考研數(shù)學(xué)二分類(lèi)模擬題73

考研數(shù)學(xué)二分類(lèi)模擬題73解答題1.

設(shè)，求：(1)2A11+A12-A13；(2)A11+4A21+A31+2A41．正確答案：[解]

2.

設(shè)A為三階方陣，A*為A的伴隨矩陣，|A|=1/3，求|4A-(3A*)-1|．正確答案：[解]由

|4A-(3A*)-1|=|4A-A|=3A|=27|A|=9.

3.

A是三階矩陣，三維列向量組β1，β2，β3線(xiàn)性無(wú)關(guān)，滿(mǎn)足Aβ1=β2+β3，Aβ2=β1+β3，Aβ3=β1+β2，求|A|.正確答案：[解]

令B=(β1，β2，β3)，由Aβ1=β2+β3，Aβ2=β1+β3，Aβ3=β1+β2得

，兩邊取行列式得

因?yàn)棣?，β2，β3線(xiàn)性無(wú)關(guān)，所以B可逆，故|A|=2.

4.

設(shè)，其中A可逆，求B-1．正確答案：[解]由初等變換的性質(zhì)得

B=AP1P2，則

5.

設(shè)A，B為三階矩陣，滿(mǎn)足AB+E=A2+B，E為三階單位矩陣，又知求矩陣B．正確答案：[解]由AB+E=A2+B得

(A-E)B=A2-E，

，因?yàn)閨A-E|≠0，所以A-E可逆，

從而

6.

已知，AP=PB，求A與A5．正確答案：[解]由AP=PB得A=PBP-1，

由

7.

設(shè)矩陣滿(mǎn)足A-1(E-BBTA-1)-1C-1=E，求C．正確答案：[解]由A-1(E-BBTA-1)-1C-1=E得

C(E-BBTA-1)A=E，即C(A-BBT)=E，解得

C=(A-BBT)-1．

由

由得

8.

解方程正確答案：[解]令X=(X1，X2)，

由得

故

9.

設(shè)向量組(Ⅰ)：α1，α2，α3；(Ⅱ)：α1，α2，α4的秩分別為(Ⅰ)=2，秩(Ⅱ)=3.證明向量組α1，α2，α3+α4的秩等于3.正確答案：[證明]由向量組(Ⅱ)的秩為3得α1，α2，α4線(xiàn)性無(wú)關(guān)，從而α1，α2線(xiàn)性無(wú)關(guān)，由向量組(Ⅰ)的秩為2得α1，α2，α3線(xiàn)性相關(guān)，

從而α3可由α1，α2線(xiàn)性表示，令α3=k1α1+k2α2．

由

故r(α1，α2，α3+α4)=r(α1，α2，α4)=3.

10.

已知線(xiàn)性方程組問(wèn)k1和k2各取何值時(shí)，方程組無(wú)解?有唯一解?有無(wú)窮多組解?在方程組有無(wú)窮多組解時(shí)，試求出一般解．正確答案：[解]

(1)當(dāng)k1≠2時(shí)，方程組有唯一解；

(2)當(dāng)k1=2時(shí)，

情形一：k2≠1時(shí)，方程組無(wú)解；

情形二：k2=1時(shí)，方程組有無(wú)數(shù)個(gè)解，

由

原方程組通解為

11.

設(shè)向量組

試問(wèn)：當(dāng)a，b，c滿(mǎn)足什么條件時(shí)

(1)β可由α1，α2，α3線(xiàn)性表出，且表示唯一；

(2)β不能由α1，α2，α3線(xiàn)性表出；

(3)β可由α1，α2，α3線(xiàn)性表出，但表示不唯一，并求出一般表達(dá)式．正確答案：[解]

(1)當(dāng)a≠-4時(shí)，β可由α1，α2，α3唯一線(xiàn)性表示．

當(dāng)a=-4時(shí)，

(2)當(dāng)c-3b+1=0時(shí)，β可由α1，α2，α3線(xiàn)性表示，但表示方法不唯一，

由

則

(3)當(dāng)c-3b+1≠0時(shí)，β不可由α1，α2，α3線(xiàn)性表示．

12.

設(shè)線(xiàn)性方程組

(1)求線(xiàn)性方程組(Ⅰ)的通解；

(2)m，n取何值時(shí)，方程組(Ⅰ)與(Ⅱ)有公共非零解；

(3)m，n取何值時(shí)，方程組(Ⅰ)與(Ⅱ)同解．正確答案：[解]令

(1)由

方程組(Ⅰ)的通解為

(2)

當(dāng)m=-2或n=3時(shí)，兩個(gè)方程組有公共的非零解．

(3)當(dāng)m=-2，n=3時(shí)，兩個(gè)方程組同解．

設(shè)四元齊次線(xiàn)性方程組(Ⅰ)為且已知另一個(gè)四元齊次線(xiàn)性方程組(Ⅱ)的一個(gè)基礎(chǔ)解系為α1=(2，-1，a+2，1)T，α2=(-1，2，4，a+8)T．13.

求方程組(Ⅰ)的一個(gè)基礎(chǔ)解系；正確答案：[解]

方程組(Ⅰ)的基礎(chǔ)解系為

14.

當(dāng)a為何值時(shí)，方程組(Ⅰ)與方程組(Ⅱ)有非零公共解?正確答案：[解](Ⅱ)的通解為

代入(Ⅰ)得

整理得

因?yàn)閮蓚€(gè)方程組有公共的非零解，所以l1，l2不全為零，

從而，解得a=-1或a=0.

15.

已知0是的特征值，求a和A的其他特征值及線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量．正確答案：[解]因?yàn)?為A的特征值，所以，解得a=1.

由得λ1=0，λ2=λ3=2.

λ1=0代入(λE-A)X=0，

由得

λ1=0對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為

λ2=λ3=2代入(2E-A)X=0，

由得

λ2=λ3=2對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為

16.

設(shè)A是三階矩陣，其特征值是1，2，3，若A與B相似，求|B*+E|．正確答案：[解]因?yàn)锳～B，所以B的特征值為λ1=1，λ2=2，λ3=3，

B*的特征值為

B*+E的特征值為7，4，3，故|B*+E|=84.

17.

已知二次型，通過(guò)正交變換化成標(biāo)準(zhǔn)形．求參數(shù)a及所用的正交變換矩陣．正確答案：[解]設(shè)，則f=XTAX.

A的特征值為λ1=1，λ2=2，λ3=5，

由|A|=2(9-a2)=10得a=2，

λ1=1代入(λE-A)X=0，

由得

λ1=1對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為

λ2=2代入(λE-A)X=0，

由得

λ2=2對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為

λ3=5代入(λE-A)X=0，

由得

λ3=5對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為

令

則

18.

設(shè)a是整數(shù)，若矩陣的伴隨矩陣A*的特征值是4，-14，-14.求正交矩陣Q，使QTAQ為對(duì)角形．正確答案：[解]|A*|=4×(-14)×(-14)=282，由|A*|=|A|2得|A|=28或|A|=-28.

若-6a-40=28，則，不合題意，舍去；

若-6a-40=-28，則a=-2，從而

A的特征值為λ1=-7代入(λE-A)X=0，

由得

λ1=-7對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為

λ2=λ3=2代入(λE-A)X=0，

由得

λ2=λ3=2對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為

令

單位化得

所求的正交矩陣為

19.

n階矩陣A滿(mǎn)足A2-2A-3E=0，證明A能相似對(duì)角化．正確答案：[證明]由A2-2A-3E=0得(E+A)(3E-A)=0，則

r(E+A)+r(3E-A)≤n；

由r(E+A)+r(3E-A)≥r(4E)=n得r(E+A)+r(3E-A)=n．

(1)當(dāng)r(E+A)=n時(shí)，A=3E為對(duì)角陣；

(2)當(dāng)r(3E-A)=n時(shí)，為對(duì)角矩陣；

(3)r(E+A)＜n，r(3E-A)＜n，則|E+A|=0，|3E-A|=0，

A的特征值λ1=-1，λ2=3.

λ1=-1對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量個(gè)數(shù)為n-r(-E-A)=n-r(E+A)；

λ2=3對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量個(gè)數(shù)為n-r(3E-A)．

因?yàn)閚-r(E+A)+n-r(3E-A)=n，所以A可相似對(duì)角化．

20.

設(shè)，已知A有三個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量且λ=2為矩陣A的二重特征值，求可逆矩陣P，使得P-1AP為對(duì)角矩陣．正確答案：[解]由λ1=λ2=2及λ1+λ2+λ3=tr(A)=10得λ3=6.

因?yàn)榫仃嘇有三個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，所以r(2E-A)=1，

由得a=2，b=-2.

λ1=λ2=2代入(λE-A)X=0，

由得λ1=λ2=2對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為

λ3=6代入(λE-A)X=0，

由得λ3=6對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為

令，則P可逆，且

已知21.

t取何值時(shí)，A為正定矩陣?為什么?正確答案：[解]由得t＞0，當(dāng)t＞0時(shí)，因?yàn)锳的順序主子式都大于零，所以A為正定矩陣．

22.

t取何值時(shí)，A與B等價(jià)?為什么?正確答案：[解]由得r(B)=2，

因?yàn)锳與B等價(jià)，所以r(A)=r(B)=2＜3，故t=0.

23.

t取何值時(shí)，A與C相似?為什么?正確答案：[解]C的特征值為λ1=1，λ2=3，λ3=5，

由得

A的特征值為λ1=1，λ2=3，λ3=t，故t=5.

24.

t取何值時(shí)，A與D合同?為什么?正確答案：[解]由得

矩陣A的特征值為λ1=1，λ2=3，λ3=t，

因?yàn)锳與D合同，所以特征值中正、負(fù)個(gè)數(shù)一致，故t＜0.

25.

考慮二次型，問(wèn)λ取何值時(shí)，f為正定二次型?正確答案：[解]

因?yàn)锳正定，所以解得-2＜λ＜1.

設(shè)A為三階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，且滿(mǎn)足條件A2+2A=O．已知r(A)=2.26.

求A的全部特征值；正確答案：[解]令A(yù)X=λX，

由A2+2A=O的(λ2+2λ)X=0，注意到X≠0，則λ2+2λ=0，

解得λ=0或λ=-2.

由r(A)=2得λ1=0，λ2=λ3=-2.

27.

當(dāng)k為何值時(shí)，矩陣