正確答案：[證明]因為|P|=|A||B|，所以當P可逆時，|A||B|≠0，而PQ=|A||B|E，即，于是Q可逆且

18.

設A為n階可逆矩陣，A2=|A|E．證明：A=A*．正確答案：[證明]因為AA*=|A|E，又已知A2=|A|E，所以AA*=A2，而A可逆，故A=A*．

19.

設A為n階矩陣，且A2-2A-8E=O．證明：r(4E-A)+r(2E+A)=n．正確答案：[證明]由A2-2A-8E=O得(4E-A)(2E+A)=O，根據(jù)矩陣秩的性質(zhì)得r(4E-A)+r(2E+A)≤n．又r(4E-A)+r(2E+A)≥r[(4E-A)+(2E+A)]=r(6E)=n，所以有r(4E-A)+r(2E+A)=n．

20.

證明：若矩陣A可逆，則其逆矩陣必然唯一．正確答案：[證明]設存在可逆陣B，C，使得AB=AC=E，于是A(B-C)=O故rA+r(B-C)≤n，因為A可逆，所以rA=n，從而r(B-C)=0，B-C=0，于是B=C，即A的逆