考研數(shù)學(xué)二分類模擬題101

考研數(shù)學(xué)二分類模擬題101一、選擇題1.

n維向量組α1，α2，…，αs(3≤s≤n)線性無關(guān)的充分必要條件是A.有一組不全為0的數(shù)k1，k2，…，ks，使k1α1，k2α2，…，ksαs≠0．B.α（江南博哥）1，α2，…，αs中任意兩個向量都線性無關(guān)．C.α1，α2，…，αs中存在一個向量，它不能用其余向量線性表示．D.α1，α2，…，αs中任意一個向量都不能用其余向量線性表示．正確答案：D[解析]此為“向量組中至少有一個向量可由其余向量線性表示的充分必要條件是向量組線性相關(guān)”的逆否命題．

要區(qū)分清“存在”與“任意”的兩種表述．

2.

設(shè)向量α1，α2，α3線性無關(guān)，向量β1可由α1，α2，α3線性表示，而向量β2不能由向量α1，α2，α3線性表示，則對于任意常數(shù)k，必有A.α1，α2，α3，kβ1+β2線性無關(guān)．B.α1，α2，α3，kβ1+β2線性相關(guān)．C.α1，α2，α3，β1+kβ2線性無關(guān)．D.α1，α2，α3，β1+kβ2線性相關(guān)．正確答案：A[解析]取k=0時，B和C都錯．而取k≠0時，D亦錯．

不妨取k=1，若α1，α2，α3，β1+β2線性相關(guān)，則由于α1，α2，α3線性無關(guān)，β1+β2必可由α1，α2，α3線性表示；又β1可由α1，α2，α3線性表示，所以β2可由α1，α2，α3線性表示，與題設(shè)矛盾．所以A是正確的．事實上，設(shè)

λ1α1，λ2α2，λ3α3+λ4(kβ1+β2)=0．

若λ4=0，則由α1，α2，α3線性無關(guān)，必有λ1=λ2=λ3=0，從而α1，α2，α3，kβ1+β2線性無關(guān)；

若λ4≠0，則kβ1+β2可由α1，α2，α3線性表示，從而β2可由α1，α2，α3線性表示，與題設(shè)矛盾．總之α1，α2，α3，kβ1+β2是線性無關(guān)的．

3.

設(shè)向量組Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量組Ⅱ：β1，β2，…，βs線性表示，則A.當(dāng)r＜s時，向量組Ⅱ必線性相關(guān)．B.當(dāng)r＞s時，向量組Ⅱ必線性相關(guān)．C.當(dāng)r＜s時，向量組Ⅰ必線性相關(guān)．D.當(dāng)r＞s時，向量組Ⅰ必線性相關(guān)．正確答案：D[解析]因為向量組Ⅰ可由Ⅱ線性表示，它們的秩滿足

r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)≤s，

故當(dāng)r＞s時，r(Ⅰ)＜r，故Ⅰ必線性相關(guān)，于是選D．

若是能想到“以少表多，則多必相關(guān)”，可直接選D．

4.

設(shè)A，B為滿足AB=O的任意兩個非零矩陣，則必有A.A的列向量組線性相關(guān)，B的行向量組線性相關(guān)．B.A的列向量組線性相關(guān)，B的列向量組線性相關(guān)．C.A的行向量組線性相關(guān)，B的行向量組線性相關(guān)．D.A的行向量組線性相關(guān)，B的列向量組線性相關(guān)．正確答案：A[解析]解法1

若設(shè)A=(1，0)，B=(0，1)T，顯然AB=0，但矩陣A的列向量組線性相關(guān)，行向量組線性無關(guān)；矩陣B的行向量組線性相關(guān)，列向量組線性無關(guān)．由此就可斷言選項A正確．

不少考生選D，其原因就是對齊次線性方程組有非零解的條件理解不透徹．事實上，若設(shè)A=(α1，α2，…，αn)，其中α1，α2，…，αn是矩陣A的列向量組，則齊次線性方程組Ax=0便可寫成

x1α1+x2α2+…+xnαn=0，

所以，方程組Ax=0有非零解的充要條件是列向量組α1，α2，…，αn線性相關(guān)．由已知條件AB=O，有BTAT=O，因為A，B都是非零矩陣，所以AT也是非零矩陣，這表明齊次方程組BTx=0有非零解，所以矩陣BT的列向量組也就是B的行向量組線性相關(guān)．

解法2

不妨設(shè)Am×nBn×s，由AB=O，則r(A)+r(B)≤n，且A≠O，B≠O，則r(A)≥1，r(B)≥1，所以有r(A)＜n(A的列)，r(B)＜n(B的行)，故選A．

5.

設(shè)λ1，λ2是矩陣A的兩個不同的特征值，對應(yīng)的特征向量分別為α1，α2，則α1，A(α1+α2)線性無關(guān)的充分必要條件是A.λ1≠0．B.λ2≠0．C.λ1=0．D.λ2=0．正確答案：B[解析]設(shè)k1α1+k2A(α1+α2)=0，則有

(k1+λ1k2)α1+λ2k2α2=0．

由于α1與α2是對應(yīng)于A的兩個不同特征值的特征向量，所以它們線性無關(guān)，即必有

于是α1與A(α1+α2)線性無關(guān)的充分必要條件是上述關(guān)于k1，k2的齊次線性方程組只有零解，這等價于其系數(shù)行列式

即λ2≠0，故選B．

6.

設(shè)α1，α2，…，αs均為n維列向量，A是m×n矩陣，下列選項正確的是A.若α1，α2，…，αs線性相關(guān)，則Aα1，Aα2，…，Aαs線性相關(guān)．B.若α1，α2，…，αs線性相關(guān)，則Aα1，Aα2，…，Aαs線性無關(guān)．C.若α1，α2，…，αs線性無關(guān)，則Aα1，Aα2，…，Aαs線性相關(guān)．D.若α1，α2，…，αs線性無關(guān)，則Aα1，Aα2，…，Aαs線性無關(guān)．正確答案：A[解析]取A=O，則選項B與D不成立；若矩陣A的秩為n，選項C不成立，所以應(yīng)選A．

事實上，因為α1，α2，…，αs線性相關(guān)，所以存在一組不全為零的數(shù)k1，k2，…，ks，使得

k1α1+k2α2+…+ksαs=0，

從而有A(k1α1+k2α2+…+ksαs)=0，

即k1Aα1+k2Aα2+…+kxAαs=0，

由此可知存在一組不全為零的數(shù)k1，k2，…，ks使上式成立，所以Aα1，Aα2，…，Aαs線性相關(guān)，即選項A是正確的．

還可以用秩來判定，r(Aα1，Aα2，…，Aαs)=r(A(α1，α2，…，αs))≤r(α1，α2，…，αs)，若α1，α2，…，αs線性相關(guān)，則r(α1，α2，…，αs)＜s，則r(Aα1，Aα2，…，Aαs)＜s，故此時Aα1，Aα2，…，Aαs線性相關(guān)，故選A．

7.

設(shè)向量組α1，α2，α3線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是A.α1-α2，α2-α3，α3-α1．B.α1+α2，α2+α3，α3+α1．C.α1-2α2，α2-2α3，α3-2α1．D.α1+2α2，α2+2α3，α3+2α1．正確答案：A[解析]事實上，選項A中的3個向量之和(α1-α2)+(α2-α3)+(α3-α1)=0，即這3個向量是線性相關(guān)的．至于其他3個向量組是否線性無關(guān)，可由以下結(jié)論做檢驗：設(shè)向量組β1，β2，…，βr線性無關(guān)，則向量組

(γ1，γ2，…，γr)=(β1，β2，…，βr)A

線性無關(guān)的充要條件是r階方陣A的行列式|A|≠0．選項B，C，D中的向量組分別有

不難算出：

可知選項B，C，D的向量組都是線性無關(guān)的．事實上，選項A的向量組也有相應(yīng)的表示：

其中

即向量組α1-α2，α2-α3，α3-α1線性相關(guān)，即知選項A是正確的．

8.

設(shè)向量組Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量組Ⅱ：β1，β2，…，βs線性表示．下列命題正確的是A.若向量組Ⅰ線性無關(guān)，則r≤s．B.若向量組Ⅰ線性相關(guān)，則r＞s．C.若向量組Ⅱ線性無關(guān)，則r≤s．D.若向量組Ⅱ線性相關(guān)，則r＞s．正確答案：A[解析]事實上，由向量組Ⅰ線性無關(guān)知其秩r(Ⅰ)=r，又向量組Ⅱ的秩r(Ⅱ)≤s，由于Ⅰ可由Ⅱ表示，則

r=r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)≤s，

即r≤s．

也可通過舉反例來否定其他選項：

當(dāng)向量組Ⅰ只包含(0，0)T，向量組Ⅱ由(1，0)T與(0，0)T組成時，便否定了選項B，D．

當(dāng)向量組Ⅰ由(1，0)T與(0，0)T組成，向量組Ⅱ只包含(1，0)T時，也否定了選項C．

綜上，應(yīng)選A．

本題實際上就是對“以少表多，則多必相關(guān)”這個結(jié)論的逆否命題的考查，即：若向量組β1，β2，…，βs可由向量組α1，α2，αt線性表示且向量組β1，β2，…，βs線性無關(guān)，則s≤t．可直接選A．

9.

設(shè)其中c1，c2，c3，c4為任意常數(shù)，則下列向量組線性相關(guān)的為A.α1，α2，α3．B.α1，α2，α4．C.α1，α3，α4．D.α2，α3，α4．正確答案：C[解析]首先，當(dāng)c1=1時，行列式

|α1，α2，α3|=-1，|α1，α2，α4|=1，

所以此時向量組α1，α2，α3與α1，α2，α4都線性無關(guān)，即選項A與B不能選．

其次，當(dāng)c2=0，c3=c4=1時．行列式|α2，α3，α4|=-2，即此時向量組α2，α3，α4也是線性無關(guān)的，選項D也不能選，故選C．

事實上，當(dāng)c1=0時，由于α1為零向量，故α1，α3，α4線性相關(guān)；當(dāng)c1≠0時，有

(c3+c4)α1-c1(α3+α4)=0，

所以，對任意的常數(shù)c1，c3，c4而言，α1，α3，α4都是線性相關(guān)的．這證明了應(yīng)選C．

也可以考查行列式|α1，α3，α4|是否為0．

10.

設(shè)α1，α2，α3均為3維向量，則對任意常數(shù)k，l，向量組α1+kα3，α2+lα3線性無關(guān)是向量組α1，α2，α3線性無關(guān)的A.必要非充分條件．B.充分非必要條件．C.充分必要條件．D.既非充分也非必要條件．正確答案：A[解析]已知α1，α2，α3線性無關(guān)，設(shè)λ1(α1+kα3)+λ2(α2+lα3)=0，即

λ1α1+λ2α2+(kλ1+lλ2)α3=0λ1=λ2=kλ1+lλ2=0，從而α1+kα3，α2+lα3線性無關(guān)．反之若α1+kα3，α2+lα3線性無關(guān)，不一定有α1，α2，α3線性無關(guān)．例如

顯然，α1+kα3，α2+lα3線性無關(guān)，而α1，α2，α3線性相關(guān)．故α1+kα3，α2+lα3線性無關(guān)是α1，α2，α3線性無關(guān)的必要條件，而不是充分條件．因此選A．

這是一道選擇題，直接取k=l=0，此時顯然向量組α1，α2線性無關(guān)是向量組α1，α2，α3線性無關(guān)的必要非充分條件．

11.

設(shè)A，B，C均為n階矩陣．若AB=C，且B可逆，則A.矩陣C的行向量組與矩陣A的行向量組等價．B.矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價．C.矩陣C的行向量組與矩陣B的行向量組等價．D.矩陣C的列向量組與矩陣B的列向量組等價．正確答案：B[解析]本題考查向量組等價的概念以及對矩陣與其向量組之間的關(guān)系的理解．

設(shè)矩陣A=(α1，α2，…，αn)，C=(γ1，γ2，…，γn)，其中αi，γi(i=1，2，…，n)均為n維列向量．由題設(shè)有

(α1，α2，…，αn)B=(γ1，γ2，…，γn)，

則

(α1，α2，…，αn)=(γ1，γ2，…，γn)B-1，

即矩陣A的列向量組α1，α2，…，αn與矩陣C的列向量組γ1，γ2，…，γn能相互線性表示，所以矩陣A的列向量組與矩陣C的列向量組等價，選項B正確．

此外，由于矩陣B可逆，所以其行向量組與列向量組分別都是線性無關(guān)的；而矩陣A是任意的n階矩陣，且矩陣A的秩與矩陣C的秩相等，所以當(dāng)矩陣A的秩小于n時，矩陣C的秩也小于n，即矩陣C的行向量組與列向量組分別都是線性相關(guān)的．由此可知選項C、D都應(yīng)排除．

最后，由

知矩陣的行向量組(1，1)，(0，0)與矩陣的行向量組(2，1)，(0，0)是不等價的，從而選項A也是錯的．

對Am×nBn×s=Cm×s，則C的列向量組可由A的列向量組線性表出，C的行向量組可由B的行向量組線性表出．

12.

設(shè)矩陣若集合Ω={1，2}，則線性方程組Ax=b有無窮多解的充分必要條件為

A．

B．

C．

D．a(chǎn)∈Ω，d∈Ω．正確答案：D[解析]Ax=b有無窮多解．

|A|是一個范德蒙德行列式，值為(a-1)(a-2)．如果，則|A|≠0，r(A)=3．此時Ax=b有唯一解，排除A，B．

類似地，若，則，排除C．

當(dāng)a，d都屬于Ω時，，Ax=b有無窮多解．選D．

13.

設(shè)A=(α1，α2，α3，α4)是4階矩陣，A*為A的伴隨矩陣．若(1，0，1，0)T是方程組Ax=0的一個基礎(chǔ)解系，則A*x=0的基礎(chǔ)解系可為A.α1，α3．B.α1，α2．C.α1，α2，α3．D.α2，α3，α4．正確答案：D[解析]因齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系只包含1個向量(1，0，1，0)T，所以矩陣A的秩r(A)=4-1=3．A的伴隨矩陣的秩r(A*)是由r(A)確定的，它們之間的關(guān)系為

于是r(A*)=1，從而方程組A*x=0的基礎(chǔ)解系包含4-r(A*)=4-1=3個解向量．由此，選項A、B被排除．

又因為A*A=|A|E及|A|=0，故矩陣A的列向量α1，α2，α3，α4都是方程組A*x=0的解．由前面可知r(A)=3，故向量組α1，α2，α3，α4的秩也為3，則其中3個線性無關(guān)的向量即為A*x=0的一個基礎(chǔ)解系．

最后，因向量(1，0，1，0)T是Ax=0的解，故

即α1+α3=0，則α1=-α3．由此可知α2，α3，α4(或α1，α2，α4)線性無關(guān)，是A*x=0的一個基礎(chǔ)解系，選項D是正確的．

也可利用排除法求解．求出r(A*)=3，排除選項A、B；由α1+α3=0，即α1，α3線性相關(guān)，排除選項C，只能選D．

二、解答題設(shè)A為3階矩陣，α1，α2為A的分別屬于特征值-1，1的特征向量，向量α3滿足Aα3=α2+α3．1.

證明α1，α2，α3線性無關(guān)；正確答案：證

設(shè)存在數(shù)k1，k2，k3使得

k1α1，k2α2，k3α3=0，

①

用矩陣A左乘①式的兩邊，并由題設(shè)知Aα1=-α1，Aα2=α2，得

k1α1+k2α2+k3(α2+α3)=0．

②

①-②得

2k1α1-k3α2=0，

由于α1，α2是A的屬于不同特征值的特征向量，所以α1，α2線性無關(guān)，從而k1=k3=0．代入①式有k2α2=0，而α2是A的特征向量，α2≠0，故k2=0．綜上，α1，α2，α3線性無關(guān)．

2.

令P=(α1，α2，α3)，求P-1AP．正確答案：解

由題設(shè)有Aα1=-α1，Aα2=α2，從而

由上一小題知P為可逆矩陣，從而

3.

已知α1=(1，4，0，2)T，α2=(2，7，1，3)T，α3=(0，1，-1，a)T，β=(3，10，b，4)T，問

(Ⅰ)a，b取何值時，β不能由α1，α2，α3線性表示?

(Ⅱ)a，b取何值時，β可由α1，α2，α3線性表示?并寫出此表示式．正確答案：解

因為

所以

(Ⅰ)當(dāng)b≠2時，線性方程組(α1，α2，α3)x=β無解，此時β不能由α1，α2，α3線性表示．

(Ⅱ)當(dāng)b=2，a≠1時，線性方程組(α1，α2，α3)x=β有唯一解：

x=(x1，x2，x3)T=(-1，2，0)T，

于是β可唯一表示為β=-α1+2α2；

當(dāng)b=2，a=1時，線性方程組(α1，α2，α3)x=β有無窮多解：

x=(x1，x2，x3)T=k(-2，1，1)T+(-1，2，0)T，

其中k為任意常數(shù)，這時β可由α1，α2，α3線性表示為

β=-(2k+1)α1+(k+2)α2+kα3．

4.

已知向量組與向量組具有相同的秩，且β3可由α1，α2，a3線性表示，求a，b的值．正確答案：解

α1和α2線性無關(guān)，α3+3α1+2a2，所以向量組α1，α2，a3線性相關(guān)，且秩為2，α1，α2是它的一個極大線性無關(guān)組．

由于向量組β1，β2，β3與α1，α2，a3具有相同的秩，故β1，β2，β3線性相關(guān)，從而

由此解得a=3b．

又β3可由α1，α2，a3線性表示，從而可由α1，α2線性表示，所以α1，α2，β3線性相關(guān)．于是

解之得2b-10=0，于是得a=15，b=5．

5.

確定常數(shù)a，使向量組α1=(1，1，a)T，α2=(1，a，1)T，α3=(a，1，1)T可由向量組β1=(1，1，a)T，β2=(-2，a，4)T，β3=(-2，a，a)T線性表示，但向量組β1，β2，β3不能由向量組α1，α2，a3線性表示．正確答案：解

記A=(α1，α2，a3)，B=(β1，β2，β3)．由于β1，β2，β3不能由α1，α2，a3線性表示，所以A的秩r(A)＜3，從而行列式

得a=1或a=-2．

當(dāng)a=1時，α1=α2=α3=β1=(1，1，1)T，顯然α1，α2，a3可由β1，β2，β3線性表示，而β2=(-2，1，4)T不能由α1，α2，a3線性表示，即a=1符合題意．

當(dāng)a=-2時，則有

考慮非齊次線性方程組Bx=α2，由上述可知矩陣B的秩r(B)=2，而秩，則方程組Bx=α2無解，即α2不能由向量組β1，β2，β3線性表示，所以a=-2不符合題意，應(yīng)舍去．綜上a=1．[解析]向量組α1，α2，a3可由向量組β1，β2，β3線性表示，則三個方程組xi1β1+xi2β2+xi3β3=αi(i=1，2，3)均有解；向量組β1，β2，β3不可由向量組α1，α2，a3線性表示，則三個方程組xi1α1+xi2α2+xi3α3=βi(i=1，2，3)至少一個無解．

設(shè)向量組α1=(1，0，1)T，α2=(0，1，1)T，α3=(1，3，5)T不能由向量組β1=(1，1，1)T，β2=(1，2，3)T，β3=(3，4，a)T線性表示．6.

求a的值；正確答案：解

因為4個3維向量β1，β2，β3，αi(i=1，2，3)是線性相關(guān)的，所以，若β1，β2，β3線性無關(guān)，則αi(i=1，2，3)可由β1，β2，β3線性表示，與題設(shè)矛盾，于是β1，β2，β3線性相關(guān)，從而行列式

即a=5．

7.

將β1，β2，β3用α1，α2，a3線性表示．正確答案：解

將β1，β2，β3用α1，α2，α3線性表示，即解3個非齊次線性方程組：

Xi1α1+xi2α2+xi3α3=βi(i=1，2，3)．

由于3個線性方程組的系數(shù)矩陣是相同的，所以令，并對A作初等行變換：

由此可得

β1=2α1+4α2-α3，β2=α1+2α2，β3=5A1+10A2-2A3．

8.

設(shè)向量組

α1=(1，1，1，3)T，α2=(-1，-3，5，1)T，α3=(3，2，-1，p+2)T，α4=(-2，-6，10，p)T．

(Ⅰ)p為何值時，該向量組線性無關(guān)?并在此時將向量α=(4，1，6，10)T用α1，α2，α3，α4線性表示；

(Ⅱ)p為何值時，該向量組線性相關(guān)?并在此時求出它的秩和一個極大線性無關(guān)組．正確答案：解

對矩陣(α1，α2，α3，α4，α)作初等行變換：

(Ⅰ)當(dāng)p≠2時，向量組α1，α2，α3，α4線性無關(guān)．此時設(shè)α=x1α1，x2α2，x3α3，x4α4，解得

即

(Ⅱ)當(dāng)p=2時．向量組α1，α2，α3，α4線性相關(guān)．此時，向量組的秩等于3．α1，α2，α3(或α1，α3，α4)為其一個極大線性無關(guān)組．[解析]對列向量組α1，α2，α3，α4作初等行變換得到β1，β2，β3，β4，則向量組α1，α2，α3，α4與向量組β1，β2，β3，β4有著相同的對應(yīng)關(guān)系，即如果β1，β2，β3是β1，β2，β3，β4的極大線性無關(guān)組，則α1，α2，α3是α1，α2，α3，α4的極大線性無關(guān)組；且α4由α1，α2，α3線性表示的系數(shù)與β4由β1，β2，β3線性表示的系數(shù)相同．

9.

已知平面上三條不同直線的方程分別為

l1：ax+2by+3c=0，

l2：bx+2cy+3a=0，

l3：cx+2ay+3b=0．

試證：這三條直線交于一點的充分必要條件為a+b+c=0．正確答案：證法1

考慮方程組

由幾何意義可知，要么Ⅰ存在唯一解，要么無解，要么存在無窮多解(此時相當(dāng)于三直線重合)．

Ⅰ存在唯一解存在唯一解(x0，y0，1)T．而當(dāng)后者存在唯一解(x0，y0，1)T時，它是非零解，所以

展開上式得

因此a+b+c=0．

反之，設(shè)a+b+c=0，則

有非零解(x0，y0，1)T，即l1，l2，l3有公共點(x0，y0)．但由上面分析，在三直線不重合的前提下，若有公共點(x0，y0)，則必為唯一公共點．證畢．

證法2

考慮

三直線相交于一點．

因為l1與l2是不同的直線，所以向量(a，2b，3c)與(b，2c，3a)對應(yīng)的分量不成比例，所以，但r(A)=2，所以，即a+b+c=0(見證法1的推導(dǎo))．[解析]不少考生由或a=1，這是不對的，因為|A|=0這只是意味著Ax=b沒有唯一解，它可能有無窮多解，但也可能無解，實際上a=1時方程無解．

10.

λ取何值時，方程組無解，有唯一解或有無窮多解?并在有無窮多解時寫出方程組的通解．正確答案：解

原方程組的系數(shù)行列式為

故當(dāng)λ≠1且時，方程組有唯一解．

當(dāng)λ=1時，原方程組為

對其增廣矩陣作初等行變換：

因此，當(dāng)λ=1時，原方程組有無窮多解，其通解為

或(x1，x2，x3)T=(1，-1，0)T+k(0，1，1)T(k為任意實數(shù))．

當(dāng)時，原方程組的同解方程組為

對其增廣矩陣作初等行變換：

由此可知當(dāng)時，原方程組無解．

11.

設(shè)A=αβT，B=βTα，其中βT是β的轉(zhuǎn)置，求解方程

2B2A2x=A4x+B4x+γ．正確答案：解

由題設(shè)得

又

A2=αβTαβT=α(βTα)βT=2A，

A4=8A．

代入原方程，得

16Ax=8Ax+16x+γ，

即8(A-2E)x=γ(其中E是3階單位矩陣)．

令x=(x1，x2，x3)T，代入上式，得到非齊次線性方程組

解其對應(yīng)的齊次方程組，得通解

顯然，非齊次線性方程組的一個特解為

于是所求方程的解為x=ξ+η*，即

[解析]注意區(qū)分：A=αβT是三階方陣，B=βTα是一個數(shù)．

12.

設(shè)有齊次線性方程組

試問a取何值時，該方程組有非零解，并求出其通解．正確答案：解

對方程組的系數(shù)矩陣A作初等行變換，有

當(dāng)a=0時，r(A)=1＜4，故方程組有非零解，其同解方程組為

x1+x2+x3+x4=0，

由此得基礎(chǔ)解系為

η1=(-1，1，0，0)T，η2=(-1，0，1，0)T，η3=(-1，0，0，1)T，

于是所求方程組的通解為

x=k1η1+k2η2+k3η3，其中k1，k2，k3為任意常數(shù)．

當(dāng)a≠0時，

可知a=-10時，r(A)=3＜4，故方程組也有非零解，其同解方程組為

由此得基礎(chǔ)解系為

η=(1，2，3，4)T，

于是所求方程組的通解為

x=kη，其中k為任意常數(shù)．[解析]由于本題是含n個方程n個未知數(shù)的方程組，因此也可以考慮用行列式分析．

13.

已知三階矩陣A的第一行是(a，b，c)，a，b，c不全為零，矩陣且AB=O，求線性方程組Ax=0的通解．正確答案：解

因為矩陣A的第一行元素a，b，c不全為零，所以A的秩r(A)≥1；又因為AB=O，所以

r(A)+r(B)≤3，

且矩陣B的列向量η1=(1，2，3)T與η2=(3，6，k)T都是齊次線性方程組Ax=0的解．因而：

當(dāng)k≠9時，η1與η2線性無關(guān)，即r(B)=2，從而r(A)=1．此時Ax=0的通解為

x=c1η1+c2η2，其中c1，c2為任意常數(shù)；

當(dāng)k=9時，r(B)=1，矩陣A的秩有兩種可能：r(A)=1或r(A)=2．以下分別進(jìn)行討論．

如果r(A)=2，方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系只包含一個線性無關(guān)的解向量，即為η1=(1，2，3)T，所以通

解為

x=c1η1，其中c1為任意常數(shù)．

如果r(A)=1，方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系應(yīng)包含兩個線性無關(guān)的解向量．此時方程組Ax=0與ax1+bx2+cx3=0同解．因為a，b，c不全為零，不妨設(shè)a≠0，得兩個線性無關(guān)的解向量：

ξ1=(-b，a，0)T，ξ2=(-c，0，a)T，

于是，方程組Ax=0的通解為

x=c1ξ1+c2ξ2，其中c1，c2為任意常數(shù)．

總之，齊次方程組Ax=0的通解為(以下c1，c2均為任意常數(shù))：

當(dāng)k≠9時，x=c1(1，2，3)T+c2(3，6，k)T；

當(dāng)k=9時，若r(A)=2．通解為x=c1(1，2，3)T；

若r(A)=1，通解為x=c1(-b，a，0)T+c2(-c，0，a)T．

已知非齊次線性方程組

有三個線性無關(guān)的解．14.

證明方程組系數(shù)矩陣A的秩r(A)=2；正確答案：證

設(shè)ξ1，ξ2，ξ3是題設(shè)所給非齊次線性方程組的三個線性無關(guān)的解向量，則ξ2-ξ1，ξ3-ξ1是其對應(yīng)的齊次線性方程組Ax=0的兩個線性無關(guān)的解向量．若令t表示方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系所包含向量的個數(shù)，則t≥2．又由r(A)+t=4得

4-r(A)≥2，即r(A)≤2．

不難看到，在矩陣A中有一個二階子式(或矩陣A有兩行(列)線性無關(guān))，所以r(A)≥2，從而r(A)=2．

15.

求a，b的值及方程組的通解．正確答案：解

對非齊次線性方程組的增廣矩陣作初等行變換：

由上一小題知，故有

4-2a=0和4a+b-5=0，

從而得a=2，b=-3．

此時有

可得方程組的通解為

其中k1，k2為任意常數(shù)．[解析]在第一問中可以用定義法驗證ξ2-ξ1，ξ3-ξ1線性無關(guān)．

設(shè)

16.

求滿足Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2，ξ3；正確答案：解

對增廣矩陣作初等行變換：

故得基礎(chǔ)解系為(1，-1，2)T，一個特解為從而

其中C1為任意常數(shù)．

其次，

對增廣矩陣作初等行變換：

故得基礎(chǔ)解系為(-1，1，0)T，(0，0，1)T，一個特解為從而

其中C2，C3為任意常數(shù)．

17.

對上一小題中的任意向量ξ2，ξ3，證明ξ1，ξ2，ξ3線性無關(guān)．正確答案：證

只需證明行列式|ξ1，ξ2，ξ3|≠0即可．事實上，

故ξ1，ξ2，ξ3線性無關(guān)．

設(shè)已知線性方程組Ax=b存在兩個不同的解．18.

求λ，a；正確答案：解

因為非齊次線性方程組Ax=b有兩個不同的解，即解不是唯一的，所以系數(shù)行列式

得解λ=-1或1(二重)．

當(dāng)λ=1時，方程組的增廣矩陣

的秩為2，系數(shù)矩陣A的秩為1，方程組Ax=b無解，故λ=1應(yīng)舍去．

當(dāng)λ=-1時，對方程組Ax=b的增廣矩陣作初等行變換：

因為方程組Ax=b有解，所以a+2=0，即a=-2．總之，λ=-1，a=-2．

19.

求方程組Ax=b的通解．正確答案：解

當(dāng)λ=-1，a=-2時，繼續(xù)對上一小題中的矩陣B作初等行變換得

于是方程組Ax=b的通解為

其中k為任意常數(shù)．

設(shè)20.

計算行列式|A|；正確答案：解

21.

當(dāng)實數(shù)a為何值時，方程組Ax=β有無窮多解，并求其通解．正確答案：解法1

因為方程組Ax=β有無窮多解的必要條件是其系數(shù)矩陣A的行列式為0，即|A|=0，由上一小題得1-a4=0，從而a=1或a=-1．

當(dāng)a=1時，對方程組Ax=β的增廣矩陣作初等行變換：

由此知系數(shù)矩陣A的秩r(A)=3，增廣矩陣的秩，二者不相等，故當(dāng)a=1時，方程組Ax=β無解．

當(dāng)a=-1時，

由此知，故當(dāng)a=-1時，方程組Ax=β有無窮多解．

只需解方程組

其對應(yīng)的齊次方程組為

故基礎(chǔ)解系為(1，1，1，1)T．不難求得非齊次方程組的一個特解為(0，-1，0，0)T從而得通解

其中k為任意常數(shù)．

解法2

直接對含參數(shù)a的增廣矩陣作初等行變換：

由于方程組Ax=β有無窮多解當(dāng)且僅當(dāng)，故有1-a4=0且-a-a2=0，得a=-1，即a=-1時，方程組Ax=β有無窮多解．

以下同解法1．

22.

設(shè)當(dāng)a，b為何值時，存在矩陣C使得AC-CA=B，并求所有矩陣C正確答案：解

設(shè)矩陣代入AC-CA=B，得方程組

(*)

對該方程組的增廣矩陣作初等行變換得

由此可知：當(dāng)a≠-1或b≠0時，方程組(*)無解；當(dāng)a=-1且b=0時，方程組(*)有解，此時方程組為

求得其通解為

其中k1，k2為任意常數(shù)．

綜上，當(dāng)且僅當(dāng)a=-1且b=0時，存在滿足條件的矩陣C，且

其中k1，k2為任意常數(shù)．

設(shè)矩陣E為3階單位矩陣．23.

求方程組Ax=0的一個基礎(chǔ)解系；正確答案：解

對矩陣A作初等行變換

則方程組Ax=0的一個基礎(chǔ)解系為

24.

求滿足AB=E的所有矩陣B．正確答案：解

對矩陣作初等行變換

記E=(e1，e2，e3)，則

Ax=e1的通解為

Ax=e2的通解為

Ax=e3的通解為

于是，所求矩陣為

設(shè)矩陣且方程組Ax=β無解．25.

求a的值；正確答案：解

對矩陣施以初等行變換

由方程組Ax=β無解知，秩，即-a2+2a=0，且a-2≠0，解得a=0．

26.

求方程組ATAx=ATβ的通解．正確答案：解

對矩陣施以初等行變換

所以，方程組ATAx=ATβ的通解

27.

已知4階方陣A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均為4維列向量，其中α2，α3，α4線性無關(guān)，α1=2α2-α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求線性方程組Ax=β的通解．正確答案：解法1

設(shè)x=(x1，x2，x3，x4)T，則由

得

x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=α1+α2+α3+α4，

并將α1=2α2-α3代入上式，整理后得

(2x1+x2-3)α2+(-x1+x3)α3+(x4-1)α4=0．

由于α2，α3，α4線性無關(guān)，故有

解之得

或以向量形式表示為

解法2

由于α2，α3，α4線性無關(guān)，α1=2α2-α3，則r(A)=r(α1，α2，α3，α4)=3，故Ax=0的基礎(chǔ)解系中只有1個解向量，而所以(1，-2，1，0)T是Ax=0的一個基礎(chǔ)解系，

而所以(1，1，1，1)T是Ax=β的一個特解，于是Ax=β的通解是(1，1，1，1)T+k(1，-2，1，0)T，其中k是任意常數(shù)．

28.

已知α1，α2，α3，α4是線性方程組AX=0的一個基礎(chǔ)解系，若β1=α1+tα2，β2=α2+tα3，β3=α3+tα4，β4=α4+tα1，討論實數(shù)t滿足什么關(guān)系時，β1，β2，β3，β4也是AX=0的一個基礎(chǔ)解系．正確答案：解

設(shè)有常數(shù)k1，k2，k3，k4，使

k1β1+k2β2+k3β3+k4β4=0，

即

(k1+tk4)α1+(k2+tk1)α2+(k3+tk2)α3+(k4+tk3)α4=0．

因為α1，α2，α3，α4是方程組AX=0的一個基礎(chǔ)解系，從而線性無關(guān)，故必有

即

當(dāng)且僅當(dāng)

方程組AX=0只有零解，從而β1，β2，β3，β4線性無關(guān)．即t≠±1時