考研數(shù)學(xué)二分類模擬題52

考研數(shù)學(xué)二分類模擬題52一、填空題1.

設(shè)z=xf(x+y)+g(x2，x2+y2)，其中f，g分別二階連續(xù)可導(dǎo)和二階連續(xù)可偏導(dǎo)，則=______.正確答案：[解]由z=xf(x+y)+g(xy，x2+y2)，得

2.

設(shè)f(u，v)一階連續(xù)可偏導(dǎo)，f(tx，ty)=t3f(x，y)，且f'1(1，2)=1，f'2(1，2)=4，則f(1，2)=______.正確答案：3[解]f(tx，ty)=t3f(x，y)兩邊對t求導(dǎo)數(shù)得

xf'1(tx，ty)+yf'2(tx，ty)=3t2f(x，y)，

取t=1，x=1，y=2得f'1(1，2)+2f'2(1，2)=3f(1，2)，故f(1，2)=3.

3.

設(shè)z=f(x，y)二階可偏導(dǎo)，且f(x，0)=1，f'y(x，0)=x，則f(x，y)=______.正確答案：z=y2+xy+1[解]由得，因?yàn)閒'y(x，0)=x，所以φ(x)=x，即z=y2+xy+C，因?yàn)閒(x，0)=1，所以C=1，于是z=y2+xy+1.

4.

設(shè)u=u(x，y)二階連續(xù)可偏導(dǎo)，且，若u(x，3x)=x，u'x(x，3x)=x3，則u"xy(x，3x)=______.正確答案：[解]u(x，3x)=x兩邊對x求導(dǎo)，得u'x(x，3x)+3u'y(x，3x)=1，

再對x求導(dǎo)，得u"xx(x，3x)+6u"xy(x，3x)+9u"yy(x，3x)=0.

由得10u"xx(x，3x)+6u"xy(x，3x)=0，

u'x(x，3x)=x3兩邊對x求導(dǎo)，得u"xx(x，3x)+3u"xy(x，3x)=3x2，

解得

5.

設(shè)(ay-2xy2)dx+(bx2y+4x+3)dy為某個(gè)二元函數(shù)的全微分，則a=______，b=______.正確答案：4

-2[解]令P(x，y)=ay-2xy2，Q(x，y)=bx2y+4x+3，

因?yàn)?ay-2xy2)dx+(bx2y+4x+3)dy為某個(gè)二元函數(shù)的全微分，

所以于是a=4，b=-2.

二、選擇題1.

設(shè)則f(x，y)在(0，0)處______.A.連續(xù)但不可偏導(dǎo)B.可偏導(dǎo)但不連續(xù)C.可微D.一階連續(xù)可偏導(dǎo)正確答案：C[解]因?yàn)樗詅(x，y)在(0，0)處連續(xù)；

因?yàn)樗詅'x(0，0)=0，根據(jù)對稱性，f'y(0，0)=0，即f(x，y)在(0，0)處可偏導(dǎo)；

由得f(x，y)在(0，0)處可微；

當(dāng)(x，y)≠(0，0)時(shí)，

則

因?yàn)椴淮嬖冢詅'x(x，y)在點(diǎn)(0，0)處不連續(xù)，同理f'y(x，y)在點(diǎn)(0，0)處也不連續(xù)，選C．

2.

對二元函數(shù)z=f(x，y)，下列結(jié)論正確的是______.A.z=f(x，y)可微的充分必要條件是z=f(x，y)有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)B.若z=f(x，y)可微，則z=f(x，y)的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)C.若z=f(x，y)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則z=f(x，y)一定可微D.若z=f(x，y)的偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，則z=f(x，y)一定不可微正確答案：C[解]因?yàn)槿艉瘮?shù)f(x，y)一階連續(xù)可偏導(dǎo)，則f(x，y)一定可微，反之則不對，所以若函數(shù)f(x，y)偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)不一定不可微，選C．

3.

設(shè)f(x，y)在有界閉區(qū)域D上二階連續(xù)可偏導(dǎo)，且在區(qū)域D內(nèi)恒有條件則______.A.f(x，y)的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)都在D內(nèi)B.f(x，y)的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)都在D的邊界上C.f(x，y)的最小值點(diǎn)在D內(nèi)，最大值點(diǎn)在D的邊界上D.f(x，y)的最大值點(diǎn)在D內(nèi)，最小值點(diǎn)在D的邊界上正確答案：B[解]若f(x，y)的最大點(diǎn)在D內(nèi)，不妨設(shè)其為M0，則有，因?yàn)镸0為最大值點(diǎn)，所以AC-B2非負(fù)，而在D內(nèi)有，即AC-B2＜0，所以最大值點(diǎn)不可能存D內(nèi)，同理最小值點(diǎn)也不可能在D內(nèi)，正確答案為B．

三、解答題1.

設(shè)u=f(x，y，xyz)，函數(shù)z=z(x，y)由確定，其中f連續(xù)可偏導(dǎo)，h連續(xù)，求正確答案：[解]

解得

由對稱性得

設(shè)u=u(x，y，z)連續(xù)可偏導(dǎo)，令2.

若證明：u僅為θ與φ的函數(shù).正確答案：[證明]因?yàn)?/p>

所以u是不含r的函數(shù)，即u僅為θ與φ的函數(shù)．

3.

若，證明：u僅為r的函數(shù).正確答案：[證明]因?yàn)?/p>

令則

從而

故u僅是r的函數(shù)，即u不含θ與φ．

4.

求二元函數(shù)z=f(x，y)=x2y(4-x-y)在由x軸、y軸及x+y=6所圍成的閉區(qū)域D上的最小值和最大值.正確答案：求f(x，y)在區(qū)域D的邊界上的最值，

在L1：y=0(0≤x≤6)上，z=0；

在L2：x=0(0≤y≤6)上，z=0；

在L3：y=6-x(0≤x≤6)上，z=-2x2(6-x)=2x3-12x2，

由得x=4，因?yàn)閒(0，6)=0，f(6，0)=0，f(4，2)=-64，所以f(x，y)在L3上最小值為-64，最大值為0.

(2)在區(qū)域D內(nèi)，由得駐點(diǎn)為(2，1)，

因?yàn)锳C-B2＞0且A＜0，所以(2，1)為f(x，y)的極大點(diǎn)，極大值為f(2，1)=4，

故z=f(x，y)在D上的最小值為m=f(4，2)-64，最大值為M=f(2，1)=4.

5.

設(shè)證明：f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處可微，但在點(diǎn)(0，0)處不連續(xù).正確答案：[證明]因?yàn)?/p>

所以f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處對x，y都可偏導(dǎo)，且f'x(0，0)=f'y(0，0)=0.

因?yàn)樗詅(x，y)在(0，0)處可微．

當(dāng)(x，y)≠(0，0)時(shí)，

因?yàn)椴淮嬖?，所以在點(diǎn)(0，0)處不連續(xù)，同理在點(diǎn)(0，0)處也不連續(xù)．

設(shè)6.

f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處是否連續(xù)?正確答案：[解]因?yàn)?，所以故f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處連續(xù)．

7.

f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處是否可微?正確答案：[解]

因?yàn)樗?/p>

f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處不可微．

8.

設(shè)z=(x2+y2)sec2(x+y)，求正確答案：[解]由z=(x2+y2)sec2(x+y)，得z=esec2(x+y)ln(x2+y2)，

則

9.

設(shè)，其中f(s，t)二階連續(xù)可偏導(dǎo)，求正確答案：[解]

10.

設(shè)函數(shù)f(x，y，z)一階連續(xù)可偏導(dǎo)且滿足f(tx，ty，tz)=tkf(x，y，z).證明：

正確答案：[證明]令u=tx，v=ty，w=tz，f(tx，ty，tz)=tkf(x，y，z)，兩邊對t求導(dǎo)得

當(dāng)t=1時(shí)，有

11.

設(shè)正確答案：[解]

則

12.

設(shè)u=u(x，y)由方程組u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0確定，其中f，g，h連續(xù)可偏導(dǎo)且正確答案：[解]方程組由五個(gè)變量三個(gè)方程構(gòu)成，故確定了三個(gè)二元函數(shù)，其中x，y為自變量，由u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0，得

所以于是

三個(gè)方程兩邊對y求偏導(dǎo)得

13.

設(shè)函數(shù)z=f(u)，方程確定u為x，y的函數(shù)，其中f(u)，φ(u)可微，P(t)，φ'(u)連續(xù)，且φ'(u)≠1，求正確答案：[解]z=f(u)兩邊對x及y求偏導(dǎo)，得

方程兩邊對x及y求偏導(dǎo)，得

解得

14.

設(shè)z=z(x，y)滿足

證明：正確答案：[證明]由則

15.

求z=x2+12xy+2y2在區(qū)域4x2+y2≤25上的最值.正確答案：[解]當(dāng)4x2+y2＜25時(shí)，由得駐點(diǎn)為(x，y)=(0，0).

當(dāng)4x2+y2=25時(shí)，令F=x2+12xy+2y2+λ(4x2+y2-25)，

由得

因?yàn)樗阅繕?biāo)函數(shù)的最大和最小值分別為和-50.

16.

設(shè)二元函數(shù)f(x，y)=|x-y|φ(x，y)，其中φ(x，y)在點(diǎn)(0，0)處的某鄰域內(nèi)連續(xù).證明：函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處可微的充分必要條件是φ(0，0)=0.正確答案：[證明](必要性